Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) kasr tartibli sil modeli, silning yuqish va kasallik rivojlanish dinamikasini faqat joriy vaqtdagi holatlar bilan emas, balki oʻtmishdagi holatlarning modelga olib kiradigan xotira taʼsiri bilan ham bogʻlaydigan deterministik boʻlimli matematik modeldir. Tadqiqot umumiy aholini olti sinfga ajratadi: sezgir \(S(t)\), sekin taʼsirlangan \(E_1(t)\), tez taʼsirlangan \(E_2(t)\), infeksiyalangan \(I(t)\), davolanishdagi \(T(t)\) va sogʻaygan \(R(t)\). Model klassik birinchi tartibli hosila oʻrniga Mittag–Leffler yadrosiga ega Atangana–Baleanu–Caputo kasr hosilasidan foydalanadi.

Modelning asosiy yangiligi sil taʼsiriga uchragan shaxslarni bitta latent/taʼsirlangan sinfda jamlash oʻrniga ikki alohida rivojlanish yoʻlidan foydalanishidir. Sezgir shaxs infeksiyalangan shaxs bilan aloqada boʻlgach, yangi taʼsirlanishlarning \(\omega\) ulushi sekin taʼsirlangan \(E_1\) sinfiga, \(1-\omega\) ulushi esa bevosita tez taʼsirlangan \(E_2\) sinfiga kiradi. \(E_1\) sinfidan \(E_2\) ga \(\varsigma_1\), \(E_2\) dan faol infeksiya \(I\) ga \(\varsigma_2\) oʻtishi mavjud. Infeksiyalangan shaxslar \(\gamma\) tezligi bilan davolash sinfiga oʻtadi, davolash muvaffaqiyatsiz boʻlsa esa \(T\) sinfidan ham \(I\), ham \(E_1\) sinfiga qaytish yoʻllari mavjud.

Tadqiqot modelning biologik maʼnoli sohada manfiy aholi hosil qilmasligi, yechimlarning chegaralangan boʻlishi, yechimning mavjudligi va yagonaligi kabi matematik xususiyatlarini oʻrganadi. Kasalliksiz muvozanat \(E^0\) va endemik muvozanat \(E^\ast\) keltirib chiqarilgan; asosiy reproduksiya soni \(R_0\) next-generation matrix usuli yordamida olingan. Manba formulasiga koʻra \(R_0\), tez va sekin taʼsirlanish yoʻllari bilan bir qatorda davolash muvaffaqiyatsizligidan kelib chiqadigan qaytish yoʻllarini ham oʻz ichiga olgan toʻrtta haddan iborat.

Normallashtirilgan oldinga sezgirlik tahlilida manba 2-jadval uzatish koeffitsiyenti \(\beta\) ning \(+0.9186\) qiymati bilan \(R_0\) ni oshiruvchi eng kuchli parametr ekanini; infeksiyalangan sinfdagi kasallikka bogʻliq oʻlim darajasi \(\sigma_1\) ning \(-0.6243\) bilan eng kuchli manfiy sezgirlikka ega ekanini va davolash darajasi \(\gamma\) ning \(-0.2607\) qiymatida oʻrtacha manfiy taʼsir koʻrsatishini xabar qiladi. Biroq ayni sahifadagi manba 1-rasmining ayrim ustun yorliqlari 2-jadval bilan mos kelmagani sababli Verianla sonli sezgirlik qiymatlari uchun ochiq jadvaldagi qiymatlarni asos qilib oladi.

Mahalliy barqarorlik tahlilida kasalliksiz muvozanat uchun \(R_0<1\) sharoitida Routh–Hurwitz va fractional-order Matignon mezonlari qoʻllanilgan. Endemik muvozanat uchun global barqarorlik natijasi esa \(R_0>1\) ga qoʻshimcha ravishda Lyapunov hosilasining barcha mos holatlarda manfiy yarim-aniq boʻlishini taʼminlaydigan \(\psi\leq\varpi\) shartiga bogʻliq. Mualliflar ushbu hadma-had tengsizlikning barcha ruxsat etilgan holatlar uchun toʻliq isboti tadqiqot doirasidan tashqarida ekanini alohida qayd etadilar. Shu sababli endemik muvozanat uchun global barqarorlik natijasi shartli yetarli shart sifatida talqin qilinishi kerak.

Sonli yechimda ABC integral shakliga moslashtirilgan Adams–Bashforth yondashuvi qoʻllanadi. Manba 2–7-rasmlarda 1.00, 0.95, 0.90 va 0.85 fractional-order qiymatlarini taqqoslaydi. Mualliflarning umumiy talqiniga koʻra fractional order kichraygani sari xotira taʼsiri kuchayadi va oʻtkinchi xatti-harakat oʻzgaradi. Biroq grafiklarning koʻrinadigan tendensiyalari bilan matndagi ayrim “ortadi/kamayadi” izohlari bir-biriga toʻliq mos kelmagani sababli Verianla bu grafiklarni manbada yozilgan talqinlar bilan majburan muvofiqlashtirmaydi.

Tadqiqotning eng muhim talqin chegarasi shuki: bu natijalar haqiqiy Khyber Pakhtunkhwa bemorlar vaqt qatoriga moslashtirilgan klinik bashoratlar emas. Maqola parametr qiymatlari va boshlangʻich shartlarni Zhang va hamkorlarining oldingi matematik TB tadqiqotidan olganini bildiradi; xulosa qismida ham simulyatsiyalar adabiyotga asoslangan qiymatlardan foydalangani va klinik maʼlumot yoʻqligi ochiq tan olinadi. Shu sababli model nazariy epidemiologiya doirasidir; u haqiqiy jamiyatda epidemiya koʻlamini yoki muayyan davolash dasturining natijalarini bevosita bashorat qiladi, deb qabul qilinmasligi kerak.

Atangana–Baleanu–Caputo Kasr Hosilasi TB Modelida Nima Vazifa Bajaradi?

