Mtandao wa neva unaoongozwa na fizikia wenye upachikaji wa vipengele vya anga na muda (Spatiotemporal Feature Embedding Physics-Informed Neural Network, STFE-PINN) ni mbinu ya utatuzi wa kinumeriki inayoboresha muundo wa kawaida wa PINN kwa vipengele viwili vinavyokamilishana ili kuweza kujifunza mabadiliko makali ya anga yanayotokea hasa kwenye miingiliano myembamba ya awamu katika mlinganyo wa Allen–Cahn. Viwianishi vya anga huchakatwa kwa kutumia kazi za msingi za radial za Gauss (RBF) ambazo vituo na vigezo vya umbo vinaweza kujifunzwa; hali ya mwanzo \(u_0(x)\) nayo haiachwi tu kama kizuizi katika kazi ya hasara, bali huongezwa moja kwa moja kwenye ingizo la mtandao. Kwa vipindi virefu vya muda, eneo la muda pia hugawanywa katika vipindi vidogo na mitandao tofauti ya STFE-PINN hufunzwa kwa mfululizo.

Katika ulinganisho wa msingi wa mwelekeo mmoja, hitilafu ya jamaa ya \(L^2\) ya STFE-PINN iliripotiwa kuwa 0,0031 na ilikuwa ndogo kuliko ya aina zote za PINN zilizolinganishwa. Katika jaribio la ablation la wimbi linalosafiri, hitilafu ya PINN ya kawaida ilikuwa \(1,48\times10^{-2}\), huku upachikaji wa RBF pekee ukitoa \(4,54\times10^{-4}\), upachikaji wa hali ya mwanzo pekee \(3,57\times10^{-3}\), na STFE-PINN kamili iliyotumia upachikaji wote wawili kwa pamoja ikitoa hitilafu ya \(6,30\times10^{-5}\). Katika jaribio la kusinyaa kwa tone la pande mbili, hitilafu za nukta zilibaki takribani katika mpangilio wa \(10^{-3}\); ilionekana kwamba vituo vya RBF vilijikusanya karibu na kiolesura kinachosogea. Katika jaribio la pande tatu, kwa kuwa kukokotoa suluhisho rejea lenye azimio kubwa kulikuwa na gharama kubwa sana ya kihesabu, uthibitishaji ulifanywa hasa kupitia tabia ya hasara na mageuzi ya kimaelezo ya kiolesura cha duara kilichotabiriwa.

Matokeo haya yanaonyesha kuwa STFE-PINN inaweza kuboresha utatuzi wa miingiliano mikali ya awamu na uboreshaji wa muda mrefu katika benchmark za Allen–Cahn zilizojaribiwa katika utafiti. Hata hivyo, utafiti huu si jaribio halisi la kimwili la nyenzo; matokeo yanahusu benchmark za PDE za kinumeriki na hayawezi kuhamishwa moja kwa moja kwa milinganyo mingine ya sehemu.

STFE-PINN ni Nini na Inatofautianaje na PINN ya Kawaida?

STFE-PINN ni usanifu wa PINN unaoongeza vipengele vya anga vya RBF vinavyoweza kujifunzwa pamoja na kipengele cha hali ya mwanzo kwenye ingizo la PINN ya kawaida linalotumia viwianishi vya anga na muda, na inapohitajika hugawanya muda katika vipindi vidogo vinavyofunzwa kwa kujitegemea; lengo ni kuwakilisha kwa usahihi zaidi mabadiliko ya masafa ya juu na makali ambayo PINN ya kawaida hupata ugumu kuyawakilisha, hasa katika miingiliano myembamba ya awamu ya Allen–Cahn.

Mlinganyo wa Allen–Cahn unaiga nini?

Mlinganyo wa Allen–Cahn ni mlinganyo usio wa mstari wa diferensheli sehemu unaoelezea mageuzi ya miingiliano iliyotandaa inayotenganisha awamu tofauti katika modeli za uwanja wa awamu kadiri muda unavyopita. Umbo la jumla lililotumiwa katika makala ni:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu(u)\left(\varepsilon^2\Delta u-f(u)\right), \qquad (x,t)\in\Omega\times(0,T]. \tag{1} \]

Mlinganyo (1) unakokotoa nini? Unakokotoa kasi ya mabadiliko ya kigezo cha uwanja wa awamu \(u\) kwa muda. \(u\) huwakilisha hali ya awamu katika mfumo; \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) ni eneo la anga; \(t\) ni muda; \(\mu(u)\) ni kazi ya uhamaji; \(\varepsilon>0\) ni kigezo kidogo kinachodhibiti upana wa kiolesura; \(\Delta u\) huwakilisha usambazaji wa anga kupitia opereta ya Laplace, na \(f(u)\) huwakilisha neno lisilo la mstari la kuendesha linalotokana na potenshali ya nishati huru.

