Fazoviy-vaqt xususiyatlarini kirituvchi fizika-ma’lumotli neyron tarmoq (Spatiotemporal Feature Embedding Physics-Informed Neural Network, STFE-PINN) Allen–Cahn tenglamasida, ayniqsa yupqa faza interfeyslarida yuzaga keladigan keskin fazoviy o‘zgarishlarni o‘rganish uchun standart PINN tuzilmasini bir-birini to‘ldiruvchi ikki xususiyat bilan takomillashtiradigan sonli yechim usulidir. Fazoviy koordinatalar markazlari va shakl parametrlari o‘rganiladigan Gauss radial bazis funksiyalari (RBF) bilan qayta ishlanadi; boshlang‘ich shart \(u_0(x)\) esa faqat yo‘qotish funksiyasidagi cheklov sifatida qoldirilmay, to‘g‘ridan-to‘g‘ri tarmoq kirishiga qo‘shiladi. Uzoq vaqt oraliqlarida vaqt sohasi yana quyi oraliqlarga bo‘linadi va alohida STFE-PINN tarmoqlari ketma-ket o‘qitiladi.

Bir o‘lchamli asosiy taqqoslashda STFE-PINN ning nisbiy \(L^2\) xatosi 0,0031 deb qayd etilgan va taqqoslangan barcha PINN variantlaridan past bo‘lgan. Harakatlanuvchi to‘lqin ablatsiyasida standart PINN xatosi \(1,48\times10^{-2}\) bo‘lgan bo‘lsa, faqat RBF kiritish \(4,54\times10^{-4}\), faqat boshlang‘ich shartni kiritish \(3,57\times10^{-3}\), ikkala kiritish birgalikda ishlatilgan to‘liq STFE-PINN esa \(6,30\times10^{-5}\) xato bergan. Ikki o‘lchamli tomchi kichrayishi tajribasida nuqtaviy xatolar taxminan \(10^{-3}\) tartibida qolgan; RBF markazlarining harakatlanuvchi interfeys atrofida zichlashgani kuzatilgan. Uch o‘lchamli sinovda esa yuqori aniqlikdagi etalon yechimni hisoblash nihoyatda qimmat bo‘lgani sababli tekshirish asosan yo‘qotish xatti-harakati va bashorat qilingan sferik interfeysning sifat jihatidan evolyutsiyasi orqali amalga oshirilgan.

Bu natijalar STFE-PINN tadqiqotda sinovdan o‘tkazilgan Allen–Cahn benchmarklarida keskin faza interfeyslarini yechish va uzoq muddatli optimallashtirishni yaxshilay olishini ko‘rsatadi. Biroq tadqiqot haqiqiy fizik material tajribasi emas; natijalar sonli PDE benchmarklariga tegishli va boshqa xususiy differensial tenglamalarga avtomatik ravishda umumlashtirib bo‘lmaydi.

STFE-PINN Nima va U Standart PINN dan Qanday Farq Qiladi?

STFE-PINN standart PINN ning fazo-vaqt koordinatalaridan foydalanadigan kirishiga o‘rganiladigan RBF fazoviy xususiyatlari hamda boshlang‘ich shart xususiyatini qo‘shadigan va zarur bo‘lganda vaqtni mustaqil o‘qitiladigan quyi oraliqlarga ajratadigan PINN arxitekturasidir; maqsad standart PINN ayniqsa yupqa Allen–Cahn faza interfeyslarida qiynaladigan yuqori chastotali va keskin o‘zgarishlarni aniqroq ifodalashdir.

Allen–Cahn tenglamasi nimani modellashtiradi?