Atangana–Baleanu–Caputo kasr hosilasi tizimning oʻzgarish tezligini faqat ayni paytdagi holatiga emas, balki oʻtmishdagi holatlarining vaznlangan taʼsiriga ham bogʻlaydigan, Mittag–Leffler turidagi singulyar boʻlmagan yadrodan foydalanadigan kasr hosila operatoridir. Ushbu tadqiqotda \(\tau\in(0,1]\) fractional order parametri sil boʻlimlarining oʻtmishdagi holatlari joriy dinamika ustidagi xotira taʼsirini ifodalovchi matematik boshqaruv parametridir; \(\tau=1\) klassik butun tartibli chegarani, \(\tau<1\) esa kasr xotira xatti-harakatini ifodalaydi.

ABC kasr hosilasining manbada ishlatilgan taʼrifi

Manba Tenglama (1) da Atangana–Baleanu–Caputo hosilasini:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau \omega(t) = \frac{Z(\tau)}{1-\tau} \int_0^t E_\tau \left[ -\frac{\tau}{1-\tau}(t-\vartheta)^\tau \right] \frac{d\omega(\vartheta)}{d\vartheta} \,d\vartheta \tag{1} \]

koʻrinishida taʼriflaydi.

Bu yerda:

• \({}^{ABC}D_t^\tau\), Atangana–Baleanu–Caputo fractional derivative operatoridir.
• \(\tau\), kasr tartib boʻlib, manbada \(0<\tau\leq1\) oraligʻida koʻrib chiqiladi.
• \(\omega(t)\), hosilasi olinadigan funksiyadir.
• \(\vartheta\), oʻtmish vaqtni ifodalovchi integral oʻzgaruvchisidir.
• \(Z(\tau)\), \(Z(0)=Z(1)=1\) shartini qanoatlantiradigan normallashtirish funksiyasidir.
• \(E_\tau\), Mittag–Leffler funksiyasidir.

Bu tenglamada klassik hosiladagi faqat mahalliy oʻzgarish oʻrniga \(0\) dan joriy \(t\) vaqtigacha boʻlgan barcha oʻtmish holatlarining integrali mavjud. \((t-\vartheta)^\tau\) ni oʻz ichiga olgan Mittag–Leffler yadrosi oʻtmish holatlari qanday vazn bilan hisobga olinishini belgilovchi xotira tuzilishini taʼminlaydi.

Mittag–Leffler funksiyasi

Manbaning Tenglama (2)-si:

\[ E_\tau(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{\Gamma(\tau k+1)} \tag{2} \]

koʻrinishidadir.

\(\Gamma(\cdot)\), Gamma funksiyasidir. Mittag–Leffler funksiyasi fractional calculus doirasida eksponensial funksiyaning roliga oʻxshash kengaytirilgan funksiyadir. \(\tau\) oʻzgargani sari oʻtmishning soʻnish shakli klassik \(e^x\) xatti-harakatidan farq qilishi mumkin. Ushbu tadqiqot bu xususiyatdan TB modeliga xotira kiritish uchun foydalanadi.

ABC fractional integral

Manba Tenglama (3) da ABC integralini:

\[ {}^{ABC}I_t^\tau\omega(t) = \frac{1-\tau}{Z(\tau)}\chi(t) + \frac{\tau}{\Gamma(\tau)Z(\tau)} \int_0^t (t-\vartheta)^{\tau-1}\omega(\vartheta)\,d\vartheta \tag{3} \]

koʻrinishida chop etadi.

Manba ichidagi notatsiya noaniqligi: Operatorning chap tomonida \(\omega(t)\) boʻlishiga qaramay, birinchi oʻng-tomon hadida \(\chi(t)\) yozilgan. Manba bu nuqtada \(\chi(t)\) ni alohida taʼriflamaydi. Keyingi boʻlimlarda \(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4\) boshqa birlashtirilgan oʻtish koeffitsiyentlari uchun ishlatiladi. Shu sababli Verianla Tenglama (3) dagi \(\chi(t)\) ni jim ravishda \(\omega(t)\) ga almashtirmaydi.

Ikki Xil Taʼsirlanish Sinfi \(E_1\) va \(E_2\) Nega Ishlatiladi?

Model infeksiyalangan shaxs bilan aloqadan keyin barcha shaxslar faol infeksiyaga bir xil tezlikda oʻtmasligini ifodalash uchun ikki alohida taʼsirlanish yoʻlidan foydalanadi: \(E_1(t)\) sekin taʼsirlangan, \(E_2(t)\) esa tez taʼsirlangan aholi. Yangi taʼsirlanishlarning \(\omega\) qismi \(E_1\) ga, \(1-\omega\) qismi bevosita \(E_2\) ga oʻtadi; keyin \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) rivojlanish zanjiri va davolash muvaffaqiyatsizligidan qaytish yoʻllari modelga qoʻshiladi.

Olti boʻlim

Model tenglamalari

Manbaning Tenglama (4)-i:

\[ \begin{aligned} {}^{ABC}D_t^\tau S(t) &= \Delta - \frac{\beta S I}{N} - \nu S, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_1(t) &= \omega\frac{\beta S I}{N} - \chi_1E_1 + (1-\rho)\delta T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau E_2(t) &= (1-\omega)\frac{\beta S I}{N} + \varsigma_1E_1 - \chi_2E_2, \\ {}^{ABC}D_t^\tau I(t) &= \varsigma_2E_2 + \rho\delta T - \chi_3I, \\ {}^{ABC}D_t^\tau T(t) &= \gamma I - \chi_4T, \\ {}^{ABC}D_t^\tau R(t) &= \phi T - \nu R. \end{aligned} \tag{4} \]

Birinchi tenglamada \(\Delta\) sezgir sinfga aholi kirishini, \(\beta SI/N\) infeksiya hosil qilishi mumkin boʻlgan aloqa oqimini va \(\nu S\) tabiiy oʻlim sababli chiqishni ifodalaydi.

