Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) бөлчөк тартиптүү кургак учук модели, кургак учуктун жугуу жана оорунун өнүгүү динамикасын учурдагы гана абалдар менен эмес, мурдагы абалдардын моделге алып келген эс тутум таасири менен да байланыштырган детерминисттик бөлүмдүү математикалык модель. Изилдөө жалпы калкты алты класска бөлөт: сезгич \(S(t)\), жай таасирленген \(E_1(t)\), тез таасирленген \(E_2(t)\), инфекцияланган \(I(t)\), дарыланууда турган \(T(t)\) жана айыккан \(R(t)\). Модель классикалык биринчи тартиптеги туундунун ордуна Mittag–Leffler өзөгү бар Atangana–Baleanu–Caputo бөлчөк туундусун колдонот.

Моделдин негизги жаңылыгы кургак учукка дуушар болгон адамдарды бир гана латенттик/таасирленген класска топтобостон, эки өзүнчө өнүгүү жолун колдонушунда. Сезгич адам инфекцияланган адам менен байланышкандан кийин жаңы таасирленүүлөрдүн \(\omega\) үлүшү жай таасирленген \(E_1\) классына, ал эми \(1-\omega\) үлүшү түздөн-түз тез таасирленген \(E_2\) классына кирет. \(E_1\) классынан \(E_2\) ге \(\varsigma_1\), \(E_2\) ден активдүү инфекция \(I\) ге \(\varsigma_2\) өтүүсү бар. Инфекцияланган адамдар \(\gamma\) ылдамдыгы менен дарылоо классына өтүшөт, ал эми дарылоо ийгиликсиз болгондо \(T\) классынан \(I\) жана \(E_1\) класстарына кайтуу жолдору бар.

Изилдөө моделдин биологиялык жактан маанилүү аймакта терс калк санын пайда кылбоосу, чечимдердин чектелүү болушу, чечимдин бар болушу жана жалгыздыгы сыяктуу математикалык касиеттерин изилдейт. Оорусуз тең салмак \(E^0\) жана эндемикалык тең салмак \(E^\ast\) алынган; негизги репродукция саны \(R_0\) next-generation matrix ыкмасы менен алынган. Булактын формуласына ылайык \(R_0\), тез жана жай таасирленүү жолдору менен бирге дарылоонун ийгиликсиздигинен келип чыккан кайтуу жолдорун да камтыган төрт мүчөдөн турат.

Нормалдаштырылган алдыга сезгичтик анализинде булак 2-таблица жугуу коэффициенти \(\beta\) \(+0.9186\) мааниси менен \(R_0\) ды көбөйткөн эң күчтүү параметр экенин; инфекцияланган класстагы ооруга байланыштуу өлүм деңгээли \(\sigma_1\) \(-0.6243\) менен эң күчтүү терс сезгичтикке ээ экенин жана дарылоо деңгээли \(\gamma\) \(-0.2607\) маанисинде орточо терс таасир көрсөтөрүн билдирет. Бирок ошол эле беттеги булак 1-сүрөтүнүн айрым тилке белгилери 2-таблица менен дал келбегендиктен Verianla сандык сезгичтик маанилери үчүн ачык таблицадагы маанилерди негиз кылат.

Жергиликтүү туруктуулук анализинде оорусуз тең салмак үчүн \(R_0<1\) шартында Routh–Hurwitz жана fractional-order Matignon критерийлери колдонулган. Эндемикалык тең салмак үчүн глобалдык туруктуулук натыйжасы болсо \(R_0>1\) шартынан тышкары Lyapunov туундусунун бардык ылайыктуу абалдарда терс жарым-анык болушун камсыз кылган \(\psi\leq\varpi\) шартына көз каранды. Авторлор бул мүчө-мүчө теңсиздиктин бардык уруксат берилген абалдар үчүн толук далили изилдөөнүн чегинен тышкары экенин өзүнчө белгилешет. Ошондуктан эндемикалык тең салмактын глобалдык туруктуулук натыйжасы шарттуу жетиштүү шарт катары окулууга тийиш.

Сандык чечимде ABC интегралдык формасына ылайыкташтырылган Adams–Bashforth ыкмасы колдонулат. Булак 2–7-сүрөттөрдө 1.00, 0.95, 0.90 жана 0.85 fractional-order маанилерин салыштырат. Авторлордун жалпы түшүндүрмөсү боюнча fractional order азайган сайын эс тутум таасири күчөп, өтмө жүрүм-турум өзгөрөт. Ошентсе да графиктердин көрүнгөн багыттары менен тексттеги айрым “көбөйөт/азайт” түшүндүрмөлөрү толук дал келбегендиктен Verianla бул графиктерди булакта жазылган түшүндүрмөлөргө мажбурлап шайкеш келтирбейт.

Изилдөөнүн эң маанилүү түшүндүрмө чеги төмөнкүдөй: бул натыйжалар чыныгы Khyber Pakhtunkhwa бейтаптарынын убакыт катарына туураланган клиникалык божомолдор эмес. Макала параметр маанилери жана баштапкы шарттар Zhang жана кызматташтарынын мурунку математикалык TB изилдөөсүнөн алынганын айтат; жыйынтык бөлүмүндө да симуляциялар адабиятка негизделген маанилерди колдонгонун жана клиникалык маалымат эмес экенин ачык моюнга алат. Ошондуктан модель теориялык эпидемиологиялык алкак болуп саналат; аны чыныгы коомдогу эпидемиянын көлөмүн же белгилүү бир дарылоо программасынын натыйжасын түздөн-түз божомолдойт деп эсептөөгө болбойт.

Atangana–Baleanu–Caputo Бөлчөк Туундусу TB Моделинде Эмне Үчүн Керек?

