Çok popülasyonlu Ebola bulaşma modeli, birden fazla etkileşen insan veya konak grubunda Ebola virus disease (EVD; Ebola virüsü hastalığı) yayılımını doğrudan enfekte kişiler, hastanede bulunan enfekte kişiler, bulaştırıcı cenazeler ve ortak çevresel viral rezervuar üzerinden birlikte temsil eden deterministik bir adi diferansiyel denklem sistemidir. Çalışma, her popülasyonu duyarlı, maruz kalmış, enfeksiyöz, hastanede, iyileşmiş ve bulaştırıcı ölü/cenaze bölmelerine ayırmakta; ayrıca tüm grupların etkileyebildiği ortak bir çevresel viral yük değişkeni kullanmaktadır. Matematiksel analiz çözümlerin pozitifliği ve sınırlılığını, hastalıksız ve endemik dengeleri, temel üreme sayısı \(R_0\) ile belirlenen eşik davranışını ve uygun koşullarda enfeksiyonun kalıcılığını inceler. Çalışmanın en önemli yorum sınırı, 2018–2020 Demokratik Kongo Cumhuriyeti Ebola salgını verilerinin modele istatistiksel parametre tahmini veya öngörü doğrulaması yapmak için kullanılmamış olmasıdır; gerçek salgın verileri ve simülasyonlar esas olarak nitel epidemiyolojik örüntüleri karşılaştırmak amacıyla kullanılmıştır.

Modelin temel sonucu bir eşik mantığıdır. \(R_0<1\) olduğunda hastalıksız denge yerel olarak asimptotik kararlıdır ve çalışmada verilen ek koşullar altında küresel kararlılık da elde edilir. \(R_0>1\) olduğunda hastalıksız denge kararsızlaşabilir; bulaşma ağı indirgenemez ve persistans koşulları sağlanırsa enfeksiyon bölmeleri ile çevresel viral rezervuar uzun dönemde sıfırdan uzak kalabilir ve pozitif bir endemik denge bulunabilir. Bu sonuç “gerçek bir salgında \(R_0\) tek başına geleceği kesin biçimde tahmin eder” anlamına gelmez; sonuçlar çalışmanın sabit parametreli deterministik modelinin matematiksel yapısı içinde geçerlidir.

Çalışmanın önemli yeniliği yalnız bölme sayısını artırması değildir. Model, \(i\) numaralı popülasyonun bulaşma riskini yalnız kendi enfekte bireylerinden değil, bütün \(j=1,\ldots,n\) popülasyonlarındaki enfeksiyöz kişilerden, hastanede bulunan enfekte kişilerden, bulaştırıcı cenazelerden ve ortak çevresel viral yükten etkilenebilecek biçimde tanımlar. Böylece topluluk, sağlık hizmeti bağlamı, cenaze kaynaklı temas ve çevresel bulaşma matematiksel olarak aynı bağlantılı sistem içinde temsil edilebilir.

Sayısal gösterimlerde genel \(n\)-popülasyon modeli, popülasyonlar arası bulaşma dinamiklerini görünür kılmak için \(n=2\) durumuna indirgenmiştir. Diferansiyel denklemler Python'da SciPy kütüphanesinin solve_ivp rutiniyle adaptif zaman adımlama kullanılarak çözülmüş; bağıl tolerans \(10^{-6}\), mutlak tolerans \(10^{-8}\) seçilmiştir. Model zamanı gün cinsinden tanımlar. Parametreler epidemiyoloji literatüründeki biyolojik olarak makul aralıklardan seçilmiş, ancak bu çalışma kapsamında resmi istatistiksel kalibrasyon veya parametre kestirimi yapılmamıştır.

Araştırmanın çözmeye çalıştığı problem

Ebola bulaşmasının tek ve homojen bir nüfus içindeymiş gibi modellenmesi, farklı toplulukların birbirleriyle nasıl etkileştiğini, hastane kaynaklı bulaşmayı, enfeksiyöz cenazelerin katkısını ve virüsün çevrede kalmasının oluşturabileceği dolaylı bulaşma yolunu birlikte temsil etmekte yetersiz kalabilir. Çalışmanın çıkış noktası budur. Yazarlar önceki birçok modelin tek veya iki popülasyonla sınırlı olduğunu; oysa gerçek salgınlarda topluluk üyeleri, sağlık hizmeti çalışanları veya hastane çevresi, bakım veren kişiler, cenaze süreçleri ve farklı yerel gruplar arasında karmaşık bağlantılar bulunabileceğini belirtmektedir.

