Katika utafiti huu, mfano unaopendekezwa wa Ugonjwa wa Virusi vya Ebola ni mfano wa kompartmenti wenye ucheleweshaji unaochunguza mienendo ya mlipuko pamoja na athari za kumbukumbu zinazowakilishwa na derivative za fractional za Caputo, ucheleweshaji wa kipindi cha uatamiaji, maambukizi yenye ukomo yanayotegemea tabia ya binadamu, na desturi za kijamii na kitamaduni za mazishi. Mfano unatenganisha watu walio katika hatari ya kuambukizwa, watu walioambukizwa kimatibabu, watu waliowekwa karantini, waliopona, na makundi mawili ya vifo chini ya hali tofauti za mazishi. Lengo kuu la utafiti si kutabiri kwa usahihi mlipuko halisi wa Ebola; bali kuchunguza kinadharia na kwa njia za namba athari za mifumo hii kwa uthabiti wa kihisabati, kizingiti cha mlipuko, na mienendo ya mizunguko.

Katika mfano, nambari ya msingi ya uzalishaji wa maambukizi \(R_0\) ndiyo kipimo kikuu cha kizingiti. Chanzo kinaonyesha kwamba wakati \(R_0<1\), hali ya usawa isiyo na ugonjwa ni thabiti kiasimptoti katika eneo la karibu; na wakati \(R_0>1\), hali ya usawa ya endemiki hutokea. Kwa hali ya usawa ya endemiki, ucheleweshaji wa kipindi cha uatamiaji \(\tau\) unapofikia thamani fulani ya muhimu, bifurcation ya Hopf inaweza kutokea na kiwango cha maambukizi kinaweza kuonyesha mizunguko endelevu badala ya kukaribia hali ya usawa iliyo thabiti.

Simuleringi za namba pia zinaonyesha kwamba muda wa ucheleweshaji, mpangilio wa fractional \(q\), na \(p_1\), inayowakilisha uwiano wa vifo kabla ya ufuatiliaji, vinaweza kubadilisha kwa kiasi kikubwa mikunjo ya mlipuko. Hata hivyo, matokeo haya ni matokeo ya mfano; hayapaswi kufasiriwa kama uchunguzi wa kliniki au wa epidemiolojia wa uwanjani. Utafiti haukufanya ukadiriaji wa parameta kwa kutumia data halisi za mlipuko wala uthibitishaji huru wa utabiri.

Katika chanzo kuna kutokulingana kwa baadhi ya parameta na ukubwa kati ya sehemu za matokeo ya namba. Hasa, muhtasari na maandishi pamoja na vichwa vya Vielelezo 3–6 havitumii maelezo yale yale kwa baadhi ya thamani za \(\tau\), \(p_1\), na kilele cha maambukizi. Kwa hiyo, maelezo ya Verianla hayajumuishi tofauti hizi ili kuunda matokeo mapya “yaliyosahihishwa”.

Tatizo kuu linaloshughulikiwa na utafiti

Katika milipuko ya Ugonjwa wa Virusi vya Ebola, maambukizi huenda yasiweze kupunguzwa kuwa mawasiliano na watu walioambukizwa kwa wakati huo pekee. Kipindi cha uatamiaji ambacho mtu aliyeambukizwa hubeba ugonjwa lakini bado hachukuliwi kuwa anaambukiza, mabadiliko ya tabia ya watu kutokana na hofu na uelewa kuhusu ugonjwa, na baadhi ya desturi za jadi za mazishi zinazohusisha mgusano wa karibu na miili ya watu walioambukizwa vinaweza kubadilisha mienendo ya mlipuko.

Pengo kuu ambalo utafiti unaona katika fasihi ni kwamba, ingawa sehemu kubwa ya athari hizi imewahi kuigwa kila moja peke yake, athari ya kumbukumbu + ucheleweshaji wa muda + kufikia ukomo kwa tabia + njia za kijamii na kitamaduni za mazishi hazijazingatiwa kwa pamoja kwa kiwango cha kutosha ndani ya mfumo mmoja wa fractional.

“Kumbukumbu” hapa haimaanishi kumbukumbu ya kibiolojia ya mtu. Kihisabati, inamaanisha kwamba kasi ya sasa ya mabadiliko ya mfumo huathiriwa si tu na hali ya wakati huo, bali pia na jumla yenye uzani ya hali zilizopita. Hii ndiyo tofauti ya msingi kati ya derivative za fractional na derivative za kawaida za mpangilio wa kwanza.

