Модели сил бо тартиби касрии Atangana–Baleanu–Caputo (ABC), модели математикии детерминистии қисмбандишудаест, ки динамикаи сироятёбӣ аз сил ва пешрафти бемориро на танҳо ба ҳолатҳои ҷорӣ, балки ба таъсири хотирае низ мепайвандад, ки ҳолатҳои гузашта ба модел ворид мекунанд. Таҳқиқот аҳолии умумиро ба шаш синф ҷудо мекунад: ҳассос \(S(t)\), суст дучоршуда \(E_1(t)\), зуд дучоршуда \(E_2(t)\), сироятшуда \(I(t)\), таҳти табобат \(T(t)\) ва шифоёфта \(R(t)\). Модел ба ҷойи ҳосилаи классикии тартиби якум ҳосилаи касрии Atangana–Baleanu–Caputo-ро бо ядрои Mittag–Leffler истифода мебарад.

Навоварии асосии модел дар он аст, ки шахсони ба сил дучоршударо дар як синфи ягонаи латентӣ/дучоршуда ҷамъ намекунад, балки ду роҳи алоҳидаи пешрафтро истифода мебарад. Пас аз тамоси шахси ҳассос бо шахси сироятшуда, ҳиссаи \(\omega\)-и дучоршавиҳои нав ба синфи суст дучоршудаи \(E_1\), ва ҳиссаи \(1-\omega\) бевосита ба синфи зуд дучоршудаи \(E_2\) дохил мешавад. Аз \(E_1\) ба \(E_2\) гузариши \(\varsigma_1\), аз \(E_2\) ба сирояти фаъоли \(I\) гузариши \(\varsigma_2\) мавҷуд аст. Шахсони сироятшуда бо суръати \(\gamma\) ба синфи табобат мегузаранд; ҳангоми нокомии табобат бошад, аз синфи \(T\) ҳам ба \(I\) ва ҳам ба \(E_1\) роҳҳои бозгашт мавҷуданд.

Таҳқиқот хусусиятҳои математикии моделро, аз ҷумла тавлид накардани аҳолии манфӣ дар минтақаи аз ҷиҳати биологӣ маънодор, маҳдуд мондани ҳалҳо, мавҷудият ва ягонагии ҳал меомӯзад. Мувозинати бебеморӣ \(E^0\) ва мувозинати эндемикӣ \(E^\ast\) ҳосил карда шудаанд; шумораи асосии бозтавлид \(R_0\) бо усули next-generation matrix ба даст оварда шудааст. Мувофиқи формулаи манбаъ, \(R_0\) аз чор ҳад иборат аст, ки ҳам роҳҳои дучоршавии зуд ва суст ва ҳам роҳҳои бозгаштро, ки аз нокомии табобат ба вуҷуд меоянд, дар бар мегиранд.

Дар таҳлили нормализатсияшудаи ҳассосияти пешрав манбаъ дар Ҷадвали 2 гузориш медиҳад, ки коэффисиенти интиқол \(\beta\) бо \(+0.9186\) қавитарин параметрест, ки \(R_0\)-ро зиёд мекунад; сатҳи марги вобаста ба беморӣ дар синфи сироятшуда \(\sigma_1\) бо \(-0.6243\) қавитарин ҳассосияти манфӣ дорад ва сатҳи табобат \(\gamma\) бо \(-0.2607\) таъсири манфии сатҳи миёнаро нишон медиҳад. Аммо азбаски баъзе тамғаҳои сутунҳои Расми 1-и манбаъ дар ҳамон саҳифа бо Ҷадвали 2 мувофиқат намекунанд, Verianla барои қиматҳои ададии ҳассосият қиматҳои ҷадвали ошкорро асос мегирад.

Дар таҳлили устувории маҳаллӣ барои мувозинати бебеморӣ дар шарти \(R_0<1\) меъёрҳои Routh–Hurwitz ва fractional-order Matignon истифода шудаанд. Натиҷаи устувории глобалӣ барои мувозинати эндемикӣ бошад, ғайр аз \(R_0>1\), ба шарти \(\psi\leq\varpi\) вобаста аст, ки ҳосилаи Lyapunov-ро дар ҳамаи ҳолатҳои мувофиқ манфии ниммуайян месозад. Муаллифон инчунин қайд мекунанд, ки исботи пурраи ин нобаробариҳои ҳад-ба-ҳад барои ҳамаи ҳолатҳои иҷозатдодашуда берун аз доираи таҳқиқот аст. Аз ин рӯ, натиҷаи устувории глобалии мувозинати эндемикӣ бояд ҳамчун шарти кофии шартӣ хонда шавад.

Дар ҳалли ададӣ равиши Adams–Bashforth, ки ба шакли интегралии ABC мутобиқ карда шудааст, истифода мешавад. Манбаъ дар Расмҳои 2–7 қиматҳои fractional-order-и 1.00, 0.95, 0.90 ва 0.85-ро муқоиса мекунад. Тибқи тафсири умумии муаллифон, бо кам шудани fractional order таъсири хотира қавитар шуда, рафтори гузаро тағйир меёбад. Бо вуҷуди ин, азбаски тамоюлҳои намоёни графикҳо бо баъзе шарҳҳои “зиёд мешавад/кам мешавад” дар матн пурра мувофиқат намекунанд, Verianla ин графикҳоро маҷбуран бо тафсирҳои хаттии манбаъ созгор намекунад.

Муҳимтарин ҳудуди тафсири таҳқиқот чунин аст: ин натиҷаҳо пешгӯиҳои клиникие нестанд, ки ба силсилаи воқеии беморони Khyber Pakhtunkhwa мутобиқ карда шудаанд. Мақола мегӯяд, ки қиматҳои параметрҳо ва шартҳои ибтидоӣ аз таҳқиқоти қаблии математикии TB-и Zhang ва ҳамкоронаш гирифта шудаанд; дар қисми хулоса низ равшан эътироф мешавад, ки симулятсияҳо аз қиматҳои адабиётӣ истифода мекунанд ва маълумоти клиникӣ нестанд. Аз ин рӯ, модел чаҳорчӯбаи назариявии эпидемиологӣ мебошад; набояд қабул кард, ки он андозаи эпидемияро дар ҷомеаи воқеӣ ё натиҷаи барномаи мушаххаси табобатро мустақиман пешгӯӣ мекунад.

