Açısal Logaritmik Taban Teoremi (Angular Logarithmic Base Theorem), kaynak çalışmada bir doğru parçasının \(AD\) ve \(DB\) uzunluklarına bölünmesiyle oluşan doğrusal oranı bir açıya bağlayan geometrik ilişki olarak önerilmektedir. Çalışmanın temel bağıntısı \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) ve buna eşdeğer \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) biçimindedir. Yazar bu bağıntıyı Thales teoremi ile dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin geometrik ortalama özelliğine dayandırmakta; ardından \(B=\tan(\gamma)\) değerini logaritmik taban olarak yorumlayarak doğrusal oran ile üstel/logaritmik ölçekler ve logaritmik spiral arasında bir bağlantı kurmaktadır.

Geometrik yapının özü şudur: \(AD\) ve \(DB\) pozitif uzunluklar olduğunda oran \(R=DB/AD\) boyutsuzdur. Teorem bu oranı önce karekök yoluyla \(B=\sqrt{R}\) değerine, ardından \(\gamma=\arctan(B)\) açısına dönüştürür. Dolayısıyla doğrusal segment oranı ile açı arasında bire bir bir eşleme elde edilir. \(R\) büyüdükçe \(\gamma\) artar; \(R=1\) olduğunda \(\gamma=45^\circ\); \(R\to0^+\) olduğunda açı \(0^\circ\)'ye, \(R\to\infty\) olduğunda \(90^\circ\)'ye yaklaşır.

Kaynak, aynı yapıyı logaritmik spiral \(r(\theta)=a e^{b\theta}\) ile de ilişkilendirir. Belgede \(b\) sembolü hem \(b=\tan(\gamma)\) biçiminde “logaritmik taban” hem de spiral denkleminde büyüme katsayısı olarak kullanılmaktadır. Okumayı açık tutmak için bu anlatımda iki rol ayrılmıştır: \(B=\tan(\gamma)\) açısal tabanı, \(\kappa\) ise \(r(\theta)=a e^{\kappa\theta}\) spiral büyüme katsayısını gösterecektir. Bu notasyon ayrımı bilimsel ilişkiyi değiştirmez; yalnız iki farklı matematiksel rolü birbirinden ayırır.

Bu ayrımla kaynakta verilen spiral bağlantısı \(B=e^{\kappa\pi/2}\) ve dolayısıyla \(\kappa=(2/\pi)\ln B=(2/\pi)\ln(\tan\gamma)\) olur. \(B=\sqrt{DB/AD}\) yerine konduğunda aynı ilişki doğrudan \(\kappa=(1/\pi)\ln(DB/AD)\) biçiminde de yazılabilir. Böylece 180°'lik açısal ilerlemede spiral yarıçapının çarpanının \(DB/AD\), 90°'lik ilerlemede ise bunun karekökü olan \(B\) olduğu görülür.

Çalışma ayrıca onluk taban, doğal taban ve altın oranı özel örnekler olarak ele almakta; müzik, tasarım, mimarlık, şehir planlama, veri görselleştirme ve doğal örüntüler için olası uygulamalar önermektedir. Ancak kaynak bu uygulama başlıkları için deneysel veri veya vaka doğrulaması sunmamaktadır. Bu nedenle uygulama alanları teorik/geometrik kullanım önerileri olarak değerlendirilmelidir.

Açısal Logaritmik Taban Teoremi Ne Söylüyor?

Açısal Logaritmik Taban Teoremi, pozitif iki doğru parçası \(AD\) ve \(DB\) arasındaki boyutsuz oranı bir dar açı \(\gamma\) ile \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) bağıntısı üzerinden eşler; dolayısıyla oran biliniyorsa açı \(\gamma=\arctan\sqrt{DB/AD}\), açı biliniyorsa segment oranı \(DB/AD=\tan^2(\gamma)\) ile belirlenebilir.

Temel değişkenler nelerdir?

Doğru parçası \(AB\), içindeki \(D\) noktasıyla iki bölüme ayrılsın:

Burada \(AD\) ve \(DB\) aynı fiziksel boyuta sahip uzunluklardır. Metre, santimetre veya başka bir uzunluk birimi kullanılabilir; önemli olan ikisinin aynı birimle ifade edilmesidir.

Kaynağın ana oranı:

olarak düşünülebilir. \(R\) boyutsuzdur; çünkü bir uzunluk başka bir uzunluğa bölünmektedir. Bu nedenle bütün şekil aynı ölçek katsayısıyla büyütülür veya küçültülürse \(R\) değişmez.

