Ushbu tadqiqotda taklif etilgan Ebola virusi kasalligi modeli epidemiya dinamikasini Kaputo kasr tartibli hosilalari bilan ifodalangan xotira taʼsirlari, inkubatsiya kechikishi, inson xulq-atvoriga bogʻliq toʻyinuvchi yuqish va ijtimoiy-madaniy dafn amaliyotlari bilan birgalikda hisobga oladigan kechikishli kompartman modelidir. Model sezgir shaxslarni, klinik jihatdan infeksiyalangan shaxslarni, karantinga olingan shaxslarni, sogʻayganlarni hamda turli dafn sharoitlaridagi ikki oʻlim sinfini bir-biridan ajratadi. Tadqiqotning asosiy maqsadi haqiqiy Ebola epidemiyasini aynan bashorat qilish emas; ushbu mexanizmlarning matematik barqarorlik, epidemiya chegarasi va tebranuvchi dinamika ustidagi taʼsirlarini nazariy va sonli jihatdan oʻrganishdir.

Modelda asosiy reproduksiya soni \(R_0\) asosiy chegara kattaligidir. Manbada \(R_0<1\) boʻlganda kasalliksiz muvozanatning lokal asimptotik barqaror ekani; \(R_0>1\) boʻlganda esa endemik muvozanat yuzaga kelishi koʻrsatilgan. Endemik muvozanat uchun inkubatsiya kechikishi \(\tau\) muayyan kritik qiymatga yetganda Hopf bifurkatsiyasi yuz berishi mumkin va infeksiya darajasi turgʻun muvozanatga yaqinlashish oʻrniga uzluksiz tebranishlarni namoyon qilishi mumkin.

Sonli simulyatsiyalar, shuningdek, kechikish davomiyligi, kasr tartibi \(q\) va kuzatuvdan oldingi oʻlim ulushini ifodalovchi \(p_1\) epidemiya egri chiziqlarini sezilarli darajada oʻzgartira olishini koʻrsatadi. Biroq bu natijalar model natijalaridir; ular klinik yoki epidemiologik dala kuzatuvlari sifatida talqin qilinmasligi kerak. Tadqiqotda haqiqiy epidemiya maʼlumotlari asosida parametrlarni baholash yoki mustaqil prognoz validatsiyasi amalga oshirilmagan.

Manbadagi sonli natijalarning ayrim qismlari orasida parametrlar va kattaliklar boʻyicha nomuvofiqliklar mavjud. Xususan, xulosa bilan 3–6-rasmlarning matni va sarlavhalari ayrim \(\tau\), \(p_1\) va infeksiya choʻqqisi qiymatlarida bir xil ifodadan foydalanmaydi. Shu sababli Verianla bayoni bu farqlarni birlashtirib yangi “tuzatilgan” natija yaratmaydi.

Tadqiqot koʻrib chiqadigan asosiy muammo

Ebola virusi kasalligi epidemiyalarida yuqishni faqat faol infeksiyalangan shaxslar bilan aloqaga keltirib chiqarish mumkin emas. Infeksiyalangan shaxs kasallikni tashib yurgan, ammo hali yuqumli deb hisoblanmaydigan inkubatsiya davri, kasallik bilan bogʻliq qoʻrquv va xabardorlik tufayli odamlarning xulq-atvorini oʻzgartirishi hamda infeksiyalangan shaxslarning jasadlari bilan yaqin aloqani oʻz ichiga oluvchi ayrim anʼanaviy dafn amaliyotlari epidemiya dinamikasini oʻzgartirishi mumkin.

Tadqiqot adabiyotda aniqlagan asosiy boʻshliq shundan iboratki, ushbu taʼsirlarning muhim qismi ilgari alohida-alohida modellashtirilgan boʻlsa-da, xotira taʼsiri + vaqt kechikishi + xulq-atvorga oid toʻyinish + ijtimoiy-madaniy dafn yoʻllari bir xil kasr tartibli doirada birgalikda yetarlicha koʻrib chiqilmagan.

Bu yerdagi “xotira” shaxsning biologik xotirasini anglatmaydi. Matematik jihatdan bu tizimning hozirgi oʻzgarish tezligi nafaqat ayni paytdagi holatga, balki oʻtmishdagi holatlarning vaznlangan yigʻindisiga ham bogʻliq ekanini anglatadi. Kasr hosilalarining klassik birinchi tartibli hosilalardan asosiy farqi shundadir.

