Çoxpopulyasiyalı Ebola yoluxma modeli, bir neçə qarşılıqlı əlaqədə olan insan və ya sahib qrupunda Ebola virus disease (EVD; Ebola virusu xəstəliyi) yayılmasını birbaşa yoluxmuş şəxslər, xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslər, yoluxdurucu cənazələr və ortaq ekoloji virus rezervuarı vasitəsilə birlikdə təmsil edən deterministik adi diferensial tənliklər sistemidir. Tədqiqat hər populyasiyanı həssas, məruz qalmış, yoluxdurucu, xəstəxanada olan, sağalmış və yoluxdurucu ölü/cənazə bölmələrinə ayırır; əlavə olaraq bütün qrupların təsir göstərə bildiyi ortaq ekoloji virus yükü dəyişənindən istifadə edir. Riyazi analiz həllərin müsbətliyini və məhdudluğunu, xəstəliksiz və endemik tarazlıqları, əsas reproduksiya sayı \(R_0\) ilə müəyyən edilən hədd davranışını və uyğun şərtlərdə infeksiyanın davamlılığını araşdırır. Tədqiqatın ən mühüm şərh məhdudiyyəti odur ki, 2018–2020 Demokratik Konqo Respublikası Ebola epidemiyası məlumatları modeldə statistik parametr qiymətləndirilməsi və ya proqnozun doğrulanması üçün istifadə edilməyib; real epidemiya məlumatları və simulyasiyalar əsasən keyfiyyət epidemiyoloji nümunələri müqayisə etmək məqsədilə istifadə olunub.

Modelin əsas nəticəsi hədd məntiqidir. \(R_0<1\) olduqda xəstəliksiz tarazlıq lokal asimptotik sabitdir və tədqiqatda verilən əlavə şərtlər altında qlobal sabitlik də əldə edilir. \(R_0>1\) olduqda xəstəliksiz tarazlıq qeyri-sabitləşə bilər; yoluxma şəbəkəsi reduksiyaolunmazdırsa və persistensiya şərtləri ödənirsə, infeksiya bölmələri ilə ekoloji virus rezervuarı uzun müddətdə sıfırdan uzaq qala və müsbət endemik tarazlıq mövcud ola bilər. Bu nəticə “real epidemiyada \(R_0\) təkbaşına gələcəyi dəqiq proqnozlaşdırır” demək deyil; nəticələr tədqiqatın sabit parametrli deterministik modelinin riyazi quruluşu çərçivəsində etibarlıdır.

Tədqiqatın mühüm yeniliyi yalnız bölmələrin sayını artırması deyil. Model \(i\) nömrəli populyasiyanın yoluxma riskini təkcə öz yoluxmuş fərdlərindən deyil, bütün \(j=1,\ldots,n\) populyasiyalarındakı yoluxdurucu şəxslərdən, xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslərdən, yoluxdurucu cənazələrdən və ortaq ekoloji virus yükündən təsirlənə biləcək şəkildə müəyyən edir. Beləliklə, icma, səhiyyə xidməti konteksti, cənazə ilə bağlı təmas və ekoloji yoluxma riyazi olaraq eyni əlaqəli sistem daxilində təmsil oluna bilər.

Sayısal göstərimlərdə ümumi \(n\)-populyasiyalı model populyasiyalararası yoluxma dinamikasını görünən etmək üçün \(n=2\) halına endirilib. Diferensial tənliklər Python-da SciPy kitabxanasının solve_ivp proseduru ilə adaptiv zaman addımlaması istifadə edilərək həll olunub; nisbi tolerantlıq \(10^{-6}\), mütləq tolerantlıq \(10^{-8}\) seçilib. Model zamanı günlərlə müəyyən edir. Parametrlər epidemiologiya ədəbiyyatındakı bioloji baxımdan məqbul diapazonlardan seçilib, lakin bu tədqiqat çərçivəsində rəsmi statistik kalibrləmə və ya parametr qiymətləndirilməsi aparılmayıb.

Tədqiqatın həll etməyə çalışdığı problem

Ebola yoluxmasının tək və homogen əhali daxilində baş verirmiş kimi modelləşdirilməsi müxtəlif icmaların bir-biri ilə necə qarşılıqlı təsir etdiyini, xəstəxana mənşəli yoluxmanı, yoluxdurucu cənazələrin töhfəsini və virusun ətraf mühitdə qalmasının yarada biləcəyi dolayı yoluxma yolunu birlikdə təmsil etməkdə yetərsiz qala bilər. Tədqiqatın çıxış nöqtəsi budur. Müəlliflər əvvəlki bir çox modelin bir və ya iki populyasiya ilə məhdudlaşdığını; halbuki real epidemiyalarda icma üzvləri, səhiyyə işçiləri və ya xəstəxana mühiti, qulluq göstərən şəxslər, cənazə prosesləri və müxtəlif yerli qruplar arasında mürəkkəb əlaqələrin ola biləcəyini bildirirlər.

Təklif olunan çərçivə bu problemi bir-birinə bağlı \(n\) populyasiya və bütün populyasiyalardan virus materialı ala bilən ortaq ekoloji rezervuardan istifadə etməklə nəzərdən keçirir. Model avtonomdur: parametrlər zamanla açıq şəkildə dəyişdirilmir. Başqa sözlə, yoluxma əmsalları, sağalma sürətləri və ya xəstəxanaya yerləşdirilmə sürətləri təqvim zamanının funksiyası kimi verilməyib; zaman üzrə dəyişmə yalnız vəziyyət dəyişənlərinin diferensial tənliklər vasitəsilə bir-birinə təsir etməsindən yaranır.

Çoxpopulyasiyalı Ebola Yoluxma Modeli Necə İşləyir?

Çoxpopulyasiyalı Ebola modeli hər \(i\) populyasiyasını həssas \(S_i\), məruz qalmış \(E_i\), yoluxdurucu \(I_i\), xəstəxanada olan yoluxmuş \(H_i\), sağalmış \(R_i\) və yoluxdurucu cənazə \(D_i\) bölmələrinə ayıran; bütün populyasiyaları əlavə olaraq ortaq ekoloji virus yükü \(W\) vasitəsilə bir-birinə bağlayan deterministik adi diferensial tənliklər sistemidir. İnfeksiya \(S_i\) qrupundan \(E_i\) qrupuna keçidlə başlayır; məruz qalanlar \(\sigma_i\) sürəti ilə yoluxdurucu hala gəlir, yoluxdurucu şəxslər sağala, xəstəxanaya yerləşdirilə və ya xəstəliklə əlaqəli səbəbdən ölə bilər; xəstəxanada olanlar sağala və ya ölə bilər; yoluxdurucu şəxslər, xəstəxanada olanlar və yoluxdurucu cənazələr ətraf mühitə virus materialı saçır.

Modeldəki populyasiya bölmələri

Tənlik (1): yaşayan ümumi əhali

\[ N_i(t)=S_i(t)+E_i(t)+I_i(t)+H_i(t)+R_i(t). \tag{1} \]

Bu tənlik \(i\) qrupunun yaşayan ümumi əhalisini müəyyən edir. Ən mühüm məqam \(D_i(t)\)-nin cəmdən kənarda saxlanmasıdır; çünki \(D_i\) yoluxdurucu cənazə bölməsidir. Ekoloji yük \(W\) də insan populyasiyası deyil və təbii olaraq \(N_i\)-yə daxil edilmir.