Önerilen çerçeve bu sorunu, birbirine bağlanmış \(n\) popülasyon ve bütün popülasyonlardan viral materyal alabilen ortak bir çevresel rezervuar kullanarak ele almaktadır. Model otonomdur: parametreler zamanla açık biçimde değiştirilmez. Başka bir ifadeyle bulaşma katsayıları, iyileşme hızları veya hastaneye yatış hızları takvim zamanının fonksiyonu olarak verilmez; zaman içindeki değişim yalnız durum değişkenlerinin diferansiyel denklemler aracılığıyla birbirini etkilemesinden doğar.

Çok Popülasyonlu Ebola Bulaşma Modeli Nasıl Çalışır?

Çok popülasyonlu Ebola modeli, her \(i\) popülasyonunu duyarlı \(S_i\), maruz kalmış \(E_i\), enfeksiyöz \(I_i\), hastanede bulunan enfekte \(H_i\), iyileşmiş \(R_i\) ve bulaştırıcı cenaze \(D_i\) bölmelerine ayıran; bütün popülasyonları ayrıca ortak çevresel viral yük \(W\) üzerinden birbirine bağlayan deterministik bir adi diferansiyel denklem sistemidir. Enfeksiyon \(S_i\) grubundan \(E_i\) grubuna geçişle başlar; maruz kalanlar \(\sigma_i\) hızıyla enfeksiyöz hâle gelir, enfeksiyöz kişiler iyileşebilir, hastaneye alınabilir veya hastalığa bağlı ölebilir; hastanedekiler iyileşebilir veya ölebilir; enfeksiyöz kişiler, hastanedekiler ve bulaştırıcı cenazeler çevreye viral materyal bırakabilir.

Modeldeki popülasyon bölmeleri

Denklem (1): yaşayan toplam nüfus

\[ N_i(t)=S_i(t)+E_i(t)+I_i(t)+H_i(t)+R_i(t). \tag{1} \]

Bu denklem \(i\) grubunun yaşayan toplam nüfusunu tanımlar. En önemli ayrıntı \(D_i(t)\)'nin toplamın dışında bırakılmasıdır; çünkü \(D_i\) bulaştırıcı cenaze bölmesidir. Çevresel yük \(W\) de insan nüfusu değildir ve doğal olarak \(N_i\)'ye dahil edilmez.

Denklem toplamsaldır: her yaşayan birey modelde bu beş yaşayan bölmeden birinde kabul edilir. Bu nedenle \(N_i\), enfeksiyon kuvvetinin normalleştirilmesinde kullanılan popülasyon büyüklüğü olarak görev yapar.

Enfeksiyon Kuvveti \(\lambda_i(t)\) Neyi İfade Eder?

\(\lambda_i(t)\), \(i\) popülasyonundaki duyarlı bir bireyin modeldeki bütün bulaşma kaynaklarından karşılaştığı toplam anlık enfeksiyon baskısını temsil eder. Çalışmada bu baskı, bütün \(j\) popülasyonlarındaki enfeksiyöz kişilerden, hastanede bulunan enfekte kişilerden, bulaştırıcı cenazelerden ve ortak çevresel viral rezervuardan gelen dört bileşenin toplamı olarak tanımlanmıştır.

Kaynakta verilen Denklem (2):

\[ \lambda_i(t)= \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}\frac{I_j(t)}{N_j(t)+\varepsilon_j} + \sum_{j=1}^{n}\beta^{H}_{ij}\frac{H_j(t)}{N_j(t)+\varepsilon_j} + \sum_{j=1}^{n}\beta^{D}_{ij}\frac{D_j(t)}{N_j(t)+\varepsilon_j} + \xi_iW(t). \tag{2} \]

Birinci terim: enfeksiyöz kişilerden bulaşma

\[ \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}\frac{I_j}{N_j+\varepsilon_j} \]

\(\beta_{ij}\), \(j\) grubundaki enfeksiyöz bireylerin \(i\) grubundaki duyarlı bireyler üzerindeki doğrudan bulaşma katsayısıdır. İndislerin yönü önemlidir: kaynak grup \(j\), etkilenen grup \(i\) olarak okunur. Böylece model yalnız grup içi \(i=j\) bulaşmayı değil, \(i\neq j\) olduğunda gruplar arası bulaşmayı da temsil edebilir.