Kaputo kasr hosilasi ushbu Ebola modelida nimani ifodalaydi?

Kaputo kasr hosilasi modelning bugungi epidemiya dinamikasi oʻtmishdagi holatlarga bogʻliq ekanini matematik tarzda ifodalovchi xotirali hosila operatoridir; \(q=1\) klassik birinchi tartibli modelga yaqinlashsa, \(0<q<1\) oʻtmishdagi holatlar modelga olib kiriladigan kasr dinamikani anglatadi.

Kaputo kasr hosilasining taʼrifi

Formula nimani hisoblaydi? \(f(t)\) funksiyasining \(q\) tartibli Kaputo kasr hosilasini hisoblaydi.

• \(q\): kasr hosilaning tartibidir. Tadqiqotning epidemik modelida \(0<q\le1\) oraligʻi qoʻllanadi.
• \(\Gamma(\cdot)\): gamma funksiyasi; faktorial tushunchasining haqiqiy va kompleks sonlarga kengaytirilgan shaklidir.
• \(\xi\): oʻtmish vaqt boʻylab integrallashda ishlatiladigan yordamchi vaqt oʻzgaruvchisidir.
• \((t-\xi)^{q+1-n}\): oʻtmishdagi holatlarning bugungi hosilaga qanday vazn bilan hissa qoʻshishini belgilovchi yadroning bir qismidir.
• \(f^{(n)}(\xi)\): funksiyaning \(n\)-klassik hosilasidir.

Kasr hosilaning integralni oʻz ichiga olishi nihoyatda muhim. Klassik differensial tenglamada oʻzgarish koʻpincha tizimning ayni paytdagi holatiga bogʻliq. Bu yerda esa integral \(a\) dan \(t\) gacha boʻlgan oʻtmishni qamrab olgani uchun tizim oʻz tarixini matematik tarzda olib yuradi.

Tadqiqot talqiniga koʻra, \(q\) qiymatining 1 ga yaqinlashishi xotira taʼsirining kamayishiga mos keladi. Sonli simulyatsiyalarda \(q\) ning 1 ga yaqinlashishi infeksiya choʻqqi qiymatlarini oshirishi va choʻqqi vaqtlarini oʻzgartirishi mumkinligi kuzatilgan. Bu natija faqat qoʻllangan model va parametrlar uchun amal qiladi.

Modeldagi oltita epidemiologik sinf

Asosiy parametrlar

Oltita tenglamadan iborat asosiy Ebola modeli

Manbada model (3.1) quyidagi koʻrinishda berilgan:

Birinchi tenglama sezgir shaxslar sonining oʻzgarishini tavsiflaydi. \(A\) yangi shaxslarni qoʻshadi; infeksiyalangan shaxslar va \(D_1\) sinfidagi yuqumli jasadlar bilan aloqa sezgir sinfdan shaxslarni chiqaradi; tabiiy oʻlim ham \(\mu S_H\) miqdorida kamayish hosil qiladi.

Ikkinchi tenglama yangi klinik infeksiyalarning paydo boʻlishini tavsiflaydi. Xuddi shu ikki yuqish kanali bu safar musbat had hisoblanadi; chunki sezgir sinfdan chiqqan yangi infeksiyalar \(I_H\) sinfiga kiradi. \((\alpha+\mu)I_H\) esa kasallik jarayoni yoki tabiiy oʻlim tufayli infeksiyalangan sinfdan chiqadigan shaxslarni ifodalaydi.

\(D_1\), \(Q_H\), \(D_2\) va \(R_H\) tenglamalari infeksiyalangan shaxslarning oʻlim, aniqlash-karantin va sogʻayish yoʻllariga taqsimlanishini kuzatadi. Manbaning muhim farazlaridan biri \(D_2\) sinfidagi nazorat qilinadigan dafnlar yangi yuqishga olib kelmasligidir.

Nega toʻyinuvchi yuqish hadi qoʻllanadi?