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarda yangi taʼsirlanish oqimi ikki tarmoqqa ajraladi. \(\omega\beta SI/N\) qismi \(E_1\) ga, \((1-\omega)\beta SI/N\) qismi \(E_2\) ga oʻtadi. Bundan tashqari \(E_1\) dan \(E_2\) ga \(\varsigma_1E_1\) oʻtishi mavjud.

Toʻrtinchi tenglamada \(E_2\) dan faol infeksiyaga oʻtish \(\varsigma_2E_2\) dir. Davolash muvaffaqiyatsizligining \(\rho\delta T\) qismi ham bevosita infeksiyalangan sinfga qaytadi.

Beshinchi tenglamada infeksiyalangan shaxslarning \(\gamma I\) oqimi bilan davolash sinfiga oʻtishi modellashtiriladi. Oltinchi tenglamada \(\phi T\) oqimi davolashdan sogʻaygan sinfga oʻtishdir.

Birlashtirilgan chiqish koeffitsiyentlari

Manba:

\[ \chi_1=\nu+\varsigma_1, \qquad \chi_2=\nu+\varsigma_2, \]

\[ \chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1, \qquad \chi_4=\nu+\delta+\sigma_2+\phi \tag{5} \]

taʼriflaridan foydalanadi.

Bular oʻz-oʻzicha yangi biologik parametrlar emas, balki tegishli boʻlimdan umumiy chiqish tezliklarini qisqa yozish uchun ishlatiladigan birlashtirilgan koeffitsiyentlardir. Masalan, \(I\) sinfidan chiqish tabiiy oʻlim \(\nu\), davolashga oʻtish \(\gamma\) va kasallikka bogʻliq oʻlim \(\sigma_1\) komponentlaridan iborat boʻlgani uchun \(\chi_3=\nu+\gamma+\sigma_1\) dir.

Boshlangʻich shartlar

\[ S(0)=S^0\geq0,\quad E_1(0)=E_1^0\geq0,\quad E_2(0)=E_2^0\geq0, \]

\[ I(0)=I^0\geq0,\quad T(0)=T^0\geq0,\quad R(0)=R^0\geq0. \tag{6–7} \]

Manba barcha boshlangʻich populyatsiyalar manfiy boʻlmagan qiymatlardan boshlanishini talab qiladi. Biroq simulyatsiyada ishlatilgan haqiqiy sonli boshlangʻich qiymatlarni ushbu maqolaning oʻz jadvalida bermaydi; ular Zhang va boshq. [28] dan olingani aytiladi.

Model parametrlari

Umumiy aholi va chegaralanganlik

Umumiy aholi:

\[ N(t) = S(t)+E_1(t)+I(t)+E_2(t)+T(t)+R(t) \tag{8} \]

deb taʼriflanadi.

Olti tenglama qoʻshilganda infeksiya va boʻlimlar orasidagi ichki oʻtishlar bir-birini bekor qiladi va:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) = \Delta - \nu N(t) - \sigma_1I(t) - \sigma_2T(t) \tag{9} \]

hosil boʻladi.

\(\sigma_1I\) va \(\sigma_2T\) manfiy chiqish hadlari boʻlgani uchun:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau N(t) \leq \Delta-\nu N(t) \]

va manba:

\[ N(t)\leq\frac{\Delta}{\nu} \tag{10} \]

yuqori chegarasidan foydalanadi. Ushbu bound model aholisi cheksizlikka ketishini oldini oluvchi matematik chegaralanganlik shartidir.

Manba feasible region ni taxminan:

\[ \Omega = \left\{ (S,E_1,I,E_2,T,R)\in\mathbb{R}_+^6: S+E_1+I+E_2+T+R=N<\frac{\Delta}{\nu} \right\} \tag{11} \]

koʻrinishida taʼriflaydi.

Manba ichidagi matn ziddiyati: Ayni well-posedness boʻlimida avval \(N(t)\) ning ortuvchi boʻlishi va \(^{ABC}D_t^\tau N(t)>0\) talab qilinadi, keyin esa \(^{ABC}D_t^\tau N(t)\geq0\) holati chiqarib tashlanishi haqida jumla mavjud. Verianla bu ikki jumlani muvofiqlashtirmaydi; matematik jihatdan aniq yozilgan Tenglama (9)–(11) chegarasini asos qilib oladi.

Musbatlik nega muhim?

Aholi boʻlimlarining manfiy boʻlishi biologik jihatdan maʼnosiz. Manba taqqoslash prinsipi va Mittag–Leffler funksiyasidan foydalanib, boshlangʻich qiymatlar manfiy boʻlmasa, yechimlar ham feasible region ichida manfiy boʻlmasligini koʻrsatishga harakat qiladi.

Masalan, sezgir sinf uchun:

\[ S(t) \geq S(0) E_\tau \left[ - \left( \nu+ \frac{\beta\|I\|_\infty}{\|N\|_\infty} \right) t^\tau \right] \geq0. \tag{21} \]

Shunga oʻxshash quyi chegaralar \(E_1,E_2,I,T,R\) uchun ham berilgan va barcha holat oʻzgaruvchilari manfiy boʻlmagan sohada qolishi xulosasi chiqarilgan.

Asosiy Reproduksiya Soni \(R_0\) Ushbu Modelda Qanday Quriladi?

Asosiy reproduksiya soni \(R_0\), modelning infeksiyalangan/taʼsirlangan quyi tizimida yangi infeksiya hosil boʻlishining oʻtish va chiqib ketish jarayonlariga nisbatan sof oʻsish qobiliyatini ifodalovchi chegaraviy kattalikdir. Tadqiqot \(X=(E_1,E_2,I,T)^T\) infeksiyalangan quyi tizimini tanlab, next-generation matrix \(K=FV^{-1}\) ni tuzadi va \(R_0\) ni ushbu matritsaning dominant xos qiymati/spektral radiusi sifatida keltirib chiqaradi.