Kadiri \(\varepsilon\) inavyopungua, unene bainifu wa kiolesura hushuka hadi kiwango cha \(O(\varepsilon)\). Hili ni muhimu kwa upande wa kinumeriki: mabadiliko makali zaidi ya \(u\) hutokea katika eneo lilelile la anga, na huwa vigumu zaidi kwa mbinu ya utatuzi kuwakilisha vipengele vya anga vya masafa ya juu.

Mlinganyo (2): Hali ya mwanzo

\[ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\Omega. \tag{2} \]

\(u_0(x)\) ni mgawanyo wa awamu wa mwanzo wa mfumo katika muda \(t=0\). PINN ya kawaida hutekeleza hali hii kupitia kazi ya hasara. Mojawapo ya ubunifu wa STFE-PINN ni kwamba taarifa ileile ya \(u_0(x)\) pia hubebwa kama kipengele cha ingizo la mtandao.

Mlinganyo (3): Potenshali ya nishati huru yenye visima viwili

\[ F(u)=\frac{1}{4}(u^2-1)^2, \qquad f(u)=u^3-u. \tag{3} \]

\(F(u)\) ni potenshali yenye visima viwili inayounda minima karibu na hali mbili thabiti. \(f(u)=u^3-u\), inayopatikana kutokana na derivatibu yake, ni neno la mwitikio lisilo la mstari katika mlinganyo wa Allen–Cahn. Hali za awamu karibu na \(u=\pm1\) zinahusishwa na visima viwili vya potenshali hii.

Mlinganyo (4): Jumla ya nishati huru

\[ E(u)= \int_{\Omega} \left( \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla u|^2+F(u) \right)\,dx. \tag{4} \]

Neno la kwanza hufanya mabadiliko ya haraka ya uwanja wa awamu katika anga kuwa na gharama ya nishati; neno la pili huwakilisha mchango wa nishati ya potenshali wa \(u\). \(|\nabla u|^2\) huwa kubwa hasa kwenye miingiliano ya awamu. Kwa hivyo, funsheni ya nishati hutathmini kwa pamoja jiometri ya kiolesura na hali ya awamu ya eneo husika.

Mlinganyo (5): Sheria ya kupungua kwa nishati

\[ \frac{dE(u(t))}{dt}\leq0. \tag{5} \]

Ukosefu huu wa usawa unaonyesha tabia ya mtiririko wa gradient ya mienendo ya Allen–Cahn: mfumo haupaswi kuongeza jumla ya nishati huru kadiri muda unavyopita. Katika moja ya majaribio ya baadaye ya kinumeriki, makala inajaribu pia kama suluhisho la STFE-PINN linahifadhi sifa hii.

Muundo wa kihisabati wa PINN ya kawaida

Waandishi kwanza hufafanua tatizo la jumla la PDE kwa namna ifuatayo:

\[ \begin{cases} \mathcal{L}u(x,t)=f(x,t), &(x,t)\in\Omega\times[0,T],\\ \mathcal{B}u(x,t)=g(x,t), &(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T],\\ u(x,0)=u_0(x), &x\in\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

\(\mathcal L\) ni opereta ya diferensheli, \(\mathcal B\) ni opereta ya hali ya mpaka, \(f\) ni neno la chanzo linalojulikana la PDE, \(g\) ni kizuizi kwenye mpaka na \(u_0\) ni hali ya mwanzo. Kazi ya PINN ni kujifunza funsheni ya takriban \(u(x,t)\) inayokidhi masharti haya matatu kwa pamoja kwa kiwango bora iwezekanavyo.