Suratdagi \(\beta S\times I\) yoki \(\beta S\times D_1\) tuzilmasi potensial aloqa miqdorini ifodalaydi. Maxrajdagi \(1+\sigma S_H(t)\) esa populyatsiya kattalashgani sari aloqaning cheksiz chiziqli oshishiga yoʻl qoʻymaydi. Manba buni xabardorlik, qoʻrquv, himoyalovchi xulq-atvor, cheklangan aloqa imkoniyatlari va jamoat salomatligi choralaridan yuzaga kelishi mumkin boʻlgan toʻyinish taʼsiri bilan bogʻlaydi.

\(\sigma\to0\) boʻlganda maxraj taxminan 1 ga teng boʻladi va xulq-atvorga oid toʻyinish zaiflashadi. Manba bu holatni himoyalovchi xulq-atvorlar kamroq samarali boʻlgan modellashtirish chegarasi sifatida talqin qiladi.

Nega modelni uchta tenglamagacha kamaytirish mumkin?

Mualliflar \(S_H\), \(I_H\) va \(D_1\) tenglamalari \(Q_H\), \(D_2\) va \(R_H\) tenglamalariga bogʻliq emasligini taʼkidlaydilar. Shu sababli asosiy dinamika va barqarorlik tahlili uchun dastlabki uchta tenglamadan iborat quyi tizim qoʻllanadi:

Bu qisqartirish \(Q_H\), \(D_2\) va \(R_H\) sinflari biologik jihatdan ahamiyatsiz degani emas. Bu faqat ushbu uchta sinf qayta aloqa qilib dastlabki uchta differensial tenglamaning oʻng tomoniga kirmasligini anglatadi.

Musbatlik va chegaralanganlik nega tekshiriladi?

Epidemiologik model manfiy odam sonlarini hosil qilmasligi kerak. Shu sababli mualliflar model musbat boshlangʻich shartlardan boshlanganida yechimlari manfiy sohaga oʻtmasligini va chegaralangan holda qolishini koʻrsatadilar.

Ushbu ifoda qisqartirilgan tizimning biologik jihatdan ruxsat etilgan holatlar fazosini belgilaydi. \(A/\mu\) yuqori chegarasi populyatsiyaga kirish bilan tabiiy oʻlim oʻrtasidagi muvozanat masshtabidan kelib chiqadi.

Bu yerdagi \(E_q\) Mittag–Leffler funksiyasidir. U kasr differensial tenglamalarda klassik eksponensial funksiya bajaradigan rolga oʻxshash rolni bajaradi. Ushbu tengsizlik boshlangʻich qiymat mos sohada boʻlsa, umumiy oʻzgaruvchi \(A/\mu\) chegarasidan tashqariga nazoratsiz tarzda oʻsib ketmasligini koʻrsatish uchun qoʻllanadi.

Asosiy reproduksiya soni R0 ushbu modelda qanday talqin qilinadi?

\(R_0\) — butunlay sezgir populyatsiyada bitta infeksiyalangan shaxs oʻzining yuqumli davri davomida toʻgʻridan-toʻgʻri hamda anʼanaviy dafn bilan bogʻliq bilvosita yoʻllar orqali oʻrtacha nechta yangi infeksiya hosil qila olishini ifodalovchi chegara parametridir; \(R_0<1\) yuqishning soʻnishi, \(R_0>1\) esa modelda endemik muvozanat mavjud boʻlishi nuqtai nazaridan kritik chegaradir.

Ushbu formula ikki asosiy hissadan iborat.

1. Toʻgʻridan-toʻgʻri infeksiyalangan shaxs hissasi: \(\beta_1\) ni oʻz ichiga oluvchi birinchi had.
2. Anʼanaviy dafn sinfidan kelib chiqadigan hissa: \(\beta_2\), \(p_1\) va \(\epsilon_1\) ni oʻz ichiga oluvchi ikkinchi had.

\(\beta_1\) yoki \(\beta_2\) oshganda, boshqa parametrlar oʻzgarmasa, \(R_0\) ortadi. \(\sigma\) ning maxrajda boʻlishi kuchliroq toʻyinish/xulq-atvor taʼsiri yuqish chegarasini kamaytiruvchi yoʻnalishda matematik hissa qoʻshishini koʻrsatadi. \(\epsilon_1\) ning ikkinchi had maxrajida boʻlishi esa \(D_1\) sinfida oʻtkaziladigan vaqt jasad orqali yuqish yoʻlida muhim ekanini koʻrsatadi.