Kaynağın merkezî formülü:

ve bunun karesi:

şeklindedir.

“Kuadratik-doğrusal oran” ne anlama geliyor?

Kaynak “quadratic-linear ratio” ifadesini, bir doğru üzerindeki iki doğrusal uzunluğun oranının bir açısal büyüklüğün tanjantının karesine eşit olmasını anlatmak için kullanmaktadır:

Buradaki “kuadratik” unsur \(\tan(\gamma)\)'nın karesidir. Başka bir ifadeyle kaynak önce doğrusal oranı \(R\) olarak alır, sonra bunun karekökünü:

biçiminde tanımlar ve \(B\)'yi bir açının tanjantına eşler:

Dolayısıyla:

İlişkinin “karesel” yönü tam olarak buradadır.

\(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) Formülü Geometrik Olarak Nasıl Türetilir?

Kaynağın kullandığı Thales teoremi ve dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik teoremi birlikte ele alındığında, \(AB\) çaplı yarım çemberde \(C\) noktası seçilip \(CD\) hipotenüse dik indirildiğinde \(CD^2=AD\cdot DB\) elde edilir; \(\gamma=\angle CAD\) alınırsa \(\tan(\gamma)=CD/AD\) olduğundan doğrudan \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) sonucuna ulaşılır.

1. Thales teoremi hangi yapıyı kuruyor?

\(AB\) doğru parçası bir yarım çemberin çapı olsun ve \(C\) noktası bu yarım çember üzerinde bulunsun. Thales teoremine göre:

Böylece \(ABC\) üçgeni, hipotenüsü \(AB\) olan bir dik üçgendir.

2. Hipotenüse indirilen yükseklik ne veriyor?

\(C\) noktasından hipotenüs \(AB\)'ye dik bir \(CD\) yüksekliği indirilsin. Yüksekliğin ayağı \(D\) olsun. Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik teoremine göre:

Bu ilişki, \(CD\)'nin \(AD\) ile \(DB\)'nin geometrik ortalaması olduğunu da söyler:

Segment uzunlukları pozitif olduğundan pozitif karekök kullanılır.

3. Tanjant oranı nereden geliyor?

\(ACD\) dik üçgeninde \(A\) köşesindeki açıyı \(\gamma\) olarak alalım:

Bu küçük dik üçgende \(\gamma\)'nın karşı kenarı \(CD\), komşu kenarı \(AD\)'dir. Tanjant tanımı:

olur.

Yükseklik teoreminden gelen:

ifadesi yerine konursa:

Karekök içindeki \(AD\) ile paydadaki \(AD\) sadeleştirilebilir:

Dolayısıyla:

Her iki tarafın karesi alındığında:

elde edilir.

Formül neden ölçekten bağımsızdır?

\(AD\) ve \(DB\) aynı \(\lambda>0\) katsayısıyla büyütülsün:

Oran:

olarak kalır. Dolayısıyla \(\tan(\gamma)\) ve \(\gamma\) da değişmez. Bu, bağıntının mutlak uzunluklarla değil yalnız oranla ilgilendiğini gösterir.

Oran değiştikçe açı nasıl davranır?

\(R=DB/AD\) yazılırsa:

\(\sqrt{R}\) ve \(\arctan\) pozitif bölgede artan fonksiyonlar olduğu için \(R\) arttıkça \(\gamma\) da artar.

AD ve DB yer değiştirirse ne olur?

Segmentler ters çevrilirse yeni oran:

olur. Buna karşılık:

Dar açılar için:

Dolayısıyla doğru parçasının iki bölümünü yer değiştirmek, formül düzeyinde açıyı tamamlayıcı açıya dönüştürür. Bu sonuç kaynak formülünün doğrudan trigonometrik sonucudur.

“Logaritmik taban” olarak \(B=\tan(\gamma)\) ne demektir?

Kaynak:

değerini logaritmik taban olarak yorumlamaktadır.

Standart logaritma matematiğinde bir reel logaritma tabanı için:

koşulları gerekir. Bu, çalışmanın yeni bir sonucu değil, standart logaritmanın tanım alanıdır.

Segmentler pozitif olduğundan \(B>0\) koşulu otomatik olarak sağlanır. Ancak:

Bu eşit bölme durumunda geometrik bağıntı tamamen geçerlidir ve \(\gamma=45^\circ\) elde edilir; fakat \(B=1\) standart logaritma tabanı olarak kullanılamaz. Dolayısıyla çalışmanın “logaritmik taban” yorumunun standart logaritmaya uygulanabilmesi için \(AD\neq DB\) olmalıdır.