Mlinganyo (7): PINN iliyounganishwa kikamilifu

\[ \tilde u(x,t;\theta)= W^{[L]} \sigma\!\left( W^{[L-1]} \sigma\!\left( \cdots \sigma\!\left( W^{[0]}[x|t]+b^{[0]} \right) \cdots \right) +b^{[L-1]} \right) +b^{[L]}. \tag{7} \]

\([x|t]\) ni uunganishaji wa viwianishi vya anga na muda kwa mwelekeo wa safu wima. \(W^{[l]}\) ni matriki za uzito, \(b^{[l]}\) ni vekta za bias, \(\sigma\) ni kazi isiyo ya mstari ya uanzishaji, na \(\theta\) ni vigezo vyote vya mtandao vinavyoweza kujifunzwa. Tokeo la mtandao \(\tilde u\) ni ukadiriaji wa suluhisho halisi la PDE kwa kutumia mtandao wa neva.

Mlinganyo (8): Kazi ya hasara ya PINN

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal{L}\tilde u(x_r^i,t_r^i;\theta) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal{B}\tilde u(x_b^j,t_b^j;\theta) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} \left( \tilde u(x_0^k,0;\theta)-u_0(x_0^k) \right)^2. \end{aligned} \tag{8} \]

Neno la kwanza hupima hitilafu ya mabaki ya PDE, la pili hitilafu ya hali ya mpaka, na la tatu hitilafu ya hali ya mwanzo. \(N_r\), \(N_b\) na \(N_0\) ni idadi ya sampuli za eneo la ndani, mpaka na mwanzo kwa mtiririko huo. \(\lambda_b\) na \(\lambda_0\) hudhibiti uzito wa jamaa wa vizuizi hivi vya kimwili ndani ya kazi ya hasara. Mtandao hufunzwa kwa optimizer ya Adam ili kupunguza jumla ya hasara.

Mlinganyo (9): Kipengele cha anga cha RBF kinachoweza kujifunzwa

\[ \Phi(x;w,c,d) = \sum_{i=1}^{N} w_i\, \phi\!\left( \|x-c_i\|;d_i \right). \tag{9} \]

\(N\) ni idadi ya RBF; \(c_i\) huonyesha kituo cha RBF, \(d_i\) kigezo cha umbo, na \(w_i\) uzito. Utafiti hutumia kazi ya msingi ya radial ya Gauss. Kwa kuwa thamani ya kazi ya Gauss hupungua haraka kadiri umbali kutoka kituoni unavyoongezeka, RBF zinaweza kuwakilisha miundo ya anga ya eneo husika. Jambo muhimu ni kwamba vituo, vigezo vya umbo na uzito si thabiti; hujifunzwa wakati wa mafunzo.

Kipengele hiki ni muhimu hasa kwa miingiliano mikali ya awamu. Kwa kuwa vigezo vya RBF vinaweza kujikusanya katika maeneo yanayofaa ya anga wakati wa mafunzo, mtandao unaweza kueleza mabadiliko ya haraka ya anga ambayo ingizo la kawaida la viwianishi hupata ugumu kuyawakilisha, kupitia nafasi ya ziada ya vipengele.

Mlinganyo (10): Kuongeza kipengele cha RBF kwenye PINN

\[ \tilde u(x,t,\Phi;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)]; \theta \right). \tag{10} \]

PINN ya kawaida hupokea tu taarifa ya \([x|t]\), ilhali muundo huu hutumia vekta \([x|t|\Phi]\). Kwa njia hii, mtandao unaweza kufikia kiratibu kilekile cha kimwili kwa njia mbili: moja kwa moja kama kiratibu na kupitia uwakilishi wa anga unaoundwa na mtandao wa RBF.

Mlinganyo (11): Kupachika hali ya mwanzo pia kama kipengele

\[ \tilde u(x,t,\Phi,u_0;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)|u_0(x)]; \theta \right). \tag{11} \]

Katika hatua hii hali ya mwanzo si tena neno la adhabu pekee katika Mlinganyo (8). \(u_0(x)\) ni sehemu ya ingizo la mtandao katika nukta zote za muda. Lengo la waandishi ni kufanya taarifa kuhusu muundo wa mwanzo ipatikane moja kwa moja kwa mtandao kama kipengele katika mchakato wote wa mafunzo.