Derivative ya fractional ya Caputo inawakilisha nini katika mfano huu wa Ebola?

Derivative ya fractional ya Caputo ni opereta ya derivative yenye kumbukumbu inayowakilisha kihisabati utegemezi wa mienendo ya sasa ya mlipuko katika mfano kwa hali zilizopita; wakati \(q=1\) inakaribia mfano wa kawaida wa mpangilio wa kwanza, \(0<q<1\) inaeleza mienendo ya fractional ambamo hali zilizopita hubebwa ndani ya mfano.

Ufafanuzi wa derivative ya fractional ya Caputo

Fomula huhesabu nini? Huhesabu derivative ya fractional ya Caputo ya mpangilio \(f(t)\) ya fungsi \(q\).

• \(q\): ni mpangilio wa derivative ya fractional. Katika mfano wa epidemiolojia wa utafiti, masafa ya \(0<q\le1\) hutumika.
• \(\Gamma(\cdot)\): ni fungsi ya gamma; ni upanuzi wa dhana ya factorial kwa nambari halisi na changamani.
• \(\xi\): ni kigezo saidizi cha muda kinachotumika wakati wa kujumlisha kwa integrali katika muda uliopita.
• \((t-\xi)^{q+1-n}\): ni sehemu ya kernel inayobainisha uzani ambao hali zilizopita huchangia katika derivative ya sasa.
• \(f^{(n)}(\xi)\): ni derivative ya kawaida ya \(n\) ya fungsi.

Kuwepo kwa integrali katika derivative ya fractional ni muhimu sana. Katika mlinganyo tofauti wa kawaida, mabadiliko mara nyingi hutegemea hali ya mfumo katika wakati huo. Hapa, kwa kuwa integrali huchanganua muda uliopita kutoka \(a\) hadi \(t\), mfumo hubeba historia yake kihisabati.

Kulingana na tafsiri ya utafiti, thamani ya \(q\) inapokaribia 1, athari ya kumbukumbu hupungua. Katika simuleringi za namba, imeonekana kwamba kukaribia kwa \(q\) hadi 1 kunaweza kuongeza thamani za vilele vya maambukizi na kubadilisha muda wa vilele. Matokeo haya yanatumika tu kwa mfano na parameta zilizotumika.

Makundi sita ya epidemiolojia katika mfano

Parameta kuu

Mfano mkuu wa Ebola wenye milinganyo sita

Katika chanzo, mfano (3.1) umetolewa katika umbo lifuatalo:

Mlinganyo wa kwanza unaeleza mabadiliko ya watu walio katika hatari ya kuambukizwa. \(A\) huongeza watu wapya; mawasiliano na watu walioambukizwa na miili yenye uwezo wa kuambukiza katika kundi \(D_1\) huondoa watu kutoka kundi la walio katika hatari; vifo vya asili pia husababisha upungufu wa \(\mu S_H\).

Mlinganyo wa pili unaeleza kutokea kwa maambukizi mapya ya kliniki. Njia zile zile mbili za maambukizi sasa ni vipengele chanya; kwa sababu maambukizi mapya yanayotoka katika kundi la walio katika hatari huingia katika kundi \(I_H\). \((\alpha+\mu)I_H\) huwakilisha watu wanaotoka katika kundi la walioambukizwa kutokana na mchakato wa ugonjwa au kifo cha asili.

Milinganyo ya \(D_1\), \(Q_H\), \(D_2\), na \(R_H\) hufuatilia mgawanyo wa watu walioambukizwa katika njia za kifo, ugunduzi-karantini, na kupona. Dhana moja muhimu ya chanzo ni kwamba mazishi yanayodhibitiwa katika kundi \(D_2\) hayasababishi maambukizi mapya.

Kwa nini kipengele cha maambukizi yenye ukomo kinatumika?

Muundo wa \(\beta S\times I\) au \(\beta S\times D_1\) katika sehemu ya juu unawakilisha kiasi kinachowezekana cha mawasiliano. \(1+\sigma S_H(t)\) katika sehemu ya chini huzuia mawasiliano kuongezeka bila kikomo kwa namna ya mstari kadiri idadi ya watu inavyoongezeka. Chanzo kinahusisha hili na athari ya kufikia ukomo inayoweza kutokana na uelewa, hofu, tabia ya kujilinda, fursa chache za mawasiliano, na hatua za afya ya umma.