Allen–Cahn tenglamasi faza maydoni modellarida turli fazalarni bir-biridan ajratib turadigan diffuz interfeyslarning vaqt bo‘yicha evolyutsiyasini ifodalovchi chiziqli bo‘lmagan xususiy differensial tenglamadir. Maqolada qo‘llangan umumiy ko‘rinish:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu(u)\left(\varepsilon^2\Delta u-f(u)\right), \qquad (x,t)\in\Omega\times(0,T]. \tag{1} \]

Tenglama (1) nimani hisoblaydi? Faza maydoni o‘zgaruvchisi \(u\) ning vaqt bo‘yicha o‘zgarish tezligini hisoblaydi. \(u\) tizimdagi faza holatini ifodalaydi; \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) fazoviy sohadir; \(t\) vaqt; \(\mu(u)\) harakatchanlik funksiyasi; \(\varepsilon>0\) interfeys kengligini boshqaruvchi kichik parametr; \(\Delta u\) Laplas operatori orqali fazoviy tarqalishni, \(f(u)\) esa erkin energiya potensialidan kelib chiqadigan chiziqli bo‘lmagan harakatlantiruvchi hadni ifodalaydi.

\(\varepsilon\) kichraygani sari interfeysning xarakterli qalinligi \(O(\varepsilon)\) darajasiga tushadi. Bu sonli nuqtai nazardan muhim: ayni fazoviy sohada \(u\) ning ancha keskin o‘zgarishi yuz beradi va yechim usulining yuqori chastotali fazoviy xususiyatlarni ifodalashi qiyinlashadi.

Tenglama (2): Boshlang‘ich shart

\[ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\Omega. \tag{2} \]

\(u_0(x)\) tizimning \(t=0\) vaqtdagi boshlang‘ich faza taqsimotidir. Standart PINN bu shartni yo‘qotish funksiyasi orqali qo‘llaydi. STFE-PINN yangiliklaridan biri ayni \(u_0(x)\) ma’lumotini tarmoqning kirish xususiyati sifatida ham olib yurishidir.

Tenglama (3): Ikki quduqli erkin energiya potensiali

\[ F(u)=\frac{1}{4}(u^2-1)^2, \qquad f(u)=u^3-u. \tag{3} \]

\(F(u)\) ikki barqaror holat atrofida minimum hosil qiladigan ikki quduqli potensialdir. Uning hosilasidan olingan \(f(u)=u^3-u\) Allen–Cahn tenglamasidagi chiziqli bo‘lmagan reaksiya hadidir. \(u=\pm1\) atrofidagi faza holatlari ushbu potensialning ikki qudug‘i bilan bog‘liq.

Tenglama (4): Umumiy erkin energiya

\[ E(u)= \int_{\Omega} \left( \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla u|^2+F(u) \right)\,dx. \tag{4} \]

Birinchi had faza maydonining fazoda tez o‘zgarishini energetik jihatdan qimmat qiladi; ikkinchi had esa \(u\) ning potensial energiya hissasini ifodalaydi. \(|\nabla u|^2\) ayniqsa faza interfeyslarida kattalashadi. Shu tariqa energiya funksionali interfeys geometriyasi bilan mahalliy faza holatini birgalikda baholaydi.

Tenglama (5): Energiya so‘nishi qonuni

\[ \frac{dE(u(t))}{dt}\leq0. \tag{5} \]

Bu tengsizlik Allen–Cahn dinamikasining gradient oqim xarakterini ifodalaydi: vaqt o‘tishi bilan tizim umumiy erkin energiyani oshirmasligi kerak. Maqola keyingi sonli tajribalardan birida STFE-PINN yechimi ushbu xususiyatni saqlaydimi-yo‘qmi, alohida tekshiradi.

Standart PINN ning matematik tuzilishi

Mualliflar avval umumiy PDE masalasini quyidagi ko‘rinishda ta’riflaydi:

\[ \begin{cases} \mathcal{L}u(x,t)=f(x,t), &(x,t)\in\Omega\times[0,T],\\ \mathcal{B}u(x,t)=g(x,t), &(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T],\\ u(x,0)=u_0(x), &x\in\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

\(\mathcal L\) differensial operator, \(\mathcal B\) chegaraviy shart operatori, \(f\) PDE ning ma’lum manba hadi, \(g\) chegaradagi cheklov va \(u_0\) boshlang‘ich shartdir. PINN vazifasi ushbu uch shartni bir vaqtda imkon qadar yaxshi qanoatlantiradigan taqribiy \(u(x,t)\) funksiyasini o‘rganishdir.

