Məkan-zaman xüsusiyyətlərinin daxil edildiyi fizika-məlumatlı neyron şəbəkə (Spatiotemporal Feature Embedding Physics-Informed Neural Network, STFE-PINN), Allen–Cahn tənliyində xüsusilə nazik faza sərhədlərində yaranan kəskin məkan dəyişikliklərini öyrənə bilmək üçün standart PINN quruluşunu bir-birini tamamlayan iki xüsusiyyətlə təkmilləşdirən ədədi həll üsuludur. Məkan koordinatları mərkəzləri və forma parametrləri öyrənilə bilən Qauss radial bazis funksiyaları (RBF) ilə işlənir; başlanğıc şərti \(u_0(x)\) isə yalnız itki funksiyasında məhdudiyyət kimi saxlanılmır, birbaşa şəbəkə girişinə əlavə edilir. Uzun zaman intervallarında isə zaman sahəsi alt hissələrə bölünür və ayrıca STFE-PINN şəbəkələri ardıcıl şəkildə öyrədilir.

Birölçülü əsas müqayisədə STFE-PINN-in nisbi \(L^2\) xətası 0,0031 olaraq bildirilmiş və müqayisə edilən bütün PINN variantlarından aşağı olmuşdur. Hərəkət edən dalğa üzrə ablyasiya sınağında standart PINN-in xətası \(1,48\times10^{-2}\) olduğu halda, yalnız RBF daxil edilməsi \(4,54\times10^{-4}\), yalnız başlanğıc şərtinin daxil edilməsi \(3,57\times10^{-3}\), hər iki daxil etmənin birlikdə istifadə edildiyi tam STFE-PINN isə \(6,30\times10^{-5}\) xəta vermişdir. İkiölçülü damlanın kiçilməsi təcrübəsində nöqtəvi xətalar təxminən \(10^{-3}\) mərtəbəsində qalmış; RBF mərkəzlərinin hərəkətli sərhəd ətrafında sıxlaşdığı müşahidə edilmişdir. Üçölçülü sınaqda isə yüksək ayırdetməli istinad həllinin hesablanması həddindən artıq bahalı olduğuna görə doğrulama əsasən itkinin davranışı və proqnozlaşdırılan sferik sərhədin keyfiyyətcə təkamülü üzrə aparılmışdır.

Bu nəticələr STFE-PINN-in tədqiqatda sınaqdan keçirilmiş Allen–Cahn benchmarklarında kəskin faza sərhədlərinin həllini və uzunmüddətli optimallaşdırmanı yaxşılaşdıra bildiyini göstərir. Lakin tədqiqat real fiziki material təcrübəsi deyil; nəticələr ədədi PDE benchmarklarına aiddir və digər qismən diferensial tənliklərə avtomatik şəkildə ümumiləşdirilə bilməz.

STFE-PINN Nədir və Standart PINN-dən Necə Fərqlənir?

STFE-PINN, standart PINN-in məkan-zaman koordinatlarından istifadə edən girişinə öyrənilə bilən RBF məkan xüsusiyyətləri ilə başlanğıc şərti xüsusiyyətini əlavə edən və lazım gəldikdə zamanı müstəqil şəkildə öyrədilən alt intervallara bölən PINN arxitekturasıdır; məqsəd standart PINN-in xüsusilə nazik Allen–Cahn faza sərhədlərində çətinlik çəkdiyi yüksək tezlikli və kəskin dəyişiklikləri daha dəqiq təmsil etməkdir.

Allen–Cahn tənliyi nəyi modelləşdirir?

Allen–Cahn tənliyi faza sahəsi modellərində müxtəlif fazaları bir-birindən ayıran diffuz sərhədlərin zaman üzrə təkamülünü təsvir edən qeyri-xətti qismən diferensial tənlikdir. Məqalədə istifadə edilən ümumi forma:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu(u)\left(\varepsilon^2\Delta u-f(u)\right), \qquad (x,t)\in\Omega\times(0,T]. \tag{1} \]

Tənlik (1) nəyi hesablayır? Faza sahəsi dəyişəni \(u\)-nun zamana görə dəyişmə sürətini hesablayır. \(u\), sistemdəki faza vəziyyətini təmsil edir; \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) məkan oblastıdır; \(t\) zamandır; \(\mu(u)\) hərəkətlilik funksiyasıdır; \(\varepsilon>0\) sərhəd enini idarə edən kiçik parametrdir; \(\Delta u\) Laplas operatoru vasitəsilə məkan yayılmasını, \(f(u)\) isə sərbəst enerji potensialından yaranan qeyri-xətti hərəkətverici termini təmsil edir.