İkinci terim: hastanede bulunan enfekte kişilerden bulaşma

\[ \sum_{j=1}^{n}\beta^{H}_{ij}\frac{H_j}{N_j+\varepsilon_j} \]

\(\beta^{H}_{ij}\), hastanede bulunan enfekte kişilerle bağlantılı bulaşma katsayısıdır. Hastaneye yatırılmış bir kişinin modelden otomatik olarak “bulaştırıcı değil” diye çıkarılmaması önemli bir modelleme tercihidir. Hastane bölmesi kendine özgü bulaşma, iyileşme ve hastalığa bağlı ölüm parametreleriyle tutulmaktadır.

Üçüncü terim: bulaştırıcı cenazeler

\[ \sum_{j=1}^{n}\beta^{D}_{ij}\frac{D_j}{N_j+\varepsilon_j} \]

\(\beta^{D}_{ij}\), \(j\) grubundaki bulaştırıcı cenazelerle ilişkili temasın \(i\) grubundaki duyarlı bireylere etkisini temsil eder. \(D_j\) yaşayan nüfusa katılmamasına rağmen bulaşma denklemine açık biçimde girmektedir. Modelde cenazenin bulaştırıcı sistemden çıkışı \(\omega_i\) defin/bertaraf hızıyla düzenlenir.

Dördüncü terim: çevresel bulaşma

\[ \xi_iW(t) \]

\(W(t)\) ortak çevresel viral yükü, \(\xi_i\) ise \(i\) grubunun bu çevresel rezervuarla bağlantılı bulaşma katsayısını temsil eder. Böylece enfekte kişiyle doğrudan temas olmadan çevresel kontaminasyon üzerinden modellenen dolaylı bulaşma sisteme eklenmektedir.

\(\varepsilon_j\) neden kullanılıyor?

Kaynak, \(\varepsilon_j>0\)'ı \(N_j(t)\) sıfıra yaklaşırken paydanın sıfır olmasını ve matematiksel tekilliği önleyen küçük bir düzenlileştirme sabiti olarak tanımlar. \(\varepsilon_j\) için kaynakta belirli bir sayısal değer verilmemektedir. \(N_j+\varepsilon_j\) toplamının boyutsal olarak anlamlı olabilmesi için \(\varepsilon_j\)'nin \(N_j\) ile uyumlu bir nüfus ölçeğinde değerlendirilmesi gerekir; bu boyut yorumu denklemin matematiksel tutarlılığından gelir, çalışmanın ayrı bir deneysel bulgusu değildir.

Denklem (3): tüm insan bölmelerinin dinamik sistemi

\[ \frac{dS_i}{dt}=\Lambda_i-\lambda_i(t)S_i(t)-\mu_iS_i(t) \]

\[ \frac{dE_i}{dt}=\lambda_i(t)S_i(t)-(\mu_i+\sigma_i)E_i(t) \]

\[ \frac{dI_i}{dt}=\sigma_iE_i(t)-(\mu_i+\gamma_i+\kappa_i+\alpha_i)I_i(t) \]

\[ \frac{dH_i}{dt}=\kappa_iI_i(t)-(\mu_i+\gamma_i^{H}+\alpha_i^{H})H_i(t) \]

\[ \frac{dR_i}{dt}=\gamma_iI_i(t)+\gamma_i^{H}H_i(t)-\mu_iR_i(t) \]

\[ \frac{dD_i}{dt}=\alpha_iI_i(t)+\alpha_i^{H}H_i(t)-\omega_iD_i(t), \qquad i=1,2,\ldots,n. \tag{3} \]

Duyarlı birey denklemi

\(\Lambda_i\), doğum veya göç gibi yollarla duyarlı gruba giriş hızıdır. \(-\lambda_iS_i\), enfeksiyon nedeniyle duyarlı gruptan çıkanları; \(-\mu_iS_i\) ise doğal mortaliteyi temsil eder. \(\lambda_i\) veya \(S_i\) arttığında, diğer değişkenler sabitken enfeksiyon nedeniyle duyarlı bölmeden çıkışın büyüklüğü de artar.