Kasalliksiz muvozanat

Manbaning kasalliksiz muvozanat nuqtasi:

\[ E^0 = \left\{ \frac{\Delta}{\nu}, 0, 0, 0, 0, 0 \right\}. \tag{22} \]

Bu nuqtada barcha aholi sezgir sinfda; taʼsirlangan, infeksiyalangan, davolanishdagi va sogʻaygan sinflar nolga teng.

Infeksiyalangan quyi tizim

\[ X=(E_1,E_2,I,T)^T. \tag{30} \]

Yangi infeksiya vektori:

\[ F(X) = \begin{pmatrix} \omega\beta I\\ (1-\omega)\beta I\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \tag{31} \]

boshqa oʻtishlar esa:

\[ V(X) = \begin{pmatrix} \chi_1E_1-(1-\rho)\delta T\\ \chi_2E_2-\varsigma_1E_1\\ \chi_3I-\varsigma_2E_2-\rho\delta T\\ \chi_4T-\gamma I \end{pmatrix}. \tag{32} \]

koʻrinishida yoziladi.

\(R_0\) formulasi

Next-generation matrix:

\[ K=FV^{-1} \tag{35} \]

boʻlib, manba dominant xos qiymatdan:

\[ R_0 = \frac{\beta\omega\varsigma_1\varsigma_2} {\chi_1\chi_2\chi_3} + \frac{\beta(1-\omega)\varsigma_2} {\chi_2\chi_3} + \frac{\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho)} {\chi_1\chi_2\chi_3\chi_4} + \frac{\gamma\rho\delta} {\chi_3\chi_4}. \tag{37} \]

ifodasini oladi.

Toʻrt hadning biologik/matematik talqini

Birinchi had, yangi aloqaning \(E_1\) sekin taʼsirlanish yoʻliga kirishi va keyin \(E_1\rightarrow E_2\rightarrow I\) zanjiri boʻylab rivojlanishi bilan bogʻliq.

Ikkinchi had, aloqadan keyin bevosita \(E_2\) ga kiradigan tez taʼsirlanish yoʻlini ifodalaydi.

Uchinchi had, infeksiya → davolash → davolash muvaffaqiyatsizligi → \(E_1\) → \(E_2\) → infeksiyaga qaytish zanjiri bilan bogʻliq.

Toʻrtinchi had, infeksiya → davolash → bevosita qayta infeksiya sinfiga qaytish yoʻli bilan bogʻliq.

Manba ayniqsa soʻnggi ikki hadda \(\beta\) yoʻqligini izohlovchi Remark beradi. Mualliflarning talqiniga koʻra bu hadlar yangi infeksiya matritsasi \(F\) dan emas, \(V^{-1}\) ichidagi davolash muvaffaqiyatsizligi/oʻtish yoʻllaridan kelib chiqadi. Verianla bu izohni manba talqini sifatida saqlaydi.

Endemik muvozanat

Manbaning endemik muvozanati:

\[ E^\ast = \{S^\ast,E_1^\ast,E_2^\ast,I^\ast,T^\ast,R^\ast\}. \tag{23} \]

Manba komponentlari:

\[ S^\ast = \frac{\Delta}{\nu R_0}, \tag{24} \]

\[ E_1^\ast = \frac{1}{\chi_1\chi_4} \left\{ \frac{\chi_4\omega\beta}{R_0} + (1-\rho)\gamma\delta \right\} I^\ast, \tag{25} \]

\[ E_2^\ast = \frac{1}{\varsigma_2\chi_4} \left( \chi_3\chi_4-\gamma\delta\rho \right) I^\ast, \tag{26} \]

\[ I^\ast = \frac{ \chi_1\chi_4\nu\varsigma_2(R_0-1)\Delta }{ \nu \left\{ \chi_4\nu\varsigma_2\beta\omega + \left[ \nu \left( \chi_1(\chi_3\chi_4-\delta\gamma\rho) + \gamma\varsigma_2(\chi_1+(1-\rho)\delta) \right) + \chi_1\varsigma_2(\gamma\phi+\chi_4\nu) \right] R_0 \right\} }, \tag{27} \]

\[ T^\ast = \frac{\gamma}{\chi_4}I^\ast, \tag{28} \]

\[ R^\ast = \frac{\gamma\phi}{\chi_4\nu}I^\ast. \tag{29} \]

Manba endemik muvozanat \(R_0>1\) boʻlganda mavjudligini bildiradi. Tenglama (27) da \(R_0-1\) omilining mavjudligi ham ushbu chegara bilan bevosita bogʻliq.

Normallashtirilgan sezgirlik indeksi

Bir parametrning \(R_0\) ga nisbiy taʼsiri:

\[ \Gamma_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \tag{49} \]

orqali hisoblanadi.

Bu kattalik oʻlchovsiz. Musbat qiymat parametr ortganda \(R_0\) ortish yoʻnalishida, manfiy qiymat esa \(R_0\) kamayish yoʻnalishida oʻzgarishini bildiradi. Mutlaq qiymat kattalashgani sari \(R_0\) ning shu parametrga nisbatan nisbiy sezgirligi ortadi.

Masalan, \(\Gamma_\beta^{R_0}=+0.9186\), ishlatilgan parametr nuqtasi atrofida \(\beta\) dagi nisbiy ortish \(R_0\) ni shu yoʻnalishda kuchli oʻzgartirishini anglatadi. Bu raqam bevosita “\(\beta\) ni %1 kamaytirish real dunyoda TB ni aynan %0,9186 kamaytiradi” degani emas; u faqat matematik \(R_0\) ning mahalliy normallashtirilgan sezgirligidir.

2-jadval bilan manba 1-rasmi nega alohida saqlandi?

PDF ning ayni sahifasida 2-jadvaldagi ochiq sonli roʻyxat bilan uning ostida chizilgan 1-rasmning ayrim ustun yorliqlari bir-biridan farq qiladi. Bu holat qaysi maʼlumotlar toʻplami vizual grafikka koʻchirilganini manbadan aniq belgilashga toʻsqinlik qiladi. Shu sababli Verianla ochiq va yagona sonli jadvalni bevosita qayta ishlab beradi; manba 1-rasmidagi boshqa raqamlar bilan oʻrtacha olish, tuzatish yoki yangi sezgirlik qiymatlari yaratmaydi.