Tenglama (7): To‘liq bog‘langan PINN

\[ \tilde u(x,t;\theta)= W^{[L]} \sigma\!\left( W^{[L-1]} \sigma\!\left( \cdots \sigma\!\left( W^{[0]}[x|t]+b^{[0]} \right) \cdots \right) +b^{[L-1]} \right) +b^{[L]}. \tag{7} \]

\([x|t]\) fazo va vaqt koordinatalarining ustun yo‘nalishida birlashtirilishidir. \(W^{[l]}\) og‘irlik matritsalari, \(b^{[l]}\) bias vektorlari, \(\sigma\) chiziqli bo‘lmagan aktivatsiya funksiyasi va \(\theta\) barcha o‘rganiladigan tarmoq parametrlaridir. Tarmoq chiqishi \(\tilde u\) haqiqiy PDE yechimining neyron tarmoq yaqinlashuvidir.

Tenglama (8): PINN yo‘qotish funksiyasi

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal{L}\tilde u(x_r^i,t_r^i;\theta) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal{B}\tilde u(x_b^j,t_b^j;\theta) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} \left( \tilde u(x_0^k,0;\theta)-u_0(x_0^k) \right)^2. \end{aligned} \tag{8} \]

Birinchi had PDE qoldiq xatosini, ikkinchi had chegaraviy shart xatosini, uchinchi had boshlang‘ich shart xatosini o‘lchaydi. \(N_r\), \(N_b\) va \(N_0\) mos ravishda ichki soha, chegara va boshlang‘ich namunalar sonidir. \(\lambda_b\) va \(\lambda_0\) ushbu fizik cheklovlarning yo‘qotish funksiyasidagi nisbiy og‘irligini boshqaradi. Tarmoq Adam optimizatori yordamida umumiy yo‘qotishni kamaytirish uchun o‘qitiladi.

Tenglama (9): O‘rganiladigan RBF fazoviy xususiyati

\[ \Phi(x;w,c,d) = \sum_{i=1}^{N} w_i\, \phi\!\left( \|x-c_i\|;d_i \right). \tag{9} \]

\(N\) RBF soni; \(c_i\) RBF markazi, \(d_i\) shakl parametri, \(w_i\) og‘irlikni bildiradi. Tadqiqot Gauss radial bazis funksiyasidan foydalanadi. Markazdan uzoqlashgan sari Gauss funksiyasi qiymati tez kamaygani uchun RBF lar mahalliy fazoviy tuzilmalarni ifodalay oladi. Muhim jihat shundaki, markazlar, shakl parametrlari va og‘irliklar qat’iy emas, balki o‘qitish davomida o‘rganiladi.

Bu xususiyat ayniqsa keskin faza interfeyslari uchun muhimdir. RBF parametrlari o‘qitish davomida tegishli fazoviy hududlarda zichlashishi mumkinligi sababli tarmoq standart koordinata kirishi ifodalashda qiynaladigan tez fazoviy o‘zgarishlarni qo‘shimcha xususiyat fazosida ifodalay oladi.

Tenglama (10): RBF xususiyatini PINN ga qo‘shish

\[ \tilde u(x,t,\Phi;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)]; \theta \right). \tag{10} \]

Standart PINN faqat \([x|t]\) ma’lumotini olsa, bu tuzilma \([x|t|\Phi]\) vektoridan foydalanadi. Shunday qilib, tarmoq bir xil fizik koordinataga ham bevosita koordinata sifatida, ham RBF tarmog‘i yaratgan fazoviy ifoda orqali murojaat qila oladi.

Tenglama (11): Boshlang‘ich shartni ham xususiyat sifatida kiritish

\[ \tilde u(x,t,\Phi,u_0;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)|u_0(x)]; \theta \right). \tag{11} \]

Bu bosqichda boshlang‘ich shart endi faqat Tenglama (8) dagi jarima hadi emas. \(u_0(x)\) barcha vaqt nuqtalarida tarmoq kirishining bir qismidir. Mualliflarning maqsadi tarmoq boshlang‘ich tuzilma haqidagi ma’lumotni o‘qitish davomida bevosita foydalaniladigan xususiyat sifatida olib yurishini ta’minlashdir.