Ҳосилаи Касрии Atangana–Baleanu–Caputo Дар Модели TB Чӣ Кор Мекунад?

Ҳосилаи касрии Atangana–Baleanu–Caputo оператори ҳосилаи касриест, ки суръати тағйири системаро на танҳо ба ҳолати ҳозираи он, балки ба таъсири вазндори ҳолатҳои гузашта низ мепайвандад ва ядрои ғайрисингулярии навъи Mittag–Leffler-ро истифода мебарад. Дар ин таҳқиқот параметри fractional order-и \(\tau\in(0,1]\) параметри математикии идоракунандаест, ки таъсири хотираи ҳолатҳои гузаштаи қисмҳои силро ба динамикаи ҷорӣ ифода мекунад; \(\tau=1\) ҳадди классикии тартиби бутунро ва \(\tau<1\) рафтори хотираи касриро ифода мекунад.

Таърифи ҳосилаи касрии ABC, ки дар манбаъ истифода шудааст

Манбаъ дар Муодилаи (1) ҳосилаи Atangana–Baleanu–Caputo-ро:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau \omega(t) = \frac{Z(\tau)}{1-\tau} \int_0^t E_\tau \left[ -\frac{\tau}{1-\tau}(t-\vartheta)^\tau \right] \frac{d\omega(\vartheta)}{d\vartheta} \,d\vartheta \tag{1} \]

чунин таъриф мекунад.

Дар ин ҷо:

• \({}^{ABC}D_t^\tau\) оператори fractional derivative-и Atangana–Baleanu–Caputo мебошад.
• \(\tau\) тартиби касрӣ аст ва дар манбаъ дар фосилаи \(0<\tau\leq1\) баррасӣ мешавад.
• \(\omega(t)\) функсияест, ки ҳосилаи он гирифта мешавад.
• \(\vartheta\) тағйирёбандаи интегралӣ мебошад, ки вақти гузаштаро ифода мекунад.
• \(Z(\tau)\) функсияи нормализатсия мебошад, ки шарти \(Z(0)=Z(1)=1\)-ро қонеъ мекунад.
• \(E_\tau\) функсияи Mittag–Leffler аст.

Дар ин муодила, ба ҷойи тағйири танҳо маҳаллӣ дар ҳосилаи классикӣ, интеграли ҳамаи ҳолатҳои гузашта аз \(0\) то вақти ҷории \(t\) мавҷуд аст. Ядрои Mittag–Leffler, ки \((t-\vartheta)^\tau\)-ро дар бар мегирад, сохтори хотираро таъмин мекунад ва муайян месозад, ки ҳолатҳои гузашта бо чӣ вазн ба ҳисоб гирифта шаванд.

Функсияи Mittag–Leffler

Муодилаи (2)-и манбаъ:

\[ E_\tau(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{\Gamma(\tau k+1)} \tag{2} \]

чунин аст.

\(\Gamma(\cdot)\) функсияи Gamma мебошад. Функсияи Mittag–Leffler дар fractional calculus функсияи васеъшудаест, ки нақше монанд ба функсияи экспоненсиалӣ дорад. Бо тағйири \(\tau\), тарзи сустшавии таъсири гузашта метавонад аз рафтори классикии \(e^x\) фарқ кунад. Ин таҳқиқот ин хусусиятро барои ворид кардани хотира ба модели TB истифода мебарад.

Интеграли fractional-и ABC

Манбаъ дар Муодилаи (3) интеграли ABC-ро:

\[ {}^{ABC}I_t^\tau\omega(t) = \frac{1-\tau}{Z(\tau)}\chi(t) + \frac{\tau}{\Gamma(\tau)Z(\tau)} \int_0^t (t-\vartheta)^{\tau-1}\omega(\vartheta)\,d\vartheta \tag{3} \]

чунин чоп мекунад.

Номуайянии аломатгузории дохили манбаъ: Гарчанде дар тарафи чапи оператор \(\omega(t)\) мавҷуд аст, дар ҳади аввали тарафи рост \(\chi(t)\) навишта шудааст. Манбаъ дар ин маврид \(\chi(t)\)-ро алоҳида таъриф намекунад. Дар қисмҳои баъдӣ \(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4\) барои суръатҳои якҷояшудаи гузариш истифода мешаванд. Аз ин рӯ, Verianla \(\chi(t)\)-и Муодилаи (3)-ро хомӯшона ба \(\omega(t)\) иваз намекунад.

Чаро Ду Синфи Гуногуни Дучоршавӣ \(E_1\) ва \(E_2\) Истифода Мешаванд?

Модел барои нишон додани он ки пас аз тамос бо шахси сироятшуда ҳамаи одамон бо суръати яксон ба сирояти фаъол намегузаранд, ду роҳи алоҳидаи дучоршавиро истифода мебарад: \(E_1(t)\) аҳолии суст дучоршуда ва \(E_2(t)\) аҳолии зуд дучоршуда мебошад. Ҳиссаи \(\omega\)-и дучоршавиҳои нав ба \(E_1\), ҳиссаи \(1-\omega\) бевосита ба \(E_2\) меравад; баъдан занҷири пешрафти \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) ва роҳҳои бозгашт аз нокомии табобат ба модел илова карда мешаванд.

Шаш қисм

Муодилаҳои модел

Муодилаи (4)-и манбаъ:

\[ \begin{aligned} {}^{ABC}D_t^\tau S(t) &= \Delta - \frac{\beta S I}{N} - \nu S, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_1(t) &= \omega\frac{\beta S I}{N} - \chi_1E_1 + (1-\rho)\delta T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_2(t) &= (1-\omega)\frac{\beta S I}{N} + \varsigma_1E_1 - \chi_2E_2, \\ {}^{ABC}D_t^\tau I(t) &= \varsigma_2E_2 + \rho\delta T - \chi_3I, \\ {}^{ABC}D_t^\tau T(t) &= \gamma I - \chi_4T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau R(t) &= \phi T - \nu R. \end{aligned} \tag{4} \]

Дар муодилаи якум \(\Delta\) воридшавии аҳолиро ба синфи ҳассос, \(\beta SI/N\) ҷараёни тамосеро, ки метавонад сироят ба вуҷуд орад, ва \(\nu S\) хориҷшавӣ аз сабаби марги табииро ифода мекунад.

