Bucaqlı Loqarifmik Əsas Teoremi (Angular Logarithmic Base Theorem), mənbə tədqiqatında bir düz xətt parçasının \(AD\) və \(DB\) uzunluqlarına bölünməsi ilə yaranan xətti nisbəti bir bucaqla əlaqələndirən həndəsi münasibət kimi təklif olunur. Tədqiqatın əsas əlaqəsi \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) və buna ekvivalent \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) formasındadır. Müəllif bu əlaqəni Thales teoreminə və düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzaya endirilən hündürlüyün həndəsi orta xassəsinə əsaslandırır; daha sonra \(B=\tan(\gamma)\) qiymətini loqarifmik əsas kimi şərh edərək xətti nisbətlə eksponensial/loqarifmik miqyaslar və loqarifmik spiral arasında əlaqə qurur.

Həndəsi quruluşun mahiyyəti belədir: \(AD\) və \(DB\) müsbət uzunluqlar olduqda \(R=DB/AD\) nisbəti ölçüsüzdür. Teorem bu nisbəti əvvəlcə kvadrat kök vasitəsilə \(B=\sqrt{R}\) qiymətinə, sonra isə \(\gamma=\arctan(B)\) bucağına çevirir. Beləliklə, xətti seqment nisbəti ilə bucaq arasında bir-birinə uyğun təkqiymətli xəritələmə əldə edilir. \(R\) böyüdükcə \(\gamma\) artır; \(R=1\) olduqda \(\gamma=45^\circ\); \(R\to0^+\) olduqda bucaq \(0^\circ\)-yə, \(R\to\infty\) olduqda isə \(90^\circ\)-yə yaxınlaşır.

Mənbə eyni quruluşu loqarifmik spiral \(r(\theta)=a e^{b\theta}\) ilə də əlaqələndirir. Sənəddə \(b\) simvolu həm \(b=\tan(\gamma)\) formasında “loqarifmik əsas”, həm də spiral tənliyində böyümə əmsalı kimi istifadə olunur. Oxunuşu aydın saxlamaq üçün bu izahda iki rol ayrılmışdır: \(B=\tan(\gamma)\) bucaqlı əsası, \(\kappa\) isə \(r(\theta)=a e^{\kappa\theta}\) spiral böyümə əmsalını göstərəcək. Bu notasiya fərqi elmi münasibəti dəyişdirmir; yalnız iki ayrı riyazi rolu bir-birindən ayırır.

Bu ayrımla mənbədə verilən spiral əlaqəsi \(B=e^{\kappa\pi/2}\) və buna görə \(\kappa=(2/\pi)\ln B=(2/\pi)\ln(\tan\gamma)\) olur. \(B=\sqrt{DB/AD}\) yerinə qoyulduqda eyni münasibət birbaşa \(\kappa=(1/\pi)\ln(DB/AD)\) formasında da yazıla bilər. Beləliklə, 180°-lik bucaq irəliləyişində spiral radiusunun vurğacının \(DB/AD\), 90°-lik irəliləyişdə isə bunun kvadrat kökü olan \(B\) olduğu görünür.

Tədqiqat həmçinin onluq əsas, natural əsas və qızıl nisbəti xüsusi nümunələr kimi nəzərdən keçirir; musiqi, dizayn, memarlıq, şəhər planlaşdırılması, məlumatların vizuallaşdırılması və təbii naxışlar üçün mümkün tətbiqlər təklif edir. Lakin mənbə bu tətbiq başlıqları üçün eksperimental məlumat və ya hal doğrulaması təqdim etmir. Buna görə tətbiq sahələri nəzəri/həndəsi istifadə təklifləri kimi qiymətləndirilməlidir.

Bucaqlı Loqarifmik Əsas Teoremi Nə Deyir?

Bucaqlı Loqarifmik Əsas Teoremi, iki müsbət düz xətt parçası \(AD\) və \(DB\) arasındakı ölçüsüz nisbəti dar \(\gamma\) bucağı ilə \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) əlaqəsi üzərindən uyğunlaşdırır; buna görə nisbət məlumdursa bucaq \(\gamma=\arctan\sqrt{DB/AD}\), bucaq məlumdursa seqment nisbəti \(DB/AD=\tan^2(\gamma)\) ilə müəyyən edilə bilər.