Wakati \(\sigma\to0\), sehemu ya chini huwa takribani 1 na kufikia ukomo kwa tabia hudhoofika. Chanzo kinatafsiri hali hii kama mpaka wa uigaji ambapo tabia za kujilinda zina ufanisi mdogo.

Kwa nini mfano unaweza kupunguzwa hadi milinganyo mitatu?

Waandishi wanaeleza kwamba milinganyo ya \(S_H\), \(I_H\), na \(D_1\) haitegemei milinganyo ya \(Q_H\), \(D_2\), na \(R_H\). Kwa hiyo, kwa uchambuzi wa mienendo kuu na uthabiti, mfumo mdogo unaojumuisha milinganyo mitatu ya kwanza hutumika:

Upunguzaji huu haumaanishi kwamba makundi ya \(Q_H\), \(D_2\), na \(R_H\) hayana umuhimu wa kibiolojia. Unamaanisha tu kwamba makundi haya matatu hayatoi mrejesho na kuingia katika upande wa kulia wa milinganyo mitatu ya kwanza ya tofauti.

Kwa nini uchanya na ukomo hukaguliwa?

Mfano wa epidemiolojia haupaswi kutoa idadi hasi ya watu. Kwa hiyo, waandishi wanaonyesha kwamba mfano unapoanza na masharti ya awali yaliyo chanya, masuluhisho yake hayaingii katika eneo hasi na hubaki yamewekewa ukomo.

Usemi huu unafafanua nafasi ya hali inayoruhusiwa kibiolojia ya mfumo uliopunguzwa. Kiwango cha juu cha \(A/\mu\) kinatokana na kipimo cha usawa kati ya kuingia kwa watu katika idadi na vifo vya asili.

\(E_q\) hapa ni fungsi ya Mittag–Leffler. Katika milinganyo tofauti ya fractional, hufanya kazi inayofanana na ile ya fungsi ya exponential ya kawaida. Kutokuwa sawa huku hutumika kuonyesha kwamba ikiwa thamani ya awali iko katika eneo linalofaa, kigezo cha jumla hakikui bila udhibiti nje ya mpaka wa \(A/\mu\).

Nambari ya msingi ya uzalishaji wa maambukizi R0 inatafsiriwaje katika mfano huu?

\(R_0\) ni parameta ya kizingiti inayowakilisha wastani wa idadi ya maambukizi mapya ambayo mtu mmoja aliyeambukizwa anaweza kuzalisha katika idadi ya watu walio katika hatari kabisa, katika kipindi chake cha kuambukiza, kupitia njia za moja kwa moja na zisizo za moja kwa moja zinazohusiana na mazishi ya jadi; \(R_0<1\) ni mpaka muhimu wa kufifia kwa maambukizi, na \(R_0>1\) ni mpaka muhimu kwa uwezekano wa kuwepo kwa hali ya usawa ya endemiki katika mfano.

Fomula hii ina michango miwili mikuu.

1. Mchango wa moja kwa moja kutoka kwa mtu aliyeambukizwa: kipengele cha kwanza chenye \(\beta_1\).
2. Mchango unaotokana na kundi la mazishi ya jadi: kipengele cha pili chenye \(\beta_2\), \(p_1\), na \(\epsilon_1\).

\(\beta_1\) au \(\beta_2\) inapoongezeka huku parameta nyingine zikiwa thabiti, \(R_0\) huongezeka. Kuwapo kwa \(\sigma\) katika sehemu ya chini kunaonyesha kwamba athari yenye nguvu zaidi ya kufikia ukomo/tabia hutoa mchango wa kihisabati katika mwelekeo wa kupunguza kizingiti cha maambukizi. Kuwapo kwa \(\epsilon_1\) katika sehemu ya chini ya kipengele cha pili kunaonyesha kwamba muda unaotumika katika kundi \(D_1\) ni muhimu katika njia ya maambukizi inayotokana na maiti.

Hali ya usawa isiyo na ugonjwa na ya endemiki

Hali ya usawa isiyo na ugonjwa:

Katika nukta hii kuna idadi ya watu walio katika hatari, lakini \(I_H\) na \(D_1\) ni sifuri.

