Мейкиндик-убакыт өзгөчөлүктөрүн киргизген физика-маалыматтуу нейрондук тармак (Spatiotemporal Feature Embedding Physics-Informed Neural Network, STFE-PINN) — Allen–Cahn теңдемесинде, айрыкча жука фазалык интерфейстерде пайда болгон кескин мейкиндик өзгөрүүлөрүн үйрөнүү үчүн стандарттык PINN түзүмүн бири-бирин толуктаган эки өзгөчөлүк менен жакшырткан сандык чечүү ыкмасы. Мейкиндик координаттары борборлору жана форма параметрлери үйрөнүлө турган Гаусс радиалдык базистик функциялары (RBF) менен иштетилет; баштапкы шарт \(u_0(x)\) болсо жоготуу функциясындагы чектөө катары гана калтырылбастан, түздөн-түз тармактын киришине кошулат. Узак убакыт аралыктарында убакыт облусу да бөлүктөргө бөлүнүп, өзүнчө STFE-PINN тармактары ырааттуу түрдө үйрөтүлөт.

Бир өлчөмдүү негизги салыштырууда STFE-PINNдин салыштырма \(L^2\) катасы 0,0031 деп билдирилип, салыштырылган PINN варианттарынын бардыгынан төмөн болгон. Жүрүүчү толкун абляциясында стандарттык PINNдин катасы \(1,48\times10^{-2}\) болсо, RBF киргизүү гана \(4,54\times10^{-4}\), баштапкы шартты киргизүү гана \(3,57\times10^{-3}\), эки киргизүү чогуу колдонулган толук STFE-PINN болсо \(6,30\times10^{-5}\) ката берген. Эки өлчөмдүү тамчынын кичирейүү тажрыйбасында чекиттик каталар болжол менен \(10^{-3}\) тартибинде калган; RBF борборлорунун кыймылдуу интерфейстин айланасына топтолгону байкалган. Үч өлчөмдүү сыноодо болсо жогорку ажыратуучулуктагы эталондук чечимди эсептөө өтө кымбат болгондуктан, текшерүү негизинен жоготуу жүрүм-туруму жана божомолдонгон сфералык интерфейстин сапаттык эволюциясы аркылуу жүргүзүлгөн.

Бул жыйынтыктар STFE-PINN изилдөөдө сыналган Allen–Cahn benchmark маселелеринде кескин фазалык интерфейстерди чечүүнү жана узак мөөнөттүү оптималдаштырууну жакшырта аларын көрсөтөт. Бирок бул изилдөө чыныгы физикалык материалдык тажрыйба эмес; жыйынтыктар сандык PDE benchmark маселелерине тиешелүү жана башка жарым-жартылай дифференциалдык теңдемелерге автоматтык түрдө жалпылоого болбойт.

STFE-PINN Деген Эмне жана Ал Стандарттык PINNден Кантип Айырмаланат?

STFE-PINN — стандарттык PINNдин мейкиндик-убакыт координаттарын колдонгон киришине үйрөнүлүүчү RBF мейкиндик өзгөчөлүктөрүн жана баштапкы шарт өзгөчөлүгүн кошкон, зарыл болсо убакытты өз алдынча үйрөтүлүүчү кичи аралыктарга бөлгөн PINN архитектурасы; максаты стандарттык PINN айрыкча жука Allen–Cahn фазалык интерфейстеринде кыйналган жогорку жыштыктагы жана кескин өзгөрүүлөрдү такыраак көрсөтүү.

Allen–Cahn теңдемеси эмнени моделдейт?

