Усули фазаи тағйирёбанда (variable-phase method) усулест, ки муодилаи радиалии Schrödinger-и тартиби дуюмро дар парокандашавии ғайрирелятивистии дуҷисмӣ ба системаи муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум табдил медиҳад, ки коэффисиентҳои ҷузъҳои озоди Riccati–Bessel ва Riccati–Neumann-и ҳалро пайгирӣ мекунанд. Ин таҳқиқот ин усулро тавре рушд медиҳад, ки ҳам ҳалҳои радиалии regular ва ҳам irregular дар дохили як системаи муодилаҳо ҳисоб карда шаванд ва махсусан барои парокандашавии дурмасофаи моддаи торик дар потенсиали Yukawa маълумоти васеи ададӣ ҳосил мекунад. Ҳалли regular лағжишҳои фаза ва факторҳои Sommerfeld-ро медиҳад, дар ҳоле ки ҳалли irregular имкон медиҳад маълумоти маҳдуди функсияи Green-и мавҷи \(s\), ки барои унитаризатсияи худмувофиқи равандҳои ғайричандири ба контакт монанд лозим аст, ҷудо карда шавад.

Ангезаи физикии таҳқиқот аз он иборат аст, ки вақте масофаи таъсири мутақобил бо дарозии мавҷи de Broglie-и зарраҳо муқоисашаванда ё аз он калонтар аст, назарияи perturbation метавонад нокифоя гардад. Хусусан дар феноменологияи моддаи торик, қувваҳои дурмасофа метавонанд ба фаровонии боқимондаи гармӣ, суръатҳои annihilation барои ошкорсозии ғайримустақим ва ташаккули сохтори галактикӣ дар сенарияҳои моддаи торики худтаъсиркунанда таъсир расонанд. Дар чунин режим таъсирҳои такрории ду-зарра бояд дар ҳамаи тартибҳо ба ҳисоб гирифта шаванд ва барои ин масъалаи Schrödinger ба таври ғайрипертурбативӣ ҳал карда мешавад.

Муаллифон усулро ба потенсиали Yukawa татбиқ намуда, таъсирҳои ҷалбкунанда ва тела диҳанда; режимҳои Born, резонансӣ, классикӣ/нимклассикӣ ва ба Coulomb монанд; лағжишҳои фаза, факторҳои Sommerfeld, буришҳои чандир/transfer/viscosity ва ҳамгироии partial-wave-ро якҷо меомӯзанд. Натиҷаҳои ададӣ дар минтақаҳои мувофиқ бо ҳадҳои аналитикии Born, WKB ва Coulomb муқоиса мешаванд. Илова бар ин, аз ҳалли irregular барои \(\ell=0\) ба даст омада, бузургии \(T(k;k_\diamond)\) ҳисоб карда мешавад.

Ҷадвалҳои нашршудаи маълумот лағжишҳои фаза ва факторҳои Sommerfeld-ро аз \(\ell=0\) то \(\ell=100\) дар бар мегиранд. Ҷамъҳои partial-wave, ки барои буришҳои чандир, transfer ва viscosity истифода мешаванд, мутаносибан то \(\ell=100\), \(99\) ва \(98\) идома дода мешаванд. Тибқи санҷиши худи таҳқиқот, дар фазои параметрҳои ҷадвалшуда ин интихобҳо хатои буриданро аз %1 камтар нигоҳ медоранд. Бо вуҷуди ин, таҳқиқот дар таҷрибаи воқеии моддаи торик таъсири мутақобилро чен намекунад ва дуруст будани як модели мушаххаси зарраи моддаи торикро дар табиат нишон намедиҳад; натиҷаҳои пешниҳодшуда ҳалҳои назариявӣ ва ададии потенсиалҳои муайяни парокандашавӣ дар сатҳи Schrödinger мебошанд.

Чаро парокандашавии дурмасофа масъалаи ҷудогона аст?

Агар масофаи таъсири мутақобили ду зарра аз дарозии мавҷи de Broglie-и онҳо хеле хурд бошад, дар бисёр ҳолатҳо таъсири мутақобилро ҳамчун ислоҳи кӯтоҳмасофа баррасӣ кардан мумкин аст. Аммо вақте масофаи қувва бо дарозии мавҷ муқоисашаванда мешавад, зарраҳо якдигарро дар минтақаи васеи фазоӣ эҳсос мекунанд. Таъсири такрории функсияи мавҷ дар ин минтақа метавонад таъсирҳои қавиеро ба вуҷуд оварад, ки тавсеаҳои perturbative-и тартиби паст аз даст медиҳанд.

Нуқтаи ибтидоии таҳқиқот муодилаи аз вақт мустақили Schrödinger барои ду зарраи ғайрирелятивистӣ мебошад:

\[ -\frac{\nabla^2}{2\mu}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r) +V(r)\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r) = E_{\mathbf{k}}\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r). \tag{2.1} \]

Дар ин ҷо \(\mu\) массаи коҳишёфтаи ду зарра аст, \(V(r)\) потенсиали воқеӣ, маҳаллӣ ва марказӣ мебошад, \(\mathbf{k}\) импулс дар системаи маркази масса аст ва

\[ E_{\mathbf{k}}=\frac{k^2}{2\mu}, \qquad k=\mu v_{\rm rel} \]

муносибатҳо истифода мешаванд. \(v_{\rm rel}\) суръати нисбии ду зарра аст. Дар воҳидҳои табиӣ воҳидҳои импулс, масса ва дарозии баръакс бо ҳам алоқаманданд.

Чаро Тавсеаи Partial-Wave Истифода Мешавад?

Тавсеаи partial-wave масъалаи сеченакаи парокандашавиро дар потенсиали марказӣ барои ададҳои гуногуни квантии импулси кунҷӣ \(\ell\) ба масъалаҳои мустақили якченакаи радиалӣ ҷудо мекунад. Ҳамин тавр, функсияи пурраи мавҷро метавон ҳамчун ҷамъбасти ҷузъҳое ҳал кард, ки ҳар кадом канали муайяни импулси кунҷиро ифода мекунанд, ва буриши умумии парокандашавӣ аз ҷамъбасти назоратшавандаи ин каналҳо ба даст меояд.