Mavjudlik va yagonalik nimani anglatadi?

Epidemiologik differensial tenglamalar tizimini tuzishning oʻzi yetarli emas. Muayyan boshlangʻich shartlar berilganda tizimning kamida bitta yechimi mavjud boʻlishi mavjudlik, ayni shartlarda bir nechta turli yechim paydo boʻlmasligi esa yagonalik muammosidir.

Manba avval modelning oʻng tomonlarini:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau Z(t) = \Psi(t,Z(t)), \qquad Z(0)=Z_0 \tag{120} \]

va:

\[ Z(t) = (S,E_1,E_2,I,T,R)^T \]

vektor shakliga oʻtkazadi.

Soʻng Schauder sobit nuqta teoremi bilan kamida bitta yechim uchun:

\[ \Delta_1 = \frac{ MT^\tau + (1-\tau)\Gamma(\tau)M }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{123} \]

turidagi yetarli shartdan foydalanadi.

Yechimlarning yagonaligi va boshlangʻich shartlardagi kichik oʻzgarishlarga nisbatan nazorat uchun manba Lipschitz doimiysi \(J\) bilan:

\[ \frac{ (1-\tau)\Gamma(\tau)J + JT^\tau }{ Z(\tau)\Gamma(\tau) } <1 \tag{136} \]

shartini beradi.

Bu tengsizliklarning mantiqi integral operatorini contraction holatiga keltirish va Banach fixed-point teoremi ostida yagona yechim olishdir.

Mahalliy barqarorlik

Manba kasalliksiz muvozanat uchun fractional-order Matignon mezonini:

\[ |\arg(\lambda_j)| > \frac{\tau\pi}{2}, \qquad \tau\in(0,1] \tag{99} \]

koʻrinishida ishlatadi.

Bu yerdagi \(\lambda_j\), kasalliksiz muvozanatda hisoblangan Jacobian matritsasining xos qiymatlaridir. Klassik tizimlarda faqat manfiy haqiqiy qism asosiy mezon boʻlsa, fractional-order tizimda xos qiymatning kompleks tekislikdagi burchagi ham \(\tau\) ga bogʻliq barqarorlik sohasini belgilaydi.

Ikkita xos qiymat bevosita:

\[ \lambda_1=\lambda_2=-\nu<0 \tag{96} \]

deb topiladi.

Qolgan toʻrtta xos qiymat:

\[ P(\lambda) = \lambda^4 + b_1\lambda^3 + b_2\lambda^2 + b_3\lambda + b_4 \tag{97} \]

polinomining ildizlaridir.

Manba:

\[ b_1 = \chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_4, \]

\[ \begin{aligned} b_2 ={}& \chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_1\chi_4 +\chi_2\chi_3+\chi_2\chi_4+\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1 -\beta(1-\omega)\chi_1 -\delta\gamma\rho\chi_1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} b_3 ={}& \chi_1\chi_2\chi_3 +\chi_1\chi_2\chi_4 +\chi_1\chi_3\chi_4 +\chi_2\chi_3\chi_4 \\ &-\beta\omega\varsigma_1(\chi_2+\chi_4) -\beta(1-\omega)\chi_1(\chi_3+\chi_4) \\ &-\delta\gamma\rho\chi_1(\chi_1+\chi_2) -\delta\gamma\varsigma_1\varsigma_2(1-\rho), \end{aligned} \]

\[ b_4 = \chi_1\chi_2\chi_3\chi_4 (1-R_0) \tag{98} \]

ifodalarini beradi.

\(R_0<1\) boʻlganda \(b_4>0\) boʻladi. Manba boshqa Routh–Hurwitz shartlari ham bajarilishini taʼkidlab, qolgan ildizlarning manfiy haqiqiy qismga ega ekanini, keyin Matignon mezoni bilan kasalliksiz muvozanat mahalliy asimptotik barqaror ekanini xulosa qiladi.

Global endemik barqarorlik va Lyapunov funksiyasi

Manbaning endemik muvozanat uchun ishlatgan Lyapunov tuzilishi:

\[ \begin{aligned} L ={}& \left( S-S^\ast-S^\ast\log\frac{S}{S^\ast} \right) + \left( E_1-E_1^\ast-E_1^\ast\log\frac{E_1}{E_1^\ast} \right) \\ &+ \left( E_2-E_2^\ast-E_2^\ast\log\frac{E_2}{E_2^\ast} \right) + \left( I-I^\ast-I^\ast\log\frac{I}{I^\ast} \right) \\ &+ \left( T-T^\ast-T^\ast\log\frac{T}{T^\ast} \right) + \left( R-R^\ast-R^\ast\log\frac{R}{R^\ast} \right). \end{aligned} \tag{100} \]

Bu turdagi ifoda har bir boʻlimning endemik muvozanat qiymatidan ogʻishini oʻlchaydigan va muvozanat nuqtasida nolga tushadigan musbat energiyaga oʻxshash funksiya sifatida ishlatiladi.

Manbaning Theorem 4.3 natijasi quyidagicha: \(R_0>1\) va barcha mos holatlar uchun:

\[ \psi\leq\varpi \tag{113} \]

boʻlsa, tenglik faqat \(E^\ast\) da yuz bergan holda:

\[ {}^{ABC}D_t^\tau L \leq \psi-\varpi \leq0 \]

boʻladi va endemik muvozanat global asimptotik barqaror deb qabul qilinadi.

Juda muhim manba chegarasi: Mualliflar barcha admissible yechimlar uchun zarur boʻlgan hadma-had:

\[ P_i \leq k_iQ_i, \qquad 0<k_i<1 \tag{114} \]

tengsizliklarni toʻliq tekshirish keng algebra talab qilishini va ularning isboti doirasidan tashqarida qolishini ochiq bildiradilar. Shu sababli Verianla global stability natijasini qoʻshimcha yetarli shartga bogʻliq shartli natija sifatida bayon qiladi.