Maruz kalmış birey denklemi

Duyarlı gruptan enfeksiyon alan bireyler \(+\lambda_iS_i\) ile \(E_i\)'ye girer. Maruz kalanlar doğal mortalite \(\mu_i\) veya enfeksiyöz duruma ilerleme hızı \(\sigma_i\) ile bu bölmeden çıkar.

Enfeksiyöz birey denklemi

\(I_i\) bölmesine giriş \(\sigma_iE_i\)'dir. Çıkışlar dört kanaldan oluşur: doğal ölüm \(\mu_i\), iyileşme \(\gamma_i\), hastaneye yatış/izolasyon \(\kappa_i\) ve hastalığa bağlı ölüm \(\alpha_i\).

Hastane denklemi

\(H_i\)'ye giriş \(\kappa_iI_i\) ile olur. Hastanede bulunan enfekte kişiler doğal ölüm \(\mu_i\), iyileşme \(\gamma_i^H\) veya Ebola'ya bağlı ölüm \(\alpha_i^H\) kanallarından çıkar.

İyileşmiş birey denklemi

İyileşenler hem enfeksiyöz \(I_i\) grubundan \(\gamma_iI_i\) hem hastane \(H_i\) grubundan \(\gamma_i^HH_i\) yoluyla \(R_i\)'ye geçer. Kaynak modelde iyileşmiş bireylerin yeniden duyarlı hâle gelmesini veya yeniden enfekte olmasını temsil eden bir terim bulunmamaktadır.

Bulaştırıcı cenaze denklemi

\(D_i\)'ye iki ölüm kanalı girdi sağlar: enfeksiyöz bireylerden \(\alpha_iI_i\), hastanedeki enfekte bireylerden \(\alpha_i^HH_i\). Cenazenin bulaştırıcı sistemden çıkarılması \(\omega_iD_i\) ile temsil edilir. Dolayısıyla \(\omega_i\) büyüdükçe, diğer şartlar aynıyken \(D_i\)'nin sistemde kalma süresi kısalır.

Denklem (4): çevresel viral rezervuar

\[ \frac{dW}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left( \rho_i^{I}I_i(t) + \rho_i^{H}H_i(t) + \rho_i^{D}D_i(t) \right) -\delta W(t). \tag{4} \]

Bu denklem çevresel rezervuarın mantığını çok açık gösterir. \(W\)'yi artıran üç kaynak vardır:

• \(\rho_i^I I_i\): enfeksiyöz kişilerden çevreye viral saçılım,
• \(\rho_i^H H_i\): hastanede bulunan enfekte kişilerden çevreye viral saçılım,
• \(\rho_i^D D_i\): bulaştırıcı cenazelerden çevreye viral saçılım.

\(-\delta W\) ise viral materyalin çevrede azalmasını veya sanitasyonla uzaklaştırılmasını temsil eder. \(\delta\) büyüdükçe, diğer terimler aynı kalırsa çevresel viral yükün temizlenme/bozunma hızı artar.

Model parametreleri ve biyolojik olarak kabul edilebilir aralıklar

Kaynak bütün epidemiyolojik parametreleri pozitif ve zaman içinde sabit kabul eder. Bu nedenle model otonom ve periyodik olmayan bir sistemdir. Kaynak, mortalite aralıklarının Zaire EVD için bildirilen yaklaşık %50–70 yüksek vaka ölüm oranlarıyla genel olarak uyumlu olacak biçimde seçildiğini belirtmektedir. Ancak modelde gerçekleşen vaka ölüm davranışı yalnız \(\alpha_i\) veya \(\alpha_i^H\) parametrelerinden birine eşit değildir; hastalığın ilerleme, hastaneye yatış, iyileşme ve ölüm kanallarının birlikte oluşturduğu dinamiğe bağlıdır.

Tablodaki parametre aralıkları resmî parametre kestirimi veya kalibrasyon sonucu değildir. Yazarlar bunları nitel sayısal simülasyonlar için biyolojik olarak makul aralıklar şeklinde kullanmaktadır.

Hastalıksız denge nedir?

Hastalıksız denge (disease-free equilibrium, DFE), bütün enfeksiyonla ilişkili bölmelerin ve çevresel viral yükün sıfır olduğu, fakat duyarlı popülasyonların demografik denge içinde varlığını sürdürdüğü matematiksel durumdur.