Функсияи пурраи мавҷ:

\[ \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf r) = \sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell+1) P_\ell(\cos\vartheta)\, \psi_{k,\ell}(r) \tag{2.4} \]

ба ин шакл ҷудо мешавад. \(P_\ell\) полиноми Legendre-и \(\ell\)-ум аст. Барои функсияи радиалӣ

\[ u_{k,\ell}(r) \equiv kr\,\psi_{k,\ell}(r) \tag{2.5} \]

таъриф дода шавад, масъала ба:

\[ \left[ -\frac{1}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2} + \frac{\ell(\ell+1)}{2\mu r^2} + V(r) \right] u_{k,\ell}(r) = E_{\mathbf{k}}u_{k,\ell}(r) \tag{2.6} \]

муодилаи радиалии Schrödinger табдил меёбад.

\[ \frac{\ell(\ell+1)}{2\mu r^2} \]

ҳад монеаи марказгурез аст. Барои \(\ell=0\) ин ҳад вуҷуд надорад; бо калон шудани \(\ell\), махсусан дар \(r\)-и хурд, монеаи ҳарчи қавитар ба вуҷуд меояд. Аз ҳамин сабаб рафтори резонансии partial-wave-ҳои паст ва баланд яксон нест.

Синфи потенсиалҳои таҳқиқот

Усули умумӣ ба потенсиалҳое татбиқ мешавад, ки шарти зеринро қонеъ мекунанд:

\[ \int_0^\infty dr\,r\,|V(r)|<\infty. \tag{2.7} \]

Ин шарт кафолат медиҳад, ки потенсиал дар ибтидо аз \(1/r^2\) сингулярияти қавитар нишон надиҳад ва дар масофаҳои калон ба қадри кофӣ зуд коҳиш ёбад. Зери ин фарзия муодилаи радиалӣ ду оилаи хаттӣ мустақил дорад:

\[ \mathcal F_{k,\ell}(r)\propto r^{\ell+1}, \qquad \mathcal G_{k,\ell}(r)\propto r^{-\ell}, \qquad r\rightarrow0. \tag{2.8} \]

\(\mathcal F_{k,\ell}\) ҳалли regular, \(\mathcal G_{k,\ell}\) бошад оилаи ҳалли irregular аст.

Regular ва irregular чӣ маъно доранд?

Ҳолати физикии парокандашавӣ бояд дар ибтидо маҳдуд бошад. Азбаски функсияи пурраи радиалии мавҷ \(u/(kr)\) аст, ҷузъи irregular, ки дар ибтидо diverge мекунад, дар ҳолати физикии воридшавандаи парокандашавӣ истифода намешавад. Бо вуҷуди ин, ҳалли irregular аз ҷиҳати математикӣ нолозим нест; он маълумоти заруриро барои ҳисоб кардани функсияи Green ва сохтори аз нав нормалшуда/унитаризатсияшудаи таъсирҳои контактӣ нигоҳ медорад.

Лағжиши фаза

Дар потенсиали воқеӣ ҳангоми парокандашавии чандир барои ҳар partial-wave эҳтимолият нигоҳ дошта мешавад. Амплитудаи парокандашавии partial-wave:

\[ 1+ \frac{2ik}{\sqrt{\mathscr C_\ell}} f_{k,\ell} = e^{2i\theta_\ell(k)} \tag{2.12} \]

бо ин муносибат ба лағжиши фазаи \(\theta_\ell(k)\) пайваст мешавад. Дар ин ҷо \(\mathscr C_\ell\) фактори симметрия мебошад, ки барои зарраҳои фарқшаванда ва якхела истифода мешавад.

Аз ин:

\[ f_{k,\ell} = \sqrt{\mathscr C_\ell}\, \frac{1}{k} e^{i\theta_\ell(k)} \sin\theta_\ell(k) \tag{2.13} \]

ба даст меояд. Лағжиши фаза тағйири фазаеро, ки таъсири мутақобил нисбат ба мавҷи озод ба вуҷуд меорад, миқдоран тавсиф мекунад.

Буриши чандири ҳар partial-wave:

\[ \sigma_\ell^{\rm elas}(k) = \sigma_\ell^{\rm U}(k) \sin^2\theta_\ell(k), \tag{2.16} \]

ва ҳади unitarity-и partial-wave:

\[ \sigma_\ell^{\rm U}(k) = \mathscr C_\ell \frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1) \tag{2.17} \]

таъриф карда мешаванд. Вақте \(\sin^2\theta_\ell=1\), ҳамон partial-wave ба ҳади unitarity-и худ мерасад.

Фактори Sommerfeld Чиро Чен Мекунад?

Фактори Sommerfeld \(S_\ell(k)\) чен мекунад, ки потенсиали дурмасофа амплитудаи функсияи мавҷро дар масофаи кӯтоҳ нисбат ба ҳолати озод то чӣ андоза тағйир медиҳад; аз ин рӯ он ислоҳи сатҳи зарбкунандаро муайян мекунад, ки таъсири дурмасофа ба суръатҳои равандҳои ғайричандири кӯтоҳмасофаи ба контакт монанд, монанди annihilation, ворид мекунад.

Моҳияти таъриф:

\[ S_\ell(k) = \lim_{r\rightarrow0} \left| \frac{ \mathcal F_{k,\ell}(r) }{ \mathcal F_{k,\ell}^{\rm free}(r) } \right|^2. \tag{2.20} \]

\(S_\ell>1\) маънои онро дорад, ки амплитудаи функсияи мавҷ дар масофаи кӯтоҳ нисбат ба ҳолати озод афзудааст, \(S_\ell<1\) бошад маънои фурӯнишониро дорад. Ин таҳқиқот фактори Sommerfeld-ро ҳамчун қувваи нави физикӣ таъриф намекунад; он ислоҳи функсияи мавҷро ҳисоб мекунад, ки таъсири дурмасофа ба раванди мавҷудаи кӯтоҳмасофа ворид мекунад.

Ҳалли irregular ва \(T(k;k_\diamond)\)

Барои мавҷи \(s\), агар потенсиал дар наздикии ибтидо:

\[ V(r) = -\frac{\alpha_{-1}}{r} + O(r^0) \tag{2.22} \]

бошад, ҳалли irregular бо тавсеаи Frobenius чунин навишта мешавад:

\[ \mathcal G_{k,0}(r) = \mathcal G_{k,0}(0) \left[ 1+ g_0^{(1)}(k)r - 2\mu\alpha_{-1}r\ln(\mu r) + O(r^2,r^2\ln r) \right] \tag{2.23} \]

навишта мешавад.