Atangana–Baleanu–Caputo бөлчөк туундусу системанын өзгөрүү ылдамдыгын учурдагы абалга гана эмес, мурдагы абалдардын салмакталган таасирине да байланыштырган, Mittag–Leffler түрүндөгү сингулярдуу эмес өзөктү колдонгон бөлчөк туунду оператору. Бул изилдөөдө \(\tau\in(0,1]\) fractional order параметри кургак учук бөлүмдөрүнүн мурдагы абалдарынын учурдагы динамикага болгон эс тутум таасирин көрсөткөн математикалык башкаруучу параметр; \(\tau=1\) классикалык бүтүн тартиптеги чекти, \(\tau<1\) болсо бөлчөк эс тутум жүрүм-турумун берет.

ABC бөлчөк туундусунун булакта колдонулган аныктамасы

Булак Теңдеме (1) де Atangana–Baleanu–Caputo туундусун:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau \omega(t) = \frac{Z(\tau)}{1-\tau} \int_0^t E_\tau \left[ -\frac{\tau}{1-\tau}(t-\vartheta)^\tau \right] \frac{d\omega(\vartheta)}{d\vartheta} \,d\vartheta \tag{1} \]

түрүндө аныктайт.

Бул жерде:

• \({}^{ABC}D_t^\tau\), Atangana–Baleanu–Caputo fractional derivative оператору.
• \(\tau\), бөлчөк тартип жана булакта \(0<\tau\leq1\) аралыгында каралат.
• \(\omega(t)\), туундусу алынган функция.
• \(\vartheta\), өткөн убакытты көрсөткөн интегралдык өзгөрмө.
• \(Z(\tau)\), \(Z(0)=Z(1)=1\) шартын аткарган нормалдаштыруу функциясы.
• \(E_\tau\), Mittag–Leffler функциясы.

Бул теңдемеде классикалык туундудагы жергиликтүү гана өзгөрүүнүн ордуна \(0\) дон учурдагы \(t\) убактысына чейинки бардык өткөн абалдардын интегралы бар. \((t-\vartheta)^\tau\) камтыган Mittag–Leffler өзөгү өткөн абалдардын кандай салмак менен эсепке алынарын аныктаган эс тутум түзүлүшүн берет.

Mittag–Leffler функциясы

Булактын Теңдеме (2)-си:

\[ E_\tau(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{\Gamma(\tau k+1)} \tag{2} \]

түрүндө.

\(\Gamma(\cdot)\), Gamma функциясы. Mittag–Leffler функциясы fractional calculus ичинде экспоненциалдык функциянын ролуна окшогон кеңейтилген функция. \(\tau\) өзгөргөн сайын өткөндүн басаңдоо формасы классикалык \(e^x\) жүрүм-турумунан айырмаланышы мүмкүн. Бул изилдөө ушул касиетти TB моделине эс тутум кошуу үчүн колдонот.

ABC fractional integral

Булак Теңдеме (3) те ABC интегралын:

\[ {}^{ABC}I_t^\tau\omega(t) = \frac{1-\tau}{Z(\tau)}\chi(t) + \frac{\tau}{\Gamma(\tau)Z(\tau)} \int_0^t (t-\vartheta)^{\tau-1}\omega(\vartheta)\,d\vartheta \tag{3} \]

түрүндө берет.

Булак ичиндеги белгилөө белгисиздиги: Оператордун сол тарабында \(\omega(t)\) турганына карабай, биринчи оң-тарап мүчөсүндө \(\chi(t)\) жазылган. Булак бул жерде \(\chi(t)\) ни өзүнчө аныктабайт. Кийинки бөлүмдөрдө \(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4\) башка бириктирилген өтүү ылдамдыктары үчүн колдонулат. Ошондуктан Verianla Теңдеме (3) теги \(\chi(t)\) ни үнсүз түрдө \(\omega(t)\) менен алмаштырбайт.

Эмне Үчүн \(E_1\) жана \(E_2\) Деген Эки Өзүнчө Таасирленүү Классы Колдонулат?

Модель инфекцияланган адам менен байланышкандан кийин бардык адамдар активдүү инфекцияга бирдей ылдамдыкта өтпөй турганын көрсөтүү үчүн эки өзүнчө таасирленүү жолун колдонот: \(E_1(t)\) жай таасирленген, \(E_2(t)\) болсо тез таасирленген калк. Жаңы таасирленүүлөрдүн \(\omega\) бөлүгү \(E_1\) ге, \(1-\omega\) бөлүгү түздөн-түз \(E_2\) ге өтөт; андан кийин \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) өнүгүү чынжыры жана дарылоонун ийгиликсиздигинен кайтуу жолдору моделге кошулат.

Алты бөлүм

Модель теңдемелери

Булактын Теңдеме (4)-ү:

\[ \begin{aligned} {}^{ABC}D_t^\tau S(t) &= \Delta - \frac{\beta S I}{N} - \nu S, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_1(t) &= \omega\frac{\beta S I}{N} - \chi_1E_1 + (1-\rho)\delta T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_2(t) &= (1-\omega)\frac{\beta S I}{N} + \varsigma_1E_1 - \chi_2E_2, \\ {}^{ABC}D_t^\tau I(t) &= \varsigma_2E_2 + \rho\delta T - \chi_3I, \\ {}^{ABC}D_t^\tau T(t) &= \gamma I - \chi_4T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau R(t) &= \phi T - \nu R. \end{aligned} \tag{4} \]

Биринчи теңдемеде \(\Delta\) сезгич класска калктын киришин, \(\beta SI/N\) инфекция түзө ала турган байланыш агымын жана \(\nu S\) табигый өлүмдөн улам чыгууну көрсөтөт.