Katika chanzo, wakati \(R_0>1\), hali chanya ya usawa ya endemiki \(\mathcal{E}_1=(S_H^\ast,I_H^\ast,D_1^\ast)\) hufafanuliwa. Mlinganyo (3.3) katika chanzo una muundo ufuatao:

Kuonekana kwa kipengele \((R_0-1)\) katika usemi wa \(I_H^\ast\) na \(D_1^\ast\) kunaweka wazi mantiki ya kizingiti: kwa hali ya usawa ya endemiki, mfano unahitaji sharti la \(R_0>1\).

Uthabiti wa karibu na mlinganyo wa tabia

Ili kuchunguza uthabiti wa nukta za usawa, mizizi ya tabia ya mfumo uliowekwa katika umbo la mstari huchunguzwa. Kwa hali ya usawa isiyo na ugonjwa, chanzo kinatoa muundo wa tabia ufuatao:

Ucheleweshaji unapokuwapo, vipengele vya \(e^{-s\tau}\) huonekana ndani ya koeffishenti. Kipengele hiki cha exponential cha ucheleweshaji huondoa mlinganyo wa tabia kutoka katika umbo la polynomial ya kawaida na kuufanya kuwa na muundo wa transcendental. Kwa hiyo, ucheleweshaji unaweza kubadilisha mahali pa mizizi katika tambarare changamani na hivyo kubadilisha uthabiti.

Dokezo la kihisabati la kuzingatiwa katika chanzo: Kati ya usawa mbili zilizoandikwa mfululizo katika usemi wa \(a_0\) chini ya Mlinganyo (3.9), hatua ya wazi ya upangaji upya kwa upande wa kipimo/dimension haijaonyeshwa. Verianla haitoi upya usemi huu badala ya chanzo ili “kuusahihisha”; katika tafsiri ya uthabiti, kizingiti cha \(R_0\) na teorema zilizotolewa na waandishi ndizo zinazotumika.

Kwa nini ucheleweshaji unaweza kusababisha bifurcation ya Hopf?

Ucheleweshaji \(\tau\), kwa kuunda vizidishi vya \(e^{-s\tau}\) katika mlinganyo wa tabia, unaweza kuruhusu baadhi ya eigenvalue kuvuka mhimili wa kufikirika katika tambarare changamani; uvukaji huu unapotokea katika thamani muhimu ya \(\tau^\ast\), hali thabiti ya usawa inaweza kupoteza uthabiti na kubadilika kuwa mizunguko endelevu, na chanzo kinachambua hili kama bifurcation ya Hopf.

Katika uchambuzi, \(s=i\omega\) huchukuliwa na mlinganyo wa tabia hugawanywa katika sehemu halisi na za kufikirika. Kisha thamani teule za ucheleweshaji huonyeshwa kama:

na ucheleweshaji muhimu hufafanuliwa kama:

.

\(\omega\) hapa ni thamani chanya inayohusiana na masafa ya angular ya tabia ya mzunguko. \(G_1(\omega)\) na \(G_2(\omega)\) ni fungi zinazotokana na sehemu halisi na za kufikirika za mlinganyo wa tabia. Lengo ni kupata ucheleweshaji mdogo zaidi ambapo jozi ya mizizi changamani inafikia mhimili wa kufikirika.

Katika chanzo, Teorema 3.3 inasema kwamba chini ya \(q\in(0,1]\), \(R_0>1\), \(\tau>0\), na sharti lililotolewa la transversality, hali ya usawa ya endemiki ni thabiti kiasimptoti katika masafa \(0\le\tau<\tau^\ast\), na bifurcation ya Hopf hutokea katika \(\tau=\tau^\ast\).

Jukumu la kigezo cha Routh–Hurwitz

Katika hali isiyo na ucheleweshaji, \(\tau=0\) huchukuliwa na badiliko la \(s^q=\lambda\) hufanywa. Hivyo mlinganyo wa tabia unaweza kupunguzwa hadi umbo la polynomial ya kawaida. Kwa hali ya usawa ya endemiki, chanzo hupata:

na hutumia masharti ya

ya Routh–Hurwitz. Masharti haya yanalenga kuhakikisha sehemu halisi za mizizi ya tabia zinabaki hasi na hivyo kuhakikisha uthabiti wa karibu wa kiasimptoti.