Дар таъсирҳои мавҷи \(s\)-и ба контакт монанд, проексияи функсияи Green дар \(r=r'=0\) дар ултрабунафш diverge мекунад. Аммо дар ҳолати аз нав нормалшавандае, ки таҳқиқот баррасӣ мекунад, қисми аз импулс мустақили ин divergence-ро бо истифода аз импулси истинодии \(k_\diamond\) баровардан мумкин аст. Бузургии маҳдуди беандоза:

\[ T(k;k_\diamond) = \frac{1}{k} \left[ g_0^{(1)}(k) - g_0^{(1)}(k_\diamond) \right] \tag{2.24} \]

таъриф карда мешавад. \(T(k;k_\diamond)\) яке аз маҳсулоти маълумотии нашршудаи мақола аст ва барои унитаризатсияи худмувофиқи равандҳои ғайричандири ба контакт монанд истифода мешавад.

Усули Фазаи Тағйирёбанда Муодилаи Schrödinger-ро Чӣ Гуна Табдил Медиҳад?

Равиши фазаи тағйирёбанда функсияи радиалии мавҷро ҳамчун таркиби ду ҳалли мустақили Riccati–Bessel/Riccati–Neumann-и масъалаи озод бо коэффисиентҳои вобаста ба мавқеъ менависад; бо ин роҳ муодилаи Schrödinger-и тартиби дуюм ба ду муодилаи дифференсиалии бо ҳам алоқаманди тартиби якум барои ин ду коэффисиент табдил меёбад.

Тағйирёбандаи беандоза:

\[ x\equiv kr \]

интихоб мешавад ва муодила ба шакли:

\[ \chi_{k,\ell}''(x) + b_\ell(x)\chi_{k,\ell}(x) = \widetilde V(x)\chi_{k,\ell}(x) \tag{3.1} \]

оварда мешавад. Дар ин ҷо:

\[ \widetilde V(x) = \frac{2\mu}{k^2}V(x/k), \qquad b_\ell(x) = 1-\frac{\ell(\ell+1)}{x^2}. \tag{3.2} \]

Ҳалҳои озод:

\[ \hat j_\ell(x)=xj_\ell(x), \qquad \hat n_\ell(x)=xn_\ell(x) \tag{3.3} \]

функсияҳои Riccati–Bessel ва Riccati–Neumann мебошанд. Муносибати Wronskian:

\[ \hat j_\ell(x)\hat n_\ell'(x) - \hat j_\ell'(x)\hat n_\ell(x) = 1 \tag{3.4} \]

аст, бинобар ин ду функсия хаттӣ мустақиланд.

Ҳалли нав:

\[ \chi_{k,\ell}(x) = c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \tag{3.6a} \]

ва ҳосилаи он:

\[ \chi_{k,\ell}'(x) = c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell'(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell'(x) \tag{3.6b} \]

интихоб мешаванд. Дар натиҷа системаи асосии ҳисобкунии таҳқиқот ба даст меояд:

\[ c_{k,\ell}'(x) = -\widetilde V(x)\hat n_\ell(x) \left[ c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \right], \tag{3.8a} \]

\[ s_{k,\ell}'(x) = -\widetilde V(x)\hat j_\ell(x) \left[ c_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - s_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \right]. \tag{3.8b} \]

Ин табдилдиҳӣ муҳим аст: акнун ба ҷои ҳал кардани мустақими муодилаи радиалии тартиби дуюм, ки метавонад зуд оссилятсия кунад, эволютсияи тартиби якуми ду коэффисиент пайгирӣ мешавад.

Шартҳои сарҳадии ҳалли regular

Барои оилаи regular дар ибтидо:

\[ \lim_{x\rightarrow0} c_{k,\ell}^{\rm rgl}(x)=1, \qquad \lim_{x\rightarrow0} s_{k,\ell}^{\rm rgl}(x)=0 \tag{3.10} \]

қабул мешавад. Азбаски интегратсияи ададиро дар \(x=0\) оғоз кардан мумкин нест, таҳқиқот дар \(x_{\min}\)-и хурд, вале маҳдуд тавсеаҳои аналитикии хурд-\(x\)-ро ҳамчун шарти ибтидоӣ истифода мебарад.

Лағжиши фаза чӣ гуна гирифта мешавад?

\[ t_{k,\ell}(x) = \frac{ s_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) }{ c_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) } \tag{3.11} \]

бо таърифи:

\[ \tan\theta_\ell(k) = \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{ s_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) }{ c_{k,\ell}^{\rm rgl}(x) }. \tag{3.14} \]

Манба инчунин муодилаи стандартиро, ки бевосита фазаи тағйирёбандаро пайгирӣ мекунад, ҳосил менамояд:

\[ \bar\theta_{k,\ell}'(x) = -\widetilde V(x) \left[ \cos\bar\theta_{k,\ell}(x)\hat j_\ell(x) - \sin\bar\theta_{k,\ell}(x)\hat n_\ell(x) \right]^2. \tag{3.17} \]

ва:

\[ \theta_\ell(k) = \lim_{x\rightarrow\infty} \bar\theta_{k,\ell}(x). \tag{3.18} \]

Аммо муаллифон ҳангоми тавлиди маълумот бевосита Муодилаи (3.17)-ро не, балки системаи Муодилаи (3.8)-ро барои \(c\) ва \(s\) истифода мекунанд; зеро гузориш медиҳанд, ки он дар амал аз ҷиҳати ададӣ устувортар аст.

Шакли фазаи тағйирёбандаи фактори Sommerfeld

Ҳангоми истифодаи коэффисиентҳои калон-\(x\)-и ҳалли regular:

\[ S_\ell(k) = \left[ \left(c_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}\right)^2 + \left(s_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}\right)^2 \right]^{-1}. \tag{3.23} \]

Ин формула яке аз бартариҳои муҳими ҳисобкунии усул аст: ҳамон интегратсияи \(c,s\) ҳам лағжиши фаза ва ҳам фактори Sommerfeld-ро медиҳад.

Интегратсияи ҳалли irregular дар самти баръакс

Шарти сарҳадии irregular дар масофаи калон аз коэффисиентҳои асимптотикии ҳалли regular сохта мешавад:

\[ c_{k,\ell;\infty}^{\rm irr} = s_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}, \qquad s_{k,\ell;\infty}^{\rm irr} = -c_{k,\ell;\infty}^{\rm rgl}. \tag{3.24} \]

Дар татбиқи ададӣ ҳалли regular аввал аз \(x_{\min}\) то \(x_{\max}\) интегратсия карда мешавад. Пас аз муайян шудани коэффисиентҳои асимптотикӣ, ҳалли irregular аз \(x_{\max}\) боз ба сӯи \(x\)-и хурд интегратсия карда мешавад.