Allen–Cahn теңдемеси фазалык талаа моделдеринде ар башка фазаларды бири-биринен бөлгөн жайылган интерфейстердин убакыт боюнча эволюциясын сүрөттөгөн сызыктуу эмес жарым-жартылай дифференциалдык теңдеме. Макалада колдонулган жалпы түрү:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu(u)\left(\varepsilon^2\Delta u-f(u)\right), \qquad (x,t)\in\Omega\times(0,T]. \tag{1} \]

Теңдеме (1) эмнени эсептейт? Фазалык талаа өзгөрмөсү \(u\)нун убакыт боюнча өзгөрүү ылдамдыгын эсептейт. \(u\) системадагы фазалык абалды билдирет; \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) — мейкиндиктик облус; \(t\) — убакыт; \(\mu(u)\) — мобилдүүлүк функциясы; \(\varepsilon>0\) — интерфейстин туурасын башкарган кичине параметр; \(\Delta u\) Лаплас оператору аркылуу мейкиндиктик таралууну, ал эми \(f(u)\) эркин энергия потенциалынан келип чыккан сызыктуу эмес түрткү берүүчү мүчөнү билдирет.

\(\varepsilon\) кичирейген сайын интерфейстин мүнөздүү калыңдыгы \(O(\varepsilon)\) деңгээлине түшөт. Бул сандык жактан маанилүү: ошол эле мейкиндик облусунда \(u\)нун кыйла кескин өзгөрүүсү пайда болуп, чечүү ыкмасы үчүн жогорку жыштыктагы мейкиндик өзгөчөлүктөрүн көрсөтүү кыйындайт.

Теңдеме (2): Баштапкы шарт

\[ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\Omega. \tag{2} \]

\(u_0(x)\) — системанын \(t=0\) учурундагы баштапкы фазалык бөлүштүрүлүшү. Стандарттык PINN бул шартты жоготуу функциясы аркылуу киргизет. STFE-PINNдин жаңылыктарынын бири ошол эле \(u_0(x)\) маалыматын тармактын кириш өзгөчөлүгү катары да алып жүрүшү.

Теңдеме (3): Кош чуңкурлуу эркин энергия потенциалы

\[ F(u)=\frac{1}{4}(u^2-1)^2, \qquad f(u)=u^3-u. \tag{3} \]

\(F(u)\) — эки туруктуу абалдын айланасында минимум түзгөн кош чуңкурлуу потенциал. Анын туундусунан алынган \(f(u)=u^3-u\) Allen–Cahn теңдемесиндеги сызыктуу эмес реакция мүчөсү. \(u=\pm1\) айланасындагы фазалык абалдар ушул потенциалдын эки чуңкуру менен байланыштуу.

Теңдеме (4): Жалпы эркин энергия

\[ E(u)= \int_{\Omega} \left( \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla u|^2+F(u) \right)\,dx. \tag{4} \]

Биринчи мүчө фазалык талаанын мейкиндикте тез өзгөрүшүн энергетикалык жактан кымбат кылат; экинчи мүчө болсо \(u\)нун потенциалдык энергияга кошкон салымын билдирет. \(|\nabla u|^2\) айрыкча фазалык интерфейстерде чоңоёт. Ошентип, энергия функционалы интерфейстин геометриясын да, жергиликтүү фазалык абалды да бирге баалайт.

Теңдеме (5): Энергиянын басаңдоо мыйзамы

\[ \frac{dE(u(t))}{dt}\leq0. \tag{5} \]

Бул теңсиздик Allen–Cahn динамикасынын градиенттик агым мүнөзүн көрсөтөт: убакыт өткөн сайын система жалпы эркин энергияны көбөйтпөшү керек. Макала кийинки сандык тажрыйбалардын биринде STFE-PINN чечими бул касиетти сактайбы-жокпу, өзүнчө текшерет.

Стандарттык PINNдин математикалык түзүлүшү

Авторлор адегенде жалпы PDE маселесин төмөнкүдөй аныкташат:

\[ \begin{cases} \mathcal{L}u(x,t)=f(x,t), &(x,t)\in\Omega\times[0,T],\\ \mathcal{B}u(x,t)=g(x,t), &(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T],\\ u(x,0)=u_0(x), &x\in\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

\(\mathcal L\) — дифференциалдык оператор, \(\mathcal B\) — чек ара шартынын оператору, \(f\) — PDEнин белгилүү булак мүчөсү, \(g\) — чек арадагы чектөө, \(u_0\) — баштапкы шарт. PINNдин милдети ушул үч шартты бир учурда мүмкүн болушунча жакшы аткарган жакындатылган \(u(x,t)\) функциясын үйрөнүү.