Дар муодилаҳои дуюм ва сеюм ҷараёни нави дучоршавӣ ба ду шоха ҷудо мешавад. Қисми \(\omega\beta SI/N\) ба \(E_1\), қисми \((1-\omega)\beta SI/N\) ба \(E_2\) меравад. Илова бар ин, аз \(E_1\) ба \(E_2\) гузариши \(\varsigma_1E_1\) мавҷуд аст.

Дар муодилаи чорум гузариш аз \(E_2\) ба сирояти фаъол \(\varsigma_2E_2\) мебошад. Қисми \(\rho\delta T\)-и нокомии табобат низ бевосита ба синфи сироятшуда бармегардад.

Дар муодилаи панҷум гузариши шахсони сироятшуда ба синфи табобат тавассути ҷараёни \(\gamma I\) моделсозӣ мешавад. Дар муодилаи шашум ҷараёни \(\phi T\) гузариш аз табобат ба синфи шифоёфта мебошад.

Суръатҳои якҷояшудаи хориҷшавӣ

Манбаъ:

\[ \chi_1=\nu+\varsigma_1, \qquad \chi_2=\nu+\varsigma_2, \]

\[ \chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1, \qquad \chi_4=\nu+\delta+\sigma_2+\phi \tag{5} \]

таърифҳоро истифода мебарад.

Инҳо худ ба худ параметрҳои нави биологӣ нестанд, балки суръатҳои умумии хориҷшавӣ аз қисми дахлдорро кӯтоҳ навиштан имкон медиҳанд. Масалан, азбаски хориҷшавӣ аз синфи \(I\) аз марги табиӣ \(\nu\), гузариш ба табобат \(\gamma\) ва марги вобаста ба беморӣ \(\sigma_1\) иборат аст, \(\chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1\) мебошад.

Шартҳои ибтидоӣ

\[ S(0)=S^0\geq0,\quad E_1(0)=E_1^0\geq0,\quad E_2(0)=E_2^0\geq0, \]

\[ I(0)=I^0\geq0,\quad T(0)=T^0\geq0,\quad R(0)=R^0\geq0. \tag{6–7} \]

Манбаъ талаб мекунад, ки ҳамаи аҳолиҳои ибтидоӣ бо қиматҳои ғайриманфӣ оғоз шаванд. Аммо қиматҳои воқеии ададии ибтидоӣ, ки дар симулятсия истифода шудаанд, дар ҷадвали худи ин мақола оварда намешаванд; гуфта мешавад, ки онҳо аз Zhang ва диг. [28] гирифта шудаанд.

Параметрҳои модел

Аҳолии умумӣ ва маҳдудият

Аҳолии умумӣ:

\[ N(t) = S(t)+E_1(t)+I(t)+E_2(t)+T(t)+R(t) \tag{8} \]

таъриф мешавад.

Ҳангоми ҷамъ кардани шаш муодила, сироят ва гузаришҳои дохилии байни қисмҳо якдигарро бекор мекунанд ва:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) = \Delta - \nu N(t) - \sigma_1I(t) - \sigma_2T(t) \tag{9} \]

ба даст меояд.

Азбаски \(\sigma_1I\) ва \(\sigma_2T\) ҳадҳои манфии хориҷшавӣ мебошанд:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) \leq \Delta-\nu N(t) \]

ва манбаъ:

\[ N(t)\leq\frac{\Delta}{\nu} \tag{10} \]

ҳадди болоро истифода мебарад. Ин bound шарти математикии маҳдудиятест, ки ба аҳолии модел имкон намедиҳад то беохир афзоиш ёбад.

Манбаъ feasible region-ро тақрибан чунин таъриф мекунад:

\[ \Omega = \left\{ (S,E_1,I,E_2,T,R)\in\mathbb{R}_+^6: S+E_1+I+E_2+T+R=N<\frac{\Delta}{\nu} \right\} \tag{11} \]

чунин таъриф мешавад.

Ихтилофи матнии дохили манбаъ: Дар ҳамон қисми well-posedness аввал талаб мешавад, ки \(N(t)\) афзоянда бошад ва \(^{ABC}D_t^\tau N(t)>0\), вале баъд ҷумлае омадааст, ки гӯё ҳолати \(^{ABC}D_t^\tau N(t)\geq0\) истисно мешавад. Verianla ин ду ҷумларо мувофиқ намекунад; ҳадди ба таври математикӣ равшан навишташудаи Муодилаҳои (9)–(11)-ро асос мегирад.

Чаро мусбатӣ муҳим аст?

Манфӣ будани қисмҳои аҳолӣ аз ҷиҳати биологӣ маъно надорад. Манбаъ бо истифода аз принсипи муқоиса ва функсияи Mittag–Leffler кӯшиш мекунад нишон диҳад, ки агар қиматҳои ибтидоӣ ғайриманфӣ бошанд, ҳалҳо низ дар feasible region ғайриманфӣ мемонанд.

Масалан, барои синфи ҳассос:

\[ S(t) \geq S(0) E_\tau \left[ - \left( \nu+ \frac{\beta\|I\|_\infty}{\|N\|_\infty} \right) t^\tau \right] \geq0. \tag{21} \]

Ҳадҳои поёнии монанд барои \(E_1,E_2,I,T,R\) низ дода шудаанд ва хулоса мешавад, ки ҳамаи тағйирёбандаҳои ҳолат дар минтақаи ғайриманфӣ мемонанд.

Шумораи Асосии Бозтавлид \(R_0\) Дар Ин Модел Чӣ Гуна Сохта Мешавад?

Шумораи асосии бозтавлид \(R_0\) бузургии ҳаддиест, ки қобилияти холиси афзоиши тавлиди сироятҳои навро дар зерсистемаи сироятшуда/дучоршуда нисбат ба равандҳои гузариш ва хориҷшавӣ ифода мекунад. Таҳқиқот зерсистемаи сироятшудаи \(X=(E_1,E_2,I,T)^T\)-ро интихоб карда, next-generation matrix \(K=FV^{-1}\)-ро месозад ва \(R_0\)-ро ҳамчун қимати хоси бартаридошта/радиуси спектралии ин матритса ҳосил мекунад.