Əsas dəyişənlər hansılardır?

\(AB\) düz xətt parçası daxilindəki \(D\) nöqtəsi ilə iki hissəyə ayrılsın:

Burada \(AD\) və \(DB\) eyni fiziki ölçüyə malik uzunluqlardır. Metr, santimetr və ya başqa uzunluq vahidi istifadə oluna bilər; vacib olan hər ikisinin eyni vahidlə ifadə edilməsidir.

Mənbənin əsas nisbəti:

kimi düşünülə bilər. \(R\) ölçüsüzdür; çünki bir uzunluq başqa uzunluğa bölünür. Buna görə bütün fiqur eyni miqyas əmsalı ilə böyüdülsə və ya kiçildilsə, \(R\) dəyişmir.

Mənbənin mərkəzi formulu:

və bunun kvadratı:

şəklindədir.

“Kvadratik-xətti nisbət” nə deməkdir?

Mənbə “quadratic-linear ratio” ifadəsini bir düz xətt üzərindəki iki xətti uzunluğun nisbətinin bucaq kəmiyyətinin tangensinin kvadratına bərabər olmasını izah etmək üçün istifadə edir:

Buradakı “kvadratik” element \(\tan(\gamma)\)-nın kvadratıdır. Başqa sözlə, mənbə əvvəlcə xətti nisbəti \(R\) kimi götürür, sonra onun kvadrat kökünü:

formasına salır və \(B\)-ni bir bucağın tangensinə bərabərləşdirir:

Beləliklə:

Münasibətin “kvadratik” tərəfi məhz budur.

\(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) Formulu Həndəsi Olarak Necə Törədilir?

Mənbənin istifadə etdiyi Thales teoremi və düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzaya endirilən hündürlük teoremi birlikdə nəzərə alındıqda, \(AB\) diametrli yarımdairədə \(C\) nöqtəsi seçilib \(CD\) hipotenuzaya perpendikulyar endirildikdə \(CD^2=AD\cdot DB\) əldə edilir; \(\gamma=\angle CAD\) götürülərsə \(\tan(\gamma)=CD/AD\) olduğuna görə birbaşa \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) nəticəsinə çatılır.

1. Thales teoremi hansı quruluşu yaradır?

\(AB\) düz xətt parçası bir yarımdairənin diametri olsun və \(C\) nöqtəsi bu yarımdairə üzərində yerləşsin. Thales teoreminə görə:

Beləliklə, \(ABC\) üçbucağı hipotenuzası \(AB\) olan düzbucaqlı üçbucaqdır.

2. Hipotenuzaya endirilən hündürlük nə verir?

\(C\) nöqtəsindən hipotenuza \(AB\)-yə perpendikulyar \(CD\) hündürlüyü endirilsin. Hündürlüyün ayağı \(D\) olsun. Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzaya endirilən hündürlük teoreminə görə:

Bu münasibət, \(CD\)-nin \(AD\) ilə \(DB\)-nin həndəsi ortası olduğunu da göstərir:

Seqment uzunluqları müsbət olduğuna görə müsbət kvadrat kök istifadə edilir.

3. Tangens nisbəti haradan gəlir?

\(ACD\) düzbucaqlı üçbucağında \(A\) təpəsindəki bucağı \(\gamma\) kimi götürək:

Bu kiçik düzbucaqlı üçbucaqda \(\gamma\)-nın qarşı tərəfi \(CD\), bitişik tərəfi \(AD\)-dir. Tangensin tərifi:

olur.

Hündürlük teoremindən gələn:

ifadəsi yerinə qoyularsa:

Kvadrat kökün içindəki \(AD\) ilə məxrəcdəki \(AD\) sadələşdirilə bilər:

Beləliklə:

Hər iki tərəfin kvadratı alındıqda:

əldə edilir.

Formula niyə miqyasdan asılı deyil?

\(AD\) və \(DB\) eyni \(\lambda>0\) əmsalı ilə böyüdülsün:

Nisbət:

kimi qalır. Buna görə \(\tan(\gamma)\) və \(\gamma\) da dəyişmir. Bu, əlaqənin mütləq uzunluqlarla deyil, yalnız nisbətlə bağlı olduğunu göstərir.