Барои мавҷи \(s\), \(T(k;k_\diamond)\) бевосита:

\[ T(k;k_\diamond) = \lim_{r\rightarrow0} \left[ \frac{ \chi_{k,0}^{{\rm irr}\,'}(kr) }{ \chi_{k,0}^{\rm irr}(kr) } - \frac{k_\diamond}{k} \frac{ \chi_{k_\diamond,0}^{{\rm irr}\,'}(k_\diamond r) }{ \chi_{k_\diamond,0}^{\rm irr}(k_\diamond r) } \right] \tag{3.30} \]

ифода мешавад. Вақте ду ҳад дар ҳамон арзиши физикии \(r\) арзёбӣ мешаванд, divergence-и аз импулс мустақил ҳамдигарро бекор мекунад. Муаллифон дар татбиқи ададӣ қисми diverging-ро аналитикӣ бароварда, коэффисиенти хаттии боқимондаро ҷудогона ҳисоб карданро афзал медонанд.

Потенсиали Yukawa

Намунаи татбиқ:

\[ V_Y(r) = -\frac{\alpha}{r} e^{-m_{\rm med}r}. \tag{4.1} \]

Дар ин ҷо \(\alpha\) қувваи пайвастшавӣ аст ва метавонад мусбат ё манфӣ бошад; \(m_{\rm med}\) массаи медиаторест, ки таъсири мутақобилро интиқол медиҳад. \(m_{\rm med}\)-и маҳдуд, нисбат ба потенсиали Coulomb, таъсири мутақобилро дар масофаи калон ба таври экспоненсиалӣ экран мекунад.

Параметрҳои беандозаи \(\zeta\) ва \(\xi\)

Таҳқиқот парокандашавии Yukawa-ро бо ду параметри беандоза тартиб медиҳад:

\[ \zeta \equiv \frac{\mu\alpha}{k} = \frac{\alpha}{v_{\rm rel}}, \qquad \xi \equiv \frac{\mu|\alpha|}{m_{\rm med}}. \tag{4.2} \]

\(\zeta\) қувваи пайвастшавиро нисбат ба суръати нисбӣ чен мекунад. Қимати мутлақи он дар суръатҳои паст метавонад афзоиш ёбад. \(\xi\) бошад параметри масофа/қувваест, ки ба миқёсҳои масса ва медиатори таъсири мутақобил алоқаманд аст. Потенсиали беандозашудаи Yukawa:

\[ \widetilde V_Y(x) = -\frac{2\zeta}{x} e^{-x|\zeta|/\xi}. \tag{4.3} \]

ин шаклро мегирад.

Чаро интегратсияи ададиро дар фосилаи собит анҷом додан мумкин нест?

Дар фазои параметрҳо миқёсҳои хоси байни потенсиал, монеаи марказгурез ва энергияи зарра метавонанд ба чанд тартиб тағйир ёбанд. Аз ин рӯ истифодаи ҳамон \(x_{\min}\) ва \(x_{\max}\) дар ҳар нуқтаи параметр дар баъзе минтақаҳо ё шарти ибтидоии нодуруст ё интегратсияеро ба вуҷуд меорад, ки пеш аз расидан ба минтақаи асимптотикӣ анҷом меёбад.

Таҳқиқот миқёсҳои зеринро таъриф мекунад:

\[ x_1(\zeta,\xi)=\frac{\xi}{|\zeta|}, \tag{4.5b} \]

\[ x_2(\ell,\zeta) = \frac{\ell+1}{|\zeta|}, \tag{4.5c} \]

\[ x_3(\zeta,\xi) = \frac{\xi}{|\zeta|} W_0\left( \frac{2\zeta^2}{\xi} \right), \tag{4.5d} \]

ва барои \(\ell\geq1\), ки буриши якуми ҳадҳои марказгурез ва потенсиалро фаро мегирад:

\[ x_4(\ell,\zeta,\xi) = \begin{cases} \dfrac{\xi}{|\zeta|} \left[ -W_0\left( -\dfrac{\ell(\ell+1)}{2\xi} \right) \right], & \xi\geq\dfrac{e}{2}\ell(\ell+1), \\[8pt] +\infty, & \xi<\dfrac{e}{2}\ell(\ell+1). \end{cases} \tag{4.5e} \]

Илова бар ин, тавозуни энергия–марказгурез:

\[ x_5(\ell) = \sqrt{\ell(\ell+1)} \tag{4.5f} \]

тавсиф мешавад. \(W_0\) шохаи асосии функсияи Lambert \(W\) мебошад.

Ҳади поёнии интегратсия:

\[ x_{\min}(\ell=0,\zeta,\xi) = \varepsilon \min\{1,x_1,x_2,x_3\}, \tag{4.6a} \]

\[ x_{\min}(\ell\geq1,\zeta,\xi) = \varepsilon \min\{1,x_1,x_2,x_3,x_4\} \tag{4.6b} \]

таъриф мешавад. Коди ҳамроҳи манбаъ:

\[ \varepsilon=10^{-7} \]

истифода мекунад.

Ҳади болоӣ:

\[ x_{\max}(\ell,\zeta,\xi) = \Lambda \max\{1,x_1,x_3,x_5\}, \tag{4.7} \]

ва дар код:

\[ \Lambda=10^4 \]

интихоб мешавад. Ҳамин тавр, минтақаи интегратсия собит нест, балки ба ҳар нуқтаи параметри физикӣ мутобиқ карда мешавад.

Миқёси тахминии partial-wave, ки режимҳои парокандашавиро муайян мекунад

Миқёси классикии импулси кунҷӣ, ки ба масофаи қувва мувофиқ аст:

\[ \ell_{\rm clas} \sim r_{\rm force}k \sim \frac{\mu v_{\rm rel}}{m_{\rm med}} = \frac{\xi}{|\zeta|}. \tag{4.8} \]

Вақте ин бузургӣ калон аст, шумораи зиёди partial-wave ба парокандашавӣ саҳм мегузоранд.

Резонансҳо дар потенсиали ҷалбкунандаи Yukawa

Барои мавҷи \(s\), ҳади якуми ҳолати басташуда тақрибан:

\[ \xi_{1,0}\simeq0.84 \]

дода мешавад. Вақте ҳолати басташуда ба энергияи сифр наздик мешавад, \(\theta_0\) тақрибан ба \(\pi/2\) modulo \(\pi\) наздик шуда, буриши чандири мавҷи \(s\) метавонад ба ҳади unitarity-и худ наздик шавад.