Tənlik toplamsaldır: hər yaşayan fərdin modeldə bu beş yaşayan bölmədən birində olduğu qəbul edilir. Buna görə \(N_i\) infeksiya qüvvəsinin normallaşdırılmasında istifadə olunan populyasiya ölçüsü kimi çıxış edir.

İnfeksiya Qüvvəsi \(\lambda_i(t)\) Nəyi İfadə Edir?

\(\lambda_i(t)\), \(i\) populyasiyasındakı həssas fərdin modeldəki bütün yoluxma mənbələrindən qarşılaşdığı ümumi ani infeksiya təzyiqini təmsil edir. Tədqiqatda bu təzyiq bütün \(j\) populyasiyalarındakı yoluxdurucu şəxslərdən, xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslərdən, yoluxdurucu cənazələrdən və ortaq ekoloji virus rezervuarından gələn dörd komponentin cəmi kimi müəyyən edilib.

Mənbədə verilən Tənlik (2):

\[ \lambda_i(t)= \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}\frac{I_j(t)}{N_j(t)+\varepsilon_j} + \sum_{j=1}^{n}\beta^{H}_{ij}\frac{H_j(t)}{N_j(t)+\varepsilon_j} + \sum_{j=1}^{n}\beta^{D}_{ij}\frac{D_j(t)}{N_j(t)+\varepsilon_j} + \xi_iW(t). \tag{2} \]

Birinci termin: yoluxdurucu şəxslərdən yoluxma

\[ \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}\frac{I_j}{N_j+\varepsilon_j} \]

\(\beta_{ij}\), \(j\) qrupundakı yoluxdurucu fərdlərin \(i\) qrupundakı həssas fərdlərə birbaşa yoluxma əmsalıdır. İndekslərin istiqaməti vacibdir: mənbə qrup \(j\), təsirlənən qrup \(i\) kimi oxunur. Beləliklə, model yalnız qrupdaxili \(i=j\) yoluxmanı deyil, \(i\neq j\) olduqda qruplararası yoluxmanı da təmsil edə bilər.

İkinci termin: xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslərdən yoluxma

\[ \sum_{j=1}^{n}\beta^{H}_{ij}\frac{H_j}{N_j+\varepsilon_j} \]

\(\beta^{H}_{ij}\), xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslərlə əlaqəli yoluxma əmsalıdır. Xəstəxanaya yerləşdirilmiş şəxsin modeldən avtomatik olaraq “yoluxdurucu deyil” kimi çıxarılmaması mühüm modelləşdirmə seçimidir. Xəstəxana bölməsi özünəməxsus yoluxma, sağalma və xəstəliklə əlaqəli ölüm parametrləri ilə saxlanılır.

Üçüncü termin: yoluxdurucu cənazələr

\[ \sum_{j=1}^{n}\beta^{D}_{ij}\frac{D_j}{N_j+\varepsilon_j} \]

\(\beta^{D}_{ij}\), \(j\) qrupundakı yoluxdurucu cənazələrlə əlaqəli təmasın \(i\) qrupundakı həssas fərdlərə təsirini təmsil edir. \(D_j\) yaşayan əhaliyə daxil edilməsə də, yoluxma tənliyinə açıq şəkildə daxil olur. Modeldə cənazənin yoluxdurucu sistemdən çıxışı \(\omega_i\) dəfn/utilizasiya sürəti ilə tənzimlənir.

Dördüncü termin: ekoloji yoluxma

\[ \xi_iW(t) \]

\(W(t)\) ortaq ekoloji virus yükünü, \(\xi_i\) isə \(i\) qrupunun bu ekoloji rezervuarla əlaqəli yoluxma əmsalını təmsil edir. Beləliklə, yoluxmuş şəxslə birbaşa təmas olmadan ekoloji kontaminasiya üzərindən modelləşdirilən dolayı yoluxma sistemə daxil edilir.

\(\varepsilon_j\) niyə istifadə olunur?

Mənbə \(\varepsilon_j>0\)-ı \(N_j(t)\) sıfıra yaxınlaşdıqda məxrəcin sıfır olmasının və riyazi singularlığın qarşısını alan kiçik requlyarlaşdırma sabiti kimi müəyyən edir. \(\varepsilon_j\) üçün mənbədə konkret ədədi qiymət verilməyib. \(N_j+\varepsilon_j\) cəminin ölçü baxımından mənalı olması üçün \(\varepsilon_j\)-nin \(N_j\) ilə uyğun əhali miqyasında qiymətləndirilməsi lazımdır; bu ölçü şərhi tənliyin riyazi uyğunluğundan irəli gəlir, tədqiqatın ayrıca eksperimental nəticəsi deyil.

Tənlik (3): bütün insan bölmələrinin dinamik sistemi

\[ \frac{dS_i}{dt}=\Lambda_i-\lambda_i(t)S_i(t)-\mu_iS_i(t) \]

\[ \frac{dE_i}{dt}=\lambda_i(t)S_i(t)-(\mu_i+\sigma_i)E_i(t) \]

\[ \frac{dI_i}{dt}=\sigma_iE_i(t)-(\mu_i+\gamma_i+\kappa_i+\alpha_i)I_i(t) \]

\[ \frac{dH_i}{dt}=\kappa_iI_i(t)-(\mu_i+\gamma_i^{H}+\alpha_i^{H})H_i(t) \]

\[ \frac{dR_i}{dt}=\gamma_iI_i(t)+\gamma_i^{H}H_i(t)-\mu_iR_i(t) \]

\[ \frac{dD_i}{dt}=\alpha_iI_i(t)+\alpha_i^{H}H_i(t)-\omega_iD_i(t), \qquad i=1,2,\ldots,n. \tag{3} \]

Həssas fərdlər tənliyi

\(\Lambda_i\), doğum və ya miqrasiya kimi yollarla həssas qrupa daxilolma sürətidir. \(-\lambda_iS_i\) infeksiya səbəbindən həssas qrupdan çıxanları; \(-\mu_iS_i\) isə təbii ölüm səviyyəsini təmsil edir. \(\lambda_i\) və ya \(S_i\) artdıqda, digər dəyişənlər sabit qalarkən infeksiya səbəbindən həssas bölmədən çıxışın böyüklüyü də artır.

Məruz qalmış fərdlər tənliyi

Həssas qrupdan yoluxan fərdlər \(+\lambda_iS_i\) ilə \(E_i\)-yə daxil olur. Məruz qalanlar təbii ölüm \(\mu_i\) və ya yoluxdurucu vəziyyətə keçid sürəti \(\sigma_i\) ilə bu bölmədən çıxır.

Yoluxdurucu fərdlər tənliyi

\(I_i\) bölməsinə giriş \(\sigma_iE_i\)-dir. Çıxışlar dörd kanaldan ibarətdir: təbii ölüm \(\mu_i\), sağalma \(\gamma_i\), xəstəxanaya yerləşdirmə/izolyasiya \(\kappa_i\) və xəstəliklə əlaqəli ölüm \(\alpha_i\).

Xəstəxana tənliyi

\(H_i\)-yə giriş \(\kappa_iI_i\) ilə olur. Xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslər təbii ölüm \(\mu_i\), sağalma \(\gamma_i^H\) və ya Ebola ilə əlaqəli ölüm \(\alpha_i^H\) kanalları ilə çıxır.