Mbinu ya Lyapunov na uthabiti wa kimataifa wa endemiki

Kwa \(R_0>1\), chanzo huunda functional ya Lyapunov ili kuchunguza uthabiti wa kimataifa wa kiasimptoti wa hali ya usawa ya endemiki chini ya masharti fulani ya ziada:

Sehemu ya kwanza:

Miundo sawa ya logarithm huundwa pia kwa \(I_H\) na \(D_1\); integrali za fractional za Riemann–Liouville huongezwa ili kuzingatia hali zilizocheleweshwa.

Zana kuu ya kihisabati ya uthibitisho ni:

. Usawa hutimia tu wakati \(x=1\). Chini ya masharti yanayofaa ya monotonicity ya \(H_1-H_4\), waandishi hufikia \(D^qV\le0\) na kupata matokeo ya uthabiti wa kimataifa wa kiasimptoti kwa hali ya usawa ya endemiki.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Masharti ya awali kwa suluhisho la namba

Katika simuleringi za namba, jamii ndogo ilidhaniwa na thamani za awali zilichukuliwa kama:

.

Mbinu ya Adams–Bashforth–Moulton predictor–corrector

Kwa kuwa mfumo tofauti wa fractional wenye ucheleweshaji hauwezi kutatuliwa moja kwa moja katika umbo funge, waandishi hutumia mbinu ya Adams–Bashforth–Moulton (ABM) predictor–corrector.

Tatizo la jumla la thamani ya awali ya fractional ni:

Hapa \(y(t)\) ni vekta ya hali, \(f\) ni upande wa kulia wa mfumo, na \(\psi(t)\) ni fungsi ya historia ya awali katika masafa ya ucheleweshaji.

Chanzo hutumia sharti la Lipschitz kwa suluhisho la kipekee:

Kisha mlinganyo tofauti wa fractional hubadilishwa kuwa mlinganyo sawia wa integrali wa Volterra:

Badiliko hili ni muhimu; kwa sababu algoriti ya ABM huhesabu athari ya kumbukumbu ya fractional kupitia uzani wa integrali.

Kwa gridi ya muda, chanzo hutumia ukubwa wa hatua \(h=\tau/m\) na kudiskretisha suluhisho kama \(y_h(t_j)\approx y(t_j)\).

Hatua ya Predictor

Predictor hutoa makadirio ya kwanza ya suluhisho katika nukta inayofuata ya muda.

Hatua ya Corrector

Kisha thamani iliyosahihishwa huhesabiwa kwa kutumia quadrature ya trapezoidal product. Muundo mkuu wa corrector katika chanzo ni:

. Makadirio yaliyopatikana kwa Predictor hutumika badala ya \(y_h(t_{n+1})\) isiyojulikana katika upande wa kulia ili kukamilisha hatua ya corrector.

Seti kuu ya parameta iliyotumika katika simuleringi

Chanzo huchagua parameta za \(\beta_1\), \(\beta_2\), na \(p_1\) kutoka masafa ya \((0,1)\) kulingana na simuleringi husika. Sehemu muhimu ya parameta imechukuliwa kutoka utafiti wa awali; utafiti huu hauzikadirii upya kwa data mpya za uwanjani.

R0 < 1: kukaribia hali ya usawa isiyo na ugonjwa

Katika senario ya Kielelezo 2, kwa kuchagua \(\tau=0\), \(\beta_1=0.00985\), na \(\beta_2=0.0075\), \(R_0=0.5717\) ilipatikana. \(q\) ilibadilishwa kutoka 0.6 hadi 1 kwa hatua za 0.1. Simuleringi zinaonyesha kwamba njia za suluhisho hukaribia hali ya usawa isiyo na ugonjwa.

Maana ya matokeo haya iko ndani ya mfano: kwa \(R_0<1\), maambukizi hayawezi kudumu katika seti iliyochaguliwa ya parameta. Matokeo haya si utabiri wa moja kwa moja kwamba “Ebola itatoweka” katika jamii halisi; \(R_0\) halisi na parameta nyingine lazima zipimwe kando.

R0 > 1: hali ya usawa ya endemiki

Ingawa maandishi ya chanzo yanasema \(q=0.8\), \(\tau=0\) kwa jaribio hili, kichwa cha Kielelezo 3 kinaandika \(\tau=1\). Kichwa cha kielelezo pia kinatoa \(\beta_1=0.00985\), \(\beta_2=0.00755\), \(\sigma=0.09\), na \(R_0=1.33\). Kwa sababu ya kutokulingana huku ndani ya chanzo, thamani ya \(\tau\) haikuchaguliwa na kusahihishwa na Verianla.