Nisbət dəyişdikcə bucaq necə davranır?

\(R=DB/AD\) yazılarsa:

\(\sqrt{R}\) və \(\arctan\) müsbət sahədə artan funksiyalar olduğuna görə \(R\) artdıqca \(\gamma\) da artır.

AD və DB yerlərini dəyişsə nə baş verir?

Seqmentlər tərsinə çevrilərsə yeni nisbət:

olur. Buna uyğun olaraq:

Dar bucaqlar üçün:

Beləliklə, düz xətt parçasının iki hissəsini yer dəyişmək formul səviyyəsində bucağı tamamlayıcı bucağa çevirir. Bu nəticə mənbə formulunun birbaşa triqonometrik nəticəsidir.

“Loqarifmik əsas” kimi \(B=\tan(\gamma)\) nə deməkdir?

Mənbə:

qiymətini loqarifmik əsas kimi şərh edir.

Standart loqarifm riyaziyyatında real loqarifm əsası üçün:

şərtləri tələb olunur. Bu, tədqiqatın yeni nəticəsi deyil, standart loqarifmin təyin oblastıdır.

Seqmentlər müsbət olduğuna görə \(B>0\) şərti avtomatik ödənir. Lakin:

Bu bərabər bölünmə halında həndəsi əlaqə tam keçərlidir və \(\gamma=45^\circ\) alınır; lakin \(B=1\) standart loqarifm əsası kimi istifadə oluna bilməz. Buna görə tədqiqatın “loqarifmik əsas” şərhinin standart loqarifmə tətbiq edilə bilməsi üçün \(AD\neq DB\) olmalıdır.

Standart dəyişən əsas formulu:

olduğuna görə \(B=1\) halında məxrəcdə \(\ln(1)=0\) yaranır. Buna görə əsas 1 istisna edilir.

\(DB>AD\) olduqda \(B>1\) olur və adi artan loqarifm əsası əldə edilir. \(DB<AD\) olduqda isə \(0<B<1\) olur; bu da keçərli loqarifm əsasıdır, lakin \(\log_B(x)\) azalan funksiyadır.

Xətti Seqment Nisbəti Loqarifmik Spirala Necə Bağlanır?

Mənbə, loqarifmik spiral \(r(\theta)=a e^{\kappa\theta}\) daxilində iki radius arasındakı eksponensial böyümə vurğacını bucaqlı əsas \(B=\tan(\gamma)\) ilə uyğunlaşdıraraq əlaqəni qurur; 90°-lik bucaq irəliləyişi üçün \(B=e^{\kappa\pi/2}\), buna görə \(\kappa=(2/\pi)\ln B=(2/\pi)\ln(\tan\gamma)\) əldə edilir.

Loqarifmik spiralın əsas tənliyi

Mənbə spiral tənliyini:

şəklində verir. Burada eyni \(b\) simvolu tədqiqatın əvvəlki hissəsində \(b=\tan(\gamma)\) üçün də istifadə edildiyinə görə, aşağıdakı izahda spiral əmsalı \(\kappa\) ilə göstəriləcək:

Burada:

• \(r(\theta)\): \(\theta\) bucağındakı radius,
• \(a>0\): başlanğıc radius miqyası,
• \(\theta\): radianla qütb bucağı,
• \(\kappa\): bucaq irəliləyişinə düşən loqarifmik böyümə və ya kiçilmə əmsalıdır.

180° aralıdakı iki radius

\(\theta\)-dan \(\theta+\pi\)-yə keçildikdə:

İlk radius:

olduğuna görə nisbət:

Mənbə bunun kvadrat kökünü götürür:

və bu kvadrat kök böyümə vurğacını bucaqlı əsasla uyğunlaşdırır:

Spiral böyümə əmsalı necə tapılır?

Hər iki tərəfin natural loqarifmi alınır:

Buradan:

və \(B=\tan(\gamma)\) olduğuna görə:

Bu, mənbədə verilən:

əlaqəsinin simvol rolları ayrılaraq yazılmış formasıdır.