Sağalmış fərdlər tənliyi

Sağalanlar həm yoluxdurucu \(I_i\) qrupundan \(\gamma_iI_i\), həm də xəstəxana \(H_i\) qrupundan \(\gamma_i^HH_i\) vasitəsilə \(R_i\)-yə keçir. Mənbə modelində sağalmış fərdlərin yenidən həssas hala gəlməsini və ya təkrar yoluxmasını təmsil edən termin yoxdur.

Yoluxdurucu cənazə tənliyi

\(D_i\)-yə iki ölüm kanalı giriş verir: yoluxdurucu fərdlərdən \(\alpha_iI_i\), xəstəxanadakı yoluxmuş fərdlərdən \(\alpha_i^HH_i\). Cənazənin yoluxdurucu sistemdən çıxarılması \(\omega_iD_i\) ilə təmsil olunur. Buna görə \(\omega_i\) böyüdükcə, digər şərtlər eyni qalarkən \(D_i\)-nin sistemdə qalma müddəti qısalır.

Tənlik (4): ekoloji virus rezervuarı

\[ \frac{dW}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left( \rho_i^{I}I_i(t) + \rho_i^{H}H_i(t) + \rho_i^{D}D_i(t) \right) -\delta W(t). \tag{4} \]

Bu tənlik ekoloji rezervuarın məntiqini çox aydın göstərir. \(W\)-ni artıran üç mənbə var:

• \(\rho_i^I I_i\): yoluxdurucu şəxslərdən ətraf mühitə virus saçılması,
• \(\rho_i^H H_i\): xəstəxanada olan yoluxmuş şəxslərdən ətraf mühitə virus saçılması,
• \(\rho_i^D D_i\): yoluxdurucu cənazələrdən ətraf mühitə virus saçılması.

\(-\delta W\) isə virus materialının ətraf mühitdə azalmasını və ya sanitasiya ilə uzaqlaşdırılmasını təmsil edir. \(\delta\) böyüdükcə, digər terminlər eyni qalarsa, ekoloji virus yükünün təmizlənmə/parçalanma sürəti artır.

Model parametrləri və bioloji baxımdan qəbul edilə bilən diapazonlar

Mənbə bütün epidemioloji parametrləri müsbət və zaman ərzində sabit qəbul edir. Buna görə model avtonom və qeyri-periodik sistemdir. Mənbə ölüm göstəricisi diapazonlarının Zaire EVD üçün bildirilən təxminən %50–70 yüksək hal ölüm göstəriciləri ilə ümumən uyğun olacaq şəkildə seçildiyini bildirir. Lakin modeldə yaranan hal ölüm davranışı yalnız \(\alpha_i\) və ya \(\alpha_i^H\) parametrlərindən birinə bərabər deyil; xəstəliyin irəliləməsi, xəstəxanaya yerləşdirmə, sağalma və ölüm kanallarının birlikdə yaratdığı dinamikadan asılıdır.

Cədvəldəki parametr diapazonları rəsmi parametr qiymətləndirilməsi və ya kalibrləmə nəticəsi deyil. Müəlliflər bunları keyfiyyət sayısal simulyasiyalar üçün bioloji baxımdan məqbul diapazonlar kimi istifadə edirlər.

Xəstəliksiz tarazlıq nədir?

Xəstəliksiz tarazlıq (disease-free equilibrium, DFE), infeksiya ilə əlaqəli bütün bölmələrin və ekoloji virus yükünün sıfır olduğu, lakin həssas populyasiyaların demoqrafik tarazlıq daxilində mövcudluğunu davam etdirdiyi riyazi vəziyyətdir.

Mənbə Tənlik (5):

\[ E_0= \left( S_1^0,0,0,0,0,0,\ldots, S_n^0,0,0,0,0,0,0 \right). \tag{5} \]

Həssas tarazlıq qiyməti Tənlik (6) ilə:

\[ S_i^0=\frac{\Lambda_i}{\mu_i}, \qquad i=1,2,\ldots,n. \tag{6} \]

şəklindədir. Bunun səbəbi infeksiya olmadıqda həssas qrupda giriş \(\Lambda_i\) ilə təbii ölüm çıxışı \(\mu_iS_i\)-nin tarazlaşmasıdır. Tarazlıq vəziyyətində \(\Lambda_i=\mu_iS_i\) olduğuna görə \(S_i^0=\Lambda_i/\mu_i\) alınır.

DFE-də:

\[ E_i=I_i=H_i=D_i=0,\qquad W=0. \]

Mənbə həmçinin sağalmış bölmənin də xəstəliksiz tarazlıq vektorunda sıfır olduğunu göstərir.

Endemik tarazlıq nədir?

Endemik tarazlıq sistemin zamanla dəyişmədiyi, lakin infeksiya ilə əlaqəli ən azı bir komponentin müsbət qaldığı tarazlıq vəziyyətidir. Mənbə Tənlik (7)-də ümumi tarazlıq vektorunu:

\[ E^{*}= \left( S_1^{*},E_1^{*},I_1^{*},H_1^{*},R_1^{*},D_1^{*}, \ldots, S_n^{*},E_n^{*},I_n^{*},H_n^{*},R_n^{*},D_n^{*}, W^{*} \right) \tag{7} \]

kimi müəyyən edir. Üst ulduz \((*)\) müvafiq dəyişənin tarazlıq qiymətini göstərir. Endemik vəziyyətdə infeksiya ilə əlaqəli komponentlərdən ən azı biri sıfırdan böyükdür. Mənbə persistensiya şərtləri altında \(E_i^*\), \(I_i^*\), \(D_i^*\) və \(W^*\) kimi komponentlərin müsbətliyi ilə infeksiyanın sistem daxilində qalmasını müzakirə edir.

Müsbətlik niyə riyazi baxımdan zəruridir?

Populyasiya ölçüsü və ya ekoloji virus yükü kimi dəyişənlərin mənfi qiymət alması bioloji baxımdan mənasızdır. Buna görə modelin riyazi olaraq istifadə edilə bilməsi üçün mənfi olmayan başlanğıc qiymətlərindən başladıqda bütün vəziyyət dəyişənləri gələcəkdə də mənfi olmayan bölgədə qalmalıdır.

Mənbə aşağıdakı başlanğıc şərtindən istifadə edir:

\[ S_i(0),E_i(0),I_i(0),H_i(0),R_i(0),D_i(0),W(0)\geq0. \]

Tənliklər “giriş mənfi çıxış” formasında qurulduğuna görə vəziyyət dəyişəni sıfıra çatdıqda onu birbaşa mənfi bölgəyə itələyəcək müstəqil mənfi mənbə termini yoxdur. Bu quruluş müsbət ortantın sistem axını altında dəyişməz qalmasını təmin edir. Ətraflı isbat mənbədə Əlavə Material S1-ə buraxılıb.

Məhdudluq niyə vacibdir?

Müsbət olmaq təkbaşına kifayət deyil; model dəyişənlərinin sonlu qalması da lazımdır. Yaşayan ümumi əhali tənlikləri toplandıqda mənbə:

\[ \frac{dN_i}{dt} = \Lambda_i-\mu_iN_i-\alpha_iI_i-\alpha_i^{H}H_i \leq \Lambda_i-\mu_iN_i \]

bərabərsizliyini əldə edir.