Vaqt sohasini ajratish

Uzoq vaqt oralig‘ini bitta tarmoq bilan yechishda turli vaqt hududlaridagi gradient kattaliklari nomutanosib bo‘lishi va xato to‘planishi mumkin. Shu sabab tadqiqot \([0,T]\) oralig‘ini \(N_T\) teng qismga ajratadi:

\[ \Delta t=\frac{T}{N_T}. \]

Har bir quyi oraliqqa bir xil arxitekturaga, ammo mustaqil o‘rganiladigan parametrlarga ega alohida STFE-PINN biriktiriladi. Birinchi tarmoq yaqinlashguncha o‘qitiladi va keyin uning parametrlari muzlatiladi. Keyingi tarmoq oldingi tarmoqning yakuniy vaqtdagi yechimini boshlang‘ich ma’lumot sifatida ishlatadi.

Tenglama (12) va (13): Quyi oraliqlar uzluksizligi

Manbada e’lon qilingan tenglamalar quyidagicha:

\[ \tilde u^{(k)}(x,T_k) = \tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T, \tag{12} \]

\[ \partial_t\tilde u^{(k)}(x,T_k) = \partial_t\tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T. \tag{13} \]

Tenglama (12) yechim qiymatida sakrash bo‘lmasligini; Tenglama (13) esa vaqt hosilasining ham uzluksiz bo‘lishini ko‘zlaydi. Shunday qilib, nafaqat holat/qiymat, balki vaqt yo‘nalishidagi qiyalik ham quyi tarmoq chegarasida o‘zaro bog‘lanadi.

Manba ichidagi belgilash bo‘yicha ogohlantirish: Ushbu ikki e’lon qilingan tenglamada \(T_k\) ishlatilgan. Biroq undan oldingi izoh \(k\)-quyi oraliq boshlanishini \((k-1)\)-oraliq yakunidan olishini aytadi; quyidagi Tenglama (14) va undan keyingi izoh esa bu interfeysni \(T_{k-1}\) sifatida yozadi. Verianla e’lon qilingan Tenglama (12)–(13) ni jim tarzda o‘zgartirmaydi.

Tenglama (14): Keyingi vaqt quyi tarmoqlarining yo‘qotishi

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta_k) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal L\tilde u^{(k)}(x_r^i,t_r^i;\theta_k) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal B\tilde u^{(k)}(x_b^j,t_b^j;\theta_k) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \partial_t\tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\partial_t\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2. \end{aligned} \tag{14} \]

Birinchi ikki had yana PDE va chegara qoldiqlarini o‘lchaydi. Oxirgi ikki had esa yangi quyi tarmoqni interfeysda oldingi muzlatilgan tarmoq bilan ham yechim qiymati, ham vaqt hosilasi jihatidan moslashishga majbur qiladi. Shu tariqa vaqtni ajratish bir-biridan uzilgan mustaqil yechimlar o‘rniga ketma-ket yechim zanjirini yaratadi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tenglama (15): Nisbiy L2 xato metrikasi

\[ \operatorname{error} = \frac{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \tilde u(x_i,t_i)-u_r(x_i,t_i) \right)^2 } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} u_r(x_i,t_i)^2 } }. \tag{15} \]

\(\tilde u\) STFE-PINN bashorati, \(u_r\) yuqori aniqlikdagi klassik usuldan yoki mavjud bo‘lsa analitik yechimdan olingan etalon qiymatdir. Surat bashorat bilan etalon orasidagi umumiy kvadratik farqni, maxraj esa etalon yechim kattaligini normallashtiradi. Metrika o‘lchovsiz; kichikroq qiymat yuqoriroq aniqlikni anglatadi.

Asosiy o‘qitish va hisoblash sozlamalari

1B asosiy Allen–Cahn taqqoslash

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu \left( \varepsilon^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -(u^3-u) \right), \qquad x\in[-1,1],\quad t\in(0,1]. \tag{16} \]

Bu tajribada \(\varepsilon^2=0,0001\) va \(\mu=5\). Kichik \(\varepsilon\) qiymati interfeyslarning yupqa va keskin bo‘lishini ta’minlaydi; shu sabab bu tajriba tarmoqning qiyin fazoviy o‘tishlarni yecha olish qobiliyatini sinaydi.