Standart değişken taban formülü:

olduğundan \(B=1\) durumunda \(\ln(1)=0\) paydası ortaya çıkar. Bu nedenle taban 1 dışlanır.

\(DB>AD\) ise \(B>1\) olur ve alışılmış artan logaritma tabanı elde edilir. \(DB<AD\) ise \(0<B<1\) olur; bu da geçerli bir logaritma tabanıdır fakat \(\log_B(x)\) azalan bir fonksiyondur.

Doğrusal Segment Oranı Logaritmik Spirale Nasıl Bağlanıyor?

Kaynak, logaritmik spiral \(r(\theta)=a e^{\kappa\theta}\) içinde iki yarıçap arasındaki üstel büyüme çarpanını açısal taban \(B=\tan(\gamma)\) ile eşleyerek bağlantıyı kurar; 90°'lik açısal ilerleme için \(B=e^{\kappa\pi/2}\), dolayısıyla \(\kappa=(2/\pi)\ln B=(2/\pi)\ln(\tan\gamma)\) elde edilir.

Logaritmik spiralin temel denklemi

Kaynak spiral denklemini:

biçiminde verir. Burada aynı \(b\) sembolü çalışmanın önceki bölümünde \(b=\tan(\gamma)\) için de kullanıldığı için, aşağıdaki açıklamada spiral katsayısı \(\kappa\) ile gösterilecektir:

Burada:

• \(r(\theta)\): \(\theta\) açısındaki yarıçap,
• \(a>0\): başlangıç yarıçap ölçeği,
• \(\theta\): radyan cinsinden kutupsal açı,
• \(\kappa\): açısal ilerleme başına logaritmik büyüme veya küçülme katsayısıdır.

180° uzaklıktaki iki yarıçap

\(\theta\)'dan \(\theta+\pi\)'ye gidildiğinde:

İlk yarıçap:

olduğundan oran:

Kaynak bunun karekökünü alır:

ve bu karekök büyüme çarpanını açısal tabanla eşler:

Spiral büyüme katsayısı nasıl bulunuyor?

Her iki tarafın doğal logaritması alınır:

Buradan:

ve \(B=\tan(\gamma)\) olduğundan:

Bu, kaynakta verilen:

bağıntısının, sembol rollerini ayırarak yazılmış biçimidir.

Segment oranı doğrudan spiral katsayısına bağlanabilir mi?

Evet. Kaynakta:

olduğundan:

Bunu spiral katsayısına koyarsak:

ve sonuç:

olur. Bu eşitlik kaynakta ayrı satır olarak verilmemektedir; kaynağın kendi iki temel bağıntısının doğrudan cebirsel birleştirilmesidir.

Bu sonuç geometrik olarak ne anlatıyor?

\(\kappa\) ifadesini spiral denklemine koyduğumuzda 180° ilerleme için:

Yani:

Bu, doğru parçasındaki segment oranının spiral üzerinde yarım turdaki radyal ölçek çarpanına karşılık geldiğini gösterir.

Çeyrek tur, yani \(\pi/2\) radyan için:

Dolayısıyla:

Başka bir ifadeyle, kaynakta önerilen açısal taban \(B=\tan(\gamma)\), spiral için her 90°'lik dönüşteki radyal ölçek çarpanı olarak okunabilir.

Spiral büyür mü, küçülür mü?

Segment oranı bu davranışı doğrudan belirler:

• \(DB>AD\) ise \(B>1\), \(\ln(B)>0\) ve \(\kappa>0\). Spiral, \(\theta\) arttıkça dışarı doğru büyür.
• \(DB<AD\) ise \(0<B<1\), \(\ln(B)<0\) ve \(\kappa<0\). Spiral, \(\theta\) arttıkça merkeze doğru küçülür.
• \(DB=AD\) ise \(B=1\), \(\kappa=0\) ve \(r(\theta)=a\) olur. Bu sınır durumda yarıçap sabittir; eğri bir çemberdir, büyüyen veya küçülen bir logaritmik spiral değildir.

Kaynağın üç özel örneği

Onluk taban örneği neden \(DB/AD=100\) gerektiriyor?

Kaynağın açısal tabanı:

olduğundan \(B=10\) istenirse:

Karesi alınır:

Bu nedenle kaynak örneğinde \(AD=1\), \(DB=100\) seçilmektedir.