Kasalliksiz va endemik muvozanat

Kasalliksiz muvozanat:

Bu nuqtada sezgir populyatsiya mavjud, ammo \(I_H\) va \(D_1\) nolga teng.

Manbada \(R_0>1\) boʻlganda musbat endemik muvozanat \(\mathcal{E}_1=(S_H^\ast,I_H^\ast,D_1^\ast)\) aniqlanadi. Manbadagi (3.3) tenglama quyidagi tuzilishga ega:

\((R_0-1)\) koʻpaytuvchisining \(I_H^\ast\) va \(D_1^\ast\) ifodalarida paydo boʻlishi chegara mantiqini aniq koʻrsatadi: endemik muvozanat uchun model \(R_0>1\) shartini talab qiladi.

Lokal barqarorlik va xarakteristik tenglama

Muvozanat nuqtalarining barqarorligini oʻrganish uchun chiziqlashtirilgan tizimning xarakteristik ildizlari tahlil qilinadi. Kasalliksiz muvozanat uchun manba quyidagi xarakteristik tuzilmani beradi:

Kechikish mavjud boʻlganda koeffitsiyentlar tarkibida \(e^{-s\tau}\) hadlari paydo boʻladi. Ushbu eksponensial kechikish hadi xarakteristik tenglamani klassik polinom boʻlishdan chiqarib, transsendent tuzilmaga aylantiradi. Shu sababli kechikish ildizlarning kompleks tekislikdagi joylashuvini va demak, barqarorlikni oʻzgartirishi mumkin.

Manbada eʼtibor berilishi kerak boʻlgan matematik izoh: (3.9) tenglama ostida berilgan \(a_0\) ifodasining ketma-ket yozilgan ikki tengligi orasida masshtab/oʻlcham nuqtai nazaridan ochiq qayta tartiblash bosqichi koʻrsatilmagan. Verianla bu ifodani manba oʻrniga qayta hosil qilib “tuzatmaydi”; barqarorlik talqinida mualliflar bergan \(R_0\) chegarasi va teoremalar asos qilib olinadi.

Kechikish nega Hopf bifurkatsiyasiga olib kelishi mumkin?

Kechikish \(\tau\) xarakteristik tenglamada \(e^{-s\tau}\) koʻpaytuvchilarini hosil qilib, ayrim xos qiymatlarning kompleks tekislikda mavhum oʻqni kesib oʻtishiga imkon berishi mumkin; kritik \(\tau^\ast\) qiymatida bu oʻtish yuz berganda turgʻun muvozanat barqarorligini yoʻqotib, uzluksiz tebranishlarga aylanishi mumkin va manba buni Hopf bifurkatsiyasi sifatida tahlil qiladi.

Tahlilda \(s=i\omega\) deb olinib, xarakteristik tenglama haqiqiy va mavhum qismlarga ajratiladi. Keyin kechikish nomzodlari:

koʻrinishida ifodalanadi va kritik kechikish:

sifatida aniqlanadi.

Bu yerdagi \(\omega\) tebranishning xarakteristik burchak chastotasi bilan bogʻliq musbat qiymatdir. \(G_1(\omega)\) va \(G_2(\omega)\) xarakteristik tenglamaning haqiqiy va mavhum komponentlaridan hosil qilingan funksiyalardir. Maqsad kompleks ildizlar jufti mavhum oʻqqa yetib keladigan eng kichik kechikishni topishdir.

Manbada 3.3-teorema \(q\in(0,1]\), \(R_0>1\), \(\tau>0\) va berilgan transversallik sharti ostida endemik muvozanat \(0\le\tau<\tau^\ast\) oraligʻida asimptotik barqaror ekanini va \(\tau=\tau^\ast\) nuqtasida Hopf bifurkatsiyasi yuz berishini bildiradi.

Routh–Hurwitz mezonining roli

Kechikishsiz holatda \(\tau=0\) olinib, \(s^q=\lambda\) almashtirishi bajariladi. Shunday qilib, xarakteristik tenglamani klassik polinom shakliga keltirish mumkin. Endemik muvozanat uchun manba:

polinomini oladi va

Routh–Hurwitz shartlaridan foydalanadi. Ushbu shartlar xarakteristik ildizlarning haqiqiy qismlarini manfiy saqlash va shu tariqa lokal asimptotik barqarorlikni taʼminlashga qaratilgan.