Дар \(\ell\)-ҳои баланд, бинобар монеаи марказгурез, сохтор дигар аст. Ҳолатҳои мусбатэнергияи нимбасташудаи зери ҳад метавонанд муваққатан пушти монеа нигоҳ дошта шаванд ва ба резонансҳои борик оварда расонанд. Манбаъ махсусан шарҳ медиҳад, ки ин дар partial-wave-ҳои баланд нусхаи одии рафтори мавҷи \(s\) нест.

Дар байни ҳадҳои ҳолати басташуда антирезонансҳои Ramsauer–Townsend ба вуҷуд омада метавонанд ва парокандашавии чандири камэнергияро сахт фурӯ нишонанд. Потенсиали тела диҳандаи Yukawa бошад резонансҳои ҳолати басташударо дастгирӣ намекунад.

Рафтори фактори Sommerfeld дар резонанс

Дар потенсиали ҷалбкунандаи Yukawa дар ҳадҳои ҳолати басташуда манбаъ:

\[ S_0\propto\zeta^2 \]

миқёспазириро гузориш медиҳад. Дур аз резонанс, бинобар масофаи маҳдуди Yukawa, афзоиши Sommerfeld дар \(\zeta\)-и калон метавонад сер шавад. Баръакс, дар ҳади сахти Coulomb:

\[ S_0^{\rm C}\propto\zeta \qquad (\zeta\gg1) \]

рафтор вуҷуд дорад.

Ҷудо кардани коэффисиенти маҳдуд аз ҳалли irregular

Дар потенсиали Yukawa, дар \(x\)-и хурд коэффисиенти дахлдори ҳалли irregular пас аз баровардани сингулярияти логарифмии аналитикӣ ҳисоб карда мешавад. Таҳқиқот:

\[ \widetilde g_0^{(1)}(k) = g_0^{(1)}(k) + 2\alpha\mu\ln|\alpha| \tag{4.14} \]

таърифро истифода мекунад ва натиҷа:

\[ T(k;k_\diamond) = \frac{\widetilde g_0^{(1)}(k)}{k} - \frac{k_\diamond}{k} \frac{\widetilde g_0^{(1)}(k_\diamond)}{k_\diamond} \tag{4.15} \]

арзёбӣ мешавад. Лағжиши аз импулс мустақили таъриф дар фарқи байни ду импулс нест мешавад.

Чаро буришҳои чандир, transfer ва viscosity фарқ мекунанд?

Дар ҳоле ки буриши умумии чандир танҳо эҳтимолияти умумии парокандашавиро чен мекунад, интиқоли импулс ва энергия дар галоҳои моддаи торик ба кунҷи парокандашавӣ низ вобаста аст. Аз ин рӯ таҳқиқот се буриши ҷудогона истифода мекунад:

\[ \sigma_{\rm elas} = \int d\Omega\, \frac{d\sigma}{d\Omega}, \tag{5.1a} \]

\[ \sigma_T = \int d\Omega\, (1-\cos\vartheta) \frac{d\sigma}{d\Omega}, \tag{5.1b} \]

\[ \sigma_V = \int d\Omega\, \sin^2\vartheta \frac{d\sigma}{d\Omega}. \tag{5.1c} \]

\(\sigma_T\) ба парокандашавии пеш вазни камтар дода, ба интиқоли софи импулс тамаркуз мекунад. \(\sigma_V\) бошад вазни \(\sin^2\vartheta\)-ро истифода мекунад, ки ҳам парокандашавии комилан пеш ва ҳам комилан ақибро коҳиш медиҳад.

Барои зарраҳои фарқшаванда шаклҳои partial-wave:

\[ \sigma_\ell^{\rm elas} = \frac{4\pi}{k^2} (2\ell+1)\sin^2\theta_\ell, \tag{5.3a} \]

\[ \sigma_\ell^T = \frac{4\pi}{k^2} (\ell+1) \sin^2(\theta_{\ell+1}-\theta_\ell), \tag{5.3b} \]

\[ \sigma_\ell^V = \frac{4\pi}{k^2} \frac{(\ell+1)(\ell+2)}{2\ell+3} \sin^2(\theta_{\ell+2}-\theta_\ell). \tag{5.3c} \]

Азбаски дар буришҳои transfer ва viscosity фарқҳои фазаи partial-wave-ҳои ҳамсоя ҷой доранд, думи баланд-\(\ell\) метавонад нисбат ба буриши чандир фурӯнишонии иловагӣ нишон диҳад. Ин хусусият баъдтар дар таҳлили truncation муҳим мешавад.

Равиши Born

Равиши якуми Born ҳолати пурраи парокандашавиро бо мавҷи озоди воридшаванда иваз мекунад. Барои потенсиали симметрияи курашакл:

\[ f_k^{\rm Born}(\vartheta) = -\frac{2\mu}{q} \int_0^\infty dr\,r\,V(r)\sin(qr), \qquad q=2k\sin(\vartheta/2). \tag{5.4} \]

Барои потенсиали Yukawa буриши дифференсиалӣ:

\[ \frac{d\sigma^{\rm Born}}{d\Omega} = \frac{ 4\mu^2\alpha^2 }{ \left[ m_{\rm med}^2+ 2k^2(1-\cos\vartheta) \right]^2 }. \tag{5.5} \]

Лағжиши фазаи Born:

\[ \theta_\ell^{\rm Born,Y}(k) = \zeta Q_\ell \left[ 1+ \frac{1}{2} \left( \frac{\zeta}{\xi} \right)^2 \right], \tag{5.8} \]

ки дар он \(Q_\ell\) функсияи Legendre-и навъи дуюм аст.

Муаллифон:

\[ \cosh\eta = 1+ \frac{1}{2} \left( \frac{\zeta}{\xi} \right)^2, \qquad \sinh(\eta/2) = \frac{|\zeta|}{2\xi} \tag{5.9} \]

параметрро таъриф намуда, фурӯнишонии экспоненсиалии думи калон-\(\ell\)-ро ошкор мекунанд:

\[ \theta_{\ell\rightarrow\infty}^{\rm Born,Y} \approx \zeta e^{-(\ell+1/2)\eta} \sqrt{ \frac{\pi}{ 2(\ell+1/2)\sinh\eta } }. \tag{5.10} \]

Ин ифода барои фаҳмидани он ки чаро ҷамъи partial-wave ҳамгиро мешавад ва чаро ҳангоми хурд шудани \(\eta\) ҳамгироӣ суст мешавад, аҳамияти марказӣ дорад.