Sonli Adams–Bashforth yondashuvi

Manba fractional integral shaklini:

\[ Z(t) = Z_0 + \frac{1-\tau}{Z(\tau)} \Psi(t,Z(t)) + \frac{\tau}{Z(\tau)\Gamma(\tau)} \int_0^t (t-\eta)^{\tau-1} \Psi(\eta,Z(\eta))\,d\eta \tag{122} \]

koʻrinishida ishlatadi.

Bu tenglama ikki qismdan iborat. Birinchi qism joriy vaqtdagi \(\Psi\) qiymatidan bevosita foydalanadi; ikkinchi integral esa oʻtmishdagi barcha qiymatlarni \((t-\eta)^{\tau-1}\) vazni bilan jamlaydi. Fractional memory sonli sxemaga shu ikkinchi qism orqali kiradi.

Adams–Bashforth yondashuvida integral vaqt oraliqlariga boʻlinadi va har bir oraliqda modelning oʻng tomoni ketma-ket ikki nuqtadan foydalanib taxminan hisoblanadi. Manba ikki vaznni:

\[ I_{i-1,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_{i-1}) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt, \]

\[ I_{i,\tau} = \int_{t_i}^{t_{i+1}} (t-t_i) (t_{n+1}-t)^{\tau-1}\,dt \tag{151} \]

deb taʼriflaydi, soʻng ularning yopiq shakllarini keltirib chiqarib, har bir boʻlim uchun \(S(t_{n+1}),E_1(t_{n+1}),E_2(t_{n+1}),I(t_{n+1}),T(t_{n+1}),R(t_{n+1})\) yangilash tenglamalarini Tenglama (155)–(160) sifatida beradi.

Bu olti tenglama strukturaviy jihatdan bir xil; farq faqat ishlatiladigan oʻng-tomon funksiyasi \(K_1,\ldots,K_6\) da. Masalan:

\[ K_1 = \Delta-\frac{\beta SI}{N}-\nu S, \]

\[ K_2 = \omega\frac{\beta SI}{N} -\chi_1E_1 +(1-\rho)\delta T, \]

\[ K_3 = (1-\omega)\frac{\beta SI}{N} +\varsigma_1E_1-\chi_2E_2, \]

\[ K_4 = \varsigma_2E_2+\rho\delta T-\chi_3I, \]

\[ K_5 = \gamma I-\chi_4T, \qquad K_6 = \phi T-\nu R. \]

Adams–Bashforth sxemasining vazifasi ushbu oʻng-tomon oqimlarini har bir vaqt qadamida fractional-memory integraliga mos ravishda yaqinlashtirishdir.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Sonli simulyatsiyada qanday maʼlumotlar xabar qilinadi?

Manba parameter values va initial conditions Zhang va boshq. [28] dan olinganini bildiradi, biroq ushbu maqolaning oʻz usul/jadval boʻlimida mazkur sonli qiymatlarning barchasini qayta sanab oʻtmaydi. Shu sababli oʻquvchi faqat ushbu PDF dan foydalanib simulyatsiyani aynan bir xil parametrlar bilan qayta qura olmaydi; Zhang va boshq. [28] ga ham murojaat qilish kerak.

2–7-rasmlarda koʻrinadigan fractional-order qiymatlari:

• 1.00,
• 0.95,
• 0.90,
• 0.85

deb koʻrsatilgan. Grafiklarning gorizontal oʻqi \(t=0\)–200 oraligʻida, biroq manba bu \(t\) kun, oy yoki boshqa fizik vaqt birligini bildirishini aytmaydi. 8–13-rasmlarda qoʻshimcha ravishda vaqt va fractional order birgalikda oʻzgaradigan uch oʻlchamli surface/contour koʻrinishlari mavjud; bu yerda fractional-order oʻqi taxminan 0.1–1 oraligʻida koʻrsatiladi.

Notatsiya izohi: Asosiy nazariyada fractional order doimiy ravishda \(\tau\) belgisi bilan yozilsa, 2–7-rasm legend larida boshqacha koʻrinadigan \(v_1/\upsilon_1\) turidagi belgi ishlatiladi. Manba buning sababini alohida izohlamaydi; matn bu qiymatlarni fractional order sifatida talqin qiladi.

Manba matnining simulyatsiya talqini

Mualliflar \(\tau\) qiymati tizimdagi memory-dependent dynamics uchun muhim ekanini taʼkidlaydilar. Manba matniga koʻra kichikroq fractional order xotira taʼsirini kuchaytiradi va ayrim boʻlimlarning nazoratliroq/yumshoqroq xatti-harakatiga olib keladi.

Manba matnida berilgan talqinlar qisqacha quyidagicha:

Grafiklar bilan manba matni toʻliq mos keladimi?

Yoʻq. PDF ning 15-sahifasidagi 2–5-rasmlarning koʻrinadigan egri chiziqlari bilan 19–20-sahifalardagi matn talqinlarining bir qismi bir-biriga teskari koʻrinadi. Shu sababli bu maqolada xom egri chiziqlardan yangi sonli natija chiqarilmagan va ziddiyat ochiq saqlangan.

Bu tekshiruv manba natijalarini oʻzgartirish uchun emas, balki oʻquvchi ayni manba ichidagi grafik va matn farqini koʻrishi uchun bajarilgan. Xom simulyatsiya qiymatlari eʼlon qilinmagani sababli Verianla grafiklardan interpolatsiya yoki yangi egri chiziq yaratmaydi.

Uch oʻlchamli surface grafiklari

Manba 8–13-rasmlarda mos ravishda \(S,E_1,E_2,I,T,R\) uchun vaqt va fractional order birgalikda oʻzgaradigan uch oʻlchamli surface va ikki oʻlchamli contour tasvirlarini beradi. Mualliflar bu sirtlarni fractional-order parametri peak height va convergence speed ga taʼsir koʻrsatishining vizual dalili sifatida talqin qiladilar.