Doğal taban örneği neden \(e^2\) oranını kullanıyor?

\(B=e\) isteniyorsa:

olmalı ve dolayısıyla:

Kaynakta verilen yaklaşık \(69,80^\circ\) açısı:

ilişkisinden gelir.

Altın oran özel durumu

Altın oran:

ve:

seçildiğinde:

olur. Dolayısıyla:

Spiral bağlantısında \(B=\varphi\) olduğunda:

Yani yarıçap her 90°'lik açısal ilerlemede \(\varphi\) ile çarpılır. Bu, kaynakta altın spiral bağlantısının matematiksel çekirdeğini oluşturur.

Kaynak bu özel durumu nautilus kabukları, ayçiçekleri ve doğal örüntülerle ilişkilendirmektedir. Bununla birlikte belge bu biyolojik yapıların geometrisini ölçen veya bunların tam olarak söz konusu spiral parametresini izlediğini sınayan ampirik bir analiz sunmamaktadır. Bu nedenle doğal örnekler bu çalışmada matematiksel ilişkinin uygulama/örnekleme bağlamı olarak değerlendirilmelidir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Çalışmanın yöntemi

Bu çalışma veri toplama veya deneysel ölçüm yerine dedüktif matematiksel çıkarım kullanmaktadır. Ana yöntem zinciri şöyledir:

1. Bir doğru parçası \(AB\), \(D\) noktasıyla \(AD\) ve \(DB\) parçalarına ayrılır.
2. Thales teoremi kullanılarak \(AB\) çaplı yarım çember üzerindeki \(C\) noktasıyla dik üçgen yapısı kurulur.
3. \(C\)'den hipotenüs \(AB\)'ye indirilen \(CD\) yüksekliği için \(CD^2=AD\cdot DB\) ilişkisi kullanılır.
4. \(\gamma=\angle CAD\) için tanjant oranı \(CD/AD\) yazılır.
5. Bu iki ilişki birleştirilerek \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) ve \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) elde edilir.
6. \(B=\tan(\gamma)\) değeri logaritmik taban/ölçek çarpanı olarak yorumlanır.
7. Logaritmik spiral \(r(\theta)=a e^{\kappa\theta}\) üzerinden \(B=e^{\kappa\pi/2}\) eşlemesi kurulur.
8. Buradan \(\kappa=(2/\pi)\ln B\) ve \(B=\tan(\gamma)\) kullanılarak spiral büyüme bağlantısı elde edilir.
9. Onluk taban, doğal taban ve altın oran özel örnekler olarak gösterilir.

Teoremin varlık ve teklik yönü

Kaynak “there exists an angle \(\gamma\)” ifadesini kullanmaktadır. Pozitif \(AD\) ve \(DB\) için:

Tanjant fonksiyonu:

aralığında sürekli ve bire birdir. Bu nedenle her pozitif segment oranı için tek bir dar açı:

bulunur. Böylece kaynağın “bir açı vardır” ifadesi, pozitif segmentler için aynı zamanda tek bir dar açı bulunduğu biçiminde açıklanabilir.

Boyut analizi

Kaynağın “lineer orandan üstel ölçeğe” geçişi nasıl anlaşılmalı?

Doğru parçalarının oranı kendi başına fiziksel bir üstel büyüme mekanizması oluşturmaz. Matematiksel işlem sırası şöyledir:

Ardından \(B\), logaritmik veya üstel bir yapının tabanı/ölçek çarpanı olarak kullanıldığında:

ilişkisiyle üstel parametreye dönüşür. Dolayısıyla “doğrusal oranı üstel büyümeye dönüştürme” ifadesi, cebirsel bir parametreleştirme zinciri olarak anlaşılmalıdır.

Kaynağın önerdiği uygulama alanları

Çalışmanın matematiksel olarak doğrudan desteklediği sonuçlar

• Pozitif \(AD\) ve \(DB\) için \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) ilişkisi Thales teoremi ve hipotenüse indirilen yükseklik teoreminden türetilebilir.
• \(DB/AD=\tan^2(\gamma)\) olduğundan segment oranı ile dar açı arasında bire bir dönüşüm kurulabilir.
• İlişki mutlak uzunluk ölçeğinden bağımsızdır; yalnız \(DB/AD\) oranına bağlıdır.
• \(B=\tan(\gamma)\) alınırsa \(B^2=DB/AD\) olur.
• Logaritmik spiral bağlantısında \(B=e^{\kappa\pi/2}\) seçimi \(\kappa=(2/\pi)\ln B\) sonucunu verir.
• Kaynağın iki eşitliği birleştirildiğinde \(\kappa=(1/\pi)\ln(DB/AD)\) elde edilir.
• Bu eşleme altında spiral yarıçapı 90° ilerlemede \(B\), 180° ilerlemede \(DB/AD\) çarpanıyla ölçeklenir.
• \(DB/AD=\varphi^2\) özel durumunda çeyrek turdaki radyal çarpan \(\varphi\)'dir.