Теңдеме (7): Толук байланышкан PINN

\[ \tilde u(x,t;\theta)= W^{[L]} \sigma\!\left( W^{[L-1]} \sigma\!\left( \cdots \sigma\!\left( W^{[0]}[x|t]+b^{[0]} \right) \cdots \right) +b^{[L-1]} \right) +b^{[L]}. \tag{7} \]

\([x|t]\) — мейкиндик жана убакыт координаттарынын мамыча багытында бириктирилиши. \(W^{[l]}\) — салмак матрицалары, \(b^{[l]}\) — bias векторлору, \(\sigma\) — сызыктуу эмес активдештирүү функциясы жана \(\theta\) — бардык үйрөнүлүүчү тармак параметрлери. Тармактын чыгышы \(\tilde u\) — чыныгы PDE чечиминин нейрондук тармак аркылуу жакындатылышы.

Теңдеме (8): PINN жоготуу функциясы

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal{L}\tilde u(x_r^i,t_r^i;\theta) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal{B}\tilde u(x_b^j,t_b^j;\theta) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} \left( \tilde u(x_0^k,0;\theta)-u_0(x_0^k) \right)^2. \end{aligned} \tag{8} \]

Биринчи мүчө PDE калдыгынын катасын, экинчи мүчө чек ара шартынын катасын, үчүнчү мүчө баштапкы шарттын катасын өлчөйт. \(N_r\), \(N_b\) жана \(N_0\) тиешелүүлүгүнө жараша ички облус, чек ара жана баштапкы үлгүлөрдүн саны. \(\lambda_b\) жана \(\lambda_0\) бул физикалык чектөөлөрдүн жоготуу функциясындагы салыштырма салмагын башкарат. Тармак Adam оптимизатору менен жалпы жоготууну азайтуу үчүн үйрөтүлөт.

Теңдеме (9): Үйрөнүлүүчү RBF мейкиндик өзгөчөлүгү

\[ \Phi(x;w,c,d) = \sum_{i=1}^{N} w_i\, \phi\!\left( \|x-c_i\|;d_i \right). \tag{9} \]

\(N\) — RBF саны; \(c_i\) — RBF борбору, \(d_i\) — форма параметри, \(w_i\) — салмак. Изилдөө Гаусс радиалдык базистик функциясын колдонот. Борбордон алыстаган сайын Гаусс функциясынын мааниси тез азайгандыктан, RBFтер жергиликтүү мейкиндик түзүмдөрүн көрсөтө алат. Маанилүү жагы — борборлор, форма параметрлери жана салмактар туруктуу эмес, окутуу маалында үйрөнүлөт.

Бул өзгөчөлүк айрыкча кескин фазалык интерфейстер үчүн маанилүү. RBF параметрлери окутуу маалында ылайыктуу мейкиндик аймактарына топтоло алгандыктан, тармак стандарттык координат кириши көрсөтүүдө кыйналган тез мейкиндик өзгөрүүлөрдү кошумча өзгөчөлүк мейкиндигинде бере алат.

Теңдеме (10): RBF өзгөчөлүгүн PINNге кошуу

\[ \tilde u(x,t,\Phi;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)]; \theta \right). \tag{10} \]

Стандарттык PINN \([x|t]\) маалыматын гана алса, бул түзүм \([x|t|\Phi]\) векторун колдонот. Ошентип, тармак бир эле физикалык координатка түздөн-түз координат катары да, RBF тармагы түзгөн мейкиндиктик көрсөтүү аркылуу да жетет.