Lyapunov yondashuvi va global endemik barqarorlik

Manba \(R_0>1\) uchun endemik muvozanatning muayyan qoʻshimcha shartlar ostidagi global asimptotik barqarorligini oʻrganish maqsadida Lyapunov funksionalini tuzadi:

Birinchi komponent:

Shunga oʻxshash logarifmik tuzilmalar \(I_H\) va \(D_1\) uchun ham quriladi; kechikkan holatlarni hisobga olish uchun Riemann–Liouville kasr integrallari qoʻshiladi.

Isbotning asosiy matematik vositasi:

tengsizligidir. Tenglik faqat \(x=1\) boʻlganda bajariladi. Mualliflar tegishli \(H_1-H_4\) monotonlik shartlari ostida \(D^qV\le0\) natijasiga kelib, endemik muvozanat uchun global asimptotik barqarorlik natijasini oladilar.

Tadqiqot usuli va natijalari

Sonli yechim uchun boshlangʻich shartlar

Sonli simulyatsiyalarda kichik jamoa faraz qilingan va boshlangʻich qiymatlar:

sifatida olingan.

Adams–Bashforth–Moulton predictor–corrector usuli

Kasr tartibli kechikishli differensial tizimni bevosita yopiq shaklda yechib boʻlmagani sababli mualliflar Adams–Bashforth–Moulton (ABM) predictor–corrector yondashuvidan foydalanadilar.

Umumiy kasr boshlangʻich qiymat masalasi:

Bu yerda \(y(t)\) holat vektori, \(f\) tizimning oʻng tomoni va \(\psi(t)\) kechikish oraligʻidagi oʻtmish boshlangʻich funksiyasidir.

Manba yagona yechim uchun Lipschitz shartidan foydalanadi:

Keyin kasr differensial tenglama ekvivalent Volterra integral tenglamasiga aylantiriladi:

Bu almashtirish muhim; chunki ABM algoritmi kasr xotira taʼsirini integral vaznlari orqali hisoblaydi.

Vaqt toʻri uchun manba \(h=\tau/m\) qadam kattaligidan foydalanadi va yechimni \(y_h(t_j)\approx y(t_j)\) shaklida diskretlashtiradi.

Predictor bosqichi

Predictor keyingi vaqt nuqtasidagi yechim uchun dastlabki taxminni hosil qiladi.

Corrector bosqichi

Soʻng trapezoidal ko‘paytma kvadraturasi qoʻllanib, tuzatilgan qiymat hisoblanadi. Manbadagi asosiy corrector tuzilmasi:

koʻrinishidadir. Predictor yordamida olingan taxmin oʻng tomondagi nomaʼlum \(y_h(t_{n+1})\) oʻrniga qoʻllanib, corrector bosqichi yakunlanadi.

Simulyatsiyalarda qoʻllangan asosiy parametrlar toʻplami

Manba \(\beta_1\), \(\beta_2\) va \(p_1\) parametrlarini tegishli simulyatsiyaga qarab \((0,1)\) oraligʻidan tanlaydi. Parametrlarning muhim qismi avvalgi tadqiqotdan olingan; ushbu tadqiqot ularni yangi dala maʼlumotlari bilan qayta baholamaydi.

R0 < 1: kasalliksiz muvozanatga yaqinlashish

2-rasm ssenariysida \(\tau=0\), \(\beta_1=0.00985\), \(\beta_2=0.0075\) tanlanib, \(R_0=0.5717\) olingan. \(q\) 0.6 dan 1 gacha 0.1 qadam bilan oʻzgartirilgan. Simulyatsiyalar yechim trayektoriyalari kasalliksiz muvozanatga yaqinlashishini koʻrsatadi.

Ushbu topilmaning maʼnosi model doirasidadir: \(R_0<1\) tanlangan parametrlar toʻplamida infeksiya davom eta olmaydi. Bu natija real jamiyat uchun avtomatik ravishda “Ebola yoʻqoladi” degan prognoz emas; haqiqiy \(R_0\) va boshqa parametrlar alohida oʻlchanishi kerak.