Davriy chegaraviy shartlar:

\[ u(-1,t)=u(1,t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(-1,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(1,t) \tag{17} \]

va boshlang‘ich shart:

\[ u(x,0)=x^2\cos(\pi x), \qquad x\in[-1,1] \tag{18} \]

ko‘rinishida berilgan. Davriy shart sohaning chap va o‘ng uchlarida ham yechim qiymati, ham fazoviy hosilaning mos kelishini ta’minlaydi.

Manba taqqoslashida STFE-PINN eng past xato qiymatini bergan. Mualliflar, shuningdek, STFE-PINN besh yashirin qatlamda 64 neyron va 500 RBF ishlatishiga qaramay, ayrim taqqoslama PINN tuzilmalariga qaraganda kamroq tarmoq parametri bilan ushbu natijaga erishganini ta’kidlaydi. Taqqoslangan usullarning xato qiymatlari ularning asl tadqiqotlaridan, ayni etalon yechimga nisbatan bildirilgan qiymatlardan olingan.

RBF va Boshlang‘ich Shartni Kiritish Alohida Qancha Hissa Qo‘shadi?

Harakatlanuvchi to‘lqin ablatsiyasida har ikkala xususiyat ham standart PINN ga nisbatan xatoni kamaytirgan; RBF kiritish kattaroq aniqlik yutug‘ini bergan, boshlang‘ich shartni kiritish yaqinlashishni tezlashtirgan, ikkalasi birgalikda ishlatilgan STFE-PINN esa \(6,30\times10^{-5}\) bilan eng past yakuniy xatoga erishgan.

Tenglama (19): Harakatlanuvchi to‘lqinning analitik yechimi

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,t) = \frac{1}{2} \left[ 1- \tanh \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right) \right]. \tag{19} \]

Bu analitik yechim keskin o‘tish sohasi vaqt davomida fazoda siljiydigan harakatlanuvchi to‘lqinni ifodalaydi. Analitik yechim mavjudligi STFE-PINN bashoratini to‘g‘ridan-to‘g‘ri haqiqiy matematik yechimga nisbatan o‘lchash imkonini beradi.

Tenglama (20): Qayta masshtablangan Allen–Cahn ko‘rinishi

\[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{F'_u(u(x,t))}{\varepsilon^2} + \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \qquad x\in(-\infty,\infty),\quad t>0. \tag{20} \]

Manba ushbu ko‘rinish Tenglama (1) dan \(t\leftarrow\varepsilon^2t\) vaqt qayta masshtablashi orqali olinganini bildiradi. Shu sabab fizika ayni Allen–Cahn dinamikasiga bog‘liq qoladi, biroq ishlatiladigan vaqt masshtabi o‘zgaradi.

Sonli yechimda cheksiz fazoni bevosita ishlatib bo‘lmagani sababli soha \(L_x=-2\), \(R_x=5\) bo‘lgan chekli oraliqqa kesilgan. \(\varepsilon=0,1\) va \(T=\sqrt{\varepsilon}\) tanlangan.

Tenglama (21): Analitik yechimning fazoviy hosilasi

\[ \frac{\partial u_{\mathrm{exact}}}{\partial x}(x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{2\varepsilon}} \operatorname{sech}^{2} \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right). \tag{21} \]

Bu hosila barcha \(x\) qiymatlarida manfiy. Biroq o‘tish qatlami hisoblash sohasi chegaralaridan yetarlicha uzoqda bo‘lsa, \(L_x\) va \(R_x\) da hosila nolga yaqinlashadi. Shu sabab manba cheksiz soha masalasini chekli sohada taxminan ifodalash uchun bir jinsli Neumann chegaraviy shartidan foydalangan.

Ablatsiya natijalari

To‘liq model standart PINN ga nisbatan xatoni taxminan uch tartibga kamaytirgan. Buning evaziga parametrlar soni 12.737 dan 14.365 gacha, epoch boshiga o‘qitish vaqti esa 4,40 soniyadan 5,88 soniyagacha oshgan. Shuning uchun aniqlik yutug‘i qo‘shimcha hisoblash va parametr xarajati bilan birgalikda baholanishi kerak.