Теңдеме (11): Баштапкы шартты да өзгөчөлүк катары киргизүү

\[ \tilde u(x,t,\Phi,u_0;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)|u_0(x)]; \theta \right). \tag{11} \]

Бул этапта баштапкы шарт эми Теңдеме (8)деги айып мүчөсү гана эмес. \(u_0(x)\) бардык убакыт чекиттеринде тармак киришинин бир бөлүгү. Авторлордун максаты — тармак баштапкы түзүлүш тууралуу маалыматты окутуунун бардык жүрүшүндө түз жеткиликтүү өзгөчөлүк катары алып жүрүшүн камсыз кылуу.

Убакыт облусун бөлүү

Узак убакыт аралыгын бир тармак менен чечүүдө ар башка убакыт бөлүктөрүндөгү градиент чоңдуктары тең салмаксыз болуп, ката топтолушу мүмкүн. Ошондуктан изилдөө \([0,T]\) аралыгын \(N_T\) тең бөлүккө бөлөт:

\[ \Delta t=\frac{T}{N_T}. \]

Ар бир кичи аралыкка бирдей архитектурага, бирок өз алдынча үйрөнүлүүчү параметрлерге ээ өзүнчө STFE-PINN дайындалат. Биринчи тармак жакындаганга чейин үйрөтүлөт, андан кийин анын параметрлери тоңдурулат. Кийинки тармак мурунку тармактын акыркы убакыттагы чечимин баштапкы маалымат катары колдонот.

Теңдеме (12) жана (13): Кичи аралыктардын үзгүлтүксүздүгү

Булакта жарыяланган теңдемелер төмөнкүчө:

\[ \tilde u^{(k)}(x,T_k) = \tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T, \tag{12} \]

\[ \partial_t\tilde u^{(k)}(x,T_k) = \partial_t\tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T. \tag{13} \]

Теңдеме (12) чечимдин маанисинде секирик болбошун; Теңдеме (13) болсо убакыт туундусунун да үзгүлтүксүз болушун максат кылат. Ошентип, позиция/маани гана эмес, убакыт багытындагы жантайыш да кичи тармак чек арасында бири-бирине байланыштырылат.

Булактагы белгилөө боюнча эскертүү: Бул эки жарыяланган теңдеме \(T_k\) колдонот. Бирок дароо алдындагы түшүндүрмө \(k\)-кичи аралык башталышын \((k-1)\)-аралыктын аягынан аларын айтат; төмөнкү Теңдеме (14) жана андан кийинки түшүндүрмө болсо бул интерфейсти \(T_{k-1}\) деп жазат. Verianla жарыяланган Теңдеме (12)–(13)тү унчукпай өзгөртпөйт.

Теңдеме (14): Кийинки убакыт кичи тармактарынын жоготуусу

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta_k) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal L\tilde u^{(k)}(x_r^i,t_r^i;\theta_k) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal B\tilde u^{(k)}(x_b^j,t_b^j;\theta_k) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \partial_t\tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\partial_t\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2. \end{aligned} \tag{14} \]

Алгачкы эки мүчө кайрадан PDE жана чек ара калдыктарын өлчөйт. Акыркы эки мүчө болсо жаңы кичи тармакты интерфейсте мурунку тоңдурулган тармак менен чечим мааниси жана убакыт туундусу жагынан дал келүүгө мажбурлайт. Ошентип, убакытты бөлүү бири-биринен үзүлгөн өз алдынча чечимдерди эмес, ырааттуу чечим чынжырын түзөт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Теңдеме (15): Салыштырма L2 ката метрикасы

\[ \operatorname{error} = \frac{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \tilde u(x_i,t_i)-u_r(x_i,t_i) \right)^2 } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} u_r(x_i,t_i)^2 } }. \tag{15} \]

\(\tilde u\) — STFE-PINN божомолу, \(u_r\) — жогорку тактыктагы классикалык ыкмадан же бар болсо аналитикалык чечимден алынган эталондук маани. Алым божомол менен эталондун ортосундагы жалпы квадраттык айырманы, бөлүм эталондук чечимдин чоңдугун нормалдаштырат. Метрика өлчөмсүз; кичине маани жогорку тактыкты билдирет.