Ugawaji wa eneo la muda

Katika kutatua kipindi kirefu cha muda kwa mtandao mmoja, ukubwa wa gradient katika maeneo tofauti ya muda unaweza kutokuwa na uwiano na hitilafu inaweza kujikusanya. Kwa hiyo, utafiti hugawanya kipindi \([0,T]\) katika sehemu \(N_T\) zilizo sawa:

\[ \Delta t=\frac{T}{N_T}. \]

Kila kipindi kidogo hupewa STFE-PINN tofauti yenye usanifu uleule lakini vigezo vinavyoweza kujifunzwa kwa kujitegemea. Mtandao wa kwanza hufunzwa hadi kufikia muunganiko na kisha vigezo vyake hugandishwa. Mtandao unaofuata hutumia suluhisho la mtandao uliotangulia katika muda wake wa mwisho kama taarifa ya mwanzo.

Mlinganyo (12) na (13): Mwendelezo kati ya vipindi vidogo

Milinganyo iliyochapishwa katika chanzo ni kama ifuatavyo:

\[ \tilde u^{(k)}(x,T_k) = \tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T, \tag{12} \]

\[ \partial_t\tilde u^{(k)}(x,T_k) = \partial_t\tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T. \tag{13} \]

Mlinganyo (12) unalenga kuzuia kuruka kwa thamani ya suluhisho; Mlinganyo (13) unalenga pia kudumisha mwendelezo wa derivatibu ya muda. Hivyo, si nafasi/thamani pekee, bali pia mteremko katika mwelekeo wa muda unaunganishwa kwenye mpaka wa mtandao mdogo.

Onyo kuhusu uandishi ndani ya chanzo: Milinganyo hii miwili iliyochapishwa hutumia \(T_k\). Hata hivyo, maelezo yaliyo kabla yake yanasema kwamba kipindi kidogo cha \(k\) huanza kutoka mwisho wa kipindi cha \((k-1)\); Mlinganyo (14) ulio hapa chini na maelezo yanayofuata huandika kiolesura hiki kama \(T_{k-1}\). Verianla haibadilishi kimya kimya Milinganyo iliyochapishwa (12)–(13).

Mlinganyo (14): Hasara ya mitandao midogo ya muda inayofuata

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta_k) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal L\tilde u^{(k)}(x_r^i,t_r^i;\theta_k) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal B\tilde u^{(k)}(x_b^j,t_b^j;\theta_k) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \partial_t\tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\partial_t\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2. \end{aligned} \tag{14} \]

Maneno mawili ya kwanza bado hupima mabaki ya PDE na ya mpaka. Maneno mawili ya mwisho hulazimisha mtandao mdogo mpya kulingana na mtandao uliotangulia uliogandishwa kwenye kiolesura, kwa thamani ya suluhisho na kwa derivatibu ya muda. Kwa njia hii, ugawaji wa muda hauzalishi masuluhisho huru yaliyokatika, bali huunda mnyororo wa suluhisho wa mfululizo.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Mlinganyo (15): Kipimo cha hitilafu ya jamaa ya L2

\[ \operatorname{error} = \frac{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \tilde u(x_i,t_i)-u_r(x_i,t_i) \right)^2 } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} u_r(x_i,t_i)^2 } }. \tag{15} \]

\(\tilde u\) ni utabiri wa STFE-PINN, na \(u_r\) ni thamani rejea inayopatikana kutoka mbinu ya kawaida yenye usahihi wa juu au, inapopatikana, kutoka suluhisho la kianaliti. Kihesabu cha juu hupima tofauti ya jumla ya mraba kati ya utabiri na rejea, huku kihesabu cha chini kikirekebisha kwa ukubwa wa suluhisho rejea. Kipimo hiki hakina kipimo; thamani ndogo zaidi ina maana ya usahihi mkubwa zaidi.

Mipangilio ya msingi ya mafunzo na ukokotoaji

Ulinganisho wa msingi wa Allen–Cahn wa 1B

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu \left( \varepsilon^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -(u^3-u) \right), \qquad x\in[-1,1],\quad t\in(0,1]. \tag{16} \]

Katika jaribio hili \(\varepsilon^2=0,0001\) na \(\mu=5\). Thamani ndogo ya \(\varepsilon\) husababisha miingiliano kuwa myembamba na mikali; kwa hiyo jaribio hili hupima uwezo wa mtandao kutatua mabadiliko magumu ya anga.