Çalışmadan tek başına çıkarılmaması gereken sonuçlar

• Bu belge önerilen teorem adının matematik literatüründeki tarihsel önceliğini sistematik bir literatür taramasıyla kanıtlamamaktadır.
• Müzik, mimarlık, şehir planlama veya veri görselleştirmede yöntemin diğer yaklaşımlardan daha başarılı olduğu bu belgede test edilmemiştir.
• Nautilus kabukları, ayçiçekleri veya başka biyolojik yapılarda tam altın spiral uyumu bu çalışmada ölçülmemiştir.
• Doğrusal segment oranının fiziksel sistemlerde kendiliğinden üstel büyüme üreten bir mekanizma olduğu gösterilmemektedir; bağlantı matematiksel bir eşlemedir.
• \(B=1\) durumu geometrik ilişki açısından geçerli olsa da standart logaritma tabanı değildir.
• Kaynakta verilen uygulama başlıkları deneysel veya mühendislik doğrulaması yapılmış ürün/sistem sonuçları değildir.

Kaynak içindeki sembol kullanımını okurken dikkat edilmesi gereken nokta

Kaynak önce:

ifadesiyle \(b\)'yi “logarithmic base” olarak tanımlamakta, daha sonra klasik spiral denkleminde:

yine \(b\) sembolünü kullanmaktadır. İkinci denklemde \(b\), üstel büyüme katsayısı rolündedir ve daha sonra:

biçiminde hesaplanmaktadır.

Bu iki kullanımın aynı harfle gösterilmesi denklemleri ilk kez okuyan okuyucu için iki farklı rolü birbirine yaklaştırabilir. Bu nedenle bu açıklamada:

açısal/logaritmik tabanı,

ise spiral büyüme katsayısını ifade etmektedir. Bu yalnız pedagojik sembol ayrımıdır; kaynağın matematiksel eşitlikleri değiştirilmemiştir.

Kaynağın güçlü öğretici yönü

Çalışmanın matematiksel anlatımındaki temel avantaj, klasik iki geometrik sonucu — Thales teoremi ile dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik teoremini — trigonometrik bir oranla bir araya getirip bunu logaritmik/üstel ölçek düşüncesine bağlamasıdır. Özellikle:

ile:

birleştirildiğinde karekök yapısının neden ortaya çıktığı doğrudan görülebilir. Bu nedenle formül yalnız ezberlenecek bir eşitlik olarak değil, geometrik ortalama ile tanjant arasındaki bağ olarak okunabilir.

Matematiksel sınır koşulları

Formülün olağan geometrik biçimi için \(AD>0\) ve \(DB>0\) olmalıdır. Bir segment sıfıra indiğinde üçgen dejenerasyona yaklaşır:

• \(DB\to0^+\) ise \(\tan(\gamma)\to0\) ve \(\gamma\to0^\circ\).
• \(AD\to0^+\) iken \(DB\) sonlu tutulursa \(DB/AD\to\infty\), dolayısıyla \(\gamma\to90^\circ\).

Bu uçlar normal, sıfırdan farklı iki parçaya bölünmüş doğru parçası durumunun sınırlarıdır.

Sonuç nasıl okunmalı?

Kaynak çalışma, bir segment oranının karekökü ile bir açının tanjantı arasında klasik Öklid geometrisinden türetilebilen bir bağıntıyı “Angular Logarithmic Base Theorem” adı altında düzenlemekte ve bu açısal niceliği logaritmik/spiral ölçekleme için bir taban olarak yorumlamaktadır. Matematiksel çekirdek:

ve:

eşitlikleridir.

Spiral bağlantısında semboller ayrıştırıldığında:

ve dolayısıyla:

elde edilir.

Bu zincir, doğrusal bir uzunluk oranının önce açısal bir büyüklüğe, daha sonra logaritmik spiral için üstel ölçek katsayısına dönüştürülebileceğini gösteren çalışmanın temel matematiksel fikridir. Uygulama alanlarının ne ölçüde yararlı veya fiziksel olarak açıklayıcı olduğu ise bu kısa teorik belgenin ötesinde, alanlara özgü ayrı doğrulama gerektirir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: The Angular Logarithmic Base Theorem: A Quadratic-Linear Ratio for Logarithmic Scales and Spirals.