\(\varepsilon\) kiçildikcə sərhədin xarakterik qalınlığı \(O(\varepsilon)\) səviyyəsinə enir. Bu, ədədi baxımdan vacibdir: eyni məkan oblastında \(u\)-nun daha kəskin dəyişməsi baş verir və həll üsulunun yüksək tezlikli məkan xüsusiyyətlərini təmsil etməsi çətinləşir.

Tənlik (2): Başlanğıc şərti

\[ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\Omega. \tag{2} \]

\(u_0(x)\), sistemin \(t=0\) anındakı ilkin faza paylanmasıdır. Standart PINN bu şərti itki funksiyası ilə tətbiq edir. STFE-PINN-in yeniliklərindən biri eyni \(u_0(x)\) məlumatını əlavə olaraq şəbəkənin giriş xüsusiyyəti kimi də daşımasıdır.

Tənlik (3): İki quyulu sərbəst enerji potensialı

\[ F(u)=\frac{1}{4}(u^2-1)^2, \qquad f(u)=u^3-u. \tag{3} \]

\(F(u)\), iki sabit vəziyyət ətrafında minimum yaradan iki quyulu potensialdır. Onun törəməsindən alınan \(f(u)=u^3-u\), Allen–Cahn tənliyindəki qeyri-xətti reaksiya terminidir. \(u=\pm1\) ətrafındakı faza vəziyyətləri bu potensialın iki quyusu ilə əlaqəlidir.

Tənlik (4): Ümumi sərbəst enerji

\[ E(u)= \int_{\Omega} \left( \frac{\varepsilon^2}{2}|\nabla u|^2+F(u) \right)\,dx. \tag{4} \]

Birinci termin faza sahəsinin məkanda sürətlə dəyişməsini enerji baxımından baha edir; ikinci termin isə \(u\)-nun potensial enerji töhfəsini təmsil edir. \(|\nabla u|^2\) xüsusilə faza sərhədlərində böyüyür. Beləliklə, enerji funksionalı həm sərhəd həndəsəsini, həm də lokal faza vəziyyətini birlikdə qiymətləndirir.

Tənlik (5): Enerjinin sönməsi qanunu

\[ \frac{dE(u(t))}{dt}\leq0. \tag{5} \]

Bu bərabərsizlik Allen–Cahn dinamikasının qradient-axın xarakterini ifadə edir: sistem zaman irəlilədikcə ümumi sərbəst enerjini artırmamalıdır. Məqalə sonrakı ədədi təcrübələrdən birində STFE-PINN həllinin bu xüsusiyyəti qoruyub-qorumadığını ayrıca sınaqdan keçirir.

Standart PINN-in riyazi quruluşu

Müəlliflər əvvəlcə ümumi bir PDE problemini aşağıdakı formada müəyyənləşdirirlər:

\[ \begin{cases} \mathcal{L}u(x,t)=f(x,t), &(x,t)\in\Omega\times[0,T],\\ \mathcal{B}u(x,t)=g(x,t), &(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T],\\ u(x,0)=u_0(x), &x\in\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

\(\mathcal L\) diferensial operator, \(\mathcal B\) sərhəd şərti operatoru, \(f\) PDE-nin məlum mənbə termini, \(g\) sərhəddəki məhdudiyyət və \(u_0\) başlanğıc şərtidir. PINN-in vəzifəsi bu üç şərti eyni vaxtda mümkün qədər yaxşı ödəyən təxmini \(u(x,t)\) funksiyasını öyrənməkdir.

Tənlik (7): Tam əlaqəli PINN

\[ \tilde u(x,t;\theta)= W^{[L]} \sigma\!\left( W^{[L-1]} \sigma\!\left( \cdots \sigma\!\left( W^{[0]}[x|t]+b^{[0]} \right) \cdots \right) +b^{[L-1]} \right) +b^{[L]}. \tag{7} \]

\([x|t]\), məkan və zaman koordinatlarının sütun istiqamətində birləşdirilməsidir. \(W^{[l]}\) çəki matrisləri, \(b^{[l]}\) bias vektorları, \(\sigma\) qeyri-xətti aktivləşdirmə funksiyası və \(\theta\) bütün öyrənilə bilən şəbəkə parametrləridir. Şəbəkənin çıxışı \(\tilde u\), həqiqi PDE həllinin neyron şəbəkə yaxınlaşmasıdır.