Равиши WKB

Дар ҳади WKB-и потенсиали заиф, лағжиши фазаи Yukawa:

\[ \theta_\ell^{\rm WKB,Y}(k) \approx \zeta K_0 \left[ \left(\ell+\frac{1}{2}\right) \frac{|\zeta|}{\xi} \right], \tag{5.11} \]

ба даст меояд. \(K_0\) функсияи тағйирёфтаи Bessel-и навъи дуюм аст. Ин равиш махсусан барои фаҳмидани миқёспазирии минтақаи нимклассикӣ, ки дар он partial-wave-ҳои зиёд саҳм мегузоранд, истифода мешавад.

Born ва WKB ҷойгузини чӣ нестанд?

Мақола формулаҳои Born ё WKB-ро дар тамоми фазои параметрҳо ҳамчун натиҷаи exact истифода намекунад. Ҳалли пурраи ададии variable-phase ҳисобкунии асосӣ мебошад. Born барои фаҳмидани режими таъсири заиф ва думи баланд-\(\ell\), WKB бошад барои фаҳмидани рафтори нимклассикӣ ва санҷидани натиҷаҳои ададӣ ҳамчун воситаҳои муқоисаи аналитикӣ истифода мешаванд.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Раванди ҳисобкунӣ

1. Масъалаи дуҷисмии Schrödinger ба partial-wave-ҳо ҷудо карда мешавад.
2. Бо \(x=kr\) масъала беандоза карда мешавад.
3. Ҳалли радиалӣ бо коэффисиентҳои вобаста ба мавқеи функсияҳои Riccati–Bessel ва Riccati–Neumann ифода карда мешавад.
4. Ду муодилаи дифференсиалии тартиби якум дар Муодилаи (3.8) ҳал карда мешаванд.
5. Ҳалли regular аз \(x_{\min}\) то \(x_{\max}\) интегратсия шуда, лағжиши фаза ва фактори Sommerfeld бароварда мешаванд.
6. Ҳамон коэффисиентҳои асимптотикӣ шартҳои сарҳадии ҳалли irregular-ро дар \(x_{\max}\) месозанд.
7. Ҳалли irregular дар самти баръакс то \(x\)-и хурд интегратсия мешавад.
8. Сингулярияти маълуми ибтидо аналитикӣ бароварда шуда, \(T(k;k_\diamond)\) ҳисоб карда мешавад.
9. Аз лағжишҳои фаза буришҳои чандир, transfer ва viscosity сохта мешаванд.
10. Хатои буридани ҷамъи partial-wave бо санҷишҳои аналитикӣ ва мустақими ададӣ назорат карда мешавад.

Маҳсулоти маълумотии нашршуда дар манбаъ

Масъалаи truncation-и partial-wave

Ҷамъи беохир бояд дар ҳисобкунии ададӣ дар \(\ell_{\max}\)-и маҳдуд бурида шавад:

\[ \sigma_\star^{(\ell_{\max})} = \sum_{\ell=0}^{\ell_{\max}} \sigma_{\ell,\star}, \qquad \star\in\{\mathrm{elas},T,V\}. \tag{5.14} \]

Думи воқеан норасида:

\[ \Delta\sigma_\star^{(\ell_{\max})} = \sigma_\star - \sigma_\star^{(\ell_{\max})} = \sum_{\ell=\ell_{\max}+1}^{\infty} \sigma_{\ell,\star}. \tag{5.15} \]

Хатои нисбии афзоянда, ки саҳми як partial-wave-и навбатиро чен мекунад:

\[ \varepsilon_{\ell_{\max}}^\star = \frac{ \left| \sigma_\star^{(\ell_{\max}+1)} - \sigma_\star^{(\ell_{\max})} \right| }{ \sigma_\star^{(\ell_{\max})} }. \tag{5.16} \]

Аммо манбаъ як ҳушдори муҳим медиҳад: азбаски ин бузургӣ танҳо ҳади навбатиро чен мекунад, метавонад хатои тамоми думи боқимондаро кам нишон диҳад.

Ҳамгироии Ҷамъи Partial-Wave Чӣ Гуна Санҷида Мешавад?

Таҳқиқот аз коҳиши лағжиши фазаи Born дар \(\ell\)-и баланд ба шакли \(\exp[-(\ell+1/2)\eta]\) истифода бурда, думи боқимондаи partial-wave-ро ҳамчун қатори тахминии геометрӣ арзёбӣ мекунад; бо ин роҳ ба ҷойи танҳо дидани ҳади охирини илова шуда, андозаи нисбии тамоми думи норасида ҳисоб карда мешавад ва кофӣ будан ё набудани \(\ell_{\max}\) ба таври миқдорӣ санҷида мешавад.

Арзёбии аналитикии дум барои буриши чандир:

\[ \frac{ \Delta\sigma_{\rm elas}^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_{\ell=0}^{\rm U} } \approx \frac{ 2\pi\xi^4 }{ 4\xi^2+\zeta^2 } e^{-2(\ell_{\max}+1)\eta}. \tag{5.18} \]

Барои буриши transfer:

\[ \frac{ \Delta\sigma_T^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_{\ell=0}^{\rm U} } \approx \frac{\pi\zeta^2}{2\sinh\eta} \tanh(\eta/2) e^{-(2\ell_{\max}+3)\eta}. \tag{5.21} \]

Барои буриши viscosity:

\[ \frac{ \Delta\sigma_V^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_{\ell=0}^{\rm U} } \approx \frac{\pi\zeta^2}{2} e^{-2(\ell_{\max}+2)\eta}. \tag{5.24} \]

Дар ҳар се формула бо калон шудани \(\ell_{\max}\) хато ба таври экспоненсиалӣ кам мешавад. Параметри назоратӣ \(\eta\) аст. Агар:

\[ \frac{|\zeta|}{\xi}\ll1, \]

бошад:

\[ \eta\simeq\frac{|\zeta|}{\xi} \]

хурд мешавад ва фурӯнишонии экспоненсиалӣ заиф мегардад. Аз ин рӯ бо наздик шудан ба минтақаи нимклассикӣ/ба Coulomb монанд partial-wave-ҳои бештар лозим мешаванд.