Мувозинати бебеморӣ

Нуқтаи мувозинати бебемории манбаъ:

\[ E^0 = \left\{ \frac{\Delta}{\nu}, 0, 0, 0, 0, 0 \right\}. \tag{22} \]

Дар ин нуқта тамоми аҳолӣ дар синфи ҳассос аст; синфҳои дучоршуда, сироятшуда, таҳти табобат ва шифоёфта сифр мебошанд.

Зерсистемаи сироятшуда

\[ X=(E_1,E_2,I,T)^T. \tag{30} \]

Вектори сироятҳои нав:

\[ F(X) = \begin{pmatrix} \omega\beta I\\ (1-\omega)\beta I\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \tag{31} \]

ва гузаришҳои дигар:

\[ V(X) = \begin{pmatrix} \chi_1E_1-(1-\rho)\delta T\\ \chi_2E_2-\varsigma_1E_1\\ \chi_3I-\varsigma_2E_2-\rho\delta T\\ \chi_4T-\gamma I \end{pmatrix}. \tag{32} \]

навишта мешаванд.

Формулаи \(R_0\)

Next-generation matrix:

\[ K=FV^{-1} \tag{35} \]

буда, манбаъ аз қимати хоси бартаридошта:

\[ R_0 = \frac{\beta\omega\varsigma_1\varsigma_2} {\chi_1\chi_2\chi_3} + \frac{\beta(1-\omega)\varsigma_2} {\chi_2\chi_3} + \frac{\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho)} {\chi_1\chi_2\chi_3\chi_4} + \frac{\gamma\rho\delta} {\chi_3\chi_4}. \tag{37} \]

ифодаро ба даст меорад.

Тафсири биологӣ/математикии чор ҳад

Ҳади якум ба он вобаста аст, ки тамоси нав ба роҳи сусти дучоршавии \(E_1\) дохил шуда, баъдан дар занҷири \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) пеш меравад.

Ҳади дуюм роҳи дучоршавии зудро ифода мекунад, ки пас аз тамос бевосита ба \(E_2\) дохил мешавад.

Ҳади сеюм ба занҷири сироят → табобат → нокомии табобат → \(E_1\) → \(E_2\) → бозгашт ба сироят вобаста аст.

Ҳади чорум ба роҳи сироят → табобат → бозгашти бевосита ба синфи сироят вобаста аст.

Манбаъ махсусан барои набудани \(\beta\) дар ду ҳади охир Remark медиҳад. Тибқи шарҳи муаллифон, ин ҳадҳо на аз матритсаи сироятҳои нави \(F\), балки аз роҳҳои нокомии табобат/гузариш дар \(V^{-1}\) ба вуҷуд меоянд. Verianla ин тавзеҳро ҳамчун шарҳи манбаъ нигоҳ медорад.

Мувозинати эндемикӣ

Мувозинати эндемикии манбаъ:

\[ E^\ast = \{S^\ast,E_1^\ast,E_2^\ast,I^\ast,T^\ast,R^\ast\}. \tag{23} \]

Компонентҳои манбаъ:

\[ S^\ast = \frac{\Delta}{\nu R_0}, \tag{24} \]

\[ E_1^\ast = \frac{1}{\chi_1\chi_4} \left\{ \frac{\chi_4\omega\beta}{R_0} + (1-\rho)\gamma\delta \right\} I^\ast, \tag{25} \]

\[ E_2^\ast = \frac{1}{\varsigma_2\chi_4} \left( \chi_3\chi_4-\gamma\delta\rho \right) I^\ast, \tag{26} \]

\[ I^\ast = \frac{ \chi_1\chi_4\nu\varsigma_2(R_0-1)\Delta }{ \nu \left\{ \chi_4\nu\varsigma_2\beta\omega + \left[ \nu \left( \chi_1(\chi_3\chi_4-\delta\gamma\rho) + \gamma\varsigma_2(\chi_1+(1-\rho)\delta) \right) + \chi_1\varsigma_2(\gamma\phi+\chi_4\nu) \right] R_0 \right\} }, \tag{27} \]

\[ T^\ast = \frac{\gamma}{\chi_4}I^\ast, \tag{28} \]

\[ R^\ast = \frac{\gamma\phi}{\chi_4\nu}I^\ast. \tag{29} \]

Манбаъ мегӯяд, ки мувозинати эндемикӣ ҳангоми \(R_0>1\) мавҷуд аст. Мавҷудияти омили \(R_0-1\) дар Муодилаи (27) низ бевосита ба ҳамин ҳад алоқаманд аст.

Индекси нормализатсияшудаи ҳассосият

Таъсири нисбии як параметр ба \(R_0\):

\[ \Gamma_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \tag{49} \]

ҳисоб карда мешавад.

Ин бузургӣ беандоза аст. Қимати мусбат маънои онро дорад, ки бо зиёд шудани параметр \(R_0\) дар самти афзоиш тағйир меёбад, қимати манфӣ бошад \(R_0\)-ро дар самти камшавӣ тағйир медиҳад. Бо зиёд шудани қимати мутлақ, ҳассосияти нисбии \(R_0\) нисбат ба он параметр зиёд мешавад.

Масалан, \(\Gamma_\beta^{R_0}=+0.9186\) маънои онро дорад, ки дар атрофи нуқтаи параметрии истифодашуда афзоиши нисбии \(\beta\) \(R_0\)-ро дар ҳамон самт ба таври қавӣ тағйир медиҳад. Ин рақам мустақиман маънои онро надорад, ки “1% кам кардани \(\beta\) дар ҷаҳони воқеӣ TB-ро маҳз 0,9186% кам мекунад”; он танҳо ҳассосияти маҳаллии нормализатсияшудаи \(R_0\)-и математикӣ аст.

Чаро Ҷадвали 2 ва Расми 1-и манбаъ алоҳида нигоҳ дошта шуданд?