Tənlik (8): PINN itki funksiyası

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal{L}\tilde u(x_r^i,t_r^i;\theta) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal{B}\tilde u(x_b^j,t_b^j;\theta) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} \left( \tilde u(x_0^k,0;\theta)-u_0(x_0^k) \right)^2. \end{aligned} \tag{8} \]

Birinci termin PDE qalıq xətasını, ikinci termin sərhəd şərti xətasını, üçüncü termin başlanğıc şərti xətasını ölçür. \(N_r\), \(N_b\) və \(N_0\) müvafiq olaraq daxili oblast, sərhəd və başlanğıc nümunələrinin sayıdır. \(\lambda_b\) və \(\lambda_0\), bu fiziki məhdudiyyətlərin itki funksiyasındakı nisbi çəkilərini idarə edir. Şəbəkə Adam optimallaşdırıcısı ilə bu ümumi itkini azaltmaq üçün öyrədilir.

Tənlik (9): Öyrənilə bilən RBF məkan xüsusiyyəti

\[ \Phi(x;w,c,d) = \sum_{i=1}^{N} w_i\, \phi\!\left( \|x-c_i\|;d_i \right). \tag{9} \]

\(N\) RBF sayıdır; \(c_i\) RBF mərkəzini, \(d_i\) forma parametrini, \(w_i\) çəkini göstərir. Tədqiqat Qauss radial bazis funksiyasından istifadə edir. Mərkəzdən uzaqlaşdıqca Qauss funksiyasının qiyməti sürətlə azaldığı üçün RBF-lər lokal məkan strukturlarını təmsil edə bilir. Kritik məqam mərkəzlərin, forma parametrlərinin və çəkilərin sabit olmaması, təlim zamanı öyrənilməsidir.

Bu xüsusiyyət xüsusilə kəskin faza sərhədləri baxımından vacibdir. RBF parametrləri təlim zamanı uyğun məkan bölgələrində sıxlaşa bildiyinə görə şəbəkə standart koordinat girişinin təmsil etməkdə çətinlik çəkdiyi sürətli məkan dəyişikliklərini əlavə xüsusiyyət fəzasında ifadə edə bilər.

Tənlik (10): RBF xüsusiyyətinin PINN-ə əlavə edilməsi

\[ \tilde u(x,t,\Phi;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)]; \theta \right). \tag{10} \]

Standart PINN yalnız \([x|t]\) məlumatını qəbul etdiyi halda, bu quruluş \([x|t|\Phi]\) vektorundan istifadə edir. Beləliklə, şəbəkə eyni fiziki koordinata həm birbaşa koordinat kimi, həm də RBF şəbəkəsinin yaratdığı məkan təsviri vasitəsilə çıxış əldə edir.

Tənlik (11): Başlanğıc şərtinin də xüsusiyyət kimi daxil edilməsi

\[ \tilde u(x,t,\Phi,u_0;\theta) = \mathcal N \left( [x|t|\Phi(x;w,c,d)|u_0(x)]; \theta \right). \tag{11} \]

Bu mərhələdə başlanğıc şərti artıq yalnız Tənlik (8)-dəki cəza termini deyil. \(u_0(x)\) bütün zaman nöqtələrində şəbəkə girişinin bir hissəsidir. Müəlliflərin məqsədi şəbəkənin ilkin struktur məlumatını təlim boyunca birbaşa əlçatan xüsusiyyət kimi daşımasını təmin etməkdir.

Zaman sahəsinin parçalanması

Uzun zaman intervalının tək şəbəkə ilə həllində müxtəlif zaman bölgələrində qradient böyüklükləri balanssızlaşa və xəta toplana bilər. Tədqiqat buna görə \([0,T]\) intervalını \(N_T\) bərabər hissəyə bölür:

\[ \Delta t=\frac{T}{N_T}. \]

Hər alt intervala eyni arxitekturaya, lakin müstəqil öyrənilə bilən parametrlərə malik ayrıca STFE-PINN təyin edilir. Birinci şəbəkə yaxınlaşana qədər öyrədilir və sonra parametrləri dondurulur. Növbəti şəbəkə əvvəlki şəbəkənin son zamanındakı həllini başlanğıc məlumatı kimi istifadə edir.