Masharti ya mpaka ya vipindi:

\[ u(-1,t)=u(1,t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(-1,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(1,t) \tag{17} \]

na hali ya mwanzo:

\[ u(x,0)=x^2\cos(\pi x), \qquad x\in[-1,1] \tag{18} \]

zimetolewa. Sharti la vipindi huhakikisha kwamba thamani ya suluhisho na derivatibu ya anga vinafanana kwenye ncha za kushoto na kulia za eneo.

Katika ulinganisho wa chanzo, STFE-PINN ilitoa thamani ndogo zaidi ya hitilafu. Waandishi pia wanasisitiza kwamba ingawa STFE-PINN hutumia neuroni 64 katika tabaka tano zilizofichwa na RBF 500, ilifikia matokeo haya ikiwa na vigezo vichache vya mtandao kuliko baadhi ya miundo linganishi ya PINN. Thamani za hitilafu za mbinu zilizolinganishwa zilichukuliwa kutoka tafiti zao za asili, ambako ziliripotiwa dhidi ya suluhisho rejea lilelile.

Upachikaji wa RBF na wa Hali ya Mwanzo Unachangia Kiasi Gani Kila Mmoja?

Katika ablation ya wimbi linalosafiri, vipengele vyote viwili vilipunguza hitilafu ikilinganishwa na PINN ya kawaida; upachikaji wa RBF ulitoa faida kubwa zaidi ya usahihi, upachikaji wa hali ya mwanzo uliharakisha muunganiko, na STFE-PINN iliyotumia vipengele vyote kwa pamoja ilifikia hitilafu ndogo zaidi ya mwisho ya \(6,30\times10^{-5}\).

Mlinganyo (19): Suluhisho la kianaliti la wimbi linalosafiri

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,t) = \frac{1}{2} \left[ 1- \tanh \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right) \right]. \tag{19} \]

Suluhisho hili la kianaliti linawakilisha wimbi linalosafiri ambalo eneo lake kali la mpito husogea angani kadiri muda unavyopita. Kuwepo kwa suluhisho la kianaliti kunaruhusu utabiri wa STFE-PINN kupimwa moja kwa moja dhidi ya suluhisho halisi la kihisabati.

Mlinganyo (20): Umbo la Allen–Cahn lililopimwa upya

\[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{F'_u(u(x,t))}{\varepsilon^2} + \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \qquad x\in(-\infty,\infty),\quad t>0. \tag{20} \]

Chanzo kinaeleza kwamba umbo hili linapatikana kutoka Mlinganyo (1) kwa kupima upya muda kwa \(t\leftarrow\varepsilon^2t\). Kwa hivyo fizikia hubaki imefungamana na mienendo ileile ya Allen–Cahn, lakini kipimo cha muda kinachotumiwa hubadilika.

Kwa kuwa nafasi isiyo na kikomo haiwezi kutumika moja kwa moja katika suluhisho la kinumeriki, eneo limekatwa kuwa kipindi chenye mwisho kwa \(L_x=-2\), \(R_x=5\). \(\varepsilon=0,1\) na \(T=\sqrt{\varepsilon}\) zimechaguliwa.

Mlinganyo (21): Derivatibu ya anga ya suluhisho la kianaliti

\[ \frac{\partial u_{\mathrm{exact}}}{\partial x}(x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{2\varepsilon}} \operatorname{sech}^{2} \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right). \tag{21} \]

Derivatibu hii ni hasi kwa thamani zote za \(x\). Hata hivyo, ikiwa tabaka la mpito liko mbali vya kutosha na mipaka ya eneo la ukokotoaji, derivatibu hukaribia sifuri kwenye \(L_x\) na \(R_x\). Kwa hiyo chanzo kimetumia hali ya mpaka ya Neumann iliyo sawia ili kuwakilisha kwa takriban tatizo la eneo lisilo na kikomo ndani ya eneo lenye mwisho.

Matokeo ya ablation

Modeli kamili ilipunguza hitilafu kwa takribani viwango vitatu ikilinganishwa na PINN ya kawaida. Kwa upande mwingine, idadi ya vigezo iliongezeka kutoka 12.737 hadi 14.365, na muda wa mafunzo kwa epoch kutoka sekunde 4,40 hadi 5,88. Kwa hiyo faida ya usahihi lazima itathminiwe pamoja na gharama ya ziada ya ukokotoaji na vigezo.