Ujumbe wa kisayansi unaoshirikishwa ni kwamba katika hali ya \(R_0>1\) na senario husika yenye ucheleweshaji mdogo, njia za mfano zinaweza kukaribia hali ya usawa ya endemiki na zisionyeshe mizunguko mikubwa endelevu ya muda mrefu.

Ucheleweshaji muhimu na mizunguko inayoendelea

Maandishi ya matokeo ya namba yanaeleza kwamba chini ya \(q=0.8\) na \(R_0>1\), simuleringi ya takribani siku 1000 ilifanywa kwa \(\tau=2.5\). Hata hivyo, kichwa cha Kielelezo 4 kwenye ukurasa huo huo kinaandika \(\tau=2\). Kulingana na maandishi, idadi ya walioambukizwa ilipanda kutoka visa 300 vya awali hadi takribani 45.873 ndani ya takribani siku 47, kisha ikashuka hadi takribani 650, na mizunguko inayoendelea kati ya takribani 600–700 ikatokea.

Waandishi wanahusisha tabia hii na kuvuka kizingiti muhimu cha ucheleweshaji na bifurcation ya Hopf. Hata hivyo, kwa sababu ya kutokulingana kwa kichwa/maandishi ndani ya chanzo kati ya \(\tau=2\) na \(\tau=2.5\), matokeo haya ya namba hayapaswi kuandikwa upya kama “kwa hakika ni matokeo ya \(\tau=2.5\) pekee”.

Ulinganisho wa τ = 2.5 na τ = 3

Kielelezo 5 kinalinganisha senario za \(q=0.8\) na \(\beta_1=0.00985\) chini ya \(\beta_2=0.00755\), \(\sigma=0.09\), \(R_0=1.33\), \(\tau=2.5\), na \(\tau=3.0\).

Kulingana na maandishi ya chanzo, katika hali ya \(\tau=3.0\), senario inayoanza na watu 300 walioambukizwa inafikia takribani 101.173 walioambukizwa karibu siku ya 61. Kisha inashuka hadi takribani 960 na katika mizunguko inayoendelea hutokea vilele vya takribani 65.845.

Waandishi wanasisitiza katika ulinganisho huu kwamba ongezeko la ucheleweshaji haliwezi kuelezwa tu kama kuongeza ukubwa wa kilele; hasa, huchelewesha muda wa kilele cha mlipuko.

Athari ya p1 inayowakilisha desturi za kijamii na kitamaduni za mazishi

\(p_1\) inawakilisha uwiano wa watu walioambukizwa wanaoingia katika njia ya \(D_1\) kwa kifo kinachohusiana na ugonjwa kabla ya kugunduliwa au kupona. Kwa mtazamo wa mfano, kuongezeka kwa \(p_1\) kunaweza kuhamisha watu wengi zaidi kwenda katika kundi la mazishi ya jadi, na kwa kuwa kundi hili limeunganishwa kupitia \(\beta_2\) na utaratibu wa kuzalisha maambukizi mapya, linaweza kuimarisha mienendo ya maambukizi.

Katika legendi ya grafu ya Kielelezo 6, \(p_1=0.1\) na \(p_1=0.25\) zinaonekana, huku kichwa cha kielelezo pia kikiwa na usemi wa \(p_1=0.35\) kwa \(R_0=1.3614\). Muhtasari nao unaripoti ongezeko la %35 katika ukubwa wa mlipuko kwa \(p_1>0.4\). Mawasilisho haya matatu tofauti katika chanzo hayajapunguzwa kuwa thamani moja.

Hitimisho la pamoja linalotegemewa ni hili: katika mfano, uwiano wa juu wa vifo visivyodhibitiwa/mapema na njia inayohusiana ya mazishi yenye mgusano huhusishwa na mawimbi makubwa zaidi au yaliyochelewa zaidi ya mlipuko. Hili halithibitishi kwamba katika jamii fulani halisi desturi za jadi za mazishi zitasababisha ongezeko hilo hilo la kiasi.