Tənlik (12) və (13): Alt intervallar arasında davamlılıq

Mənbədə dərc edilmiş tənliklər belədir:

\[ \tilde u^{(k)}(x,T_k) = \tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T, \tag{12} \]

\[ \partial_t\tilde u^{(k)}(x,T_k) = \partial_t\tilde u^{(k-1)}(x,T_k), \qquad k=2,3,\ldots,N_T. \tag{13} \]

Tənlik (12) həll qiymətində sıçrayışın yaranmamasını; Tənlik (13) isə zaman törəməsinin də davamlılığını hədəfləyir. Beləliklə, yalnız mövqe/qiymət deyil, zaman istiqamətindəki meyl də alt şəbəkə sərhədində bir-birinə bağlanır.

Mənbədaxili göstərim xəbərdarlığı: Bu iki dərc olunmuş tənlik \(T_k\)-dan istifadə edir. Lakin dərhal əvvəlki izah \(k\)-cı alt intervalın başlanğıcını \((k-1)\)-ci intervalın sonundan aldığını bildirir; aşağıdakı Tənlik (14) və onu izləyən izah isə bu interfeysi \(T_{k-1}\) kimi yazır. Verianla dərc edilmiş Tənlik (12)–(13)-ü səssizcə dəyişmir.

Tənlik (14): Sonrakı zaman alt şəbəkələrinin itkisi

\[ \begin{aligned} \operatorname{Loss}(\theta_k) ={}& \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left( \mathcal L\tilde u^{(k)}(x_r^i,t_r^i;\theta_k) -f(x_r^i,t_r^i) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_b}{N_b} \sum_{j=1}^{N_b} \left( \mathcal B\tilde u^{(k)}(x_b^j,t_b^j;\theta_k) -g(x_b^j,t_b^j) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2\\ &+ \frac{\lambda_0}{N_0} \sum_{l=1}^{N_0} \left( \partial_t\tilde u^{(k)}(x_0^l,T_{k-1};\theta_k) -\partial_t\tilde u^{(k-1)}(x_0^l,T_{k-1}) \right)^2. \end{aligned} \tag{14} \]

Birinci iki termin yenə PDE və sərhəd qalıqlarını ölçür. Son iki termin isə yeni alt şəbəkəni əvvəlki dondurulmuş şəbəkə ilə interfeysdə həm həll qiyməti, həm də zaman törəməsi baxımından uyğunlaşmağa məcbur edir. Beləliklə, zaman parçalanması bir-birindən qopuq müstəqil həllər yaratmaq əvəzinə ardıcıl həll zənciri qurur.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Tənlik (15): Nisbi L2 xəta metrikası

\[ \operatorname{error} = \frac{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \tilde u(x_i,t_i)-u_r(x_i,t_i) \right)^2 } }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} u_r(x_i,t_i)^2 } }. \tag{15} \]

\(\tilde u\) STFE-PINN proqnozu, \(u_r\) yüksək dəqiqlikli klassik üsuldan və ya mövcud olduqda analitik həlldən alınan istinad qiymətidir. Surət proqnoz ilə istinad arasındakı ümumi kvadratik fərqi ölçür, məxrəc isə istinad həllinin böyüklüyünə görə normallaşdırır. Metrika ölçüsüzdür; daha kiçik qiymət daha yüksək dəqiqlik deməkdir.

Əsas təlim və hesablama parametrləri

1B əsas Allen–Cahn müqayisəsi

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mu \left( \varepsilon^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} -(u^3-u) \right), \qquad x\in[-1,1],\quad t\in(0,1]. \tag{16} \]

Bu təcrübədə \(\varepsilon^2=0,0001\) və \(\mu=5\)-dir. Kiçik \(\varepsilon\) qiyməti sərhədlərin nazik və kəskin olmasını təmin edir; buna görə bu təcrübə şəbəkənin çətin məkan keçidlərini həll etmək qabiliyyətini sınayır.