Seqment nisbəti birbaşa spiral əmsalına bağlana bilərmi?

Bəli. Mənbədə:

olduğuna görə:

Bunu spiral əmsalına qoysaq:

və nəticə:

olur. Bu bərabərlik mənbədə ayrıca sətir kimi verilmir; mənbənin öz iki əsas əlaqəsinin birbaşa cəbri birləşdirilməsidir.

Bu nəticə həndəsi olaraq nəyi izah edir?

\(\kappa\) ifadəsini spiral tənliyinə qoyduqda 180° irəliləyiş üçün:

Yəni:

Bu, düz xətt parçasındakı seqment nisbətinin spiral üzərində yarım dövrədəki radial miqyas vurğacına uyğun gəldiyini göstərir.

Dörddəbir dövrə, yəni \(\pi/2\) radian üçün:

Beləliklə:

Başqa sözlə, mənbədə təklif olunan bucaqlı əsas \(B=\tan(\gamma)\), spiral üçün hər 90°-lik dönmədə radial miqyas vurğacı kimi oxuna bilər.

Spiral böyüyür, yoxsa kiçilir?

Seqment nisbəti bu davranışı birbaşa müəyyən edir:

• \(DB>AD\) olduqda \(B>1\), \(\ln(B)>0\) və \(\kappa>0\). Spiral \(\theta\) artdıqca xaricə doğru böyüyür.
• \(DB<AD\) olduqda \(0<B<1\), \(\ln(B)<0\) və \(\kappa<0\). Spiral \(\theta\) artdıqca mərkəzə doğru kiçilir.
• \(DB=AD\) olduqda \(B=1\), \(\kappa=0\) və \(r(\theta)=a\) olur. Bu sərhəd halında radius sabitdir; əyri çevrədir, böyüyən və ya kiçilən loqarifmik spiral deyil.

Mənbənin üç xüsusi nümunəsi

Onluq əsas nümunəsi niyə \(DB/AD=100\) tələb edir?

Mənbənin bucaqlı əsası:

olduğuna görə \(B=10\) istənilirsə:

Kvadratı alınır:

Buna görə mənbə nümunəsində \(AD=1\), \(DB=100\) seçilir.

Natural əsas nümunəsi niyə \(e^2\) nisbətindən istifadə edir?

\(B=e\) istənilirsə:

olmalı və buna görə:

Mənbədə verilən təxminən \(69,80^\circ\) bucağı:

əlaqəsindən gəlir.

Qızıl nisbət xüsusi halı

Qızıl nisbət:

və:

seçildikdə:

olur. Buna görə:

Spiral əlaqəsində \(B=\varphi\) olduqda:

Yəni radius hər 90°-lik bucaq irəliləyişində \(\varphi\) ilə vurulur. Bu, mənbədə qızıl spiral əlaqəsinin riyazi özəyini təşkil edir.

Mənbə bu xüsusi halı nautilus qabıqları, günəbaxanlar və təbii naxışlarla əlaqələndirir. Bununla belə, sənəd bu bioloji quruluşların həndəsəsini ölçən və ya onların məhz bu spiral parametrinə uyğunluğunu sınaqdan keçirən empirik təhlil təqdim etmir. Buna görə təbii nümunələr bu tədqiqatda riyazi əlaqənin tətbiq/nümunələndirmə konteksti kimi qiymətləndirilməlidir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Tədqiqatın metodu

Bu tədqiqat məlumat toplamaq və ya eksperimental ölçmə yerinə deduktiv riyazi çıxarımdan istifadə edir. Əsas metod zənciri belədir:

1. \(AB\) düz xətt parçası \(D\) nöqtəsi ilə \(AD\) və \(DB\) hissələrinə bölünür.
2. Thales teoremi ilə \(AB\) diametrli yarımdairə üzərindəki \(C\) nöqtəsi vasitəsilə düzbucaqlı üçbucaq quruluşu yaradılır.
3. \(C\)-dən hipotenuza \(AB\)-yə endirilən \(CD\) hündürlüyü üçün \(CD^2=AD\cdot DB\) əlaqəsi istifadə olunur.
4. \(\gamma=\angle CAD\) üçün tangens nisbəti \(CD/AD\) yazılır.
5. Bu iki münasibət birləşdirilərək \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) və \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\) əldə edilir.
6. \(B=\tan(\gamma)\) qiyməti loqarifmik əsas/miqyas vurğacı kimi şərh olunur.
7. Loqarifmik spiral \(r(\theta)=a e^{\kappa\theta}\) üzərindən \(B=e^{\kappa\pi/2}\) uyğunluğu qurulur.
8. Buradan \(\kappa=(2/\pi)\ln B\) və \(B=\tan(\gamma)\) istifadə edilərək spiral böyümə əlaqəsi əldə edilir.
9. Onluq əsas, natural əsas və qızıl nisbət xüsusi nümunələr kimi göstərilir.

Teoremin mövcudluq və yeganəlik tərəfi

Mənbə “there exists an angle \(\gamma\)” ifadəsindən istifadə edir. Müsbət \(AD\) və \(DB\) üçün:

Tangens funksiyası:

intervalında fasiləsiz və bir-birinə birqiymətli funksiyadır. Buna görə hər müsbət seqment nisbəti üçün yeganə dar bucaq:

mövcuddur. Beləliklə, mənbənin “bir bucaq mövcuddur” ifadəsi müsbət seqmentlər üçün eyni zamanda tək bir dar bucağın mövcud olduğu kimi açıqlana bilər.

Ölçü analizi

Mənbənin “xətti nisbətdən eksponensial miqyasa” keçidi necə başa düşülməlidir?

Düz xətt parçalarının nisbəti öz-özlüyündə fiziki eksponensial böyümə mexanizmi yaratmır. Riyazi əməliyyat ardıcıllığı belədir:

Daha sonra \(B\) loqarifmik və ya eksponensial quruluşun əsası/miqyas vurğacı kimi istifadə edildikdə:

əlaqəsi ilə eksponensial parametrə çevrilir. Buna görə “xətti nisbəti eksponensial böyüməyə çevirmək” ifadəsi cəbri parametrizasiya zənciri kimi başa düşülməlidir.

Mənbənin təklif etdiyi tətbiq sahələri

Tədqiqatın riyazi olaraq birbaşa dəstəklədiyi nəticələr

• Müsbət \(AD\) və \(DB\) üçün \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) münasibəti Thales teoremi və hipotenuzaya endirilən hündürlük teoremindən törədilə bilər.
• \(DB/AD=\tan^2(\gamma)\) olduğuna görə seqment nisbəti ilə dar bucaq arasında bir-birinə birqiymətli çevirmə qurula bilər.
• Münasibət mütləq uzunluq miqyasından asılı deyil; yalnız \(DB/AD\) nisbətinə bağlıdır.
• \(B=\tan(\gamma)\) götürülərsə \(B^2=DB/AD\) olur.
• Loqarifmik spiral əlaqəsində \(B=e^{\kappa\pi/2}\) seçimi \(\kappa=(2/\pi)\ln B\) nəticəsini verir.
• Mənbənin iki bərabərliyi birləşdirildikdə \(\kappa=(1/\pi)\ln(DB/AD)\) əldə edilir.
• Bu uyğunluq altında spiral radiusu 90° irəliləyişdə \(B\), 180° irəliləyişdə \(DB/AD\) vurğacı ilə miqyaslanır.
• \(DB/AD=\varphi^2\) xüsusi halında dörddəbir dövrədə radial vurğac \(\varphi\)-dir.

Tədqiqatdan təkbaşına çıxarılmamalı nəticələr

• Bu sənəd təklif olunan teorem adının riyaziyyat ədəbiyyatındakı tarixi prioritetini sistemli ədəbiyyat icmalı ilə sübut etmir.
• Musiqi, memarlıq, şəhər planlaşdırılması və ya məlumatların vizuallaşdırılmasında metodun başqa yanaşmalardan daha uğurlu olduğu bu sənəddə sınaqdan keçirilməyib.
• Nautilus qabıqları, günəbaxanlar və ya başqa bioloji quruluşlarda tam qızıl spiral uyğunluğu bu tədqiqatda ölçülməyib.
• Xətti seqment nisbətinin fiziki sistemlərdə öz-özlüyündə eksponensial böyümə yaradan mexanizm olduğu göstərilmir; əlaqə riyazi uyğunlaşdırmadır.
• \(B=1\) halı həndəsi münasibət baxımından keçərli olsa da standart loqarifm əsası deyil.
• Mənbədə verilən tətbiq başlıqları eksperimental və ya mühəndislik doğrulaması aparılmış məhsul/sistem nəticələri deyil.