Негизги окутуу жана эсептөө жөндөөлөрү

1B негизги Allen–Cahn салыштыруусу

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu \left( \varepsilon^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -(u^3-u) \right), \qquad x\in[-1,1],\quad t\in(0,1]. \tag{16} \]

Бул тажрыйбада \(\varepsilon^2=0,0001\) жана \(\mu=5\). Кичине \(\varepsilon\) мааниси интерфейстерди жука жана кескин кылат; ошондуктан бул тажрыйба тармактын татаал мейкиндик өтүүлөрүн чече алышын текшерет.

Периоддук чек ара шарттары:

\[ u(-1,t)=u(1,t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(-1,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(1,t) \tag{17} \]

жана баштапкы шарт:

\[ u(x,0)=x^2\cos(\pi x), \qquad x\in[-1,1] \tag{18} \]

деп берилген. Периоддук шарт облусунун сол жана оң учтарында чечимдин мааниси да, мейкиндик туундусу да дал келишин камсыз кылат.

Булактагы салыштырууда STFE-PINN эң төмөн ката маанисин берген. Авторлор ошондой эле STFE-PINN беш жашыруун катмарда 64 нейрон жана 500 RBF колдонгонуна карабай, айрым салыштырмалуу PINN түзүмдөрүнө караганда азыраак тармак параметри менен бул натыйжага жеткенин баса белгилешет. Салыштырылган ыкмалардын ката маанилери алардын түпнуска изилдөөлөрүнөн, ошол эле эталондук чечимге карата билдирилген маанилерден алынган.

RBF жана Баштапкы Шартты Киргизүү Өз-Өзүнчө Канча Салым Кошот?

Жүрүүчү толкун абляциясында эки өзгөчөлүк тең стандарттык PINNге салыштырмалуу катаны азайткан; RBF киргизүү көбүрөөк тактык пайдасын берген, баштапкы шартты киргизүү жакындашууну тездеткен, ал эми экөө бирге колдонулган STFE-PINN \(6,30\times10^{-5}\) менен эң төмөн акыркы катага жеткен.

Теңдеме (19): Жүрүүчү толкундун аналитикалык чечими

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,t) = \frac{1}{2} \left[ 1- \tanh \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right) \right]. \tag{19} \]

Бул аналитикалык чечим кескин өтүү зонасы убакыт өткөн сайын мейкиндикте жылган жүрүүчү толкунду билдирет. Аналитикалык чечимдин болушу STFE-PINN божомолун түздөн-түз чыныгы математикалык чечимге салыштырып өлчөөгө мүмкүндүк берет.

Теңдеме (20): Кайра масштабдалган Allen–Cahn формасы

\[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{F'_u(u(x,t))}{\varepsilon^2} + \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \qquad x\in(-\infty,\infty),\quad t>0. \tag{20} \]

Булак бул форма Теңдеме (1)ден \(t\leftarrow\varepsilon^2t\) убакытты кайра масштабдоо аркылуу алынганын билдирет. Ошондуктан физика ошол эле Allen–Cahn динамикасына байланыштуу бойдон калат, бирок колдонулган убакыт масштабы өзгөрөт.

Сандык чечүүдө чексиз мейкиндикти түз колдонууга болбогондуктан, облус \(L_x=-2\), \(R_x=5\) болгон чектүү аралыкка кесилген. \(\varepsilon=0,1\) жана \(T=\sqrt{\varepsilon}\) тандалган.

Теңдеме (21): Аналитикалык чечимдин мейкиндик туундусу

\[ \frac{\partial u_{\mathrm{exact}}}{\partial x}(x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{2\varepsilon}} \operatorname{sech}^{2} \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right). \tag{21} \]

Бул туунду бардык \(x\) маанилеринде терс. Бирок өтүү катмары эсептөө облусунун чек араларынан жетиштүү алыста болсо, \(L_x\) жана \(R_x\) чекиттеринде туунду нөлгө жакындайт. Ошондуктан булак чексиз облус маселесин чектүү облусунда жакындатып көрсөтүү үчүн бир тектүү Neumann чек ара шартын колдонгон.