Bunu müqayisə etmək üçün Tənlik (9):

\[ \frac{dX}{dt}=\Lambda_i-\mu_iX \tag{9} \]

istifadə olunur. Bunun nəticəsi:

\[ 0\leq N_i(t)\leq\frac{\Lambda_i}{\mu_i}, \qquad t>0 \]

yuxarı sərhədidir. Riyazi mənası budur: xəstəliklə əlaqəli ölüm terminləri əhalini artırmır; əksinə yaşayan əhalinin artımını daha da aşağı salır. Buna görə yalnız giriş və təbii ölümü ehtiva edən müqayisə sistemi \(N_i\) üçün istifadə edilə bilən yuxarı sərhəd verir.

Ekoloji virus yükünün yuxarı sərhədi

Mənbə Tənlik (10)-da:

\[ \frac{dW}{dt} \leq \sum_{i=1}^{n} \left( \rho_i^{I}N_i+ \rho_i^{H}N_i+ \rho_i^{D}N_i \right) -\delta W \tag{10} \]

şəklində yuxarı müqayisədən istifadə edir və buradan \(W(t)\)-nin \(W_{\max}\) ilə məhdudlaşdırıla bildiyini göstərir.

Daha ətraflı dəyişməz bölgə teoremində yoluxdurucu cənazə üçün:

\[ D_i^{\max} = \frac{\alpha_i+\alpha_i^{H}}{\omega_i} \frac{\Lambda_i}{\mu_i} \tag{12a} \]

və ekoloji yük üçün:

\[ W_{\max} = \frac{1}{\delta} \sum_{i=1}^{n} \left[ (\rho_i^{I}+\rho_i^{H}) \frac{\Lambda_i}{\mu_i} + \rho_i^{D}D_i^{\max} \right] \tag{12b} \]

yuxarı sərhədləri verilir. Burada \(1/\delta\) ekoloji virus materialının sistemdə qalması ilə tərs əlaqəli zaman miqyasını təmsil edir: digər kəmiyyətlər sabitkən daha böyük \(\delta\), daha aşağı \(W_{\max}\) yuxarı sərhədi ilə əlaqəlidir.

Uyğun bölgə \(\Omega\) nəyi ifadə edir?

Mənbə Tənlik (8)-də modelin bioloji baxımdan mənalı vəziyyət fəzasını \(\Omega\) ilə müəyyən edir. Sistem \(6n+1\) ölçülüdür: hər populyasiyada altı vəziyyət dəyişəni var və bunlara bir ortaq ekoloji \(W\) dəyişəni əlavə olunur.

Xülasə olaraq:

\[ \Omega\subset\mathbb{R}_{+}^{6n+1}, \qquad 0\leq N_i\leq\frac{\Lambda_i}{\mu_i}, \qquad 0\leq W\leq W_{\max}. \tag{8} \]

Teorem bölməsində bu bölgə əlavə olaraq \(0\leq D_i\leq D_i^{\max}\) sərhədi ilə gücləndirilir. “Müsbət dəyişməz bölgə” termini sistem bu bioloji baxımdan mənalı bölgədən başladıldıqda həllin zamanla bölgədən kənara çıxmamasını ifadə edir.

Əsas Reproduksiya Sayı \(R_0\) Bu Modeldə Nəyi İfadə Edir?

Əsas reproduksiya sayı \(R_0\), modelin xəstəliksiz tarazlıq ətrafında infeksiya yaratma potensialını xülasə edən hədd kəmiyyətidir və tədqiqat bunu yeni nəsil matris üsulu ilə \(R_0=\rho(FV^{-1})\) kimi müəyyən edir. Buradakı \(\rho\) matrisin spektral radiusudur; \(R_0<1\) xəstəliksiz tarazlığın sabitliyi ilə, \(R_0>1\) isə uyğun əlavə şərtlərdə infeksiyanın persistensiyası və endemik tarazlıq ehtimalı ilə əlaqəlidir.

Yoluxmuş vəziyyət vektoru mənbədə:

\[ x= (E_1,\ldots,E_n, I_1,\ldots,I_n, H_1,\ldots,H_n, D_1,\ldots,D_n, W)^T \]

kimi müəyyən edilir.

Yeni infeksiya matrisi \(F\) və digər yoluxmuş-vəziyyət keçidlərini təmsil edən \(V\) matrisi yoluxmuş alt sistemin xəstəliksiz tarazlıq \(E_0\) ətrafında xəttiləşdirilməsi ilə yaradılır. Əsas reproduksiya sayı:

\[ R_0=\rho(FV^{-1}). \]

Spektral radius, matrisin özqiymətlərinin mütləq qiymətləri arasındakı ən böyük qiymətdir. Yeni nəsil matris \(FV^{-1}\), infeksiyanın müxtəlif yoluxmuş bölmələr və populyasiyalar arasında yaratdığı gələcək nəsil töhfələrini birlikdə təmsil edir. Mənbə \(F\) və \(V\)-nin tam matris quruluşunu əsas mətndə vermir, təfərrüatları Əlavə Material S2-yə buraxır. Buna görə burada mənbədə olmayan matris elementləri yaradılmayıb.

Lokal xəstəliksiz tarazlıq sabitliyi

Mənbənin nəticəsi:

• \(R_0<1\) olduqda \(E_0\) xəstəliksiz tarazlığı lokal asimptotik sabitdir.
• \(R_0>1\) ise \(E_0\) qeyri-sabitdir.

Lokal sabitlik xəstəliksiz tarazlığa kifayət qədər yaxın başlanğıc vəziyyətlərinin zamanla yenidən bu tarazlığa yaxınlaşması deməkdir. Ətraflı Yakobian və yeni nəsil matris isbatı Əlavə Material S3-dədir.

Qlobal xəstəliksiz tarazlıq sabitliyi

Tədqiqat \(R_0<1\) halında müqayisə prinsipindən istifadə etməklə daha güclü nəticə də verir. Mənbə kifayət qədər kiçik \(\eta>0\) üçün:

\[ S_i(t)\leq S_i^0+\eta \]

və infeksiya terminlərinin məxrəcləri üçün uyğun aşağı müqayisə şərti qurur. Daha sonra:

\[ M_\eta=F_\eta-V \]

matrisinin spektral artım meyarının:

\[ s(M_\eta) = \max\{\operatorname{Re}(\lambda):\lambda\in\sigma(M_\eta)\} <0 \]

olması ilə xəstəliksiz tarazlıq \(E_0\)-ın uyğun bölgə \(\Omega\) daxilində qlobal asimptotik sabit olduğunu bildirir. Tənlik (13)-ün və müqayisə sisteminin ətraflı quruluşu əsas PDF-də məhduddur; tam isbat Əlavə Material S4-ə buraxılıb.

\(R_0>1\) olduqda persistensiya nə deməkdir?