Periodik sərhəd şərtləri:

\[ u(-1,t)=u(1,t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(-1,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(1,t) \tag{17} \]

və başlanğıc şərti:

\[ u(x,0)=x^2\cos(\pi x), \qquad x\in[-1,1] \tag{18} \]

kimi verilmişdir. Periodik şərt sahənin sol və sağ uclarında həm həll qiymətinin, həm də məkan törəməsinin uyğun gəlməsini təmin edir.

Mənbə müqayisəsində STFE-PINN ən aşağı xəta qiymətini vermişdir. Müəlliflər həmçinin STFE-PINN-in beş gizli qatda 64 neyron və 500 RBF istifadə etməsinə baxmayaraq bəzi müqayisəli PINN strukturlarına nisbətən daha az şəbəkə parametri ilə bu nəticəyə çatdığını vurğulayırlar. Müqayisə edilən üsulların xəta qiymətləri onların öz orijinal tədqiqatlarından, eyni istinad həllinə görə bildirilən qiymətlərdən götürülmüşdür.

RBF və Başlanğıc Şərtinin Daxil Edilməsi Ayrı-Ayrılıqda Nə Qədər Töhfə Verir?

Hərəkət edən dalğa ablyasiyasında hər iki xüsusiyyət standart PINN-lə müqayisədə xətanı azaltmışdır; RBF daxil edilməsi daha böyük dəqiqlik qazancı vermiş, başlanğıc şərtinin daxil edilməsi yaxınlaşmanı sürətləndirmiş, hər ikisinin birlikdə istifadə olunduğu STFE-PINN isə \(6,30\times10^{-5}\) ilə ən aşağı yekun xətaya çatmışdır.

Tənlik (19): Hərəkət edən dalğanın analitik həlli

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,t) = \frac{1}{2} \left[ 1- \tanh \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right) \right]. \tag{19} \]

Bu analitik həll kəskin keçid bölgəsinin zamanla məkanda irəlilədiyi hərəkət edən dalğanı təmsil edir. Analitik həllin mövcudluğu STFE-PINN proqnozunun birbaşa həqiqi riyazi həllə görə ölçülməsini mümkün edir.

Tənlik (20): Yenidən miqyaslandırılmış Allen–Cahn forması

\[ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -\frac{F'_u(u(x,t))}{\varepsilon^2} + \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}, \qquad x\in(-\infty,\infty),\quad t>0. \tag{20} \]

Mənbə bu formanın Tənlik (1)-dən \(t\leftarrow\varepsilon^2t\) zaman yenidən miqyaslandırılması ilə əldə edildiyini bildirir. Buna görə fizika eyni Allen–Cahn dinamikasına bağlı qalır, lakin istifadə edilən zaman miqyası dəyişir.

Ədədi həlldə sonsuz məkan birbaşa istifadə edilə bilmədiyindən sahə \(L_x=-2\), \(R_x=5\) olmaqla sonlu intervala kəsilmişdir. \(\varepsilon=0,1\) və \(T=\sqrt{\varepsilon}\) seçilmişdir.

Tənlik (21): Analitik həllin məkan törəməsi

\[ \frac{\partial u_{\mathrm{exact}}}{\partial x}(x,t) = -\frac{1}{4\sqrt{2\varepsilon}} \operatorname{sech}^{2} \left( \frac{ x-\dfrac{3t}{\sqrt{2\varepsilon}} }{ 2\sqrt{2\varepsilon} } \right). \tag{21} \]

Bu törəmə bütün \(x\) qiymətlərində mənfidir. Lakin keçid təbəqəsi hesablama sahəsinin sərhədlərindən kifayət qədər uzaqdırsa \(L_x\) və \(R_x\)-də törəmə sıfıra yaxınlaşır. Buna görə mənbə sonsuz sahə problemini sonlu sahədə təxmini təmsil etmək üçün homogen Neumann sərhəd şərtindən istifadə etmişdir.

Ablyasiya nəticələri

Tam model standart PINN-lə müqayisədə təxminən üç mərtəbəlik xəta azalması təmin etmişdir. Bunun qarşılığında parametr sayı 12.737-dən 14.365-ə, epoch başına təlim müddəti 4,40 saniyədən 5,88 saniyəyə yüksəlmişdir. Buna görə dəqiqlik qazancı əlavə hesablama və parametr xərci ilə birlikdə qiymətləndirilməlidir.