R0 > 1: endemik muvozanat

Manba matni ushbu tajriba uchun \(q=0.8\), \(\tau=0\) deb aytgan boʻlsa-da, 3-rasm sarlavhasida \(\tau=1\) yozilgan. Rasm sarlavhasi, shuningdek, \(\beta_1=0.00985\), \(\beta_2=0.00755\), \(\sigma=0.09\) va \(R_0=1.33\) qiymatlarini beradi. Manba ichidagi ushbu nomuvofiqlik sababli \(\tau\) qiymati Verianla tomonidan tanlanib tuzatilmagan.

Umumiy ilmiy xabar shuki, \(R_0>1\) holatida va tegishli past kechikishli ssenariyda model trayektoriyalari endemik muvozanatga yaqinlasha oladi va uzoq muddatli uzluksiz katta tebranishlarni namoyon qilmasligi mumkin.

Kritik kechikish va davom etuvchi tebranishlar

Sonli natijalar matni \(q=0.8\) va \(R_0>1\) sharoitida \(\tau=2.5\) uchun taxminan 1000 kunlik simulyatsiya oʻtkazilganini bildiradi. Shu sahifadagi 4-rasm sarlavhasida esa \(\tau=2\) yozilgan. Matnga koʻra infeksiyalanganlar soni boshlangʻich 300 holatdan taxminan 47 kun ichida taxminan 45.873 gacha koʻtarilgan, keyin taxminan 650 darajasiga tushgan va taxminan 600–700 oraligʻida davom etuvchi tebranishlar yuzaga kelgan.

Mualliflar ushbu xatti-harakatni kritik kechikish chegarasining oshib ketishi va Hopf bifurkatsiyasi bilan bogʻlaydilar. Biroq \(\tau=2\) va \(\tau=2.5\) oʻrtasidagi manba ichidagi sarlavha/matn nomuvofiqligi sababli ushbu sonli natijani “aniq faqat \(\tau=2.5\) natijasidir” deb qayta belgilash kerak emas.

τ = 2.5 va τ = 3 taqqoslanishi

5-rasm \(q=0.8\), \(\beta_1=0.00985\), \(\beta_2=0.00755\), \(\sigma=0.09\) va \(R_0=1.33\) sharoitida \(\tau=2.5\) bilan \(\tau=3.0\) ssenariylarini taqqoslaydi.

Manba matniga koʻra, \(\tau=3.0\) holatida 300 nafar infeksiyalangan shaxs bilan boshlangan ssenariy taxminan 61-kunda taxminan 101.173 nafar infeksiyalanganga yetadi. Keyin taxminan 960 darajasiga tushadi va davom etuvchi tebranishlarda taxminan 65.845 lik choʻqqi qiymatlar yuzaga keladi.

Mualliflar ushbu taqqoslashda kechikish ortishini faqat choʻqqi kattaligining oshishi bilan izohlab boʻlmasligini; ayniqsa epidemiya choʻqqisining vaqtini kechiktirishini taʼkidlaydilar.

Ijtimoiy-madaniy dafn amaliyotlarini ifodalovchi p1 taʼsiri

\(p_1\) infeksiyalangan shaxslarning aniqlanishi yoki sogʻayishidan oldin kasallik tufayli oʻlim bilan \(D_1\) yoʻliga oʻtish ulushini ifodalaydi. Model nuqtai nazaridan \(p_1\) ning ortishi anʼanaviy dafn sinfiga koʻproq shaxs oʻtishiga olib kelishi mumkin va bu sinf \(\beta_2\) orqali yangi infeksiya hosil qilish mexanizmiga bogʻlanganligi sababli yuqish dinamikasini kuchaytirishi mumkin.

6-rasm grafik legendasida \(p_1=0.1\) va \(p_1=0.25\) koʻrsatilgan boʻlsa, rasm sarlavhasida qoʻshimcha ravishda \(p_1=0.35\) uchun \(R_0=1.3614\) ifodasi mavjud. Xulosa esa \(p_1>0.4\) uchun epidemiya kattaligida %35 oshish haqida xabar beradi. Manbadagi bu uch xil taqdimot bitta qiymatga keltirilmagan.

Ishonchli umumiy natija shuki: modelda yuqoriroq nazoratsiz/erta oʻlim ulushi va unga bogʻliq aloqali dafn yoʻli kattaroq yoki koʻproq kechikkan epidemik toʻlqinlar bilan bogʻliq. Bu muayyan real jamiyatda anʼanaviy dafn amaliyotlari aynan bir xil miqdoriy oshishni yuzaga keltirishini isbotlamaydi.