Экинчи жана үчүнчү теңдемелерде жаңы таасирленүү агымы эки бутакка бөлүнөт. \(\omega\beta SI/N\) бөлүгү \(E_1\) ге, \((1-\omega)\beta SI/N\) бөлүгү \(E_2\) ге өтөт. Мындан тышкары \(E_1\) ден \(E_2\) ге \(\varsigma_1E_1\) өтүүсү бар.

Төртүнчү теңдемеде \(E_2\) ден активдүү инфекцияга өтүү \(\varsigma_2E_2\). Дарылоонун ийгиликсиздигинин \(\rho\delta T\) бөлүгү да түздөн-түз инфекцияланган класска кайтып келет.

Бешинчи теңдемеде инфекцияланган адамдардын \(\gamma I\) агымы менен дарылоо классына өтүшү моделденет. Алтынчы теңдемеде \(\phi T\) агымы дарылоодон айыккан класска өтүү болуп саналат.

Бириктирилген чыгуу ылдамдыктары

Булак:

\[ \chi_1=\nu+\varsigma_1, \qquad \chi_2=\nu+\varsigma_2, \]

\[ \chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1, \qquad \chi_4=\nu+\delta+\sigma_2+\phi \tag{5} \]

аныктамаларын колдонот.

Булар өзүнчө жаңы биологиялык параметрлер эмес, тиешелүү бөлүмдөн жалпы чыгуу ылдамдыктарын кыскача жазуу үчүн колдонулган бириктирилген коэффициенттер. Мисалы, \(I\) классынан чыгуу табигый өлүм \(\nu\), дарылоого өтүү \(\gamma\) жана ооруга байланыштуу өлүм \(\sigma_1\) компоненттеринен тургандыктан \(\chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1\).

Баштапкы шарттар

\[ S(0)=S^0\geq0,\quad E_1(0)=E_1^0\geq0,\quad E_2(0)=E_2^0\geq0, \]

\[ I(0)=I^0\geq0,\quad T(0)=T^0\geq0,\quad R(0)=R^0\geq0. \tag{6–7} \]

Булак бардык баштапкы популяциялар терс эмес маанилерден башталышын талап кылат. Бирок симуляцияда колдонулган чыныгы сандык баштапкы маанилерди бул макаланын өз таблицасында бербейт; алардын Zhang ж.б. [28] булактан алынганы айтылат.

Модель параметрлери

Жалпы калк жана чектелүү болуу

Жалпы калк:

\[ N(t) = S(t)+E_1(t)+I(t)+E_2(t)+T(t)+R(t) \tag{8} \]

деп аныкталат.

Алты теңдеме кошулганда инфекция жана бөлүмдөр ортосундагы ички өтүүлөр бири-бирин жокко чыгарып:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) = \Delta - \nu N(t) - \sigma_1I(t) - \sigma_2T(t) \tag{9} \]

алынат.

\(\sigma_1I\) жана \(\sigma_2T\) терс чыгуу мүчөлөрү болгондуктан:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) \leq \Delta-\nu N(t) \]

жана булак:

\[ N(t)\leq\frac{\Delta}{\nu} \tag{10} \]

жогорку чегин колдонот. Бул bound моделдеги калктын чексиз өсүп кетишине жол бербеген математикалык чектелүү шарт.

Булак feasible region-ду болжол менен:

\[ \Omega = \left\{ (S,E_1,I,E_2,T,R)\in\mathbb{R}_+^6: S+E_1+I+E_2+T+R=N<\frac{\Delta}{\nu} \right\} \tag{11} \]

түрүндө аныктайт.

Булак ичиндеги тексттик карама-каршылык: Ошол эле well-posedness бөлүмүндө адегенде \(N(t)\) өсүүчү болушу жана \(^{ABC}D_t^\tau N(t)>0\) талап кылынат, кийин болсо \(^{ABC}D_t^\tau N(t)\geq0\) абалы четтетилери тууралуу сүйлөм бар. Verianla бул эки сүйлөмдү жараштырбайт; математикалык жактан ачык жазылган Теңдеме (9)–(11) чегин негиз кылат.

Оңдуулук эмне үчүн маанилүү?

Калк бөлүмдөрүнүн терс болушу биологиялык жактан маанисиз. Булак салыштыруу принцибин жана Mittag–Leffler функциясын колдонуп, баштапкы маанилер терс эмес болсо, чечимдер да feasible region ичинде терс болбой турганын көрсөтүүгө аракет кылат.

Мисалы, сезгич класс үчүн:

\[ S(t) \geq S(0) E_\tau \left[ - \left( \nu+ \frac{\beta\|I\|_\infty}{\|N\|_\infty} \right) t^\tau \right] \geq0. \tag{21} \]

Ушундай эле төмөнкү чектер \(E_1,E_2,I,T,R\) үчүн да берилип, бардык абал өзгөрмөлөрү терс эмес аймакта калат деген жыйынтык чыгарылган.

Негизги Репродукция Саны \(R_0\) Бул Моделде Кантип Түзүлөт?

Негизги репродукция саны \(R_0\), моделдин инфекцияланган/таасирленген ички тутумунда жаңы инфекция өндүрүүнүн өтүү жана чыгып кетүү процесстерине салыштырмалуу таза өсүү мүмкүнчүлүгүн көрсөткөн босого чоңдук. Изилдөө \(X=(E_1,E_2,I,T)^T\) инфекцияланган ички тутумун тандап, next-generation matrix \(K=FV^{-1}\) түзөт жана \(R_0\) ду ушул матрицанын басымдуу өздүк мааниси/спектралдык радиусу катары чыгарат.