RBF sayı və forma parametrinin başlanğıc intervalı

Daha çox RBF istifadəsinin avtomatik olaraq daha yaxşı nəticə vermədiyi görünür. Sınaqdan keçirilmiş beş konfiqurasiya arasında \(N=300\) və \(d\in[0,10]\) açıq şəkildə ən aşağı xətanı vermişdir. Digər dörd konfiqurasiyada xəta \(10^{-3}\) mərtəbəsinə yüksəlmişdir; buna baxmayaraq mənbə bütün sınaqlarda üsulun yaxınlaşdığını bildirir.

Enerjinin sönməsi və maksimum sərhəd prinsipi təcrübəsi

Bu sınaqda \((x,t)\in[-1,1]\times[0,1]\), \(\varepsilon^2=0,0001\) və \(\mu=1,0\) istifadə edilmişdir. Dirichlet sərhəd şərtləri:

\[ u(-1,t)=-1, \qquad u(1,t)=1 \tag{22} \]

və başlanğıc şərti:

\[ u(x,0) = 0,53x+ 0,47\sin(-1,5\pi x), \qquad x\in[-1,1]. \tag{23} \]

kimi verilmişdir. Başlanğıc profilinin mütləq qiyməti 1 ilə məhdudlaşdırılmışdır. Mənbə proqnozlaşdırılan həll ilə istinad arasındakı nöqtəvi mütləq xətanın təxminən \(10^{-3}\) mərtəbəsində qaldığını bildirir.

Ümumi enerji Tənlik (4)-ün 201×201 bərabər tor üzərində diskret qarşılığı ilə hesablanmış və zaman boyunca monoton şəkildə azalmışdır. Bu müşahidə Tənlik (5)-dəki enerji sönməsi qanunu ilə uyğundur. Bundan əlavə, proqnozlaşdırılan ekstremal qiymətlərin \([-1,1]\) sərhədləri daxilində qalması bu sınaqda maksimum sərhəd prinsipinin də ədədi olaraq qorunduğuna dair sübut vermişdir.

İkiölçülü Allen–Cahn benchmarkı

Oblast:

\[ (x,y,t)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1] \]

və parametrlər \(\varepsilon^2=0,0001\), \(\mu=5\)-dir. Analitik həll:

\[ u_{\mathrm{exact}}(x,y,t) = e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \]

kimi seçilmiş və buna uyğun mənbə termini:

\[ g(x,y,t) = 5\left( e^{-6\varepsilon^2t}\sin^3(x+y) - e^{-2\varepsilon^2t}\sin(x+y) \right) \tag{24} \]

kimi törədilmişdir. Başlanğıc şərti \(u_0(x,y)=\sin(x+y)\)-dir və Dirichlet sərhəd şərtləri istifadə edilmişdir.

Nisbi \(L^2\) xəta ilk bir neçə yüz iterasiyada sürətlə azalmış və təxminən 200 iterasiyadan sonra \(10^{-4}\) mərtəbəsinə yaxınlaşmışdır. \(t=1\) anındakı nöqtəvi mütləq xəta isə təxminən \(10^{-3}\) mərtəbəsindədir.

2B tək damlanın kiçilməsi

Oblast \(\Omega=[0,1]^2\) və homogen Neumann şərti:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega \tag{25} \]

kimi verilmişdir. \(\partial/\partial n\), sərhədin xarici normal istiqamətindəki törəməni təmsil edir; onun sıfır olması sərhəd boyunca normal istiqamətdə axının olmadığını ifadə edir.

Başlanğıcdakı dairəvi sərhəd:

\[ u(x,y,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{(x-0,5)^2+(y-0,5)^2} }{ 2\varepsilon } \right) \tag{26} \]

ilə müəyyən edilmişdir. \(\mu=10\), \(\varepsilon=0,025\)-dir. Mərkəz \((0,5,0,5)\), başlanğıc radiusunu təyin edən hədd isə 0,35-dir. Tanh funksiyası iki faza arasında kəskin, lakin fasiləsiz keçid təbəqəsi yaradır.