Kaynak Denklem (5):

\[ E_0= \left( S_1^0,0,0,0,0,0,\ldots, S_n^0,0,0,0,0,0,0 \right). \tag{5} \]

Duyarlı denge değeri Denklem (6) ile:

\[ S_i^0=\frac{\Lambda_i}{\mu_i}, \qquad i=1,2,\ldots,n. \tag{6} \]

şeklindedir. Bunun nedeni, enfeksiyon yokken duyarlı grupta giriş \(\Lambda_i\) ile doğal ölüm çıkışı \(\mu_iS_i\)'nin dengelenmesidir. Denge halinde \(\Lambda_i=\mu_iS_i\) olduğundan \(S_i^0=\Lambda_i/\mu_i\) elde edilir.

DFE'de:

\[ E_i=I_i=H_i=D_i=0,\qquad W=0. \]

Kaynak ayrıca iyileşmiş bölmenin de hastalıksız denge vektöründe sıfır olduğunu göstermektedir.

Endemik denge nedir?

Endemik denge, sistemin zamanla değişmeyen fakat enfeksiyonla ilişkili en az bir bileşenin pozitif kaldığı denge durumudur. Kaynak Denklem (7)'de genel denge vektörünü:

\[ E^{*}= \left( S_1^{*},E_1^{*},I_1^{*},H_1^{*},R_1^{*},D_1^{*}, \ldots, S_n^{*},E_n^{*},I_n^{*},H_n^{*},R_n^{*},D_n^{*}, W^{*} \right) \tag{7} \]

olarak tanımlar. Üst yıldız \((*)\), ilgili değişkenin denge değerini gösterir. Endemik durumda enfeksiyonla ilişkili bileşenlerden en az biri sıfırdan büyüktür. Kaynak persistans koşulları altında \(E_i^*\), \(I_i^*\), \(D_i^*\) ve \(W^*\) gibi bileşenlerin pozitifliğiyle enfeksiyonun sistem içinde kalmasını tartışmaktadır.

Pozitiflik neden matematiksel olarak zorunlu?

Nüfus büyüklüğü veya çevresel viral yük gibi değişkenlerin negatif değer alması biyolojik olarak anlamsızdır. Bu nedenle modelin matematiksel olarak kullanılabilir olması için, negatif olmayan başlangıç değerlerinden başlatıldığında bütün durum değişkenlerinin gelecekte de negatif olmayan bölgede kalması gerekir.

Kaynak şu başlangıç şartını kullanır:

\[ S_i(0),E_i(0),I_i(0),H_i(0),R_i(0),D_i(0),W(0)\geq0. \]

Denklemler “giriş eksi çıkış” biçiminde kurulduğundan bir durum değişkeni sıfıra geldiğinde onu doğrudan negatif bölgeye itecek bağımsız negatif kaynak terimi bulunmaz. Bu yapı, pozitif ortantın sistem akışı altında değişmez kalmasını sağlar. Ayrıntılı ispat kaynakta Ek Materyal S1'e bırakılmıştır.

Sınırlılık neden önemlidir?

Pozitif olması tek başına yeterli değildir; model değişkenlerinin sonlu kalması da gerekir. Yaşayan toplam nüfus denklemleri toplandığında kaynak:

\[ \frac{dN_i}{dt} = \Lambda_i-\mu_iN_i-\alpha_iI_i-\alpha_i^{H}H_i \leq \Lambda_i-\mu_iN_i \]

eşitsizliğini elde eder.

Bunu karşılaştırmak için Denklem (9):

\[ \frac{dX}{dt}=\Lambda_i-\mu_iX \tag{9} \]

kullanılır. Bunun sonucu:

\[ 0\leq N_i(t)\leq\frac{\Lambda_i}{\mu_i}, \qquad t>0 \]

üst sınırıdır. Matematiksel anlamı şudur: hastalığa bağlı ölüm terimleri nüfusu artırmaz; tersine yaşayan nüfusun büyümesini daha da aşağı çeker. Bu nedenle yalnız giriş ve doğal ölüm içeren karşılaştırma sistemi, \(N_i\) için kullanılabilecek bir üst sınır sağlar.