Дар ҳамон саҳифаи PDF рӯйхати ошкори ададии Ҷадвали 2 ва баъзе тамғаҳои сутунҳои Расми 1, ки дар поён кашида шудааст, аз ҳам фарқ мекунанд. Ин вазъият имкон намедиҳад, ки аз манбаъ ба таври қатъӣ муайян карда шавад, ки кадом маҷмӯи маълумот ба графики визуалӣ гузаронда шудааст. Аз ин рӯ, Verianla ҷадвали ошкор ва ягонаи ададиро бевосита аз нав истеҳсол мекунад; бо рақамҳои фарқкунандаи Расми 1-и манбаъ миёнагирӣ, ислоҳ ё эҷоди қиматҳои нави ҳассосият анҷом намедиҳад.

Мавҷудият ва ягонагӣ чӣ маъно доранд?

Сохтани системаи муодилаҳои дифференсиалии эпидемиологӣ худ аз худ кофӣ нест. Ҳангоми дода шудани шартҳои муайяни ибтидоӣ мавҷуд будани ҳадди ақал як ҳал мавҷудият, ва дар ҳамон шартҳо ба вуҷуд наомадани чанд ҳалли гуногун ягонагӣ ном дорад.

Манбаъ аввал тарафҳои рости моделро:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau Z(t) = \Psi(t,Z(t)), \qquad Z(0)=Z_0 \tag{120} \]

ва:

\[ Z(t) = (S,E_1,E_2,I,T,R)^T \]

ба шакли векторӣ мегузаронад.

Сипас бо теоремаи нуқтаи собити Schauder барои мавҷудияти ҳадди ақал як ҳал:

\[ \Delta_1 = \frac{ MT^\tau + (1-\tau)\Gamma(\tau)M }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{123} \]

шарти кофии чунин намудро истифода мебарад.

Барои ягонагии ҳалҳо ва назорати тағйироти хурд дар шартҳои ибтидоӣ манбаъ бо доимии Lipschitz \(J\):

\[ \frac{ (1-\tau)\Gamma(\tau)J + JT^\tau }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{136} \]

шартро медиҳад.

Мантиқи ин нобаробариҳо аз он иборат аст, ки оператори интегралӣ ба contraction табдил дода шуда, дар доираи теоремаи fixed-point-и Banach ҳалли ягона ба даст оварда шавад.

Устувории маҳаллӣ

Манбаъ барои мувозинати бебеморӣ меъёри fractional-order Matignon-ро:

\[ |\arg(\lambda_j)| > \frac{\tau\pi}{2}, \qquad \tau\in(0,1] \tag{99} \]

истифода мебарад.

Дар ин ҷо \(\lambda_j\) қиматҳои хоси матритсаи Jacobian мебошанд, ки дар мувозинати бебеморӣ ҳисоб шудаанд. Дар системаҳои классикӣ танҳо қисми ҳақиқии манфӣ меъёри асосӣ аст, аммо дар системаи fractional-order кунҷи қимати хос дар ҳамвории комплексӣ низ минтақаи устувории вобаста ба \(\tau\)-ро муайян мекунад.

Ду қимати хос бевосита:

\[ \lambda_1=\lambda_2=-\nu<0 \tag{96} \]

ба даст меоянд.

Чор қимати хоси боқимонда решаҳои полиноми:

\[ P(\lambda) = \lambda^4 + b_1\lambda^3 + b_2\lambda^2 + b_3\lambda + b_4 \tag{97} \]

мебошанд.

Манбаъ:

\[ b_1 = \chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_4, \]

\[ \begin{aligned} b_2 ={}& \chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_1\chi_4 +\chi_2\chi_3+\chi_2\chi_4+\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1 -\beta(1-\omega)\chi_1 -\delta\gamma\rho\chi_1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} b_3 ={}& \chi_1\chi_2\chi_3 +\chi_1\chi_2\chi_4 +\chi_1\chi_3\chi_4 +\chi_2\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1(\chi_2+\chi_4) -\beta(1-\omega)\chi_1(\chi_3+\chi_4) \\ &-\delta\gamma\rho\chi_1(\chi_1+\chi_2) -\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho), \end{aligned} \]

\[ b_4 = \chi_1\chi_2\chi_3\chi_4 (1-R_0) \tag{98} \]

ифодаҳоро медиҳад.

Дар шарти \(R_0<1\), \(b_4>0\) мешавад. Манбаъ иддао мекунад, ки дигар шартҳои Routh–Hurwitz низ иҷро мешаванд, бинобар ин решаҳои боқимонда қисми ҳақиқии манфӣ доранд; сипас бо меъёри Matignon хулоса мекунад, ки мувозинати бебеморӣ маҳаллӣ асимптотикӣ устувор аст.

Устувории глобалии эндемикӣ ва функсияи Lyapunov

Сохтори Lyapunov, ки манбаъ барои мувозинати эндемикӣ истифода мебарад:

\[ \begin{aligned} L ={}& \left( S-S^\ast-S^\ast\log\frac{S}{S^\ast} \right) + \left( E_1-E_1^\ast-E_1^\ast\log\frac{E_1}{E_1^\ast} \right) \\ &+ \left( E_2-E_2^\ast-E_2^\ast\log\frac{E_2}{E_2^\ast} \right) + \left( I-I^\ast-I^\ast\log\frac{I}{I^\ast} \right) \\ &+ \left( T-T^\ast-T^\ast\log\frac{T}{T^\ast} \right) + \left( R-R^\ast-R^\ast\log\frac{R}{R^\ast} \right). \end{aligned} \tag{100} \]

Ин гуна ифода ҳамчун функсияи мусбати ба энергия монанд истифода мешавад, ки дуршавии ҳар як қисмро аз қимати мувозинати эндемикии худ чен мекунад ва дар нуқтаи мувозинат ба сифр мерасад.

Натиҷаи Theorem 4.3-и манбаъ чунин аст: агар \(R_0>1\) ва барои ҳамаи ҳолатҳои мувофиқ:

\[ \psi\leq\varpi \tag{113} \]

ва баробарӣ танҳо дар \(E^\ast\) иҷро шавад:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau L \leq \psi-\varpi \leq0 \]

мешавад ва мувозинати эндемикӣ глобалӣ асимптотикӣ устувор қабул мешавад.