Дар равиши думи геометрӣ муносибати байни хатои пурраи нисбӣ ва ҳади навбатӣ:

\[ \frac{ \Delta\sigma_\star^{(\ell_{\max})} }{ \sigma_\star^{(\ell_{\max})} } \approx \frac{ \varepsilon_{\ell_{\max}}^\star }{ 1-e^{-2\eta} }, \qquad \ell_{\max}\gtrsim\ell_{\rm elas}^{\rm WKB}. \tag{5.25} \]

аст. Манбаъ барои \(\eta\simeq0.1\):

\[ (1-e^{-2\eta})^{-1}\simeq5.5 \]

мегӯяд. Аз ин рӯ танҳо ба саволи “ҳади охирин то чӣ андоза хурд аст?” нигоҳ кардан метавонад барои хатои умумӣ аз ҳад хушбинона бошад.

Душвортарин санҷиши ҳамгироӣ

Манбаъ ҳамчун душвортарин нуқтаи ҳамгироӣ дар минтақаи ҷадвалшуда:

\[ (\zeta,\xi) = (10^4,10^5) \]

нуқтаро ҷудогона месанҷад. Барои назорати мустақим лағжишҳои фазаи ададӣ то \(\ell=164\), думи Born бошад то \(\ell=1000\) бурда мешавад.

Ҳар се қимат аз %1, яъне аз ҳади \(10^{-2}\), пасттаранд. Ин натиҷа маънои онро надорад, ки “100 partial-wave барои ҳар масъалаи имконпазири Yukawa ҳамеша кофист”; ин танҳо назорати truncation-и тасдиқшуда дар минтақаи параметрҳои нашршудаи таҳқиқот аст.

Санҷиш бо ҳади Coulomb

Барои потенсиали сахти Coulomb:

\[ V_C(r) = -\frac{\alpha}{r} \]

ҳалҳои аналитикӣ мавҷуданд. Лағжиши фазаи Coulomb, ки таҳқиқот истифода мебарад:

\[ \theta_\ell^C(k) = \arg\Gamma(1+\ell-i\zeta), \tag{B.2a} \]

фактори Sommerfeld:

\[ S_\ell^C(k) = \frac{2\pi\zeta}{1-e^{-2\pi\zeta}} \prod_{j=1}^{\ell} \left( 1+\frac{\zeta^2}{j^2} \right) \tag{B.2b} \]

ва маълумоти маҳдуди функсияи Green:

\[ T^C(k;k_\diamond) = 2\zeta \left[ \ln\left( \frac{\zeta}{\zeta_\diamond} \right) + {\rm Re}\,H_{i\zeta_\diamond} - {\rm Re}\,H_{i\zeta} \right] \tag{B.2c} \]

дода мешаванд.

Дар ин ҷо як ҷузъиёти муҳим ҳаст: лағжиши фазаи Yukawa бо массаи маҳдуди медиатор ҳангоми \(\xi\rightarrow\infty\) дар асоси partial-wave бевосита ба лағжиши фазаи Coulomb нуқта ба нуқта наздик намешавад. Фазаи умумии логарифмӣ афзоянда ҷамъ мешавад. Баръакс, факторҳои Sommerfeld ва \(T(k;k_\diamond)\) ҳадҳои хуб муайяншудаи Coulomb доранд. Аз ин рӯ ибораи “потенсиали Yukawa ба Coulomb наздик мешавад” маънои онро надорад, ки ҳар бузургии ҳисобшуда бо ҳамон тарз нуқта ба нуқта наздик мешавад.

Нақшҳои Born, WKB ва ҳалли ададӣ

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Ҳалҳои regular ва irregular-и Schrödinger-ро бо ҳамон системаи муодилаҳои тартиби якуми variable-phase ба таври ададӣ ба даст овардан мумкин аст.
• Коэффисиентҳои асимптотикии ҳалли regular аз ҳамон ҳисоб ҳам лағжиши фаза ва ҳам фактори Sommerfeld-ро медиҳанд.
• Ҳалли irregular-и мавҷи \(s\) метавонад маълумоти \(T(k;k_\diamond)\)-ро, ки дар унитаризатсияи равандҳои ғайричандири ба контакт монанд истифода мешавад, таъмин кунад.
• Барои потенсиали Yukawa интихоби динамикии \(x_{\min}\) ва \(x_{\max}\), ки аз миқёсҳои физикӣ ҳосил шудааст, дар сканҳои васеи параметрҳо нисбат ба ҳадҳои собити интегратсия тартиби боэътимодтар фароҳам меорад.
• Ҳадҳои Born, WKB ва Coulomb дар минтақаҳои гуногуни параметрҳо санҷишҳои мувофиқати ҳалли ададиро таъмин мекунанд.
• Хатои truncation-и partial-wave-ро бо истифода аз думи Born-и баланд-\(\ell\) аналитикӣ арзёбӣ кардан мумкин аст.
• Дар минтақаи параметрҳои нашршудаи таҳқиқот, буришҳои \(\ell=100,99,98\) хатои truncation-и буришҳои чандир, transfer ва viscosity-ро аз %1 паст нигоҳ медоранд.
• Кодро ба потенсиалҳои гуногуни воқеӣ, маҳаллӣ ва марказӣ мутобиқ кардан мумкин аст; аммо ҷудо кардани \(T(k;k_\diamond)\) инчунин донистани рафтори зарурии кӯтоҳмасофаи потенсиалро талаб мекунад.

Умумисозиҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Таҳқиқот мавҷудияти моддаи торик ё модели мушаххаси моддаи торикро таҷрибавӣ тасдиқ намекунад.
• Даъво карда намешавад, ки потенсиали Yukawa ҳамаи таъсирҳои мутақобили моддаи торикро намояндагӣ мекунад.
• Нишон дода нашудааст, ки қиматҳои нашршудаи \(\ell_{\max}\) дар ҳамаи фазоҳои имконпазири параметрҳо кофӣ мебошанд.
• Равишҳои Born ва WKB наметавонанд дар ҳамаи параметрҳо ҷойгузини ҳалли exact-и ададӣ бошанд.
• Дар потенсиали тела диҳандаи Yukawa резонансҳои ҳолати басташудаи потенсиали ҷалбкунанда интизор намешаванд ва манбаъ чунин натиҷаро гузориш намедиҳад.
• Интегралҳои ҷадвалнашудаи bound-state formation ва bremsstrahlung overlap дар маҷмӯаи маълумот ҳамчун натиҷаи тайёр дода нашудаанд; манбаъ мегӯяд, ки функсияҳои пурраи мавҷи заруриро бо коди нашршуда ҳосил кардан мумкин аст.