Uzun zaman üfüqü \(T=10\), \(N_T=5\) zaman alt intervalına bölünmüş və hər alt interval \(\Delta t=2\) uzunluğunda götürülmüşdür. Hər alt intervalda 500.000 daxili kollokasiya nöqtəsi, dörd kənarda cəmi 1.200 sərhəd nöqtəsi və 800 başlanğıc nöqtəsi istifadə edilmişdir. Batch size 2.048-dir.

Proqnozlaşdırılan dairəvi sərhəd \(t=0,2,4,6,8,10\) boyunca tədricən kiçilmiş və sonda yox olmuşdur. Yüksək ayırdetməli klassik istinad həlli ilə müqayisədə nöqtəvi xətalar təxminən \(10^{-3}\) mərtəbəsində qalmış və əsasən hərəkətli kəskin sərhəd ətrafında cəmlənmişdir.

Bu təcrübədə öyrənilmiş Qauss RBF mərkəzləri də araşdırılmışdır. Mərkəzlərin beş zaman alt intervalı boyunca kiçilən damlanın hərəkətli sərhədini izləyəcək şəkildə sıxlaşdığı bildirilmişdir. Bu müşahidə RBF xüsusiyyətinin yalnız əlavə parametr yaratmadığını, həm də kəskin məkan dəyişməsinin olduğu bölgəyə uyğunlaşa bildiyini göstərir.

3B tək damlanın kiçilməsi

Üçölçülü problem \(\Omega=[0,1]^3\) oblastında eyni homogen Neumann şərtindən istifadə edir:

\[ \frac{\partial u}{\partial n}=0 \qquad\text{on }\partial\Omega. \tag{27} \]

Başlanğıcdakı sferik sərhəd:

\[ u(x,y,z,0) = \tanh \left( \frac{ 0,35- \sqrt{ (x-0,5)^2+ (y-0,5)^2+ (z-0,5)^2 } }{ 2\varepsilon } \right). \tag{28} \]

Burada \(\mu=10\) və \(\varepsilon=0,05\)-dir. Bu tənlik 2B dairəvi başlanğıc şərtinin birbaşa üçölçülü sferik qarşılığıdır.

Üçölçülü təlimdə 2.000.000 daxili kollokasiya nöqtəsi, kubun altı üzündə hər üz üçün 100×100 olmaqla cəmi 60.000 sərhəd nöqtəsi, \(t=0\)-da 1.000 başlanğıc nöqtəsi və 4.096 batch size istifadə edilmişdir.

Proqnozlaşdırılan \(u=0\) izosəthi \(t=0,\ 0,25,\ 0,5,\ 1,0,\ 1,25,\ 1,5\) anlarında tədricən kiçilən kürə göstərmiş və əvvəlki tədqiqatdakı keyfiyyət nəticələri ilə uyğun olmuşdur. Təlim itkisi sabit şəkildə azalmış; ümumi itkiyə əsas töhfənin PDE qalıq terminindən gəldiyi bildirilmişdir.

Vacib şərh sərhədi: Üçölçülü problemdə yüksək ayırdetməli istinad həllinin hesablanması həddindən artıq bahalı olduğuna görə müəlliflər 1B və 2B nümunələrdəki kimi dəqiq nisbi \(L^2\) doğruluq müqayisəsi aparmamışlar. Buna görə 3B bölməsində uğurlu yaxınlaşma və sferik kiçilmə davranışı yüksək ayırdetməli istinada qarşı kəmiyyət xəta doğrulaması ilə qarışdırılmamalıdır.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• STFE-PINN, tədqiqatın 1B əsas müqayisəsində sınaqdan keçirilmiş PINN variantları arasında ən aşağı bildirilmiş nisbi \(L^2\) xətanı vermişdir.
• RBF məkan daxil etməsi və başlanğıc şərtinin daxil edilməsi ayrı-ayrılıqda standart PINN-i yaxşılaşdırmış, birlikdə istifadə olunduqda daha güclü dəqiqlik qazancı təmin etmişdir.
• Başlanğıc şərtinin daxil edilməsi ablyasiya təcrübəsində yaxınlaşmanı sürətləndirmişdir.
• Öyrənilə bilən RBF mərkəzləri 2B kiçilən damla problemində hərəkətli sərhəd ətrafında sıxlaşmışdır.
• STFE-PINN-in proqnozu sınaqdan keçirilmiş 1B problemdə enerji sönməsini və maksimum sərhəd prinsipini ədədi olaraq qorumuşdur.
• Zaman sahəsinin parçalanması uzunmüddətli 2B damla problemində sabit ardıcıl həll yaratmışdır.
• Üsul 1B, 2B və 3B Allen–Cahn benchmarklarında işlədilmişdir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi ümumiləşdirmələr