Оорусуз тең салмак

Булактын оорусуз тең салмак чекити:

\[ E^0 = \left\{ \frac{\Delta}{\nu}, 0, 0, 0, 0, 0 \right\}. \tag{22} \]

Бул чекитте бардык калк сезгич класста; таасирленген, инфекцияланган, дарылануудагы жана айыккан класстар нөлгө барабар.

Инфекцияланган ички тутум

\[ X=(E_1,E_2,I,T)^T. \tag{30} \]

Жаңы инфекция вектору:

\[ F(X) = \begin{pmatrix} \omega\beta I\\ (1-\omega)\beta I\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \tag{31} \]

башка өтүүлөр болсо:

\[ V(X) = \begin{pmatrix} \chi_1E_1-(1-\rho)\delta T\\ \chi_2E_2-\varsigma_1E_1\\ \chi_3I-\varsigma_2E_2-\rho\delta T\\ \chi_4T-\gamma I \end{pmatrix}. \tag{32} \]

түрүндө жазылат.

\(R_0\) формуласы

Next-generation matrix:

\[ K=FV^{-1} \tag{35} \]

болуп, булак басымдуу өздүк мааниден:

\[ R_0 = \frac{\beta\omega\varsigma_1\varsigma_2} {\chi_1\chi_2\chi_3} + \frac{\beta(1-\omega)\varsigma_2} {\chi_2\chi_3} + \frac{\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho)} {\chi_1\chi_2\chi_3\chi_4} + \frac{\gamma\rho\delta} {\chi_3\chi_4}. \tag{37} \]

туюнтмасын алат.

Төрт мүчөнүн биологиялык/математикалык түшүндүрмөсү

Биринчи мүчө, жаңы байланыштын \(E_1\) жай таасирленүү жолуна кирип, андан кийин \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) чынжыры менен өнүгүшүнө байланыштуу.

Экинчи мүчө, байланыштан кийин түздөн-түз \(E_2\) ге кирген тез таасирленүү жолун билдирет.

Үчүнчү мүчө, инфекция → дарылоо → дарылоо ийгиликсиздиги → \(E_1\) → \(E_2\) → инфекцияга кайтуу чынжырына байланыштуу.

Төртүнчү мүчө, инфекция → дарылоо → түздөн-түз кайра инфекция классына кайтуу жолуна байланыштуу.

Булак өзгөчө акыркы эки мүчөдө \(\beta\) жок экенин түшүндүргөн Remark берет. Авторлордун түшүндүрмөсүнө ылайык бул мүчөлөр жаңы инфекция матрицасы \(F\) ден эмес, \(V^{-1}\) ичиндеги дарылоо ийгиликсиздиги/өтүү жолдорунан пайда болот. Verianla бул түшүндүрмөнү булактын түшүндүрмөсү катары сактайт.

Эндемикалык тең салмак

Булактын эндемикалык тең салмагы:

\[ E^\ast = \{S^\ast,E_1^\ast,E_2^\ast,I^\ast,T^\ast,R^\ast\}. \tag{23} \]

Булак компоненттери:

\[ S^\ast = \frac{\Delta}{\nu R_0}, \tag{24} \]

\[ E_1^\ast = \frac{1}{\chi_1\chi_4} \left\{ \frac{\chi_4\omega\beta}{R_0} + (1-\rho)\gamma\delta \right\} I^\ast, \tag{25} \]

\[ E_2^\ast = \frac{1}{\varsigma_2\chi_4} \left( \chi_3\chi_4-\gamma\delta\rho \right) I^\ast, \tag{26} \]

\[ I^\ast = \frac{ \chi_1\chi_4\nu\varsigma_2(R_0-1)\Delta }{ \nu \left\{ \chi_4\nu\varsigma_2\beta\omega + \left[ \nu \left( \chi_1(\chi_3\chi_4-\delta\gamma\rho) + \gamma\varsigma_2(\chi_1+(1-\rho)\delta) \right) + \chi_1\varsigma_2(\gamma\phi+\chi_4\nu) \right] R_0 \right\} }, \tag{27} \]

\[ T^\ast = \frac{\gamma}{\chi_4}I^\ast, \tag{28} \]

\[ R^\ast = \frac{\gamma\phi}{\chi_4\nu}I^\ast. \tag{29} \]

Булак эндемикалык тең салмак \(R_0>1\) болгондо бар экенин билдирет. Теңдеме (27) де \(R_0-1\) факторунун болушу да ушул босого менен түздөн-түз байланыштуу.

Нормалдаштырылган сезгичтик индекси

Бир параметрдин \(R_0\) ге салыштырмалуу таасири:

\[ \Gamma_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \tag{49} \]

менен эсептелет.

Бул чоңдук өлчөмсүз. Оң маани параметр көбөйгөндө \(R_0\) өсүү багытында, терс маани болсо \(R_0\) азайуу багытында өзгөрөрүн билдирет. Абсолюттук маани чоңойгон сайын \(R_0\) дун ошол параметрге карата салыштырмалуу сезгичтиги жогорулайт.

Мисалы, \(\Gamma_\beta^{R_0}=+0.9186\), колдонулган параметр чекитинин айланасында \(\beta\) дагы салыштырмалуу өсүү \(R_0\) ду ошол эле багытта күчтүү өзгөртөрүн билдирет. Бул сан түздөн-түз “\(\beta\) ны %1 азайтуу чыныгы дүйнөдө TBни так %0,9186 азайтат” дегенди билдирбейт; ал математикалык \(R_0\) дун жергиликтүү нормалдаштырылган сезгичтиги гана.

Эмне үчүн 2-таблица менен булактагы 1-сүрөт өзүнчө кармалды?