Ҳудуди хеле муҳими манбаъ: Муаллифон ошкоро мегӯянд, ки санҷиши пурраи нобаробариҳои ҳад-ба-ҳади:

\[ P_i \leq k_iQ_i, \qquad 0<k_i<1 \tag{114} \]

барои ҳамаи ҳалҳои admissible алгебраи васеъ талаб мекунад ва берун аз доираи исботи онҳо мемонад. Аз ин рӯ, Verianla натиҷаи global stability-ро ҳамчун натиҷаи шартие, ки ба шарти иловагии кофӣ вобаста аст, пешниҳод мекунад.

Равиши ададии Adams–Bashforth

Манбаъ шакли fractional integral-ро:

\[ Z(t) = Z_0 + \frac{1-\tau}{Z(\tau)} \Psi(t,Z(t)) + \frac{\tau}{Z(\tau)\Gamma(\tau)} \int_0^t (t-\eta)^{\tau-1} \Psi(\eta,Z(\eta))\,d\eta \tag{122} \]

истифода мебарад.

Ин муодила аз ду қисм иборат аст. Қисми якум қимати \(\Psi\)-ро дар вақти ҳозира мустақим истифода мекунад; интеграли дуюм бошад ҳамаи қиматҳои гузаштаро бо вазни \((t-\eta)^{\tau-1}\) ҷамъ мекунад. Fractional memory ба схемаи ададӣ тавассути ҳамин қисми дуюм ворид мешавад.

Дар равиши Adams–Bashforth интеграл ба фосилаҳои вақт ҷудо мешавад ва дар ҳар фосила тарафи рости модел бо истифода аз ду нуқтаи пайдарпай тақрибӣ ҳисоб мешавад. Манбаъ ду вазнро:

\[ I_{i-1,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_{i-1}) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt, \]

\[ I_{i,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_i) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt \tag{151} \]

таъриф карда, сипас шаклҳои бастаи онҳоро ҳосил мекунад ва барои ҳар қисм муодилаҳои навсозии \(S(t_{n+1}),E_1(t_{n+1}),E_2(t_{n+1}),I(t_{n+1}),T(t_{n+1}),R(t_{n+1})\)-ро ҳамчун Муодилаҳои (155)–(160) медиҳад.

Ин шаш муодила аз ҷиҳати сохтор яксонанд; фарқ танҳо дар функсияи тарафи рости \(K_1,\ldots,K_6\) аст. Масалан:

\[ K_1 = \Delta-\frac{\beta SI}{N}-\nu S, \]

\[ K_2 = \omega\frac{\beta SI}{N} -\chi_1E_1 +(1-\rho)\delta T, \]

\[ K_3 = (1-\omega)\frac{\beta SI}{N} +\varsigma_1E_1-\chi_2E_2, \]

\[ K_4 = \varsigma_2E_2+\rho\delta T-\chi_3I, \]

\[ K_5 = \gamma I-\chi_4T, \qquad K_6 = \phi T-\nu R. \]

Вазифаи схемаи Adams–Bashforth ин аст, ки ин ҷараёнҳои тарафи ростро дар ҳар қадами вақт мувофиқи интеграли fractional-memory тақриб кунад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Дар симулятсияи ададӣ кадом маълумот гузориш мешавад?

Манбаъ мегӯяд, ки parameter values ва initial conditions аз Zhang ва диг. [28] гирифта шудаанд, аммо дар қисми усул/ҷадвали худи ин мақола ҳамаи қиматҳои ададии онҳоро аз нав номбар намекунад. Аз ин рӯ, хонанда танҳо бо истифода аз ҳамин PDF симулятсияро бо ҳамон параметрҳо пурра аз нав сохта наметавонад; ба Zhang ва диг. [28] низ муроҷиат кардан лозим аст.

Қиматҳои fractional-order, ки дар Расмҳои 2–7 дида мешаванд:

• 1.00,
• 0.95,
• 0.90,
• 0.85

мебошанд. Меҳвари уфуқии графикҳо дар фосилаи \(t=0\)–200 аст, вале манбаъ намегӯяд, ки ин \(t\) рӯз, моҳ ё воҳиди дигари физикии вақт аст. Дар Расмҳои 8–13 инчунин тасвирҳои сеченакаи surface/contour мавҷуданд, ки дар онҳо вақт ва fractional order якҷоя тағйир меёбанд; меҳвари fractional-order тақрибан дар фосилаи 0.1–1 нишон дода мешавад.

Ёддошти аломатгузорӣ: Дар назарияи асосӣ fractional order пайваста бо рамзи \(\tau\) навишта мешавад, аммо дар legend-ҳои Расмҳои 2–7 рамзи дигаргунае аз навъи \(v_1/\upsilon_1\) истифода шудааст. Манбаъ сабаби инро алоҳида шарҳ намедиҳад; матн ин қиматҳоро ҳамчун fractional order тафсир мекунад.

Тафсири симулятсия дар матни манбаъ

Муаллифон мегӯянд, ки қимати \(\tau\) барои memory-dependent dynamics-и система муҳим аст. Тибқи матни манбаъ, fractional order-и хурдтар таъсири хотираро қавитар мекунад ва боиси рафтори назоратшавандатар/нармтари баъзе қисмҳо мешавад.

Тафсирҳои матни манбаъ дар ҷамъбаст чунинанд:

Оё графикҳо ва матни манбаъ пурра мувофиқат мекунанд?

Не. Каҷиҳои намоёни Расмҳои 2–5 дар саҳифаи 15-и PDF бо қисме аз тафсирҳои шифоҳӣ дар саҳифаҳои 19–20 ба ҳам мухолиф менамоянд. Аз ин рӯ, дар ин мақола аз каҷиҳои хом натиҷаи нави ададӣ бароварда нашуда ва ихтилоф ошкор нигоҳ дошта шудааст.

Ин санҷиш барои тағйир додани натиҷаҳои манбаъ нест, балки барои он аст, ки хонанда фарқи байни график ва матни ҳамон манбаъро бинад. Азбаски қиматҳои хоми симулятсия нашр нашудаанд, Verianla аз графикҳо интерполятсия ё каҷии нав эҷод намекунад.