Manba matni kichik \(\tau\) qiymatlari tizimni tezroq barqarorlashtirishini va sirtlar barqaror endemik muvozanatga yaqinlashishni qoʻllab-quvvatlashini aytadi. Biroq yuqorida koʻrsatilgan grafik/matn nomuvofiqliklari va xom maʼlumot yetishmasligi sababli ushbu Verianla matni mazkur iborani manba mualliflarining talqini sifatida ajratadi; sirtlardan mustaqil yangi convergence-rate qiymati hisoblamaydi.

Caputo modeli bilan manba taqqoslashi

Bu jadval predictive-accuracy benchmark emas. Manba MAE, RMSE, likelihood, haqiqiy data fit, cross-validation yoki klinik bashorat muvaffaqiyatini taqqoslamaydi. Taqqoslash model tuzilishi va usul xususiyatlari darajasidadir.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar

• Manba olti boʻlimli, ikki alohida taʼsirlanish sinfiga ega fractional-order TB modelini taʼriflaydi.
• ABC hosilasi va Mittag–Leffler kernel modeli dinamikasiga oʻtmishdagi holatlarni oʻz ichiga oladigan non-local memory tuzilishini qoʻshadi.
• Model uchun musbatlik va boundedness dalillari ishlab chiqilgan.
• Sobit nuqta usullari bilan yechimning mavjudligi va muayyan contraction shartlari ostida yagonaligi oʻrganilgan.
• Kasalliksiz va endemik muvozanat nuqtalari analitik ravishda keltirib chiqarilgan.
• Next-generation matrix yordamida \(R_0\) uchun ochiq formula olingan.
• 2-jadvalga koʻra \(\beta\), ishlatilgan parametr nuqtasida \(R_0\) ning eng kuchli musbat sezgirlik parametridir.
• 2-jadvalga koʻra \(\sigma_1\) eng kuchli manfiy; \(\gamma\) esa oʻrtacha darajadagi manfiy sezgirlikka ega.
• \(R_0<1\) uchun kasalliksiz muvozanatning mahalliy asimptotik barqarorligi manbada Routh–Hurwitz va Matignon mezonlari bilan tahlil qilingan.
• \(R_0>1\) holatida endemik muvozanatning global barqarorligi qoʻshimcha \(\psi\leq\varpi\) yetarli sharti ostida Lyapunov yondashuvi bilan berilgan.
• Fractional order oʻzgarishi modelning oʻtkinchi xatti-harakatini va boʻlimlarning hisoblangan vaqt evolyutsiyasini oʻzgartiradi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan natijalar

• Model Khyber Pakhtunkhwa uchun haqiqiy bemor maʼlumotlari bilan kalibrlanmagan yoki tasdiqlanmagan.
• Simulyatsiya natijalari klinik maʼlumot emas.
• Sezgirlik indeksi jamoat salomatligi aralashuvi real dunyoda aynan shu foizda holatlarni kamaytirishini koʻrsatmaydi.
• \(R_0\) formulasi oʻz-oʻzicha muayyan mamlakat yoki davrdagi haqiqiy TB \(R_0\) ni oʻlchamaydi.
• Fractional order biologik molekula, bemor xususiyati yoki bevosita oʻlchangan klinik parametr ekani koʻrsatilmagan.
• ABC modeli Caputo modelidan haqiqiy maʼlumotni bashorat qilish aniqligi boʻyicha ustun ekani koʻrsatilmagan.
• Manba grafiklaridagi barcha tendensiyalar matn izohlari bilan mos deb boʻlmaydi.
• Endemik muvozanatning global stability natijasi qoʻshimcha yetarli shartsiz yakunlangan umumiy isbot emas.
• Stoxastik yuqish, fazoviy geterogenlik, vaqt bilan oʻzgaradigan parametrlar va vaqtga bogʻliq aralashuvlar ushbu modelda bevosita simulyatsiya qilinmagan.

Manbaning oʻz cheklovlari

Xulosa boʻlimi manba modeli stochasticity, heterogeneous environment va time-dependent intervention strategies tuzilmalarini eʼtiborsiz qoldirishini; epidemiological parameters ning vaqt boʻyicha oʻzgarishini qamrab olmasligini bildiradi.

Manba, shuningdek, “does not consider homogeneous mixing” iborasini ishlatadi. Biroq bu jumlaning modelda ishlatilgan normallashtirilgan aloqa hadi \(\beta SI/N\) bilan qanday bogʻliqligi alohida izohlanmagan. Verianla bu iborani “model aniq ravishda gomogen aralashishni faraz qiladi” yoki “aniq ravishda faraz qilmaydi” tarzida qayta yozmaydi.

Manbaning eng muhim reproducibility cheklovlaridan biri simulyatsiyada ishlatilgan parameter values va initial conditions Zhang va boshq. [28] dan olingani aytilishiga qaramay, ushbu tadqiqotda sonli roʻyxat qayta berilmaganidir. Bundan tashqari, grafiklarning vaqt oʻqi uchun fizik vaqt birligi va ishlatilgan sonli \(h\) qadam kattaligining simulyatsiya boʻlimida ochiq amaliy qiymati xabar qilinmaydi.

Mualliflarning kelajak ish boʻyicha takliflari stochastic, spatially distributed va data-driven fractional-order modellarni ishlab chiqishdir. Bu taklif mavjud tadqiqotning nazariy va adabiyot-parametrli tuzilishi mualliflarning oʻzlari tomonidan ham cheklangan deb qaralishini koʻrsatadi.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha: Modeling and stability analysis of a fractional-order tuberculosis model with different exposed populations progressing to infection

Mualliflar: Muhammad Farman, Kottakkaran Sooppy Nisar.

Mualliflar tartibi: Muhammad Farman → Kottakkaran Sooppy Nisar.