Persistensiya infeksiyanın yalnız qısa müddətdə sıfırdan böyük olması deyil, uzun zaman limitində infeksiya ilə əlaqəli dəyişənlərin sıfıra yaxınlaşmamasıdır. Mənbə yoluxma şəbəkəsinin reduksiyaolunmaz olduğu və tələb olunan uniform persistensiya şərtlərinin ödəndiyi halda müsbət \(\varepsilon\) üçün Tənlik (14)-ü verir:

\[ \min_{1\leq i\leq n} \left\{ \liminf_{t\to\infty}E_i(t), \liminf_{t\to\infty}I_i(t), \liminf_{t\to\infty}H_i(t), \liminf_{t\to\infty}D_i(t) \right\} >\varepsilon, \]

\[ \liminf_{t\to\infty}W(t)>\varepsilon. \tag{14} \]

\(\liminf\), çox uzun zamanlarda dəyişənin təkrar-təkrar yaxınlaşa biləcəyi aşağı sərhəd davranışını ifadə edir. Burada şərt infeksiya ilə əlaqəli bölmələrin uzun müddətdə sıfıra çökmədiyini riyazi olaraq göstərir.

Mənbə bu şərtlər altında uyğun bölgənin daxilində ən azı bir müsbət endemik tarazlığın olduğunu bildirir. Ətraflı isbat Əlavə Material S5-dədir.

Endemik tarazlığın şərti yeganəliyi və qlobal sabitliyi

Mənbə bildirir ki, \(R_0>1\) və Tənlik (14)-dəki persistensiya şərtləri ödənəndə müsbət endemik tarazlıq müəyyən sıralanmış müsbət sinif daxilində şərti olaraq yeganə ola bilər. Monoton sıralama arqumenti Əlavə Material S6-ya buraxılıb.

Daha sonra ümumi yoluxma əlaqəsini:

\[ B= \left[ \beta_{ij} + \beta_{ij}^{H} + \beta_{ij}^{D} \right]_{1\leq i,j\leq n} \]

matrisi ilə ifadə edir. Yoluxma şəbəkəsinin reduksiyaolunmaz olması sistemin bir-birindən tamamilə ayrılmış alt yoluxma bloklarına bölünmədiyini bildirən riyazi əlaqəlilik şərtidir.

Mənbə Tənlik (15)-də müsbət endemik tarazlığı:

\[ P^{*}= \left( S_1^{*},E_1^{*},I_1^{*},H_1^{*},R_1^{*},D_1^{*}, \ldots, S_n^{*},E_n^{*},I_n^{*},H_n^{*},R_n^{*},D_n^{*}, W^{*} \right) \in\operatorname{Int}(\Omega) \tag{15} \]

kimi verir. Endemik tarazlığın qlobal sabitliyi üçün istifadə olunan ətraflı Lyapunov funksiyası və törəmə analizi Əlavə Material S7-dədir. Əsas PDF bu funksiyanın açıq ifadəsini vermədiyinə görə burada yenidən törədilməyib.

Mənbə qrafiklərində real 2018–2020 DRC epidemiyası necə istifadə olunur?

Tədqiqat 2018–2020 Kivu Ebola epidemiyası zamanı Demokratik Konqo Respublikası Səhiyyə Nazirliyi və Ümumdünya Səhiyyə Təşkilatı tərəfindən dərc olunan açıq müşahidə qeydlərindən istifadə edir. Lakin bu məlumatların vəzifəsi modelə parametr uyğunlaşdırmaq deyil.

Gündəlik müşahidələr qısamüddətli hesabat dalğalanmalarını azaltmaq üçün 7 günlük sürüşən cəmlərə çevrilib. Mənbədə istifadə olunan qrafiklərin elmi funksiyaları belədir:

14 günlük gecikməli CFR niyə istifadə edilib?

Case-fatality ratio (CFR; hal ölüm göstəricisi), bildirilmiş hallar ilə bildirilmiş ölümlər arasındakı əlaqəni xülasə edən epidemioloji göstəricidir. Mənbə eyni həftədəki hal və ölümü birbaşa bölməyin bioloji zaman gecikməsini nəzərə almaya biləcəyinə görə hallar ilə daha sonra bildirilən ölümlər arasında 14 günlük gecikmə istifadə edib.

Mənbə bu gecikməli CFR-nin zaman ərzində əhəmiyyətli dalğalanmalar göstərdiyini, yüksək yoluxma dövrlərində daha yüksək, epidemiyanın sonlarına doğru nisbətən daha aşağı qiymətlərin görünə bildiyini bildirir. Müəlliflər mümkün izahlar arasında səhiyyəyə çıxış, müşahidənin yaxşılaşması, hesabatvermə və ya epidemiya nəzarəti tədbirlərinin effektivliyindəki dəyişiklikləri müzakirə edirlər. Bu izahlar təkcə qrafikdən sübut edilmiş nedensel mexanizmlər deyil.

Səhiyyə zonaları niyə eyni vaxtda pikə çatmır?

Mənbə Şəkil 4 və 5 DRC-də müxtəlif səhiyyə zonalarının həftəlik hal dalğalarının həm zaman, həm də böyüklük baxımından əhəmiyyətli dərəcədə fərqləndiyini göstərir. Müəlliflər bu asinxron davranışın yerli yoluxma şərtləri, əhali hərəkətliliyi, səhiyyəyə çıxış, müdaxilələrin vaxtı və effektivliyi kimi amillərlə əlaqəli ola biləcəyini müzakirə edirlər.

Modelləşdirmə baxımından kritik məqam budur ki, tək bir homogen əhali əyrisi bu müxtəlif yerli zamanlamaları təbii şəkildə təmsil etməkdə məhdud qala bilər. Bu müşahidə çoxpopulyasiyalı modelin qurulmasının epidemioloji əsaslarından biridir.

Şəkil 6-dakı \(R_0=0.8\), 1.0, 1.2 və 2.6 əyriləri nə deməkdir?

Tədqiqat müxtəlif yoluxma hədlərini müqayisə etmək üçün simulyasiya trayektoriyalarını eyni pik böyüklüyünə normallaşdırıb. Məqsəd mütləq hal saylarını müqayisə etmək deyil, \(R_0\) dəyişdikcə epidemiyanın zaman quruluşunun, sönmə sürətinin və davamlılığının necə dəyişdiyini göstərməkdir.

• \(R_0=0.8\): subkritik nümunə; epidemiya sürətlə sönür.
• \(R_0=1.0\): kritik həddə yaxın nümunə; azalma daha yavaşdır və keçici davranış uzanır.
• \(R_0=1.2\): superkritik nümunə; daha uzunmüddətli yoluxma/persistensiya davranışı yaranır.
• \(R_0=2.6\): daha yüksək superkritik nümunə; pik vaxtı və əyrinin forması nəzərəçarpacaq dərəcədə dəyişir.

Bu əyrilərin real 2018–2020 epidemiyasına “ən yaxşı uyğun \(R_0\)” qiymətlərini müəyyən etmək üçün yaradılmadığı xüsusilə vacibdir. Mənbə müqayisənin formal fitting və ya predictive validation olmadığını açıq şəkildə bildirir.

Şəkil 8-də ekoloji virus yükü niyə nəzərə çarpır?

Mənbə Şəkil 8 superkritik ssenaridə \(I\), \(H\), \(D\) və \(W\) bölmələrinin nəzəri zaman inkişafını göstərir. \(W\), yoluxdurucu şəxslərdən, xəstəxanadakı şəxslərdən və yoluxdurucu cənazələrdən gələn üç ayrı saçılma termininin cəmini aldığı üçün model daxilində bütün bu kanalları toplayan ortaq ekoloji vəziyyət dəyişənidir.