PDFтин ошол эле бетинде 2-таблицадагы ачык сандык тизме менен анын астында тартылган 1-сүрөттүн айрым тилке белгилери бири-биринен айырмаланат. Бул кайсы маалымат топтому визуалдык графикке өткөрүлгөнүн булактан так аныктоого тоскоол болот. Ошондуктан Verianla ачык жана жалгыз сандык таблицаны түздөн-түз кайра берет; булактагы 1-сүрөттүн башка сандары менен орточо алуу, оңдоо же жаңы сезгичтик маанилерин түзүү ишин жасабайт.

Бар болуу жана жалгыздык эмнени билдирет?

Эпидемиологиялык дифференциалдык теңдемелер системасын түзүү өзүнчө жетишсиз. Белгилүү баштапкы шарттар берилгенде системанын жок дегенде бир чечими болушу бар болуу, ошол эле шарттарда бир нече ар башка чечим пайда болбошу болсо жалгыздык маселеси.

Булак адегенде моделдин оң тараптарын:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau Z(t) = \Psi(t,Z(t)), \qquad Z(0)=Z_0 \tag{120} \]

жана:

\[ Z(t) = (S,E_1,E_2,I,T,R)^T \]

вектор формасына өткөрөт.

Андан кийин Schauder туруктуу чекит теоремасы менен жок дегенде бир чечим үчүн:

\[ \Delta_1 = \frac{ MT^\tau + (1-\tau)\Gamma(\tau)M }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{123} \]

түрүндөгү жетиштүү шартты колдонот.

Чечимдердин жалгыздыгы жана баштапкы шарттардагы кичине өзгөрүүлөргө карата көзөмөл үчүн булак Lipschitz туруктуусу \(J\) менен:

\[ \frac{ (1-\tau)\Gamma(\tau)J + JT^\tau }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{136} \]

шартын берет.

Бул теңсиздиктердин логикасы интегралдык операторду contraction абалына келтирип, Banach fixed-point теоремасы боюнча жалгыз чечим алууга негизделет.

Жергиликтүү туруктуулук

Булак оорусуз тең салмак үчүн fractional-order Matignon критерийин:

\[ |\arg(\lambda_j)| > \frac{\tau\pi}{2}, \qquad \tau\in(0,1] \tag{99} \]

түрүндө колдонот.

Бул жердеги \(\lambda_j\), оорусуз тең салмакта эсептелген Jacobian матрицасынын өздүк маанилери. Классикалык системаларда терс чыныгы бөлүк негизги критерий болсо, fractional-order системасында өздүк маанинин комплекстик тегиздиктеги бурчу да \(\tau\) га көз каранды туруктуулук аймагын аныктайт.

Эки өздүк маани түздөн-түз:

\[ \lambda_1=\lambda_2=-\nu<0 \tag{96} \]

деп табылат.

Калган төрт өздүк маани:

\[ P(\lambda) = \lambda^4 + b_1\lambda^3 + b_2\lambda^2 + b_3\lambda + b_4 \tag{97} \]

полиномунун тамырлары.

Булак:

\[ b_1 = \chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_4, \]

\[ \begin{aligned} b_2 ={}& \chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_1\chi_4 +\chi_2\chi_3+\chi_2\chi_4+\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1 -\beta(1-\omega)\chi_1 -\delta\gamma\rho\chi_1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} b_3 ={}& \chi_1\chi_2\chi_3 +\chi_1\chi_2\chi_4 +\chi_1\chi_3\chi_4 +\chi_2\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1(\chi_2+\chi_4) -\beta(1-\omega)\chi_1(\chi_3+\chi_4) \\ &-\delta\gamma\rho\chi_1(\chi_1+\chi_2) -\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho), \end{aligned} \]

\[ b_4 = \chi_1\chi_2\chi_3\chi_4 (1-R_0) \tag{98} \]

туюнтмаларын берет.

\(R_0<1\) болгондо \(b_4>0\) болот. Булак башка Routh–Hurwitz шарттары да аткарыларын билдирип, калган тамырлардын чыныгы бөлүгү терс экенин, андан кийин Matignon критерийи менен оорусуз тең салмак жергиликтүү асимптотикалык туруктуу деген жыйынтыкка келет.

Глобалдык эндемикалык туруктуулук жана Lyapunov функциясы

Булактын эндемикалык тең салмак үчүн колдонгон Lyapunov түзүлүшү:

\[ \begin{aligned} L ={}& \left( S-S^\ast-S^\ast\log\frac{S}{S^\ast} \right) + \left( E_1-E_1^\ast-E_1^\ast\log\frac{E_1}{E_1^\ast} \right) \\ &+ \left( E_2-E_2^\ast-E_2^\ast\log\frac{E_2}{E_2^\ast} \right) + \left( I-I^\ast-I^\ast\log\frac{I}{I^\ast} \right) \\ &+ \left( T-T^\ast-T^\ast\log\frac{T}{T^\ast} \right) + \left( R-R^\ast-R^\ast\log\frac{R}{R^\ast} \right). \end{aligned} \tag{100} \]

Мындай туюнтма ар бир бөлүмдүн эндемикалык тең салмак маанисинен четтөөсүн өлчөгөн жана тең салмак чекитинде нөлгө түшкөн оң энергияга окшош функция катары колдонулат.

Булактын Theorem 4.3 натыйжасы төмөнкүдөй: \(R_0>1\) жана бардык ылайыктуу абалдар үчүн:

\[ \psi\leq\varpi \tag{113} \]

болсо, теңдик \(E^\ast\) та гана аткарылган шартта:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau L \leq \psi-\varpi \leq0 \]

болот жана эндемикалык тең салмак глобалдык асимптотикалык туруктуу деп эсептелет.