Абляция жыйынтыктары

Толук модель стандарттык PINNге салыштырмалуу катаны болжол менен үч тартипке азайткан. Мунун ордуна параметрлердин саны 12.737-ден 14.365-ке, epoch башына окутуу убактысы 4,40 секунддан 5,88 секундга өскөн. Демек, тактыктагы пайда кошумча эсептөө жана параметр чыгымы менен бирге бааланууга тийиш.

RBF саны жана форма параметринин баштапкы аралыгы

Көбүрөөк RBF колдонуу автоматтык түрдө жакшы натыйжа бербегени көрүнөт. Сыналган беш конфигурациянын ичинен \(N=300\) жана \(d\in[0,10]\) так эң төмөн катаны берген. Калган төрт конфигурацияда ката \(10^{-3}\) тартибине чыккан; ошого карабай булак бардык сыноолордо ыкманын жакындаганын билдирет.

Энергиянын басаңдоосу жана максималдуу чек принциби тажрыйбасы

Бул сыноодо \((x,t)\in[-1,1]\times[0,1]\), \(\varepsilon^2=0,0001\) жана \(\mu=1,0\) колдонулган. Dirichlet чек ара шарттары:

\[ u(-1,t)=-1, \qquad u(1,t)=1 \tag{22} \]

жана баштапкы шарт:

\[ u(x,0) = 0,53x+ 0,47\sin(-1,5\pi x), \qquad x\in[-1,1]. \tag{23} \]

деп берилген. Баштапкы профилдин абсолюттук мааниси 1 менен чектелген. Булак божомолдонгон чечим менен эталондун ортосундагы чекиттик абсолюттук ката болжол менен \(10^{-3}\) тартибинде калганын билдирет.

Жалпы энергия Теңдеме (4)түн 201×201 бир калыптагы тордогу дискреттик аналогу менен эсептелип, убакыт боюнча монотондуу азайган. Бул байкоо Теңдеме (5)теги энергиянын басаңдоо мыйзамына шайкеш. Мындан тышкары, божомолдонгон четки маанилердин \([-1,1]\) чегинде калышы бул сыноодо максималдуу чек принциби да сандык түрдө сакталганына далил берген.

Эки өлчөмдүү Allen–Cahn benchmarkы

Облус:

\[ (x,y,t)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1] \]

жана параметрлер \(\varepsilon^2=0,0001\), \(\mu=5\). Аналитикалык чечим:

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,y,t) = e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \]

деп тандалып, ага ылайык булак мүчөсү:

\[ g(x,y,t) = 5\left( e^{-6\varepsilon^2t}\sin^3(x+y) - e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \right) \tag{24} \]

түрүндө чыгарылган. Баштапкы шарт \(u_0(x,y)=\sin(x+y)\) жана Dirichlet чек ара шарттары колдонулган.

Салыштырма \(L^2\) ката алгачкы бир нече жүз итерацияда тез азайып, болжол менен 200 итерациядан кийин \(10^{-4}\) тартибине жакындаган. \(t=1\) учурдагы чекиттик абсолюттук ката болсо болжол менен \(10^{-3}\) тартибинде.

2B бир тамчынын кичирейиши

Облус \(\Omega=[0,1]^2\) жана бир тектүү Neumann шарты:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega \tag{25} \]

деп берилген. \(\partial/\partial n\) чек аранын сырткы нормаль багытындагы туундуну билдирет; анын нөл болушу чек ара боюнча нормаль багытында агым жок экенин көрсөтөт.

Баштапкы тегерек интерфейс:

\[ u(x,y,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{(x-0,5)^2+(y-0,5)^2} }{ 2\varepsilon } \right) \tag{26} \]

менен аныкталган. \(\mu=10\), \(\varepsilon=0,025\). Борбор \((0,5,0,5)\), баштапкы радиусту аныктаган босого 0,35. Tanh функциясы эки фазанын ортосунда кескин, бирок үзгүлтүксүз өтүү катмарын түзөт.