Idadi ya RBF na kipindi cha awali cha kigezo cha umbo

Inaonekana kwamba kutumia RBF nyingi zaidi hakutoi matokeo bora moja kwa moja. Kati ya mipangilio mitano iliyojaribiwa, \(N=300\) na \(d\in[0,10]\) zilitoa kwa wazi hitilafu ndogo zaidi. Katika mipangilio mingine minne, hitilafu ilipanda hadi kiwango cha \(10^{-3}\); hata hivyo, chanzo kinasema kuwa mbinu ilifikia muunganiko katika majaribio yote.

Jaribio la kupungua kwa nishati na kanuni ya kiwango cha juu

Katika jaribio hili, \((x,t)\in[-1,1]\times[0,1]\), \(\varepsilon^2=0,0001\) na \(\mu=1,0\) zilitumiwa. Masharti ya mpaka ya Dirichlet:

\[ u(-1,t)=-1, \qquad u(1,t)=1 \tag{22} \]

na hali ya mwanzo:

\[ u(x,0) = 0,53x+ 0,47\sin(-1,5\pi x), \qquad x\in[-1,1]. \tag{23} \]

zimetolewa. Thamani kamili ya profaili ya mwanzo imewekewa kikomo cha 1. Chanzo kinaripoti kwamba hitilafu kamili ya nukta kati ya suluhisho lililotabiriwa na rejea ilibaki takribani katika kiwango cha \(10^{-3}\).

Jumla ya nishati ilikokotolewa kwa analogi ya kidijitali ya Mlinganyo (4) kwenye gridi sare ya 201×201 na ikapungua kwa namna ya monotoni kadiri muda ulivyopita. Uchunguzi huu unaendana na sheria ya kupungua kwa nishati katika Mlinganyo (5). Aidha, kubaki kwa thamani za mwisho zilizotabiriwa ndani ya mipaka ya \([-1,1]\) kulitoa ushahidi kwamba kanuni ya kiwango cha juu pia ilihifadhiwa kwa namna ya kinumeriki katika jaribio hili.

Benchmark ya Allen–Cahn ya pande mbili

Eneo:

\[ (x,y,t)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1] \]

na vigezo ni \(\varepsilon^2=0,0001\), \(\mu=5\). Suluhisho la kianaliti:

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,y,t) = e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \]

lilichaguliwa na neno la chanzo linalolingana:

\[ g(x,y,t) = 5\left( e^{-6\varepsilon^2t}\sin^3(x+y) - e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \right) \tag{24} \]

likatolewa. Hali ya mwanzo ni \(u_0(x,y)=\sin(x+y)\) na masharti ya mpaka ya Dirichlet yalitumika.

Hitilafu ya jamaa ya \(L^2\) ilipungua haraka katika iteresheni mia chache za kwanza na baada ya takribani iteresheni 200 ikakaribia kiwango cha \(10^{-4}\). Hitilafu kamili ya nukta katika muda \(t=1\) ilikuwa takribani katika kiwango cha \(10^{-3}\).

Kusinyaa kwa tone moja la 2B

Eneo ni \(\Omega=[0,1]^2\) na hali ya Neumann iliyo sawia:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega \tag{25} \]

imetolewa. \(\partial/\partial n\) huwakilisha derivatibu katika mwelekeo wa kawaida wa nje wa mpaka; kuwa kwake sifuri kuna maana kwamba hakuna mtiririko katika mwelekeo wa kawaida kando ya mpaka.

Kiolesura cha mwanzo cha mviringo:

\[ u(x,y,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{(x-0,5)^2+(y-0,5)^2} }{ 2\varepsilon } \right) \tag{26} \]

kimefafanuliwa. \(\mu=10\), \(\varepsilon=0,025\). Kituo ni \((0,5,0,5)\), na kizingiti kinachoamua radius ya mwanzo ni 0,35. Kazi ya Tanh huunda tabaka la mpito kali lakini endelevu kati ya awamu mbili.

Upeo mrefu wa muda \(T=10\) umegawanywa katika vipindi vidogo vya muda \(N_T=5\), na kila kipindi kidogo kimechukuliwa kuwa na urefu wa \(\Delta t=2\). Katika kila kipindi kidogo, nukta 500.000 za ndani za collocation, jumla ya nukta 1.200 za mpaka kwenye kingo nne na nukta 800 za mwanzo zilitumiwa. Batch size ni 2.048.