Athari ya mpangilio wa fractional q

Katika Kielelezo 7, \(\tau=3\) iliwekwa thabiti huku \(q\) ikibadilishwa. Grafu zinalinganisha senario za \(q=0.8\), \(q=0.9\), na \(q=1.0\). Kadiri \(q\) inavyokaribia 1, vilele vya maambukizi vinaonekana kuongezeka na muda wao kubadilika.

Chanzo kinahusisha hili na kudhoofika kwa athari ya kumbukumbu. Muhtasari unaripoti kwamba kukaribia kwa \(q\) hadi 1 husababisha takribani ongezeko la %20 katika viwango vya kilele cha maambukizi; kwa kuwa nukta ghafi za namba za grafu hazijatolewa, Verianla haikokotoi upya asilimia hii.

Kusoma pamoja senario za namba zilizoripotiwa katika chanzo

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Kwamba mfano wa Ebola wa fractional wenye ucheleweshaji unaweza kuundwa kihisabati.
• Kwamba masuluhisho ya mfano yanaweza kubaki chanya na yenye ukomo chini ya masharti ya awali yanayofaa.
• Kwamba \(R_0\) ndiyo parameta kuu ya kizingiti.
• Uthabiti wa karibu wa kiasimptoti wa hali ya usawa isiyo na ugonjwa kwa \(R_0<1\) ndani ya wigo wa Teorema 3.2 ya chanzo.
• Uwepo wa hali chanya ya usawa ya endemiki kwa \(R_0>1\).
• Kwamba chini ya masharti yanayofaa, ucheleweshaji kuvuka thamani muhimu unaweza kusababisha bifurcation ya Hopf na mienendo ya mizunguko.
• Kwamba mabadiliko ya \(p_1\), \(q\), na \(\tau\) ndani ya mfano hubadilisha njia za epidemiolojia.
• Uthabiti wa kimataifa wa kiasimptoti wa hali ya usawa ya endemiki kupitia mbinu ya Lyapunov chini ya masharti fulani ya \(H_1-H_4\).

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono

• Mfano huu hautabiri kwa njia iliyothibitishwa idadi ya visa vya Ebola vya baadaye katika nchi halisi.
• 101.173, 45.873, au thamani nyingine za simuleringi si idadi ya visa vilivyoonekana katika mlipuko halisi.
• Kizingiti cha \(\tau^\ast\) katika mfano si thabiti ya kibiolojia ya ulimwengu wote kwa kila mlipuko wa Ebola.
• Mfano hauonyeshi kwamba desturi za kitamaduni za mazishi zina athari sawa ya kiasi katika jamii zote.
• Utafiti haujaribu ufanisi wa dawa yoyote, chanjo, au matibabu ya kliniki.
• Matokeo ya simuleringi si utabiri wa kliniki au afya ya umma uliokalibishwa kwa data halisi za mlipuko.

Mapungufu ya mfano na tafiti zijazo

Waandishi wanataja kama kizuizi muhimu cha kwanza kwamba parameta zilichukuliwa kutoka fasihi iliyopo kwa sababu ya uhaba wa data halisi za mlipuko. Kalibresheni ya kiempiria kwa kutumia data halisi za milipuko inaweza kuongeza utumikaji wa mfano kwa milipuko mahususi.

Pili, mfano haujumuishi wazi utofauti wa kijiografia na uhamaji wa watu. Kwa siku zijazo, inapendekezwa kuongezwa kwa tofauti za kijiografia, mienendo ya safari, na maambukizi kati ya maeneo.

Tatu, mfano ni wa kideterministi. Waandishi wanapendekeza kuongezwa kwa vipengele vya stochastic katika siku zijazo ili kuwakilisha nasibu inayotokea katika tabia, mazingira, na idadi ndogo za watu.

Mapungufu haya ni muhimu hasa: mfano ulio tata zaidi kihisabati haumaanishi moja kwa moja kwamba utatabiri milipuko halisi kwa usahihi zaidi. Kwa usahihi wa ulimwengu halisi, kalibresheni ya parameta, uthibitishaji kwa data huru, na tathmini inayolingana na muktadha vinahitajika.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Utafiti asilia: A delayed fractional-order model of Ebola virus disease with human behavioral dynamics

Waandishi: Eva Lusekelo; Mlyashimbi Helikumi; Salamida Daudi; Steady Mushayabasa.