Masʼul muallif: Kottakkaran Sooppy Nisar; manba PDF da yulduzcha belgisi va n.sooppy@psau.edu.sa manzili bilan koʻrsatilgan.

Teng hissa: Manbada teng birinchi mualliflik/teng hissa bayonoti aniqlanmagan.

Muhammad Farman affiliasiyalari: Faculty of Arts and Sciences, Department of Mathematics, Near East University, Mersin 10, Nicosia 99138, Turkey; Faculty of Medicine, Department of Biostatistics and Medical Informatics, Karadeniz Technical University, Trabzon, Turkey; International Center for Interdisciplinary Research in Sciences, The University of Lahore, Lahore, Pakistan.

Kottakkaran Sooppy Nisar affiliasiyasi: Department of Mathematics, College of Science and Humanities in Al-Kharj, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj 11942, Saudi Arabia.

Jurnal: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences.

Boʻlim: Mathematics & Statistics.

Nashriyot: Nigerian Society of Physical Sciences.

Jild / son / maqola raqami: 8(3), 3502.

DOI: 10.46481/jnsps.2026.3502.

Topshirilgan sana: 8 may 2026.

Tahrir sanasi: 13 iyul 2026.

Qabul sanasi: 18 iyul 2026.

Onlayn nashr: 10 avgust 2026.

Manba turi: Taqrizdan oʻtgan nazariy/sonli matematik epidemiologiya tadqiqot maqolasi.

Taqriz: Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences rasmiy jurnal maʼlumotida peer-reviewed va single-blind peer-review dan foydalanadigan jurnal sifatida taʼriflanadi.

Litsenziya: Creative Commons Attribution 4.0 International, CC BY 4.0.

Asosiy usul: Atangana–Baleanu–Caputo kasr hosilasi, Mittag–Leffler kernel, olti boʻlimli deterministik TB modeli, next-generation matrix, normallashtirilgan oldinga sezgirlik tahlili, sobit nuqta nazariyasi, Routh–Hurwitz/Matignon mahalliy barqarorlik tahlili, Lyapunov/LaSalle asosidagi shartli global barqarorlik va ABC ga mos Adams–Bashforth sonli yondashuvi.

Asosiy model boʻlimlari: \(S,E_1,E_2,I,T,R\).

Manba parametr maʼlumoti: Simulyatsiya parametr qiymatlari va initial conditions Zhang va boshq. [28] dan olingan. Ushbu maqola mazkur sonli parametr toʻplamini oʻzida toʻliq qayta sanab oʻtmaydi.

Haqiqiy maʼlumot holati: Manba xulosa boʻlimida ishlatilgan simulyatsiya qiymatlari adabiyotga asoslanganini va klinik maʼlumot emasligini bildiradi. Khyber Pakhtunkhwa haqiqiy bemor vaqt qatoriga bevosita fitting/validation xabar qilinmagan.

Moliyalashtirish: Prince Sattam bin Abdulaziz University, loyiha PSAU/2025/01/34222.

Maʼlumotlarning mavjudligi: Tadqiqot natijalarini qoʻllab-quvvatlovchi maʼlumotlar asosli soʻrov boʻyicha masʼul muallifdan olinishi mumkinligi koʻrsatilgan.

Manfaatlar toʻqnashuvi: Mualliflar competing interest yoʻqligini bayon qilganlar.

Minnatdorchilik: Mualliflar Prince Sattam bin Abdulaziz University ga PSAU/2025/01/34222 loyihasi doirasida moliyalashtirish uchun minnatdorchilik bildiradilar.

CRediT / muallif hissalari: Yuklangan maqolada alohida CRediT/muallif hissasi bayonoti aniqlanmagan.

Rasmiy sarlavha farqi: PDF sarlavhasi “tuberculosis model” koʻrinishidadir. Jurnal veb-sahifasida sarlavha “tuberculosisvmodel” tarzidagi terish xatosi bilan koʻrinadi. Verianla PDF dagi sarlavhani original ilmiy sarlavha sifatida saqlagan.

Manba ichidagi notatsiya muammosi: Tenglama (3) da ABC integral operatori \(\omega(t)\) ga qoʻllansa-da, birinchi oʻng-tomon hadida \(\chi(t)\) yozilgan va bu belgi oʻsha kontekstda taʼriflanmagan.

Manba ichidagi sezgirlik muammosi: 2-jadvalning sonli normallashtirilgan sensitivity qiymatlari bilan manba 1-rasmining ayrim ustun yorliqlari bir-biriga mos kelmaydi. Verianla 2-jadvalni ochiq tabulyatsiya manbai sifatida alohida bayon qilgan.

Manba ichidagi simulyatsiya muammosi: 2–5-rasmlarning koʻrinadigan tendensiyalari, ayniqsa \(S,E_1,E_2,I\) uchun manba muhokamasidagi ayrim “kamayadi / avval ortib keyin kamayadi” iboralari bilan mos kelmaydi. Verianla bu farqni yopmagan.

Global barqarorlik chegarasi: Endemik muvozanatning global asymptotic stability natijasi \(R_0>1\) dan tashqari \(\psi\leq\varpi\) qoʻshimcha yetarli shartiga bogʻliq. Manba zarur boʻlgan barcha termwise inequality larning toʻliq isbotini tadqiqot doirasidan tashqarida qoldiradi.

Reproducibility chegarasi: Sonli parametrlar/boshlangʻich shartlarning toʻliq roʻyxati, fizik vaqt birligi va amalda ishlatilgan aniq sonli timestep ushbu maqolada toʻliq qayta ishlab chiqarish paketi sifatida berilmagan.

Asosiy talqin chegarasi: Ushbu tadqiqot nazariy epidemiologik modeldir. Model natijalari muayyan jamiyatdagi haqiqiy holatlar soni, klinik davolash samaradorligi yoki jamoat salomatligi aralashuvining amaliy natijasi bilan tenglashtirilmasligi kerak.