Графикҳои сеченакаи surface

Манбаъ дар Расмҳои 8–13 мутаносибан барои \(S,E_1,E_2,I,T,R\) тасвирҳои сеченакаи surface ва дученакаи contour-ро пешниҳод мекунад, ки дар онҳо вақт ва fractional order якҷоя тағйир меёбанд. Муаллифон ин сатҳҳоро ҳамчун дастгирии визуалии таъсири параметри fractional-order ба peak height ва convergence speed тафсир мекунанд.

Матни манбаъ мегӯяд, ки қиматҳои хурди \(\tau\) системаро тезтар устувор мекунанд ва сатҳҳо наздикшавӣ ба мувозинати эндемикии устуворро дастгирӣ мекунанд. Аммо аз сабаби номувофиқиҳои график/матн ва набудани маълумоти хом, матни Verianla ин изҳоротро ҳамчун тафсири муаллифони манбаъ ҷудо нигоҳ медорад; аз сатҳҳо қимати нави мустақили convergence-rate ҳисоб намекунад.

Муқоисаи манбаъ бо модели Caputo

Ин ҷадвал predictive-accuracy benchmark нест. Манбаъ MAE, RMSE, likelihood, real data fit, cross-validation ё муваффақияти пешгӯии клиникиро муқоиса намекунад. Муқоиса дар сатҳи сохтори модел ва хусусиятҳои усул аст.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Манбаъ модели fractional-order-и TB-ро бо шаш қисм ва ду синфи алоҳидаи дучоршавӣ таъриф мекунад.
• Ҳосилаи ABC ва kernel-и Mittag–Leffler ба динамикаи модел сохтори non-local memory-ро, ки ҳолатҳои гузаштаро дар бар мегирад, илова мекунанд.
• Барои модел далелҳои мусбатӣ ва boundedness таҳия шудаанд.
• Бо усулҳои нуқтаи собит мавҷудияти ҳал ва дар шароити муайяни contraction ягонагии он омӯхта шудааст.
• Нуқтаҳои мувозинати бебеморӣ ва эндемикӣ ба таври аналитикӣ ҳосил шудаанд.
• Бо истифода аз next-generation matrix барои \(R_0\) формулаи ошкор ба даст оварда шудааст.
• Тибқи Ҷадвали 2, \(\beta\) дар нуқтаи параметрии истифодашуда қавитарин параметри ҳассосияти мусбати \(R_0\) мебошад.
• Тибқи Ҷадвали 2, \(\sigma_1\) қавитарин ҳассосияти манфӣ ва \(\gamma\) ҳассосияти манфии сатҳи миёна дорад.
• Барои \(R_0<1\) устувории маҳаллии асимптотикии мувозинати бебеморӣ дар манбаъ бо меъёрҳои Routh–Hurwitz ва Matignon таҳлил шудааст.
• Дар ҳолати \(R_0>1\), устувории глобалии мувозинати эндемикӣ таҳти шарти иловагии кофии \(\psi\leq\varpi\) бо равиши Lyapunov дода шудааст.
• Тағйири fractional order рафтори гузарои модел ва эволютсияи ҳисобшудаи қисмҳоро бо вақт тағйир медиҳад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Модел бо маълумоти воқеии беморони Khyber Pakhtunkhwa калибровка ё тасдиқ нашудааст.
• Натиҷаҳои симулятсия маълумоти клиникӣ нестанд.
• Индекси ҳассосият нишон намедиҳад, ки дахолати тандурустии ҷамъиятӣ дар ҷаҳони воқеӣ ҳолатҳоро бо ҳамон фоиз кам мекунад.
• Формулаи \(R_0\) худ аз худ \(R_0\)-и воқеии TB-ро барои кишвари мушаххас ё давраи муайян чен намекунад.
• Нишон дода нашудааст, ки fractional order молекулаи биологӣ, хусусияти бемор ё параметри клиникии бевосита ченшуда мебошад.
• Нишон дода нашудааст, ки модели ABC аз модели Caputo аз ҷиҳати дақиқии пешгӯии маълумоти воқеӣ бартарӣ дорад.
• Гуфтан мумкин нест, ки ҳамаи тамоюлҳои графикҳои манбаъ бо шарҳҳои матн мувофиқат мекунанд.
• Натиҷаи global stability-и мувозинати эндемикӣ бе шарти иловагии кофӣ исботи умумии анҷомёфта нест.
• Интиқоли стохастикӣ, гетерогении фазоӣ, параметрҳои тағйирёбанда бо вақт ва дахолатҳои вобаста ба вақт дар ин модел бевосита симулятсия нашудаанд.

Маҳдудиятҳои худи манбаъ

Қисми хулоса мегӯяд, ки модели манбаъ stochasticity, heterogeneous environment ва time-dependent intervention strategies-ро сарфи назар мекунад ва тағйири epidemiological parameters бо вақтро дар бар намегирад.

Манбаъ инчунин ибораи “does not consider homogeneous mixing”-ро истифода мебарад. Аммо робитаи ин ҷумла бо ҳади нормализатсияшудаи тамоси \(\beta SI/N\), ки дар модел истифода мешавад, алоҳида шарҳ дода нашудааст. Verianla ин ибораро ба шакли “модел ҳатман омезиши якхеларо фарз мекунад” ё “ҳатман фарз намекунад” аз нав нанавиштааст.

Яке аз муҳимтарин маҳдудиятҳои reproducibility-и манбаъ ин аст, ки гарчанде гуфта мешавад parameter values ва initial conditions-и симулятсия аз Zhang ва диг. [28] гирифта шудаанд, рӯйхати ададӣ дар ин таҳқиқот аз нав дода нашудааст. Илова бар ин, барои меҳвари вақт дар графикҳо воҳиди физикии вақт ва қимати амалии қадами ададии \(h\) дар қисми симулятсия ошкоро гузориш намешавад.

Пешниҳодҳои кори ояндаи муаллифон таҳияи моделҳои stochastic, spatially distributed ва data-driven fractional-order мебошанд. Ин пешниҳод нишон медиҳад, ки сохтори назариявӣ ва ба параметрҳои адабиёт асосёфтаи таҳқиқоти ҷорӣ аз ҷониби худи муаллифон низ маҳдуд дониста мешавад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Modeling and stability analysis of a fractional-order tuberculosis model with different exposed populations progressing to infection

Муаллифон: Muhammad Farman, Kottakkaran Sooppy Nisar.