RBF soni va shakl parametrining boshlang‘ich oralig‘i

Ko‘proq RBF ishlatish avtomatik ravishda yaxshiroq natija bermasligi ko‘rinadi. Sinovdan o‘tkazilgan besh konfiguratsiya ichida \(N=300\) va \(d\in[0,10]\) aniq ravishda eng past xatoni bergan. Qolgan to‘rtta konfiguratsiyada xato \(10^{-3}\) tartibiga ko‘tarilgan; shunga qaramay, manba barcha sinovlarda usul yaqinlashganini bildiradi.

Energiya so‘nishi va maksimal chegara prinsipi tajribasi

Bu sinovda \((x,t)\in[-1,1]\times[0,1]\), \(\varepsilon^2=0,0001\) va \(\mu=1,0\) ishlatilgan. Dirichlet chegaraviy shartlari:

\[ u(-1,t)=-1, \qquad u(1,t)=1 \tag{22} \]

va boshlang‘ich shart:

\[ u(x,0) = 0,53x+ 0,47\sin(-1,5\pi x), \qquad x\in[-1,1]. \tag{23} \]

ko‘rinishida berilgan. Boshlang‘ich profilning mutlaq qiymati 1 bilan chegaralangan. Manba bashorat qilingan yechim bilan etalon orasidagi nuqtaviy mutlaq xato taxminan \(10^{-3}\) tartibida qolganini bildiradi.

Umumiy energiya Tenglama (4) ning 201×201 bir tekis to‘rdagi diskret analogi bilan hisoblangan va vaqt davomida monoton kamaygan. Bu kuzatuv Tenglama (5) dagi energiya so‘nishi qonuniga mos keladi. Bundan tashqari, bashorat qilingan chekka qiymatlarning \([-1,1]\) chegaralari ichida qolishi bu sinovda maksimal chegara prinsipi ham sonli tarzda saqlanganiga dalil bergan.

Ikki o‘lchamli Allen–Cahn benchmarki

Soha:

\[ (x,y,t)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1] \]

va parametrlar \(\varepsilon^2=0,0001\), \(\mu=5\). Analitik yechim:

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,y,t) = e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \]

sifatida tanlangan va unga mos manba hadi:

\[ g(x,y,t) = 5\left( e^{-6\varepsilon^2t}\sin^3(x+y) - e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \right) \tag{24} \]

sifatida keltirib chiqarilgan. Boshlang‘ich shart \(u_0(x,y)=\sin(x+y)\) va Dirichlet chegaraviy shartlari ishlatilgan.

Nisbiy \(L^2\) xato dastlabki bir necha yuz iteratsiyada tez kamaygan va taxminan 200 iteratsiyadan keyin \(10^{-4}\) tartibiga yaqinlashgan. \(t=1\) vaqtdagi nuqtaviy mutlaq xato esa taxminan \(10^{-3}\) tartibida.

2B bitta tomchining kichrayishi

Soha \(\Omega=[0,1]^2\) va bir jinsli Neumann sharti:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega \tag{25} \]

sifatida berilgan. \(\partial/\partial n\) chegaraning tashqi normal yo‘nalishidagi hosilani bildiradi; uning nol bo‘lishi chegara bo‘ylab normal yo‘nalishda oqim yo‘qligini anglatadi.

Boshlang‘ich doiraviy interfeys:

\[ u(x,y,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{(x-0,5)^2+(y-0,5)^2} }{ 2\varepsilon } \right) \tag{26} \]

bilan aniqlangan. \(\mu=10\), \(\varepsilon=0,025\). Markaz \((0,5,0,5)\), boshlang‘ich radiusni belgilovchi chegara esa 0,35. Tanh funksiyasi ikki faza orasida keskin, biroq uzluksiz o‘tish qatlamini hosil qiladi.