Çevresel viral yükün üst sınırı

Kaynak Denklem (10)'da:

\[ \frac{dW}{dt} \leq \sum_{i=1}^{n} \left( \rho_i^{I}N_i+ \rho_i^{H}N_i+ \rho_i^{D}N_i \right) -\delta W \tag{10} \]

şeklindeki bir üst karşılaştırma kullanır ve buradan \(W(t)\)'nin \(W_{\max}\) ile sınırlanabildiğini gösterir.

Daha ayrıntılı değişmez bölge teoreminde bulaştırıcı cenaze için:

\[ D_i^{\max} = \frac{\alpha_i+\alpha_i^{H}}{\omega_i} \frac{\Lambda_i}{\mu_i} \tag{12a} \]

ve çevresel yük için:

\[ W_{\max} = \frac{1}{\delta} \sum_{i=1}^{n} \left[ (\rho_i^{I}+\rho_i^{H}) \frac{\Lambda_i}{\mu_i} + \rho_i^{D}D_i^{\max} \right] \tag{12b} \]

üst sınırları verilmektedir. Burada \(1/\delta\), çevresel viral materyalin sistemde kalıcılığıyla ters ilişkili bir zaman ölçeğini temsil eder: diğer büyüklükler sabitken daha büyük \(\delta\), daha düşük \(W_{\max}\) üst sınırıyla ilişkilidir.

Uygun bölge \(\Omega\) neyi anlatıyor?

Kaynak Denklem (8)'de modelin biyolojik olarak anlamlı durum uzayını \(\Omega\) ile tanımlar. Sistem \(6n+1\) boyutludur: her popülasyonda altı durum değişkeni vardır ve bunlara tek ortak çevresel \(W\) değişkeni eklenir.

Özetle:

\[ \Omega\subset\mathbb{R}_{+}^{6n+1}, \qquad 0\leq N_i\leq\frac{\Lambda_i}{\mu_i}, \qquad 0\leq W\leq W_{\max}. \tag{8} \]

Teorem bölümünde bu bölge ayrıca \(0\leq D_i\leq D_i^{\max}\) sınırıyla güçlendirilir. “Pozitif değişmez bölge” denmesi, sistem bu biyolojik olarak anlamlı bölgeden başlatıldığında çözümün zaman içinde bölgenin dışına çıkmamasını ifade eder.

Temel Üreme Sayısı \(R_0\) Bu Modelde Neyi İfade Eder?

Temel üreme sayısı \(R_0\), modelin hastalıksız denge çevresindeki enfeksiyon üretme potansiyelini özetleyen eşik büyüklüğüdür ve çalışma bunu yeni nesil matris yöntemiyle \(R_0=\rho(FV^{-1})\) şeklinde tanımlar. Buradaki \(\rho\), matrisin spektral yarıçapıdır; \(R_0<1\) hastalıksız dengenin kararlılığıyla, \(R_0>1\) ise uygun ek koşullar altında enfeksiyonun kalıcılığı ve endemik denge olasılığıyla ilişkilidir.

Enfekte durum vektörü kaynakta:

\[ x= (E_1,\ldots,E_n, I_1,\ldots,I_n, H_1,\ldots,H_n, D_1,\ldots,D_n, W)^T \]

olarak tanımlanır.

Yeni enfeksiyon matrisi \(F\) ve diğer enfekte-durum geçişlerini temsil eden \(V\) matrisi, enfekte alt sistemin hastalıksız denge \(E_0\) çevresinde doğrusallaştırılmasıyla oluşturulur. Temel üreme sayısı:

\[ R_0=\rho(FV^{-1}). \]

Spektral yarıçap, bir matrisin özdeğerlerinin mutlak değerleri içindeki en büyük değerdir. Yeni nesil matris \(FV^{-1}\), enfeksiyonun farklı enfekte bölmeler ve popülasyonlar arasında oluşturduğu gelecek nesil katkıları birlikte temsil eder. Kaynak \(F\) ve \(V\)'nin tam matris yapısını ana metinde vermemekte, ayrıntıyı Ek Materyal S2'ye bırakmaktadır. Bu nedenle burada kaynakta bulunmayan matris elemanları üretilmemiştir.

Yerel hastalıksız denge kararlılığı

Kaynağın sonucu:

• \(R_0<1\) ise \(E_0\) hastalıksız dengesi yerel asimptotik kararlıdır.
• \(R_0>1\) ise \(E_0\) kararsızdır.