Узак убакыт горизонту \(T=10\), \(N_T=5\) убакыт кичи аралыгына бөлүнүп, ар бир кичи аралык \(\Delta t=2\) узундугунда алынган. Ар бир кичи аралыкта 500.000 ички коллокация чекити, төрт капталда жалпы 1.200 чек ара чекити жана 800 баштапкы чекит колдонулган. Batch size 2.048.

Божомолдонгон тегерек интерфейс \(t=0,2,4,6,8,10\) боюнча улам кичирейип, акырында жоголгон. Жогорку ажыратуучулуктагы классикалык эталондук чечимге салыштырмалуу чекиттик каталар болжол менен \(10^{-3}\) тартибинде калган жана негизинен кыймылдуу кескин интерфейстин айланасына топтолгон.

Бул тажрыйбада үйрөнүлгөн Гаусс RBF борборлору да каралган. Борборлор беш убакыт кичи аралыгында кичирейген тамчынын кыймылдуу интерфейсин ээрчий тургандай топтолгону билдирилген. Бул байкоо RBF өзгөчөлүгү кошумча параметр гана жаратпастан, кескин мейкиндик өзгөрүү болгон аймакка ылайыктала аларын көрсөтөт.

3B бир тамчынын кичирейиши

Үч өлчөмдүү маселе \(\Omega=[0,1]^3\) облусунда ошол эле бир тектүү Neumann шартын колдонот:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega. \tag{27} \]

Баштапкы сфералык интерфейс:

\[ u(x,y,z,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{ (x-0,5)^2+ (y-0,5)^2+ (z-0,5)^2 } }{ 2\varepsilon } \right). \tag{28} \]

Бул жерде \(\mu=10\) жана \(\varepsilon=0,05\). Бул теңдеме 2B тегерек баштапкы шарттын түз үч өлчөмдүү сфералык аналогу.

Үч өлчөмдүү окутууда 2.000.000 ички коллокация чекити, кубдун алты бетинде ар бир бетке 100×100 болуп жалпы 60.000 чек ара чекити, \(t=0\) учурда 1.000 баштапкы чекит жана 4.096 batch size колдонулган.

Божомолдонгон \(u=0\) изобети \(t=0,\ 0,25,\ 0,5,\ 1,0,\ 1,25,\ 1,5\) учурларында улам кичирейген шарды көрсөтүп, мурдагы изилдөөдөгү сапаттык натыйжаларга шайкеш келген. Окутуу жоготуусу туруктуу азайган; жалпы жоготууга негизги салым PDE калдык мүчөсүнөн келгени билдирилген.

Маанилүү чечмелөө чеги: Үч өлчөмдүү маселеде жогорку ажыратуучулуктагы эталондук чечимди эсептөө өтө кымбат болгондуктан, авторлор 1B жана 2B мисалдардагыдай так салыштырма \(L^2\) тактык салыштыруусун жүргүзгөн эмес. Ошондуктан 3B бөлүмүндөгү ийгиликтүү жакындашуу жана сфералык кичирейүү жүрүм-туруму жогорку ажыратуучулуктагы эталонго каршы сандык ката текшерүүсү менен чаташтырылбашы керек.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• STFE-PINN изилдөөнүн 1B негизги салыштыруусунда сыналган PINN варианттарынын арасында эң төмөн билдирилген салыштырма \(L^2\) катаны берген.
• RBF мейкиндик киргизүүсү жана баштапкы шартты киргизүү өз-өзүнчө стандарттык PINNди жакшыртып, чогуу колдонулганда күчтүүрөөк тактык пайдасын берген.
• Баштапкы шартты киргизүү абляция тажрыйбасында жакындашууну тездеткен.
• Үйрөнүлүүчү RBF борборлору 2B кичирейген тамчы маселесинде кыймылдуу интерфейстин айланасына топтолгон.
• STFE-PINN божомолу сыналган 1B маселеде энергиянын басаңдоосун жана максималдуу чек принцибин сандык түрдө сактаган.
• Убакыт облусун бөлүү узак мөөнөттүү 2B тамчы маселесинде туруктуу ырааттуу чечим түзгөн.
• Ыкма 1B, 2B жана 3B Allen–Cahn benchmark маселелеринде колдонулган.