Өтө маанилүү булак чеги: Авторлор бардык admissible чечимдер үчүн талап кылынган мүчө-мүчө:

\[ P_i \leq k_iQ_i, \qquad 0<k_i<1 \tag{114} \]

теңсиздиктерин толук текшерүү кеңири алгебраны талап кыларын жана алардын далилинин чегинен тышкары калганын ачык жазышат. Ошондуктан Verianla global stability натыйжасын кошумча жетиштүү шартка байланыштуу шарттуу натыйжа катары берет.

Сандык Adams–Bashforth ыкмасы

Булак fractional integral формасын:

\[ Z(t) = Z_0 + \frac{1-\tau}{Z(\tau)} \Psi(t,Z(t)) + \frac{\tau}{Z(\tau)\Gamma(\tau)} \int_0^t (t-\eta)^{\tau-1} \Psi(\eta,Z(\eta))\,d\eta \tag{122} \]

түрүндө колдонот.

Бул теңдеме эки бөлүктөн турат. Биринчи бөлүк учурдагы убакыттагы \(\Psi\) маанисин түздөн-түз колдонот; экинчи интеграл болсо мурдагы бардык маанилерди \((t-\eta)^{\tau-1}\) салмагы менен жыйнайт. Fractional memory сандык схемага ушул экинчи бөлүк аркылуу кирет.

Adams–Bashforth ыкмасында интеграл убакыт аралыктарына бөлүнөт жана ар бир аралыкта моделдин оң тарабы эки удаалаш чекитти колдонуу менен болжолдуу эсептелет. Булак эки салмакты:

\[ I_{i-1,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_{i-1}) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt, \]

\[ I_{i,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_i) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt \tag{151} \]

деп аныктап, кийин алардын жабык формаларын чыгарып, ар бир бөлүм үчүн \(S(t_{n+1}),E_1(t_{n+1}),E_2(t_{n+1}),I(t_{n+1}),T(t_{n+1}),R(t_{n+1})\) жаңыртуу теңдемелерин Теңдеме (155)–(160) катары берет.

Бул алты теңдеме түзүлүшү боюнча бирдей; айырмасы колдонулган оң-тарап функциясы \(K_1,\ldots,K_6\) гана. Мисалы:

\[ K_1 = \Delta-\frac{\beta SI}{N}-\nu S, \]

\[ K_2 = \omega\frac{\beta SI}{N} -\chi_1E_1 +(1-\rho)\delta T, \]

\[ K_3 = (1-\omega)\frac{\beta SI}{N} +\varsigma_1E_1-\chi_2E_2, \]

\[ K_4 = \varsigma_2E_2+\rho\delta T-\chi_3I, \]

\[ K_5 = \gamma I-\chi_4T, \qquad K_6 = \phi T-\nu R. \]

Adams–Bashforth схемасынын милдети ушул оң-тарап агымдарын ар бир убакыт кадамында fractional-memory интегралына ылайык жакындатуу.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Сандык симуляцияда кандай маалыматтар берилет?

Булак parameter values жана initial conditions Zhang ж.б. [28] ден алынганын билдирет, бирок бул макаланын өз ыкма/таблица бөлүмүндө тиешелүү сандык маанилердин баарын кайра тизмелебейт. Ошондуктан окурман ушул PDF менен гана симуляцияны так ошол параметрлерде кайра кура албайт; Zhang ж.б. [28] булагына да кайрылуу керек.

2–7-сүрөттөрдө көрүнгөн fractional-order маанилери:

• 1.00,
• 0.95,
• 0.90,
• 0.85

деп көрсөтүлөт. Графиктердин горизонталдык огу \(t=0\)–200 аралыгында, бирок булак бул \(t\) күн, ай же башка физикалык убакыт бирдигин билдирерин айтпайт. 8–13-сүрөттөрдө кошумча убакыт жана fractional order бирге өзгөргөн үч өлчөмдүү surface/contour көрүнүштөрү бар; мында fractional-order огу болжол менен 0.1–1 аралыгында көрсөтүлөт.

Белгилөө эскертүүсү: Негизги теорияда fractional order дайыма \(\tau\) белгиси менен жазылса, 2–7-сүрөттөрдүн legend-деринде башкача көрүнгөн \(v_1/\upsilon_1\) тибиндеги белги колдонулат. Булак мунун себебин өзүнчө түшүндүрбөйт; текст бул маанилерди fractional order катары чечмелейт.

Булак текстинин симуляция түшүндүрмөсү

Авторлор \(\tau\) мааниси системадагы memory-dependent dynamics үчүн маанилүү экенин белгилешет. Булак тексти боюнча кичирээк fractional order эс тутум таасирин күчөтүп, айрым бөлүмдөрдүн көзөмөлдөнгөн/жумшагыраак жүрүм-турумуна алып келет.

Булак текстинде берилген түшүндүрмөлөр кыскача төмөнкүдөй:

Графиктер менен булак тексти толук дал келеби?

Жок. PDFтин 15-бетиндеги 2–5-сүрөттөрдүн көрүнгөн ийри сызыктары менен 19–20-беттердеги сөз менен берилген түшүндүрмөлөрдүн бир бөлүгү бири-бирине тескери көрүнөт. Ошондуктан бул макалада чийки ийри сызыктардан жаңы сандык натыйжа чыгарылган эмес жана карама-каршылык ачык сакталган.

Бул текшерүү булактын натыйжаларын өзгөртүү үчүн эмес, окурман ошол эле булактагы график менен тексттин айырмасын көрүшү үчүн жасалды. Чийки симуляция маанилери жарыяланбагандыктан Verianla графиктерден интерполяция же жаңы ийри сызык түзбөйт.

Үч өлчөмдүү surface графиктери

Булак 8–13-сүрөттөрдө тиешелүүлүгүнө жараша \(S,E_1,E_2,I,T,R\) үчүн убакыт жана fractional order бирге өзгөргөн үч өлчөмдүү surface жана эки өлчөмдүү contour сүрөттөрүн берет. Авторлор бул беттерди fractional-order параметринин peak height жана convergence speed ге таасиринин визуалдык далили катары түшүндүрүшөт.