Mənbədə simvol istifadəsini oxuyarkən diqqət edilməli məqam

Mənbə əvvəlcə:

ifadəsi ilə \(b\)-ni “logarithmic base” kimi müəyyən edir, daha sonra klassik spiral tənliyində:

yenə \(b\) simvolundan istifadə edir. İkinci tənlikdə \(b\) eksponensial böyümə əmsalı rolundadır və daha sonra:

şəklində hesablanır.

Bu iki istifadənin eyni hərflə göstərilməsi tənlikləri ilk dəfə oxuyan oxucu üçün iki fərqli rolu bir-birinə yaxınlaşdıra bilər. Buna görə bu izahda:

bucaqlı/loqarifmik əsası,

isə spiral böyümə əmsalını ifadə edir. Bu yalnız pedaqoji simvol ayrımıdır; mənbənin riyazi bərabərlikləri dəyişdirilməyib.

Mənbənin güclü tədris yönü

Tədqiqatın riyazi izahındakı əsas üstünlük, iki klassik həndəsi nəticəni — Thales teoremini və düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzaya endirilən hündürlük teoremini — triqonometrik nisbətlə birləşdirərək bunu loqarifmik/eksponensial miqyas düşüncəsinə bağlamasıdır. Xüsusilə:

ilə:

birləşdirildikdə kvadrat kök quruluşunun niyə ortaya çıxdığı birbaşa görünür. Buna görə formula yalnız əzbərlənəcək bərabərlik kimi deyil, həndəsi orta ilə tangens arasındakı əlaqə kimi oxuna bilər.

Riyazi sərhəd şərtləri

Formulun adi həndəsi forması üçün \(AD>0\) və \(DB>0\) olmalıdır. Seqmentlərdən biri sıfıra yaxınlaşdıqda üçbucaq degenerasiyaya yaxınlaşır:

• \(DB\to0^+\) olduqda \(\tan(\gamma)\to0\) və \(\gamma\to0^\circ\).
• \(AD\to0^+\) ikən \(DB\) sonlu saxlanarsa \(DB/AD\to\infty\), buna görə \(\gamma\to90^\circ\).

Bu sərhədlər normal, sıfırdan fərqli iki hissəyə bölünmüş düz xətt parçası halının limitləridir.

Nəticə necə oxunmalıdır?

Mənbə tədqiqatı, seqment nisbətinin kvadrat kökü ilə bucağın tangensi arasında klassik Evklid həndəsəsindən törədilə bilən əlaqəni “Angular Logarithmic Base Theorem” adı altında sistemləşdirir və bu bucaq kəmiyyətini loqarifmik/spiral miqyaslama üçün əsas kimi şərh edir. Riyazi nüvə:

və:

bərabərlikləridir.

Spiral əlaqəsində simvollar ayrıldıqda:

və buna görə:

əldə edilir.

Bu zəncir xətti uzunluq nisbətinin əvvəlcə bucaq kəmiyyətinə, sonra isə loqarifmik spiral üçün eksponensial miqyas əmsalına çevrilə biləcəyini göstərən tədqiqatın əsas riyazi fikridir. Tətbiq sahələrinin nə dərəcədə faydalı və ya fiziki baxımdan izahlı olması isə bu qısa nəzəri sənədin kənarında, sahəyə xas ayrıca doğrulama tələb edir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: The Angular Logarithmic Base Theorem: A Quadratic-Linear Ratio for Logarithmic Scales and Spirals.

Müəllif: Evangelista Marte Cadena.

Mənbədə verilən yer: Villa Altagracia, San Cristóbal, Dominican Republic.

Əlaqə: Mənbənin başlıq səhifəsində martecadena@gmail.com ünvanı verilib; ayrıca “corresponding author” işarəsi yoxdur.