Kasr tartibi q ning taʼsiri

7-rasmda \(\tau=3\) oʻzgarmas saqlanib, \(q\) oʻzgartirilgan. Grafiklarda \(q=0.8\), \(q=0.9\) va \(q=1.0\) ssenariylari taqqoslanadi. \(q\) ning 1 ga yaqinlashishi bilan infeksiya choʻqqilari kattalashishi va ularning vaqti oʻzgarishi koʻrinadi.

Manba buni xotira taʼsirining zaiflashishi bilan bogʻlaydi. Xulosa \(q\) ning 1 ga yaqinlashishi infeksiya choʻqqi darajalarida taxminan %20 oshish hosil qilishini bildiradi; grafiklarning xom sonli nuqtalari berilmagani sababli Verianla bu foizni qayta hisoblamaydi.

Manbada keltirilgan sonli ssenariylarni birgalikda oʻqish

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar

• Kasr tartibli va kechikishli Ebola modelini matematik jihatdan qurish mumkinligini.
• Model yechimlari tegishli boshlangʻich shartlarda musbat va chegaralangan holda qolishi mumkinligini.
• \(R_0\) asosiy chegara parametri ekanini.
• Manbadagi 3.2-teorema doirasida \(R_0<1\) uchun kasalliksiz muvozanatning lokal asimptotik barqarorligini.
• \(R_0>1\) uchun musbat endemik muvozanat mavjudligini.
• Tegishli sharoitlarda kechikishning kritik qiymatdan oshishi Hopf bifurkatsiyasi va tebranuvchi dinamikani hosil qilishi mumkinligini.
• Model ichida \(p_1\), \(q\) va \(\tau\) oʻzgarishlari epidemik trayektoriyalarni oʻzgartirishini.
• Muayyan \(H_1-H_4\) shartlari ostida endemik muvozanatning Lyapunov yondashuvi yordamida global asimptotik barqarorligini.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan natijalar

• Ushbu model real mamlakatdagi kelajak Ebola holatlari sonini tasdiqlangan tarzda bashorat qilmaydi.
• 101.173, 45.873 yoki boshqa simulyatsiya qiymatlari real epidemiyada kuzatilgan holatlar soni emas.
• Modeldagi \(\tau^\ast\) chegarasi har bir Ebola epidemiyasi uchun universal biologik doimiy emas.
• Model madaniy dafn amaliyotlari barcha jamiyatlarda bir xil miqdoriy taʼsir hosil qilishini koʻrsatmaydi.
• Tadqiqot hech qanday dori, vaksina yoki klinik davolash samaradorligini sinamaydi.
• Simulyatsiya natijalari real epidemiya maʼlumotlari bilan kalibrlangan klinik yoki jamoat salomatligi prognozi emas.

Model cheklovlari va kelajakdagi tadqiqotlar

Mualliflar birinchi muhim cheklov sifatida real epidemiya maʼlumotlarining cheklanganligi sababli parametrlar mavjud adabiyotdan olinganini koʻrsatadilar. Haqiqiy epidemiya maʼlumotlari bilan empirik kalibrlash modelning muayyan epidemiyalarga tatbiq etilishini oshirishi mumkin.

Ikkinchidan, model fazoviy geterogenlik va inson harakatchanligini ochiq tarzda oʻz ichiga olmaydi. Kelajakda geografik farqlar, sayohat harakatlari va hududlararo yuqishni qoʻshish taklif qilinadi.

Uchinchidan, model deterministikdir. Mualliflar xulq-atvor, muhit va kichik populyatsiyalarda yuzaga keladigan tasodifiylikni ifodalash maqsadida kelajakda stoxastik komponentlarni qoʻshishni taklif qiladilar.

Ushbu cheklovlar ayniqsa muhim: matematik jihatdan murakkabroq model avtomatik ravishda real epidemiyalarni aniqroq bashorat qiladigan model degani emas. Real dunyo aniqligi uchun parametrlarni kalibrlash, mustaqil maʼlumotlar bilan validatsiya va kontekstga xos baholash zarur.

Manba va usul haqida izoh

Asl tadqiqot: A delayed fractional-order model of Ebola virus disease with human behavioral dynamics

Mualliflar: Eva Lusekelo; Mlyashimbi Helikumi; Salamida Daudi; Steady Mushayabasa.