Lakin Şəkil 8-in şaquli oxu ixtiyari/normallaşdırılmış böyüklük kimi verilib. Buna görə ekoloji əyrinin digər əyrilərdən vizual olaraq daha böyük olması real mühitdə ölçülmüş konkret virus konsentrasiyasına uyğun gəlmir və klinik virus yükü ölçümü kimi şərh edilməməlidir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Tədqiqat dizaynı

Bu tədqiqat orijinal riyazi epidemiologiya və sayısal modelləşdirmə tədqiqatıdır. Yeni xəstələr üzərində klinik müdaxilə aparılmayıb, bioloji nümunə toplanmayıb və eksperimental laboratoriya infeksiyası həyata keçirilməyib.

Tədqiqat üç əsas qatdan ibarətdir:

1. Çoxpopulyasiyalı və ekoloji rezervuarlı EVD diferensial tənliklər sisteminin qurulması.
2. Müsbətlik, məhdudluq, xəstəliksiz/endemik tarazlıq, \(R_0\), lokal və qlobal sabitlik və uniform persistensiya kimi riyazi xüsusiyyətlərin təhlili.
3. 2018–2020 DRC epidemiyası müşahidə məlumatları ilə yalnız keyfiyyət müqayisəsi aparılan sayısal simulyasiyalar.

Model fərziyyələri

• Cəmi \(n\) qarşılıqlı təsir edən populyasiya var.
• Hər populyasiya \(S,E,I,H,R,D\) bölmələrinə ayrılır.
• Bütün populyasiyalar ortaq ekoloji virus rezervuarı \(W\)-yə təsir edə bilər.
• Birbaşa, xəstəxana ilə əlaqəli, cənazə ilə əlaqəli və ekoloji yoluxma yolları birlikdə istifadə olunur.
• Bütün epidemioloji parametrlər müsbət sabitlərdir.
• Parametrlər zamanın açıq funksiyası deyil.
• Model deterministikdir; təsadüfi hadisə terminləri ehtiva etmir.
• Model zamanı günlərlə ölçülür.
• Vəziyyət dəyişənləri başlanğıcda mənfi deyil.
• \(D_i\), yaşayan ümumi əhali \(N_i\)-yə daxil deyil.
• Ekoloji rezervuar bir ortaq \(W\) bölməsi ilə təmsil olunur.

Sayısal həll üsulu

Ümumi \(n\)-populyasiyalı model qruplararası dinamikaları vizuallaşdırmaq üçün sayısal nümunələrdə \(n=2\)-yə endirilib. Buna baxmayaraq, tənliklərin əlaqəli çoxpopulyasiyalı məntiqi qorunub.

Model Real Ebola Hallarını Proqnozlaşdırmaq Üçün Kalibrlənibmi?

Xeyr. Tədqiqat 2018–2020 Demokratik Konqo Respublikası epidemiya məlumatlarını rəsmi parametr qiymətləndirilməsi, goodness-of-fit optimallaşdırılması və ya gələcəyə yönəlik proqnoz doğrulaması üçün istifadə etməyib; müşahidə məlumatları modelin epidemiya artımı, pik vaxtı, azalma, regional heterogenlik və hədd davranışı kimi keyfiyyət xüsusiyyətləri ilə müqayisə olunub.

Mənbə müşahidə olunan həftəlik insidensiyanı \(C_{\mathrm{obs}}(t_k)\), simulyasiya edilmiş həftəlik insidensiyanı isə \(C_{\mathrm{sim}}(t_k)\) adlandırır. Simulyasiya edilmiş insidensiya qarşılıqlı təsir edən populyasiyalardakı yoluxdurucu bölmələrin cəmi ilə əlaqələndirilib.

Mean absolute error (MAE; orta mütləq xəta) və root mean square error (RMSE; kök orta kvadrat xəta) kimi təsviri xəta ölçülərinin yalnız müşahidə olunan və simulyasiya edilən epidemiya nümunələri arasındakı oxşarlığı təsvir etmək üçün istifadə edildiyi bildirilir. Bu metriklər parametr qiymətləndirilməsi, kalibrləmə və ya prediktiv doğrulama üçün istifadə edilməyib.

2018–2020 DRC məlumatının işlənməsi

Müşahidə məlumatları WHO vəziyyət hesabatları və DRC Səhiyyə Nazirliyinin yeniləmələrindən yenidən qurulub. Gündəlik qeydlər qısamüddətli hesabat dəyişkənliyini azaltmaq üçün 7 günlük sürüşən cəmlərlə həftəlik insidensiyaya çevrilib.

Mənbə məlumatlarında:

• 2018-ci ilin son aylarında artım,
• 2019-cu ilin ortalarınadək güclü epidemiya aktivliyi,
• sonra mərhələli azalma,
• müxtəlif səhiyyə zonalarında eyni vaxtda olmayan pik vaxtları

görünür. Müəlliflər bu heterogenliyi çoxpopulyasiyalı model qurulmasının epidemioloji əsası kimi qiymətləndirirlər.

Analitik nəticə: xəstəliksiz tarazlıq

Tədqiqatın analitik çərçivəsində \(R_0<1\) əsas həddir. Xəstəliksiz tarazlıq bu halda lokal asimptotik sabitdir. Müqayisə prinsipi altında verilən əlavə şərtlərlə tədqiqat \(E_0\)-ın \(\Omega\) daxilində qlobal asimptotik sabitliyini də əldə edir.

Bu nəticə modelin riyazi fərziyyələri altında infeksiya dinamikasının uzun müddətdə xəstəliksiz vəziyyətə yaxınlaşa bildiyini ifadə edir. Real epidemiyada bütün müdaxilələrin uğurunu təkbaşına təmin edən klinik hədd kimi şərh edilə bilməz.

Analitik nəticə: superkritik rejim və persistensiya

\(R_0>1\) olduqda xəstəliksiz tarazlıq qeyri-sabitdir. Bundan əlavə, yoluxma şəbəkəsi reduksiyaolunmazdırsa və uniform persistensiya üçün lazım olan şərtlər ödənirsə, infeksiya ilə əlaqəli bölmələr uzun müddətdə müsbət qala bilər.

Tədqiqat bu şərtlər altında:

• ən azı bir müsbət endemik tarazlığın mövcudluğunu,
• müəyyən sıralanmış müsbət sinif altında endemik tarazlığın şərti yeganəliyini,
• əlavə Lyapunov şərtləri altında endemik tarazlıq üçün qlobal sabitlik nəticəsini

müzakirə edir. Tam isbatların mühüm hissələri müvafiq olaraq Əlavə Material S5, S6 və S7-yə buraxılıb.

Sayısal nəticə: hədd yaxınlığında yavaş sönmə

Simulyasiyalar \(R_0\) kritik qiymət olan 1-ə yaxınlaşdıqda epidemiya trayektoriyasının subkritik, lakin daha kiçik \(R_0\) qiymətləri ilə müqayisədə daha yavaş sönə bildiyini göstərir. Buna görə yalnız “sonunda sıfıra gedirmi?” sualı deyil, nə qədər uzun keçici dövr yaratdığı da epidemioloji baxımdan vacibdir.

Superkritik rejimlərdə isə model pik vaxtının gecikə bildiyi və epidemiya fəaliyyətinin daha uzun davam edə bildiyi trayektoriyalar yaradır.