Qurum / afiliyasiya: Mənbədə akademik və ya institusional afiliyasiya göstərilməyib.

Tarix: 29 May 2025; mənbənin başlıq səhifəsində “expanded version: February 2026” qeydi var.

Mənbə növü: Nəzəri/həndəsi riyaziyyat tədqiqatı; klassik Evklid həndəsəsi və cəbri/loqarifmik törəmələrə əsaslanan qısa riyazi sənəd.

Resenziya statusu: PDF-də resenziya və ya resenziyalı jurnal nəşri barədə məlumat göstərilmir. Buna görə tədqiqat resenziyalı nəşr kimi təsnif edilməyib.

Platforma: Mənbənin Suggested References bölməsi 2025 versiyasını Zenodo qeydi kimi göstərir. Yüklənən faylın adı da Zenodo mənbəli fayla işarə edir; lakin genişləndirilmiş versiya üçün ayrıca biblioqrafik DOI PDF daxilində açıq şəkildə verilmir.

DOI: Mənbənin Suggested References bölməsində 2025 tarixli “The Angular Logarithmic Base Theorem” versiyası üçün 10.5281/zenodo.15614702 verilir. Bu DOI, PDF daxilində genişləndirilmiş Fevral 2026 versiyasının ayrıca DOI-si kimi açıq müəyyən edilmədiyinə görə ikisi avtomatik eyniləşdirilməyib.

Jurnal / cild / nömrə: Mənbədə göstərilmir.

Lisenziya: Yüklənən PDF-də açıq Creative Commons və ya başqa təkrar istifadə lisenziyası aşkar edilməyib. Açıq lisenziya fərz edilməyib.

Bərabər töhfə: Tək müəllifli tədqiqat olduğuna görə tətbiq edilmir.

Maliyyələşdirmə: Mənbədə maliyyələşdirmə bəyanatı yoxdur.

Maraqların toqquşması: Mənbədə ayrıca maraqların toqquşması bəyanatı yoxdur.

Məlumatların əlçatanlığı: Eksperimental məlumat dəsti yoxdur və ayrıca məlumat əlçatanlığı bəyanatı verilməyib.

Müəllif töhfələri / CRediT: Mənbədə ayrıca töhfə bəyanatı yoxdur.

Açar sözlər: angular logarithmic base, quadratic-linear ratio, logarithmic proportion, logarithmic spiral, Thales’ theorem, altitude theorem, golden ratio, tan(γ), exponential growth, Euclidean geometry, angular scale, golden spiral.

Əsas riyazi dayaq: Thales teoremi və düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzaya endirilən hündürlük teoremi \(CD^2=AD\cdot DB\).

Əsas formul: \(\tan(\gamma)=\sqrt{DB/AD}\) və \(\tan^2(\gamma)=DB/AD\).

Loqarifmik spiral əlaqəsi: Mənbədə \(r(\theta)=a e^{b\theta}\), \(\tan(\gamma)=e^{b\pi/2}\) və \(b=(2/\pi)\ln(\tan\gamma)\) münasibətləri verilir. Oxucu üçün aydınlıq məqsədilə eyni simvolun iki fərqli rolu qarışmasın deyə məqalə gövdəsində bucaqlı əsas \(B\), spiral böyümə əmsalı \(\kappa\) kimi ayrılıb.

Standart loqarifm sahə şərti: \(B=\tan(\gamma)>0\) olmalıdır və standart real loqarifm əsası kimi istifadə ediləcəksə \(B\neq1\) tələb olunur. \(AD=DB\) halında həndəsi formul keçərlidir, lakin \(B=1\) standart loqarifm əsası deyil.

Xüsusi nümunələr: Mənbə onluq əsas üçün \(AD=1, DB=100\), natural əsas üçün \(DB/AD\approx7,389\) və qızıl əsas üçün \(DB/AD=\varphi^2\approx2,618\) nümunələrini verir.

Tətbiq sərhədi: Musiqi, dizayn, memarlıq, şəhər planlaşdırılması, məlumatların vizuallaşdırılması və təbii naxışlar sənəddə potensial tətbiq sahələri kimi sadalanır; bunlar üçün eksperimental və ya müqayisəli tətbiq doğrulaması təqdim edilmir.