Uzoq vaqt gorizonti \(T=10\), \(N_T=5\) vaqt quyi oralig‘iga ajratilgan va har bir quyi oraliq \(\Delta t=2\) uzunlikda olingan. Har bir quyi oraliqda 500.000 ichki kollokatsiya nuqtasi, to‘rtta chetda jami 1.200 chegara nuqtasi va 800 boshlang‘ich nuqta ishlatilgan. Batch size 2.048.

Bashorat qilingan doiraviy interfeys \(t=0,2,4,6,8,10\) davomida tobora kichraygan va oxirida yo‘qolgan. Yuqori aniqlikdagi klassik etalon yechimga nisbatan nuqtaviy xatolar taxminan \(10^{-3}\) tartibida qolgan va asosan harakatlanuvchi keskin interfeys atrofida jamlangan.

Bu tajribada o‘rganilgan Gauss RBF markazlari ham tahlil qilingan. Markazlar besh vaqt quyi oralig‘i davomida kichrayayotgan tomchining harakatlanuvchi interfeysini kuzatadigan tarzda zichlashgani qayd etilgan. Ushbu kuzatuv RBF xususiyati faqat qo‘shimcha parametr yaratib qolmay, keskin fazoviy o‘zgarish mavjud hududga moslasha olishini ko‘rsatadi.

3B bitta tomchining kichrayishi

Uch o‘lchamli masala \(\Omega=[0,1]^3\) sohasida ayni bir jinsli Neumann shartidan foydalanadi:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega. \tag{27} \]

Boshlang‘ich sferik interfeys:

\[ u(x,y,z,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{ (x-0,5)^2+ (y-0,5)^2+ (z-0,5)^2 } }{ 2\varepsilon } \right). \tag{28} \]

Bu yerda \(\mu=10\) va \(\varepsilon=0,05\). Ushbu tenglama 2B doiraviy boshlang‘ich shartning to‘g‘ridan-to‘g‘ri uch o‘lchamli sferik analogidir.

Uch o‘lchamli o‘qitishda 2.000.000 ichki kollokatsiya nuqtasi, kubning olti yuzida har bir yuz uchun 100×100 bo‘lib jami 60.000 chegara nuqtasi, \(t=0\) da 1.000 boshlang‘ich nuqta va 4.096 batch size ishlatilgan.

Bashorat qilingan \(u=0\) izosirt \(t=0,\ 0,25,\ 0,5,\ 1,0,\ 1,25,\ 1,5\) vaqtlarida tobora kichrayuvchi sharni ko‘rsatgan va avvalgi tadqiqotdagi sifat natijalari bilan mos kelgan. O‘qitish yo‘qotishi barqaror kamaygan; umumiy yo‘qotishga asosiy hissa PDE qoldiq hadidan kelgani qayd etilgan.

Muhim talqin chegarasi: Uch o‘lchamli masalada yuqori aniqlikdagi etalon yechimni hisoblash nihoyatda qimmat bo‘lgani sababli mualliflar 1B va 2B misollardagidek aniq nisbiy \(L^2\) aniqlik taqqoslashini bajarmagan. Shuning uchun 3B bo‘limdagi muvaffaqiyatli yaqinlashish va sferik kichrayish xatti-harakati yuqori aniqlikdagi etalonga nisbatan miqdoriy xato tekshiruvi bilan adashtirilmasligi kerak.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• STFE-PINN tadqiqotning 1B asosiy taqqoslashida sinovdan o‘tkazilgan PINN variantlari orasida eng past qayd etilgan nisbiy \(L^2\) xatoni bergan.
• RBF fazoviy kiritish va boshlang‘ich shartni kiritish alohida-alohida standart PINN ni yaxshilagan, birgalikda ishlatilganda esa kuchliroq aniqlik yutug‘ini bergan.
• Boshlang‘ich shartni kiritish ablatsiya tajribasida yaqinlashishni tezlashtirgan.
• O‘rganiladigan RBF markazlari 2B kichrayuvchi tomchi masalasida harakatlanuvchi interfeys atrofida zichlashgan.
• STFE-PINN bashorati sinovdan o‘tkazilgan 1B masalada energiya so‘nishi va maksimal chegara prinsipini sonli tarzda saqlagan.
• Vaqt sohasini ajratish uzoq muddatli 2B tomchi masalasida barqaror ketma-ket yechim hosil qilgan.
• Usul 1B, 2B va 3B Allen–Cahn benchmarklarida ishlatilgan.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan umumlashtirishlar