Sayısal nəticə: ekoloji rezervuarın persistensiyada rolu

\(W\) bölməsi \(I\), \(H\) və \(D\) mənbələrindən davamlı giriş ala bildiyi üçün birbaşa icma insidensiyası azalmağa başladıqdan sonra belə model daxilində gecikmiş ekoloji töhfə yarada bilər. Tədqiqatın müzakirəsinə görə bu quruluş ekoloji sanitasiya və yalnız şəxsdən-şəxsə yoluxmanı deyil, ekoloji kontaminasiyanı da hədəfləyən inteqrə olunmuş nəzarət strategiyalarının niyə riyazi baxımdan mühüm ola biləcəyini göstərir.

Bu nəticə tədqiqatın real sanitasiya müdaxiləsinin effektivliyini sahə təcrübəsi ilə ölçdüyü demək deyil. Nəticə modelin quruluşundan və nəzəri simulyasiya davranışından çıxarılır.

Çarpaz populyasiya əlaqəsinin əhəmiyyəti

Modeldə \(\beta_{ij}\), \(\beta_{ij}^H\) və \(\beta_{ij}^D\) əmsalları \(i\neq j\) olduqda populyasiyalararası yoluxmanı təmsil edir. Beləliklə, bir qrupdakı yüksək yoluxma yalnız həmin qrupun öz dinamikası ilə məhdudlaşmır; əlaqə matrisi vasitəsilə başqa qruplara da təsir edə bilər.

Müəlliflər xüsusilə yüksək əlaqəli və ya yüksək riskli populyasiyaların ümumi sistemin spektral xüsusiyyətləri vasitəsilə epidemiyanın persistensiyası və yoluxma intensivliyi üzərində qeyri-mütənasib təsir göstərə biləcəyini müzakirə edirlər.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Bir neçə qarşılıqlı təsir edən populyasiya, xəstəxana yoluxması, yoluxdurucu cənazələr və ekoloji virus rezervuarı tək bir deterministik EVD modeli daxilində təmsil oluna bilər.
• Model mənfi olmayan başlanğıc şərtləri altında müsbət həllər yaradır.
• Yaşayan populyasiyalar və ekoloji virus yükü riyazi olaraq məhdudlaşdırıla bilər.
• \(R_0=\rho(FV^{-1})\) sistemin əsas hədd parametridir.
• \(R_0<1\) rejimində xəstəliksiz tarazlıq sabitdir.
• Uyğun əlaqəlilik və persistensiya şərtləri altında \(R_0>1\) rejimi davamlı infeksiya və müsbət endemik tarazlıqla uyğundur.
• DRC səhiyyə zonalarındakı epidemiya pik vaxtları və intensivlikləri aydın şəkildə heterogendir.
• Bu heterogenlik homogen tək-populyasiya fərziyyəsinə alternativ çoxpopulyasiyalı quruluş üçün epidemioloji əsas yaradır.
• Ekoloji rezervuar modeli birbaşa, xəstəxana və cənazə ilə əlaqəli yoluxmadan fərqli olaraq gecikmiş/dolayı persistensiya kanalını təmsil edə bilər.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Model 2018–2020 DRC epidemiyasına statistik olaraq kalibrlənmiş proqnoz modeli deyil.
• Şəkillərdəki simulyasiya əyriləri real hal saylarının kəmiyyət proqnozu kimi şərh edilməməlidir.
• Mənbə müəyyən müdaxilənin neçə halın və ya ölümün qarşısını alacağına dair təsir ölçüsünü hesablamır.
• Safe burial, xəstəxana infeksiya nəzarəti, karantin və ya ekoloji sanitasiya üçün optimal nəzarət həlli bu tədqiqatda hesablanmır.
• Model parametrləri zaman ərzində dəyişmədiyinə görə davranış dəyişikliyi, müdaxilə vaxtı və ya səhiyyə sisteminin reaksiyasının dinamik dəyişməsi birbaşa modelləşdirilmir.
• Tək bir \(W\) rezervuarı istifadə olunduğuna görə xəstəxana, ev, cənazə sahəsi və ya digər ekoloji mühitlər ayrıca rezervuarlar kimi modelləşdirilmir.
• Stoxastik epidemiya sönməsi və ya təsadüfi fərdi hadisələr birbaşa modelləşdirilmir.
• Miqrasiya və əhali yerdəyişməsi mövcud deterministik sistemdə açıq vəziyyət prosesləri kimi yer almır.
• Model başqa ölkələrdə və ya gələcək epidemiyalarda eyni parametrlərlə doğrulanmayıb.

Tədqiqatın əsas məhdudiyyətləri

1. Zamanla sabit parametrlər: Real epidemiyada davranışlar, müdaxilələr, səhiyyə sistemi reaksiyası və hesabatvermə dəyişdiyi halda model bunları zamanla sabit parametrlərlə təmsil edir.

2. Tək ekoloji rezervuar: Xəstəxana mühiti, yaşayış yeri, cənazə sahəsi və ya digər kontaminasiya mühitlərinin fərqli dinamikası ayrıca müəyyən edilmir.

3. Çoxsaylı parametrlər: Populyasiya sayı artdıqca \(\beta_{ij}\), \(\beta_{ij}^{H}\) və \(\beta_{ij}^{D}\) kimi çarpaz əlaqə parametrlərinin sayı sürətlə artır. Məhdud və ya səs-küylü müşahidə məlumatları altında bunların müəyyən edilməsi çətinləşə bilər.

4. Deterministik quruluş: Demoqrafik stoxastiklik, təsadüfi epidemiya sönməsi və kiçik hal saylarında təsadüfi hadisələr sistemdə birbaşa yoxdur.

5. Miqrasiya və yerdəyişmə: Münaqişə və resurs məhdud bölgələrdə mühüm ola bilən əhali hərəkətləri birbaşa modelləşdirilmir.

6. Proqnoz məqsədi məhduddur: Mövcud tədqiqat ilk növbədə Ebola yoluxmasının çoxmodlu quruluşunu nəzəri və keyfiyyət baxımından anlamağa yönəlib; gələcək hal saylarını statistik olaraq proqnozlaşdıran forecasting modeli kimi təqdim olunmur.

Gələcək üçün təklif olunan genişləndirmələr

Müəlliflər mövcud çərçivənin gələcəkdə aşağıdakı istiqamətlərdə genişləndirilə biləcəyini bildirirlər:

• zamanla dəyişən epidemioloji parametrlər,
• təhlükəsiz dəfn praktikaları üçün açıq nəzarət funksiyaları,
• xəstəxana infeksiyasının qarşısının alınması nəzarətləri,
• karantin strategiyaları,
• ekoloji sanitasiya nəzarətləri,
• optimal nəzarət və xərc-effektivlik təhlilləri,
• mobillik məlumatlarına əsaslanan əlaqə şəbəkələri,
• regionlararası qarşılıqlı təsir matrisləri,
• statistik parametr və qeyri-müəyyənlik qiymətləndirilməsi,
• stoxastik model ümumiləşdirmələri,
• məkan baxımından açıq modellər.

Bunlar mövcud məqalədə tamamlanmış təhlillər deyil, gələcəkdə araşdırılması təklif olunan genişləndirmələrdir.

Mənbə və Metod Qeydi

Özgün başlıq: A generalized multi-population model for Ebola virus transmission incorporating environmental reservoir dynamics

Müəlliflər: Muhammad Farhan Hakeem; Shajar Abbas; Imran Siddique; Ilyas Khan; Mohsen Bakouri; Rashid Jan; Rakhmonjon Akhmadjonov; Rasul Turaev.