Kiolesura cha mviringo kilichotabiriwa kilisinyaa hatua kwa hatua katika \(t=0,2,4,6,8,10\) na hatimaye kutoweka. Ikilinganishwa na suluhisho rejea la kawaida lenye azimio kubwa, hitilafu za nukta zilibaki takribani katika kiwango cha \(10^{-3}\) na zilijikusanya hasa karibu na kiolesura kikali kinachosogea.

Katika jaribio hili pia vituo vya Gauss RBF vilivyojifunzwa vilichunguzwa. Iliripotiwa kwamba vituo hivyo vilijikusanya kwa namna inayofuatilia kiolesura kinachosogea cha tone linalosinyaa katika vipindi vidogo vitano vya muda. Uchunguzi huu unaonyesha kwamba kipengele cha RBF hakiongezi tu vigezo vya ziada, bali pia kinaweza kujirekebisha kwenye eneo lenye mabadiliko makali ya anga.

Kusinyaa kwa tone moja la 3B

Tatizo la pande tatu hutumia hali ileile ya Neumann iliyo sawia katika eneo \(\Omega=[0,1]^3\):

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega. \tag{27} \]

Kiolesura cha mwanzo cha duara la pande tatu:

\[ u(x,y,z,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{ (x-0,5)^2+ (y-0,5)^2+ (z-0,5)^2 } }{ 2\varepsilon } \right). \tag{28} \]

Hapa \(\mu=10\) na \(\varepsilon=0,05\). Mlinganyo huu ni sawa ya moja kwa moja ya pande tatu ya hali ya mwanzo ya mviringo ya 2B.

Katika mafunzo ya pande tatu, 2.000.000 nukta za ndani za collocation, jumla ya 60.000 nukta za mpaka kwa kutumia 100×100 kwa kila uso katika nyuso sita za mchemraba, 1.000 nukta za mwanzo katika \(t=0\), na 4.096 batch size zilitumiwa.

Isosurface iliyotabiriwa ya \(u=0\) ilionyesha tufe linalosinyaa hatua kwa hatua katika nyakati \(t=0,\ 0,25,\ 0,5,\ 1,0,\ 1,25,\ 1,5\) na ilionekana kuendana na matokeo ya kimaelezo ya utafiti wa awali. Hasara ya mafunzo ilipungua kwa utulivu; iliripotiwa kwamba mchango mkuu kwa jumla ya hasara ulitoka katika neno la mabaki ya PDE.

Kikomo muhimu cha tafsiri: Katika tatizo la pande tatu, kwa kuwa kukokotoa suluhisho rejea lenye azimio kubwa kulikuwa na gharama kubwa sana, waandishi hawakufanya ulinganisho sahihi wa usahihi wa \(L^2\) wa jamaa kama ilivyofanywa katika mifano ya 1B na 2B. Kwa hiyo muunganiko uliofanikiwa na tabia ya kusinyaa kwa umbo la tufe katika sehemu ya 3B haipaswi kuchanganywa na uthibitishaji wa hitilafu wa kiasi dhidi ya rejea yenye azimio kubwa.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• STFE-PINN ilitoa hitilafu ya jamaa ya \(L^2\) iliyoripotiwa kuwa ndogo zaidi miongoni mwa aina za PINN zilizojaribiwa katika ulinganisho wa msingi wa 1B wa utafiti.
• Upachikaji wa anga wa RBF na upachikaji wa hali ya mwanzo kila mmoja uliiboresha PINN ya kawaida, na ulipotumiwa kwa pamoja ulitoa faida kubwa zaidi ya usahihi.
• Upachikaji wa hali ya mwanzo uliharakisha muunganiko katika jaribio la ablation.
• Vituo vya RBF vinavyoweza kujifunzwa vilijikusanya karibu na kiolesura kinachosogea katika tatizo la tone linalosinyaa la 2B.
• Utabiri wa STFE-PINN ulihifadhi kwa njia ya kinumeriki kupungua kwa nishati na kanuni ya kiwango cha juu katika tatizo la 1B lililojaribiwa.
• Ugawaji wa eneo la muda ulitoa suluhisho thabiti la mfululizo katika tatizo la muda mrefu la tone la 2B.
• Mbinu ilitekelezwa katika benchmark za Allen–Cahn za 1B, 2B na 3B.