Тартиби муаллифон: Muhammad Farman → Kottakkaran Sooppy Nisar.

Муаллифи масъул: Kottakkaran Sooppy Nisar; дар PDF-и манбаъ бо аломати ситора ва суроғаи n.sooppy@psau.edu.sa нишон дода шудааст.

Саҳми баробар: Дар манбаъ изҳороти ҳаммуаллифии аввалини баробар/саҳми баробар муайян нашудааст.

Аффилиатсияҳои Muhammad Farman: Faculty of Arts and Sciences, Department of Mathematics, Near East University, Mersin 10, Nicosia 99138, Turkey; Faculty of Medicine, Department of Biostatistics and Medical Informatics, Karadeniz Technical University, Trabzon, Turkey; International Center for Interdisciplinary Research in Sciences, The University of Lahore, Lahore, Pakistan.

Аффилиатсияи Kottakkaran Sooppy Nisar: Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Al-Kharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj 11942, Saudi Arabia.

Маҷалла: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences.

Бахш: Mathematics & Statistics.

Ношир: Nigerian Society of Physical Sciences.

Ҷилд / шумора / рақами мақола: 8(3), 3502.

DOI: 10.46481/jnsps.2026.3502.

Санаи ирсол: 8 майи 2026.

Санаи бознигарӣ: 13 июли 2026.

Санаи қабул: 18 июли 2026.

Нашри онлайн: 10 августи 2026.

Навъи манбаъ: Мақолаи таҳқиқотии тақризшудаи назариявӣ/ададӣ дар эпидемиологияи математикӣ.

Тақриз: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences дар маълумоти расмии маҷалла ҳамчун маҷаллаи peer-reviewed бо single-blind peer-review таъриф мешавад.

Иҷозатнома: Creative Commons Attribution 4.0 International, CC BY 4.0.

Усули асосӣ: Ҳосилаи касрии Atangana–Baleanu–Caputo, kernel-и Mittag–Leffler, модели детерминистии шашқисмии TB, next-generation matrix, таҳлили нормализатсияшудаи ҳассосияти пешрав, назарияи нуқтаи собит, таҳлили маҳаллии устувории Routh–Hurwitz/Matignon, устувории глобалии шартӣ бар асоси Lyapunov/LaSalle ва равиши ададии Adams–Bashforth-и мутобиқ бо ABC.

Қисмҳои асосии модел: \(S,E_1,E_2,I,T,R\).

Маълумоти параметрҳои манбаъ: Қиматҳои параметрҳои симулятсия ва initial conditions аз Zhang ва диг. [28] гирифта шудаанд. Ин мақола маҷмӯи ададии параметрҳоро дар дохили худ пурра аз нав номбар намекунад.

Ҳолати маълумоти воқеӣ: Манбаъ дар қисми хулоса мегӯяд, ки қиматҳои симулятсияи истифодашуда аз адабиёт гирифта шудаанд ва маълумоти клиникӣ нестанд. Fitting/validation-и бевосита ба силсилаи вақти воқеии беморони Khyber Pakhtunkhwa гузориш нашудааст.

Маблағгузорӣ: Prince Sattam bin Abdulaziz University, лоиҳаи PSAU/2025/01/34222.

Дастрасии маълумот: Гуфта мешавад, ки маълумоти дастгиркунандаи натиҷаҳои таҳқиқот бо дархости асоснок аз муаллифи масъул дастрас мешавад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор кардаанд, ки competing interest вуҷуд надорад.

Сипосгузорӣ: Муаллифон ба Prince Sattam bin Abdulaziz University барои маблағгузорӣ дар доираи лоиҳаи PSAU/2025/01/34222 сипос мегӯянд.

CRediT / саҳми муаллифон: Дар мақолаи боршуда изҳороти алоҳидаи CRediT/саҳми муаллифон муайян нашудааст.

Фарқи унвони расмӣ: Унвони PDF дар шакли “tuberculosis model” аст. Дар саҳифаи веби маҷалла унвон бо хатои чопии “tuberculosisvmodel” нишон дода мешавад. Verianla унвони PDF-ро ҳамчун унвони аслии илмӣ нигоҳ доштааст.

Масъалаи аломатгузории дохили манбаъ: Дар Муодилаи (3), гарчанде оператори интегралии ABC ба \(\omega(t)\) татбиқ мешавад, дар ҳади аввали тарафи рост \(\chi(t)\) навишта шудааст ва ин рамз дар он контекст таъриф нашудааст.

Масъалаи ҳассосияти дохили манбаъ: Қиматҳои ададии normalized sensitivity дар Ҷадвали 2 бо баъзе тамғаҳои сутунҳои Расми 1-и манбаъ мувофиқат намекунанд. Verianla Ҷадвали 2-ро ҳамчун манбаи ошкори табулятсия алоҳида пешниҳод кардааст.

Масъалаи симулятсияи дохили манбаъ: Тамоюлҳои намоёни Расмҳои 2–5, махсусан барои \(S,E_1,E_2,I\), бо баъзе ибораҳои “кам мешавад / аввал зиёд шуда баъд кам мешавад” дар муҳокимаи манбаъ мувофиқат намекунанд. Verianla ин фарқро пинҳон накардааст.

Ҳудуди устувории глобалӣ: Натиҷаи global asymptotic stability-и мувозинати эндемикӣ ғайр аз \(R_0>1\), ба шарти иловагии кофии \(\psi\leq\varpi\) вобаста аст. Манбаъ исботи пурраи ҳамаи termwise inequality-ҳои заруриро берун аз доираи таҳқиқот мегузорад.

Ҳудуди reproducibility: Рӯйхати пурраи параметрҳои ададӣ/шартҳои ибтидоӣ, воҳиди физикии вақт ва timestep-и дақиқи ададии дар амал истифодашуда дар ин мақола ҳамчун бастаи пурраи таҷдид пешниҳод нашудаанд.

Ҳудуди асосии тафсир: Ин таҳқиқот модели назариявии эпидемиологӣ мебошад. Натиҷаҳои модел набояд ба шумораи воқеии ҳолатҳо дар ҷомеаи муайян, самаранокии клиникии табобат ё натиҷаи саҳроии дахолати тандурустии ҷамъиятӣ баробар карда шаванд.