Masʼul muallif: Steady Mushayabasa.

Teng hissa: Manbada teng birinchi mualliflik yoki teng hissa bayonoti aniqlanmagan.

Muassasalar: Department of Mathematics and Statistics, College of Natural and Mathematical Sciences, University of Dodoma, Dodoma, Tanzania; Mbeya University of Science and Technology, Department of Mathematics and Statistics, College of Science and Technical Education, Mbeya, Tanzania; Department of Education and Mathematics, National Institute of Transport, Dar-es-Salaam, Tanzania; Department of Mathematics and Computational Sciences, University of Zimbabwe, Mount Pleasant, Harare, Zimbabwe.

Jurnal: Results in Control and Optimization.

Nashriyot: Elsevier B.V.

Platforma: ScienceDirect.

Jild / maqola raqami: Volume 23 (2026), Article 100738.

DOI: 10.1016/j.rico.2026.100738.

Qabul qilib olingan sana: 14 mart 2026.

Qayta koʻrib chiqilgan sana: 7 may 2026.

Qabul qilingan sana: 20 may 2026.

Onlayn nashr sanasi: 28 may 2026.

Manba turi: Taqrizdan oʻtgan ilmiy jurnal maqolasi; nazariy matematik epidemiologiya va sonli simulyatsiya tadqiqoti.

Litsenziya: Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).

Ilmiy usul: Kaputo kasr tartibli kechikishli differensial tenglamalar; toʻyinuvchi insidensiya funksiyasi; musbatlik va chegaralanganlik tahlili; kasalliksiz va endemik muvozanat; asosiy reproduksiya soni; xarakteristik tenglama va xos qiymatlar tahlili; Routh–Hurwitz mezoni; Hopf bifurkatsiyasi; Lyapunov funksionali; Adams–Bashforth–Moulton predictor–corrector sonli yechimi.

Maʼlumotlar mavjudligi: Manba tadqiqotda maʼlumotlardan foydalanilmaganini ochiq bildiradi. Sonli natijalar matematik model va adabiyotdan olingan parametrlar yordamida hosil qilingan.

Moliyalashtirish: Mualliflar tadqiqot davlat, tijorat yoki notijorat moliyalashtiruvchi tashkilotidan maxsus grant olmaganini bildiradilar.

Manfaatlar toʻqnashuvi: Mualliflar tadqiqotga taʼsir qilishi mumkin boʻlgan maʼlum moliyaviy manfaat yoki shaxsiy munosabat mavjud emasligini bayon qiladilar.

Sunʼiy intellekt bayonoti: Mualliflar ishni tayyorlash jarayonida til va oʻqiluvchanlikni yaxshilash maqsadida sunʼiy intellektdan foydalanganlarini, soʻngra mazmunni koʻrib chiqib tahrir qilganlarini va nashr mazmuni uchun barcha masʼuliyatni oʻz zimmalariga olishlarini bildiradilar.

CRediT / muallif hissalari: Manbada alohida CRediT authorship contribution statement aniqlanmagan; shu sababli mualliflarning vazifalari Verianla tomonidan taxmin qilinmagan.

Manba ichidagi muhim sonli nomuvofiqlik: Xulosa, 3–6-rasmlar sarlavhalari va tegishli natija paragraflarida ayrim \(\tau\), \(p_1\) va infeksiya choʻqqisi qiymatlari bir xil emas. Xususan, 3-rasm uchun matn \(\tau=0\), rasm sarlavhasi \(\tau=1\); 4-rasm uchun matn \(\tau=2.5\), rasm sarlavhasi \(\tau=2\) beradi. Xulosadagi “1200 dan 10.000 dan yuqori” ifodasi ham asosiy matn/rasmlardagi ayrim kattaroq choʻqqi qiymatlari bilan bevosita mos kelmaydi. Bu farqlar yashirin tarzda tuzatilmagan.

Barqarorlik ifodasiga oid manba ichidagi chegara: 3.2-teorema \(R_0<1\) uchun kasalliksiz muvozanatni “lokal asimptotik barqaror” deb ifodalaydi. Xulosa boʻlimi esa ayni holatni “global asimptotik barqaror” deb tavsiflaydi.