Булак тексти кичине \(\tau\) маанилери системаны тезирээк турукташтырарын жана беттер туруктуу эндемикалык тең салмакка жакындашууну колдой турганын айтат. Бирок жогоруда көрсөтүлгөн график/текст дал келбестиктери жана чийки маалыматтын жоктугу себептүү бул Verianla тексти ошол сөздү булак авторлорунун түшүндүрмөсү катары бөлүп көрсөтөт; беттерден өз алдынча жаңы convergence-rate маанисин эсептебейт.

Caputo модели менен булак салыштыруусу

Бул таблица predictive-accuracy benchmark эмес. Булак MAE, RMSE, likelihood, чыныгы data fit, cross-validation же клиникалык божомол ийгилигин салыштырбайт. Салыштыруу модель түзүлүшү жана ыкма өзгөчөлүктөрү деңгээлинде.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• Булак алты бөлүмдүү, эки өзүнчө таасирленүү классы бар fractional-order TB моделин аныктайт.
• ABC туундусу жана Mittag–Leffler kernel моделдин динамикасына мурдагы абалдарды камтыган non-local memory түзүлүшүн кошот.
• Модель үчүн оңдуулук жана boundedness аргументтери иштелип чыккан.
• Туруктуу чекит ыкмалары менен чечимдин бар болушу жана белгилүү contraction шарттарында жалгыздыгы изилденген.
• Оорусуз жана эндемикалык тең салмак чекиттери аналитикалык түрдө алынган.
• Next-generation matrix колдонулуп \(R_0\) үчүн ачык формула алынган.
• 2-таблица боюнча \(\beta\), колдонулган параметр чекитинде \(R_0\) дун эң күчтүү оң сезгичтик параметри.
• 2-таблица боюнча \(\sigma_1\) эң күчтүү терс; \(\gamma\) болсо орточо деңгээлдеги терс сезгичтикке ээ.
• \(R_0<1\) үчүн оорусуз тең салмактын жергиликтүү асимптотикалык туруктуулугу булакта Routh–Hurwitz жана Matignon критерийлери менен талданган.
• \(R_0>1\) абалында эндемикалык тең салмактын глобалдык туруктуулугу кошумча \(\psi\leq\varpi\) жетиштүү шарты астында Lyapunov ыкмасы менен берилген.
• Fractional order өзгөрүшү моделдин өтмө жүрүм-турумун жана бөлүмдөрдүн эсептелген убакыт эволюциясын өзгөртөт.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

• Модель Khyber Pakhtunkhwa үчүн чыныгы бейтап маалыматтары менен калибрленген же текшерилген эмес.
• Симуляция натыйжалары клиникалык маалымат эмес.
• Сезгичтик индекси коомдук саламаттык сактоо кийлигишүүсү чыныгы дүйнөдө учурларды ошол эле пайызга азайтарын көрсөтпөйт.
• \(R_0\) формуласы өзүнчө белгилүү өлкө же мезгилдеги чыныгы TB \(R_0\) ду өлчөбөйт.
• Fractional order биологиялык молекула, бейтаптын касиети же түз өлчөнгөн клиникалык параметр экени көрсөтүлгөн эмес.
• ABC модели Caputo моделинен чыныгы маалыматты божомолдоо тактыгы боюнча жогору экени көрсөтүлгөн эмес.
• Булак графиктериндеги бардык багыттар тексттик түшүндүрмөлөр менен шайкеш деп айтууга болбойт.
• Эндемикалык тең салмактын global stability натыйжасы кошумча жетиштүү шартсыз толук бүткөн жалпы далил эмес.
• Стохастикалык жугуу, мейкиндик гетерогендүүлүгү, убакыт менен өзгөргөн параметрлер жана убакытка көз каранды кийлигишүүлөр бул моделде түз симуляцияланган эмес.

Булактын өз чектөөлөрү

Жыйынтык бөлүмү булак модели stochasticity, heterogeneous environment жана time-dependent intervention strategies түзүлүштөрүн эске албаганын; epidemiological parameters убакыт менен өзгөрүшүн камтыбаганын белгилейт.

Булак ошондой эле “does not consider homogeneous mixing” деген сөз айкашын колдонот. Бирок бул сүйлөмдүн моделде колдонулган нормалдаштырылган байланыш мүчөсү \(\beta SI/N\) менен кандай байланышта экени өзүнчө түшүндүрүлбөйт. Verianla бул сөздү “модель так эле бир тектүү аралашууну болжолдойт” же “так эле болжолдобойт” деп кайра жазбайт.

Булактын эң маанилүү reproducibility чектөөлөрүнүн бири симуляцияда колдонулган parameter values жана initial conditions Zhang ж.б. [28] ден алынганы айтылганы менен бул изилдөөдө сандык тизме кайра берилбегенинде. Мындан тышкары, графиктердеги убакыт огу үчүн физикалык убакыт бирдиги жана колдонулган сандык \(h\) кадам чоңдугунун симуляция бөлүмүндөгү ачык колдонмо мааниси берилбейт.

Авторлордун келечектеги иш сунуштары stochastic, spatially distributed жана data-driven fractional-order моделдерди өнүктүрүү. Бул сунуш азыркы изилдөөнүн теориялык жана адабият-параметрлүү түзүлүшүн авторлор өздөрү да чектелүү деп көрөрүн көрсөтөт.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталыш: Modeling and stability analysis of a fractional-order tuberculosis model with different exposed populations progressing to infection

Авторлор: Muhammad Farman, Kottakkaran Sooppy Nisar.