Corresponding authors: Shajar Abbas və Mohsen Bakouri.

Bərabər töhfə: Nəzərdən keçirilən mənbədə bərabər töhfə/bərabər birinci müəllif barədə bildiriş yoxdur.

Qurum a: School of Computer Science and Technology, North University of China, Taiyuan, China.

Qurum b: Department of Computer Engineering, Biruni University, Istanbul, Turkey.

Qurum c: Department of Mathematics, University of Sargodha, Sargodha, Pakistan.

Qurum d: Center for Theoretical Physics, Khazar University, Baku, Azerbaijan.

Qurum e: Department of Mathematical Sciences, Saveetha School of Engineering, Saveetha Institute of Medical and Technical Sciences, Chennai, India.

Qurum f: Hourani Center for Applied Scientific Research, Al-Ahliyya Amman University, Amman, Jordan.

Qurum g: Széchenyi István University, Győr, Hungary.

Qurum h: Department of Mathematics, College of Science Al-Zulfi, Majmaah University, Al-Majmaah, Saudi Arabia.

Qurum i: Department of Medical Equipment Technology, College of Applied Medical Science, Majmaah University, Al-Majmaah, Saudi Arabia.

Qurum j: Department of Mathematics, College of Science, Qassim University, Buraydah, Saudi Arabia.

Qurum k: School of Exact Sciences, National Pedagogical University of Uzbekistan named after Nizami, Tashkent, Uzbekistan.

Qurum l: Department of Exact and Natural Sciences, Termez State University of Engineering and Agrotechnologies, Termez, Uzbekistan.

Jurnal: Infectious Medicine.

Cild / nömrə / məqalə nömrəsi: Cild 5, Say 3, 100278.

Mənbə növü: Original Article; riyazi epidemiologiya, deterministik diferensial tənlik modelləşdirilməsi və keyfiyyət xarakterli ədədi doğrulama tədqiqatı.

DOI: 10.1016/j.imj.2026.100278.

Qəbul edilmə tarixi: 26 mart 2026.

Reviziya tarixi: 20 may 2026.

Qəbul tarixi: 1 iyul 2026.

Onlayn nəşr tarixi: Rəsmi ScienceDirect qeydi 5 avqust 2026 tarixini göstərir.

Çap/issue biblioqrafiyası: PubMed qeydi sentyabr 2026, Cild 5, Say 3 və məqalə 100278 məlumatını göstərir.

Nəşriyyat: Tsinghua University Press adından Elsevier Ltd.

Lisenziya: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).

Resenziya/nəşr statusu: Mənbə qəbul tarixini bildirən və Infectious Medicine-də Original Article kimi dərc edilmiş jurnal məqaləsidir.

Preprint məlumatı: Nəzərdən keçirilən mənbədə bu tədqiqat üçün ayrıca preprint qeydi göstərilmir.

Elmi sahə: Riyazi epidemiologiya, yoluxucu xəstəlik dinamikası və diferensial tənliklərə əsaslanan modelləşdirmə.

Əsas metod: \(n\) qarşılıqlı təsir göstərən populyasiya üçün \(S_i\), \(E_i\), \(I_i\), \(H_i\), \(R_i\), \(D_i\) bölmələri və ortaq \(W\) ekoloji virus rezervuarından istifadə edən avtonom ODE sistemi; pozitivlik və məhdudluq təhlili; yeni nəsil matris üsulu ilə \(R_0\); tarazlıq və sabitlik təhlili; persistensiya və Lyapunov əsaslı nəzəri nəticələr; Python/SciPy ədədi simulyasiyaları.

Real epidemioloji məlumat: 2018–2020 Demokratik Konqo Respublikası Kivu Ebola epidemiyası üçün WHO və DRC Səhiyyə Nazirliyi tərəfindən yayımlanan açıq müşahidə məlumatları.

Məlumatın istifadə məqsədi: Keyfiyyət xarakterli epidemioloji müqayisə və vizuallaşdırma. Formal statistik parametr qiymətləndirilməsi, model fitting və ya prediktiv doğrulama aparılmayıb.

Ədədi həlledici: Python, SciPy solve_ivp, adaptiv zaman addımlaması; nisbi tolerantlıq \(10^{-6}\), mütləq tolerantlıq \(10^{-8}\).

Əlavə material: Pozitivlik/məhdudluq və invariant oblast üçün S1; yeni nəsil \(F,V\) matrislərinin təfərrüatı üçün S2; DFE yerli sabitliyi üçün S3; DFE qlobal sabitliyi üçün S4; uniform persistensiya üçün S5; endemik tarazlığın yeganəliyi üçün S6; Lyapunov əsaslı endemik tarazlığın qlobal sabitliyi üçün S7 mənbə tərəfindən əlavə materiala saxlanılıb. Bu əlavə isbat məzmunu yüklənmiş əsas PDF-də olmadığı üçün Verianla mətnində yenidən uydurulmayıb.

Məlumat əlçatanlığı: Mənbə məlumatların corresponding author-dan əsaslandırılmış sorğu əsasında əldə edilə biləcəyini bildirir. Həmçinin işlənmiş epidemioloji məlumatların və Python simulyasiya kodlarının corresponding author-dan əsaslandırılmış sorğu əsasında təqdim oluna biləcəyi əsas mətndə qeyd edilir.

CRediT müəllif töhfələri: Muhammad Farhan Hakeem — Investigation; Shajar Abbas — Supervision; Imran Siddique — Methodology; Ilyas Khan — Data curation; Mohsen Bakouri — Software; Rashid Jan — Formal analysis; Rakhmonjon Akhmadjonov — Validation; Rasul Turaev — Writing – original draft.

Məlumatlandırılmış razılıq: Mənbə “Nothing to report” bildirir.

Organ donation: Not applicable.

Etik bildiriş: Mənbə “Nothing to report” bildirir.

Heyvan tədqiqatı: Not applicable.

Generative AI: None.

Maliyyələşdirmə: None.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər tədqiqata təsir göstərə biləcək məlum rəqabət aparan maliyyə maraqlarının və ya şəxsi münasibətlərin olmadığını bəyan edirlər.

Acknowledgements: Not applicable.

Mühüm terminologiya qeydi: Mənbənin Cədvəl 1-də \(\kappa_i\), \(\gamma_i\) və \(\gamma_i^H\) izahlarında “proportion/percentage” kimi ifadələr işlədilib; lakin parametrlərin vahidi zaman\(^{-1}\), diferensial tənliklərdəki riyazi rolları isə keçid/sağalma sürətləridir. Azərbaycan dilində izahda bu riyazi rol əsas götürülüb, mənbədə bildirilməyən yeni dəyər yaradılmayıb.

Əsas şərh sərhədi: Bu tədqiqat mövcud Ebola epidemiyasının bir-bir rəqəmsal surəti və ya klinik proqnoz vasitəsi deyil. Sabit parametrli, deterministik və nəzəri çoxpopulyasiyalı modeldir. Real epidemiya məlumatları modeli kalibrləmək əvəzinə keyfiyyət xarakterli müqayisə üçün istifadə olunub. Buna görə simulyasiya edilmiş əyrilərin gələcək real vaka, ölüm və ya ekoloji virus miqdarlarını birbaşa proqnozlaşdırdığı deyilə bilməz.