• Tadqiqot fizik laboratoriya yoki dala tajribasi emas; natijalar sonli simulyatsiyalarga tegishli.
• STFE-PINN barcha PDE larda standart PINN dan ustun ekani ko‘rsatilmagan.
• Usul barcha RBF sonlari va shakl parametrlari uchun bir xil aniqlikka ega, deb bo‘lmaydi; sezgirlik tajribasi buning aksini ko‘rsatadi.
• 3B misolda yuqori aniqlikdagi etalonga nisbatan miqdoriy xato metrikasi berilmagan.
• Materialshunoslik, suyuqliklar mexanikasi, sinish mexanikasi yoki tasvirni qayta ishlashdagi real qo‘llanmalarda bevosita tekshirish o‘tkazilmagan.
• Boshqa faza maydoni modellari, reaksiya-diffuziya tizimlari va suyuqlik dinamikasi masalalari maqolaning tasdiqlangan natijasi emas, kelajakdagi tadqiqot maqsadlaridir.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha: An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

Mualliflar: Zhiwen Wang; Minxin Chen.

Mas’ul muallif: Zhiwen Wang.

Muassasalar: School of Mathematics and Statistics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou 215006, China.

Jurnal: Mathematics.

Nashriyot: MDPI.

Bibliografik yozuv: Mathematics 2026, 14(13), 2344.

DOI: 10.3390/math14132344

Rasmiy havola: https://doi.org/10.3390/math14132344

Yuborilgan: 7 iyun 2026. Tahrir: 27 iyun 2026. Qabul: 30 iyun 2026. Nashr: 2 iyul 2026.

Manba turi: Taqrizdan o‘tgan tadqiqot maqolasi; matematik modellashtirish va fizika-ma’lumotli mashinaviy o‘rganishga oid sonli tadqiqot.

Litsenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Moliyalashtirish: Zhiwen Wang Xiamen University of Technology School of Mathematics and Statistics Scientific Research Start-up Project tomonidan YKJ25065R va 5019926048/0171 raqamli grantlar bilan qo‘llab-quvvatlangan.

Ma’lumot va kod mavjudligi: Mualliflar manba kodi va tadqiqotni qo‘llab-quvvatlovchi ma’lumotlar GitHub da ochiq ekanini bildiradi. Repozitoriyda PyTorch 2.5.1, NumPy, batafsil paket versiyalari, buyruq satri ko‘rsatmalari hamda maqoladagi jadval va rasmlarni qayta yaratish uchun konfiguratsiya fayllari mavjudligi qayd etilgan.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Mualliflar manfaatlar to‘qnashuvi yo‘qligini bildirgan.

Muallif hissalari: Konseptuallashtirish va metodologiya Zhiwen Wang va Minxin Chen; dasturiy ta’minot, verifikatsiya, formal tahlil, tadqiqot, ma’lumotlarni kuratsiya qilish, dastlabki qoralama va vizualizatsiya Zhiwen Wang; resurslar, ko‘rib chiqish/tahrirlash, rahbarlik va loyiha boshqaruvi Minxin Chen; moliyalashtirishni jalb qilish Zhiwen Wang tomonidan bajarilgan.

Asosiy metodologik cheklov: Tadqiqotning tekshiruvi analitik yoki yuqori aniqlikdagi sonli etalonlar mavjud bo‘lgan benchmark masalalarga tayangan. Uch o‘lchamli misolda yuqori aniqlikdagi etalon hisoblanmagani sababli baholash yo‘qotish yaqinlashuvi va yechimning sifat jihatidan fizik xatti-harakati bilan cheklangan.

Manba ichidagi belgilash izohi: Vaqt sohasini ajratishdagi e’lon qilingan Tenglama (12)–(13) interfeysni \(T_k\) bilan ko‘rsatsa, undan keyingi Tenglama (14) va matnli ta’rif interfeysni \(T_{k-1}\) sifatida ishlatadi. Verianla bu farqni jim tarzda tuzatmagan.