Yazar: Evangelista Marte Cadena.

Kaynakta verilen konum: Villa Altagracia, San Cristóbal, Dominican Republic.

İletişim: Kaynak başlık sayfasında martecadena@gmail.com adresi verilmiştir; ayrı bir “corresponding author” işaretlemesi bulunmamaktadır.

Kurum / afiliyasyon: Kaynakta akademik veya kurumsal afiliyasyon belirtilmemiştir.

Tarih: 29 Mayıs 2025; kaynak başlık sayfasında “expanded version: February 2026” notu bulunmaktadır.

Kaynak türü: Teorik/geometrik matematik çalışması; klasik Öklid geometrisi ve cebirsel/logaritmik türetimlere dayanan kısa matematiksel belge.

Hakemlik durumu: PDF üzerinde hakem değerlendirmesi veya hakemli dergi yayını bilgisi belirtilmemektedir. Bu nedenle çalışma hakemli yayın olarak sınıflandırılmamıştır.

Platform: Kaynağın Suggested References bölümü 2025 sürümünü Zenodo kaydı olarak göstermektedir. Yüklenen dosyanın adı da Zenodo kaynaklı bir dosyaya işaret etmektedir; ancak genişletilmiş sürüm için ayrı bibliyografik DOI PDF içinde açıkça verilmemektedir.

DOI: Kaynağın Suggested References bölümünde 2025 tarihli “The Angular Logarithmic Base Theorem” sürümü için 10.5281/zenodo.15614702 verilmektedir. Bu DOI, PDF içinde genişletilmiş Şubat 2026 sürümünün ayrı DOI'si olarak açıkça tanımlanmadığından ikisi otomatik olarak eşitlenmemiştir.

Dergi / cilt / sayı: Kaynakta belirtilmemektedir.

Lisans: Yüklenen PDF üzerinde açık Creative Commons veya başka bir yeniden kullanım lisansı tespit edilmemiştir. Açık lisans varsayılmamıştır.

Eşit katkı: Tek yazarlı çalışma olduğu için uygulanabilir değildir.

Finansman: Kaynakta finansman beyanı bulunmamaktadır.

Çıkar çatışması: Kaynakta ayrı bir çıkar çatışması beyanı bulunmamaktadır.

Veri erişilebilirliği: Deneysel veri seti bulunmamaktadır ve ayrı veri erişilebilirliği beyanı verilmemiştir.

Yazar katkıları / CRediT: Kaynakta ayrı bir katkı beyanı bulunmamaktadır.

Anahtar kelimeler: angular logarithmic base, quadratic-linear ratio, logarithmic proportion, logarithmic spiral, Thales’ theorem, altitude theorem, golden ratio, tan(γ), exponential growth, Euclidean geometry, angular scale, golden spiral.

Temel matematiksel dayanak: Thales teoremi ve dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik teoremi \(CD^2=AD\cdot DB\).

Ana formül: \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) ve \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\).

Logaritmik spiral bağı: Kaynakta \(r(\theta)=a e^{b\theta}\), \(\tan(\gamma)=e^{b\pi/2}\) ve \(b=(2/\pi)\ln(\tan\gamma)\) ilişkileri verilmektedir. Okuyucu açıklığında aynı sembolün iki farklı rolü birbirine karışmasın diye makale gövdesinde açısal taban \(B\), spiral büyüme katsayısı \(\kappa\) olarak ayrılmıştır.

Standart logaritma alan koşulu: \(B=\tan(\gamma)>0\) olmalıdır ve standart reel logaritma tabanı olarak kullanılacaksa \(B\neq1\) gerekir. \(AD=DB\) durumunda geometrik formül geçerlidir fakat \(B=1\) standart logaritma tabanı değildir.

Özel örnekler: Kaynak onluk taban için \(AD=1, DB=100\), doğal taban için \(DB/AD\approx7,389\) ve altın taban için \(DB/AD=\varphi^2\approx2,618\) örneklerini vermektedir.

Uygulama sınırı: Müzik, tasarım, mimarlık, şehir planlama, veri görselleştirme ve doğal örüntüler belge içinde potansiyel uygulama alanları olarak listelenmektedir; bunlar için deneysel veya karşılaştırmalı uygulama doğrulaması sunulmamaktadır.