• Tədqiqat fiziki laboratoriya və ya sahə təcrübəsi deyil; nəticələr ədədi simulyasiyalara aiddir.
• STFE-PINN-in bütün PDE-lərdə standart PINN-dən üstün olduğu göstərilməmişdir.
• Üsulun bütün RBF sayları və forma parametrləri üçün eyni dəqiqliyə malik olduğu deyilə bilməz; həssaslıq təcrübəsi bunun əksini göstərir.
• 3B nümunədə yüksək ayırdetməli istinada qarşı kəmiyyət xəta metrikası bildirilməmişdir.
• Materialşünaslıq, maye mexanikası, qırılma mexanikası və ya görüntü emalındakı real tətbiqlərdə birbaşa doğrulama aparılmamışdır.
• Digər faza sahəsi modelləri, reaksiya-diffuziya sistemləri və maye dinamikası problemləri məqalənin doğrulanmış nəticəsi deyil, gələcək tədqiqat hədəfidir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

Müəlliflər: Zhiwen Wang; Minxin Chen.

Məsul müəllif: Zhiwen Wang.

Qurumlar: School of Mathematics and Statistics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou 215006, China.

Jurnal: Mathematics.

Nəşriyyat: MDPI.

Biblioqrafik qeyd: Mathematics 2026, 14(13), 2344.

DOI: 10.3390/math14132344

Rəsmi keçid: https://doi.org/10.3390/math14132344

Təqdim: 7 iyun 2026. Reviziya: 27 iyun 2026. Qəbul: 30 iyun 2026. Nəşr: 2 iyul 2026.

Mənbə növü: Resenziyalı tədqiqat məqaləsi; riyazi modelləşdirmə və fizika-məlumatlı maşın öyrənməsi üzrə ədədi tədqiqat.

Lisenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Maliyyələşdirmə: Zhiwen Wang, Xiamen University of Technology School of Mathematics and Statistics Scientific Research Start-up Project tərəfindən YKJ25065R və 5019926048/0171 nömrəli qrantlarla dəstəklənmişdir.

Məlumat və kod əlçatanlığı: Müəlliflər mənbə kodunun və tədqiqatı dəstəkləyən məlumatların GitHub-da açıq olduğunu bildirirlər. Repozitoriyada PyTorch 2.5.1, NumPy, ətraflı paket versiyaları, əmr sətri təlimatları və məqalədəki cədvəl və şəkillərin təkrar yaradılması üçün konfiqurasiya fayllarının olduğu bildirilmişdir.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər maraqların toqquşmasının olmadığını bildirmişlər.

Müəllif töhfələri: Konseptuallaşdırma və metodologiya Zhiwen Wang və Minxin Chen; proqram təminatı, doğrulama, formal analiz, tədqiqat, məlumatların kurasiyası, ilkin qaralama və vizuallaşdırma Zhiwen Wang; resurslar, nəzərdən keçirmə/redaktə, məsləhətçilik və layihə idarəetməsi Minxin Chen; maliyyələşdirmənin əldə edilməsi Zhiwen Wang tərəfindən həyata keçirilmişdir.

Əsas metodoloji məhdudiyyət: Tədqiqatın doğrulanması analitik və ya yüksək dəqiqlikli ədədi istinadların mövcud olduğu benchmark problemlərinə əsaslanır. Üçölçülü nümunədə yüksək ayırdetməli istinad hesablana bilmədiyi üçün qiymətləndirmə itkinin yaxınlaşması və həllin keyfiyyət fiziki davranışı ilə məhdudlaşır.

Mənbədaxili göstərim qeydi: Zaman sahəsinin parçalanmasındakı dərc edilmiş Tənlik (12)–(13) interfeysi \(T_k\) ilə göstərdiyi halda, sonrakı Tənlik (14) və mətn təsviri interfeysi \(T_{k-1}\) kimi istifadə edir. Verianla bu fərqi səssizcə düzəltməmişdir.