Такрорпазирӣ

Таҳқиқот танҳо муодилаҳоро нашр намекунад. Коди истифодашудаи Mathematica ба таври кушода нашр шудааст; натиҷаҳои ҷадвалшудаи потенсиали Yukawa дар маҷмӯаи алоҳидаи маълумоти Zenodo бойгонӣ шудаанд. Манбаъ мегӯяд, ки дар репозиторий дастури корбар мавҷуд аст, ки шабакаи параметрҳо, формати маълумот ва функсияҳои интерполятсияро шарҳ медиҳад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Таҳқиқоти аслӣ: Variable-phase methods and data for long-range scattering

Муаллифон: Marcos M. Flores, Kalliopi Petraki, Thomas Pignard.

Тартиби муаллифон: Marcos M. Flores → Kalliopi Petraki → Thomas Pignard.

Муассисаҳо: Laboratoire de Physique de l'Ecole Normale Supérieure, ENS, Université PSL, CNRS, Sorbonne Université, Université Paris Cité, Paris, France. Marcos M. Flores инчунин аффилиатсияи Department of Physics, University of Oslo, Norway дорад.

Тамоси муаллифон: Дар саҳифаи унвонии манбаъ суроғаҳои почтаи электронии ҳар се муаллиф дода шудаанд. Азбаски ҳуҷҷат як нафарро ба таври возеҳ ҳамчун “corresponding author” нишон намедиҳад, Verianla як муаллифи масъул таъин накардааст.

Саҳми баробар: Дар манбаъ баёнияи саҳми баробар муайян нашудааст.

Платформа: arXiv.

arXiv: 2610.30261v1 [hep-ph].

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2610.30261. Ин DOI идентификатори доимии сабти arXiv мебошад; набояд ҳамчун DOI-и маҷаллаи тақризшуда тафсир шавад.

Санаи ирсоли arXiv: 21 октябр 2026.

Санаи навишташуда дар PDF: 23 октябр 2026.

Ёддошти сана: Санаи 23 октябр 2026 дар саҳифаи унвонии PDF бо санаи 21 октябр 2026 дар сабти ирсоли arXiv v1 яксон нест. Ҳар ду маълумот дар контексти худ нигоҳ дошта шудаанд.

Навъи манбаъ: Препринти таҳқиқотӣ; таҳқиқоти назариявӣ ва ададии физикаи энергияи баланд / феноменологияи астрофизикӣ.

Ҳолати тақриз: То 4 ноябр 2026 дар сабти расмии arXiv journal reference барои нашри тақризшудаи маҷалла нишон дода нашудааст. Аз ин рӯ манбаъ ҳамчун мақолаи тақризшуда муаррифӣ нашудааст.

Категорияи асосии arXiv: High Energy Physics – Phenomenology (hep-ph).

Категорияҳои ҳамзамон: Cosmology and Nongalactic Astrophysics (astro-ph.CO) ва High Energy Astrophysical Phenomena (astro-ph.HE).

Ҳаҷми таҳқиқот: 48 саҳифа, 13 шакл.

Усули асосӣ: Ҷудокунии partial-wave, муодилаи радиалии Schrödinger, системаи тартиби якуми variable-phase, ҳалли outward regular, ҳалли inward irregular, факторҳои Sommerfeld, лағжишҳои фаза, амали subtraction-и функсияи Green, потенсиали Yukawa, санҷишҳои аналитикии Born/WKB/Coulomb ва таҳлили truncation-и partial-wave.

Код: Репозиторийи коди Mathematica бо номи YukawaVPS ҳамроҳи таҳқиқот ба таври кушода нашр шудааст.

Маълумот: Маҷмӯаи маълумоти “YukawaVPS data: phase shifts, Sommerfeld factors, and cross sections for Yukawa scattering” зери Zenodo DOI 10.5281/zenodo.23475703 бойгонӣ шудааст.

Маблағгузорӣ: Таҳқиқот аз ҷониби барномаи таҳқиқот ва инноватсияи Horizon 2020-и Иттиҳоди Аврупо, Grant Agreement No. 101002846, ERC CoG CosmoChart дастгирӣ шудааст. Marcos M. Flores инчунин дастгирии Norwegian Research Council FRIPRO Grant, Project ID 353561 “DarkTurns”-ро қайд мекунад.

Бархӯрди манфиатҳо: Дар PDF-и манбаъ баёнияи ҷудогонаи бархӯрди манфиатҳо муайян нашудааст; Verianla баёнияеро, ки дар манбаъ нест, эҷод накардааст.

CRediT / саҳми муаллифон: Дар PDF-и манбаъ ҷадвали ҷудогонаи саҳми CRediT ё баёнияи муфассали саҳми муаллифон муайян нашудааст.

Литсензия: Азбаски литсензияи мушаххаси Creative Commons барои истифодаи дубораи PDF-и манбаъ боэътимод тасдиқ нашудааст, дастрасии кушода ҳамчун литсензияи кушода тафсир нашудааст. Графикҳои манбаъ айнан дубора истифода нашудаанд.

Усули визуалӣ: Схемаи усул дар Verianla SVG-и мустақилона омодашуда ва бемиқёс аст, ки бар муносибатҳои математикӣ дар манбаъ асос ёфтааст; нусхаи тарҳи графикии 13 шакли таҳқиқоти манбаъ нест. Маълумоти хоми графикҳои манбаъ аз PDF тахмин карда шуда ба маҷмӯаи нави маълумот табдил дода нашудааст.

Ҳади асосии илмӣ: Таҳқиқот масъалаи парокандашавии ғайрирелятивистии Schrödinger-ро ҳал мекунад. Натиҷаҳо ҳисобҳои назариявӣ/ададӣ барои потенсиалҳо ва параметрҳои муайян мебошанд; мушоҳидаи мустақими астрофизикӣ, натиҷаи детектори зарра ё тасдиқи таҷрибавии микрофизикаи моддаи торик нестанд.

Ҳади умумисозӣ: Муодилаҳои variable-phase ба синфи потенсиалҳои воқеӣ, маҳаллӣ ва марказии Муодилаи (2.7) татбиқ мешаванд. Амали extraction-и \(T(k;k_\diamond)\) инчунин рафтори мувофиқи кӯтоҳмасофаи Муодилаи (2.22)-ро талаб мекунад.