Изилдөө колдобогон жалпылоолор

• Изилдөө физикалык лабораториялык же талаа тажрыйбасы эмес; жыйынтыктар сандык симуляцияларга тиешелүү.
• STFE-PINN бардык PDEлерде стандарттык PINNден артык экени көрсөтүлгөн эмес.
• Ыкма бардык RBF сандары жана форма параметрлери үчүн бирдей тактыкка ээ деп айтууга болбойт; сезгичтик тажрыйбасы мунун тескерисин көрсөтөт.
• 3B мисалда жогорку ажыратуучулуктагы эталонго каршы сандык ката метрикасы билдирилген эмес.
• Материал таануу, суюктук механикасы, сынуу механикасы же сүрөт иштетүүдөгү реалдуу колдонмолордо түз текшерүү жүргүзүлгөн эмес.
• Башка фазалык талаа моделдери, реакция-диффузия системалары жана суюктук динамикасы маселелери макаланын текшерилген жыйынтыгы эмес, келечектеги изилдөө максаттары.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталышы: An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

Авторлор: Zhiwen Wang; Minxin Chen.

Жооптуу автор: Zhiwen Wang.

Мекемелер: School of Mathematics and Statistics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou 215006, China.

Журнал: Mathematics.

Басмакана: MDPI.

Библиографиялык жазуу: Mathematics 2026, 14(13), 2344.

DOI: 10.3390/math14132344

Расмий шилтеме: https://doi.org/10.3390/math14132344

Тапшыруу: 7 июнь 2026. Ревизия: 27 июнь 2026. Кабыл алуу: 30 июнь 2026. Жарыя: 2 июль 2026.

Булак түрү: Рецензияланган изилдөө макаласы; математикалык моделдөө жана физика-маалыматтуу машиналык үйрөнүү боюнча сандык изилдөө.

Лицензия: Creative Commons Attribution (CC BY).

Каржылоо: Zhiwen Wang Xiamen University of Technology School of Mathematics and Statistics Scientific Research Start-up Project тарабынан YKJ25065R жана 5019926048/0171 номерлүү гранттар менен колдоого алынган.

Маалымат жана коддун жеткиликтүүлүгү: Авторлор баштапкы код жана изилдөөнү колдогон маалыматтар GitHubда ачык экенин билдиришет. Репозиторийде PyTorch 2.5.1, NumPy, пакет версияларынын деталдары, командалык сап нускамалары жана макаладагы таблица менен сүрөттөрдү кайра жаратуу үчүн конфигурация файлдары бар экени маалымдалган.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришкен.

Автордук салымдар: Концептуалдаштыруу жана методология — Zhiwen Wang жана Minxin Chen; программалык камсыздоо, текшерүү, формалдуу анализ, изилдөө, маалыматтарды курациялоо, алгачкы долбоор жана визуалдаштыруу — Zhiwen Wang; ресурстар, карап чыгуу/редакциялоо, кеңеш берүү жана долбоорду башкаруу — Minxin Chen; каржылоону алуу — Zhiwen Wang.

Негизги методологиялык чектөө: Изилдөөнүн текшерүүсү аналитикалык же жогорку тактыктагы сандык эталондор бар benchmark маселелерине негизделет. Үч өлчөмдүү мисалда жогорку ажыратуучулуктагы эталон эсептелбегендиктен, баалоо жоготуунун жакындашуусу жана чечимдин сапаттык физикалык жүрүм-туруму менен чектелет.

Булактагы белгилөө боюнча эскертүү: Убакыт облусун бөлүүдөгү жарыяланган Теңдеме (12)–(13) интерфейсти \(T_k\) менен көрсөтсө, андан кийинки Теңдеме (14) жана тексттик аныктама интерфейсти \(T_{k-1}\) катары колдонот. Verianla бул айырманы унчукпай оңдогон эмес.