Авторлордун ирети: Muhammad Farman → Kottakkaran Sooppy Nisar.

Жооптуу автор: Kottakkaran Sooppy Nisar; булак PDFде жылдыз белгиси жана n.sooppy@psau.edu.sa дареги менен көрсөтүлгөн.

Бирдей салым: Булакта бирдей биринчи авторлук/бирдей салым билдирүүсү табылган эмес.

Muhammad Farman аффилиациялары: Faculty of Arts and Sciences, Department of Mathematics, Near East University, Mersin 10, Nicosia 99138, Turkey; Faculty of Medicine, Department of Biostatistics and Medical Informatics, Karadeniz Technical University, Trabzon, Turkey; International Center for Interdisciplinary Research in Sciences, The University of Lahore, Lahore, Pakistan.

Kottakkaran Sooppy Nisar аффилиациясы: Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Al-Kharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj 11942, Saudi Arabia.

Журнал: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences.

Бөлүм: Mathematics & Statistics.

Басма: Nigerian Society of Physical Sciences.

Том / номер / макала номери: 8(3), 3502.

DOI: 10.46481/jnsps.2026.3502.

Тапшырылган күнү: 8 май 2026.

Кайра кароо күнү: 13 июль 2026.

Кабыл алынган күнү: 18 июль 2026.

Онлайн жарыя: 10 август 2026.

Булак түрү: Рецензияланган теориялык/сандык математикалык эпидемиология изилдөө макаласы.

Рецензия: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences расмий журнал маалыматында peer-reviewed жана single-blind peer-review колдонгон журнал катары аныкталат.

Лицензия: Creative Commons Attribution 4.0 International, CC BY 4.0.

Негизги ыкма: Atangana–Baleanu–Caputo бөлчөк туундусу, Mittag–Leffler kernel, алты бөлүмдүү детерминисттик TB модели, next-generation matrix, нормалдаштырылган алдыга сезгичтик анализи, туруктуу чекит теориясы, Routh–Hurwitz/Matignon жергиликтүү туруктуулук анализи, Lyapunov/LaSalle негизиндеги шарттуу глобалдык туруктуулук жана ABCге ылайыкталган Adams–Bashforth сандык ыкмасы.

Негизги модель бөлүмдөрү: \(S,E_1,E_2,I,T,R\).

Булак параметр маалыматы: Симуляция параметр маанилери жана initial conditions Zhang ж.б. [28] ден алынган. Бул макала ошол сандык параметр топтомун өз ичинде толук кайра тизмелебейт.

Чыныгы маалымат абалы: Булак жыйынтык бөлүмүндө колдонулган симуляция маанилери адабиятка негизделгенин жана клиникалык маалымат эмес экенин билдирет. Khyber Pakhtunkhwa чыныгы бейтап убакыт катарына түз fitting/validation билдирилген эмес.

Каржылоо: Prince Sattam bin Abdulaziz University, долбоор PSAU/2025/01/34222.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Изилдөөнүн жыйынтыктарын колдогон маалыматтар негиздүү суроо-талап боюнча жооптуу автордон берилиши мүмкүн экени көрсөтүлгөн.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор competing interest жок экенин билдиришкен.

Ыраазычылык: Авторлор Prince Sattam bin Abdulaziz Universityге PSAU/2025/01/34222 долбоорунун алкагындагы каржылоо үчүн ыраазычылык билдиришет.

CRediT / автор салымдары: Жүктөлгөн макалада өзүнчө CRediT/автор салымы билдирүүсү табылган эмес.

Расмий аталыш айырмасы: PDF аталышы “tuberculosis model” түрүндө. Журналдын веб-бетинде аталыш “tuberculosisvmodel” деген терүү катасы менен көрсөтүлгөн. Verianla PDFдеги аталышты түпнуска илимий аталыш катары сактаган.

Булак ичиндеги белгилөө маселеси: Теңдеме (3) те ABC интегралдык оператору \(\omega(t)\) ге колдонулганда биринчи оң-тарап мүчөсүндө \(\chi(t)\) жазылган жана бул белги ошол контекстте аныкталган эмес.

Булак ичиндеги сезгичтик маселеси: 2-таблицанын сандык нормалдаштырылган sensitivity маанилери менен булак 1-сүрөтүнүн айрым тилке белгилери бири-бирине дал келбейт. Verianla 2-таблицаны ачык табуляция булагы катары өзүнчө берген.

Булак ичиндеги симуляция маселеси: 2–5-сүрөттөрдүн көрүнгөн багыттары, айрыкча \(S,E_1,E_2,I\) үчүн булак талкуусундагы айрым “азаят / адегенде өсүп кийин азаят” деген сөздөр менен дал келбейт. Verianla бул айырманы жапкан эмес.

Глобалдык туруктуулук чеги: Эндемикалык тең салмактын global asymptotic stability натыйжасы \(R_0>1\) ден тышкары \(\psi\leq\varpi\) кошумча жетиштүү шартына көз каранды. Булак талап кылынган бардык termwise inequality лердин толук далилин изилдөөнүн чегинен тышкары калтырат.

Reproducibility чеги: Сандык параметрлердин/баштапкы шарттардын толук тизмеси, физикалык убакыт бирдиги жана иш жүзүндө колдонулган ачык сандык timestep бул макалада толук кайра өндүрүү пакети катары берилген эмес.

Негизги түшүндүрмө чеги: Бул изилдөө теориялык эпидемиологиялык модель. Модель натыйжаларын белгилүү коомдогу чыныгы учурлардын саны, клиникалык дарылоонун натыйжалуулугу же коомдук саламаттык сактоо кийлигишүүсүнүн талаадагы натыйжасы менен теңештирүүгө болбойт.