Ujumlishaji usioungwa mkono na utafiti

• Utafiti si jaribio la maabara au la uwanjani la kimwili; matokeo yanahusu simulizi za kinumeriki.
• Haijaonyeshwa kwamba STFE-PINN ni bora kuliko PINN ya kawaida katika PDE zote.
• Haiwezi kusemwa kwamba mbinu ina usahihi uleule kwa idadi zote za RBF na vigezo vyote vya umbo; jaribio la unyeti linaonyesha kinyume chake.
• Katika mfano wa 3B, hakuna kipimo cha hitilafu cha kiasi kilichoripotiwa dhidi ya rejea yenye azimio kubwa.
• Hakuna uthibitishaji wa moja kwa moja uliofanywa katika matumizi halisi ya sayansi ya nyenzo, mienendo ya vimiminika, mekanika ya kuvunjika au uchakataji wa picha.
• Modeli nyingine za uwanja wa awamu, mifumo ya reaction-diffusion na matatizo ya mienendo ya vimiminika si matokeo yaliyothibitishwa ya makala; ni malengo ya kazi ya baadaye.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kichwa asilia: An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

Waandishi: Zhiwen Wang; Minxin Chen.

Mwandishi wa mawasiliano: Zhiwen Wang.

Taasisi: School of Mathematics and Statistics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou 215006, China.

Jarida: Mathematics.

Mchapishaji: MDPI.

Rekodi ya bibliografia: Mathematics 2026, 14(13), 2344.

DOI: 10.3390/math14132344

Kiungo rasmi: https://doi.org/10.3390/math14132344

Iliwasilishwa: 7 Juni 2026. Marekebisho: 27 Juni 2026. Ilikubaliwa: 30 Juni 2026. Ilichapishwa: 2 Julai 2026.

Aina ya chanzo: Makala ya utafiti iliyopitiwa na wenzao; utafiti wa kinumeriki kuhusu uundaji wa modeli za kihisabati na ujifunzaji wa mashine unaoongozwa na fizikia.

Leseni: Creative Commons Attribution (CC BY).

Ufadhili: Zhiwen Wang aliungwa mkono na Xiamen University of Technology School of Mathematics and Statistics Scientific Research Start-up Project kupitia ruzuku namba YKJ25065R na 5019926048/0171.

Upatikanaji wa data na msimbo: Waandishi wanaeleza kuwa msimbo chanzo na data inayounga mkono utafiti zinapatikana wazi kwenye GitHub. Imeripotiwa kwamba hifadhi hiyo ina PyTorch 2.5.1, NumPy, matoleo ya kina ya vifurushi, maagizo ya mstari wa amri na faili za usanidi za kuzalisha upya majedwali na vielelezo vya makala.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wameripoti kwamba hakuna mgongano wa maslahi.

Michango ya waandishi: Uundaji wa dhana na metodolojia — Zhiwen Wang na Minxin Chen; programu, uthibitishaji, uchambuzi rasmi, utafiti, uratibu wa data, rasimu ya kwanza na uonyeshaji — Zhiwen Wang; rasilimali, mapitio/uhariri, usimamizi na usimamizi wa mradi — Minxin Chen; upatikanaji wa ufadhili — Zhiwen Wang.

Kikomo kikuu cha kimetodolojia: Uthibitishaji wa utafiti unategemea matatizo ya benchmark ambayo yana marejeo ya kianaliti au ya kinumeriki yenye usahihi wa juu. Katika mfano wa pande tatu, kwa kuwa rejea yenye azimio kubwa haikuweza kukokotolewa, tathmini imewekewa kikomo kwenye muunganiko wa hasara na tabia ya kimaelezo ya kimwili ya suluhisho.

Dokezo la uandishi ndani ya chanzo: Milinganyo iliyochapishwa (12)–(13) katika ugawaji wa eneo la muda huonyesha kiolesura kwa \(T_k\), ilhali Mlinganyo (14) unaofuata na maelezo ya maandishi hutumia kiolesura kama \(T_{k-1}\). Verianla haijasahihisha tofauti hii kimya kimya.