Mwandishi wa mawasiliano: Steady Mushayabasa.

Mchango sawa: Hakuna taarifa ya uandishi wa kwanza kwa usawa au mchango sawa iliyobainishwa katika chanzo.

Taasisi: Department of Mathematics and Statistics, College of Natural and Mathematical Sciences, University of Dodoma, Dodoma, Tanzania; Mbeya University of Science and Technology, Department of Mathematics and Statistics, College of Science and Technical Education, Mbeya, Tanzania; Department of Education and Mathematics, National Institute of Transport, Dar-es-Salaam, Tanzania; Department of Mathematics and Computational Sciences, University of Zimbabwe, Mount Pleasant, Harare, Zimbabwe.

Jarida: Results in Control and Optimization.

Mchapishaji: Elsevier B.V.

Jukwaa: ScienceDirect.

Juzuu / nambari ya makala: Volume 23 (2026), Article 100738.

DOI: 10.1016/j.rico.2026.100738.

Tarehe ya kupokelewa: 14 Machi 2026.

Tarehe ya marekebisho: 7 Mei 2026.

Tarehe ya kukubaliwa: 20 Mei 2026.

Tarehe ya kuchapishwa mtandaoni: 28 Mei 2026.

Aina ya chanzo: Makala ya jarida la kisayansi lililopitiwa na wataalamu; utafiti wa epidemiolojia ya kihisabati ya kinadharia na simuleringi za namba.

Leseni: Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).

Mbinu ya kisayansi: Milinganyo tofauti yenye ucheleweshaji ya fractional ya Caputo; fungsi ya incidence yenye ukomo; uchambuzi wa uchanya na ukomo; hali ya usawa isiyo na ugonjwa na ya endemiki; nambari ya msingi ya uzalishaji wa maambukizi; mlinganyo wa tabia na uchambuzi wa eigenvalue; kigezo cha Routh–Hurwitz; bifurcation ya Hopf; functional ya Lyapunov; suluhisho la namba la Adams–Bashforth–Moulton predictor–corrector.

Upatikanaji wa data: Chanzo kinaeleza wazi kwamba data hazikutumika katika utafiti. Matokeo ya namba yalitolewa kwa kutumia mfano wa kihisabati na parameta zilizochukuliwa kutoka fasihi.

Ufadhili: Waandishi wanaeleza kwamba utafiti haukupokea ruzuku maalum kutoka shirika lolote la ufadhili la umma, kibiashara, au lisilo la faida.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wanatangaza kwamba hakuna maslahi ya kifedha yanayojulikana au uhusiano wa kibinafsi unaoweza kuathiri utafiti.

Taarifa kuhusu akili bandia: Waandishi wanaeleza kwamba walitumia akili bandia wakati wa kuandaa kazi ili kuboresha lugha na usomaji, kisha wakapitia na kuhariri maudhui na wanachukua wajibu wote wa maudhui ya chapisho.

CRediT / michango ya waandishi: Hakuna CRediT authorship contribution statement tofauti iliyobainishwa katika chanzo; kwa hiyo majukumu ya waandishi hayajakisiwa na Verianla.

Kutokulingana muhimu kwa namba ndani ya chanzo: Muhtasari, vichwa vya Vielelezo 3–6, na aya husika za matokeo hazina thamani sawa kwa baadhi ya \(\tau\), \(p_1\), na vilele vya maambukizi. Hasa, kwa Kielelezo 3 maandishi yanatoa \(\tau=0\), huku kichwa cha kielelezo kikitoa \(\tau=1\); kwa Kielelezo 4 maandishi yanatoa \(\tau=2.5\), huku kichwa cha kielelezo kikitoa \(\tau=2\). Kauli ya muhtasari ya “kutoka 1200 hadi zaidi ya 10.000” pia hailingani moja kwa moja na baadhi ya thamani kubwa zaidi za kilele katika maandishi/vielelezo vikuu. Tofauti hizi hazijasahihishwa kimya kimya.

Mpaka wa ndani ya chanzo kuhusu kauli ya uthabiti: Teorema 3.2 inaeleza hali ya usawa isiyo na ugonjwa kwa \(R_0<1\) kuwa “thabiti kiasimptoti katika eneo la karibu”. Sehemu ya hitimisho, hata hivyo, inaieleza hali hiyo hiyo kuwa “thabiti kiasimptoti kimataifa”.