Yerel kararlılık, hastalıksız dengeye yeterince yakın başlangıç durumlarının zamanla yeniden bu dengeye yaklaşması anlamına gelir. Ayrıntılı Jacobian ve yeni nesil matris ispatı Ek Materyal S3'tedir.

Küresel hastalıksız denge kararlılığı

Çalışma \(R_0<1\) durumunda bir karşılaştırma ilkesi kullanarak daha güçlü bir sonuç da verir. Kaynak, yeterince küçük \(\eta>0\) için:

\[ S_i(t)\leq S_i^0+\eta \]

ve enfeksiyon terimlerinin paydaları için uygun bir alt karşılaştırma koşulu kurar. Daha sonra:

\[ M_\eta=F_\eta-V \]

matrisinin spektral büyüme ölçütünün:

\[ s(M_\eta) = \max\{\operatorname{Re}(\lambda):\lambda\in\sigma(M_\eta)\} <0 \]

olmasıyla hastalıksız denge \(E_0\)'ın uygun bölge \(\Omega\) içinde küresel asimptotik kararlı olduğunu bildirir. Denklem (13)'ün ve karşılaştırma sisteminin ayrıntılı kurulumu ana PDF'de sınırlıdır; tam ispat Ek Materyal S4'e bırakılmıştır.

\(R_0>1\) olduğunda persistans ne demektir?

Persistans, enfeksiyonun yalnız kısa süreli olarak sıfırdan büyük olması değil, uzun zaman limitinde enfeksiyonla ilişkili değişkenlerin sıfıra yaklaşmamasıdır. Kaynak, bulaşma ağının indirgenemez olduğu ve gerekli uniform persistans koşullarının sağlandığı durumda pozitif bir \(\varepsilon\) için Denklem (14)'ü verir:

\[ \min_{1\leq i\leq n} \left\{ \liminf_{t\to\infty}E_i(t), \liminf_{t\to\infty}I_i(t), \liminf_{t\to\infty}H_i(t), \liminf_{t\to\infty}D_i(t) \right\} >\varepsilon, \]

\[ \liminf_{t\to\infty}W(t)>\varepsilon. \tag{14} \]

\(\liminf\), çok uzun zamanlarda bir değişkenin tekrar tekrar yaklaşabileceği alt sınır davranışını ifade eder. Burada koşul, enfeksiyonla ilişkili bölmelerin uzun dönemde sıfıra çökmediğini matematiksel olarak anlatır.

Kaynak bu koşullar altında uygun bölgenin iç kısmında en az bir pozitif endemik denge bulunduğunu belirtmektedir. Ayrıntılı ispat Ek Materyal S5'tedir.

Endemik dengenin koşullu tekliği ve küresel kararlılığı

Kaynak, \(R_0>1\) ve Denklem (14)'teki persistans şartları sağlandığında pozitif endemik dengenin belirli sıralı pozitif sınıf içinde koşullu olarak tek olabileceğini bildirir. Monoton sıralama argümanı Ek Materyal S6'ya bırakılmıştır.

Ardından toplam bulaşma bağlantısını:

\[ B= \left[ \beta_{ij} + \beta_{ij}^{H} + \beta_{ij}^{D} \right]_{1\leq i,j\leq n} \]

matrisiyle ifade eder. Bulaşma ağının indirgenemez olması, sistemin birbirinden tamamen kopuk alt bulaşma bloklarına ayrılmadığını ifade eden matematiksel bağlantılılık koşuludur.

Kaynak Denklem (15)'te pozitif endemik dengeyi:

\[ P^{*}= \left( S_1^{*},E_1^{*},I_1^{*},H_1^{*},R_1^{*},D_1^{*}, \ldots, S_n^{*},E_n^{*},I_n^{*},H_n^{*},R_n^{*},D_n^{*}, W^{*} \right) \in\operatorname{Int}(\Omega) \tag{15} \]

olarak verir. Endemik dengenin küresel kararlılığı için kullanılan ayrıntılı Lyapunov fonksiyonu ve türev analizi Ek Materyal S7'de bulunmaktadır. Ana PDF bu fonksiyonun açık ifadesini vermediği için burada yeniden türetilmemiştir.

Kaynak grafiklerinde gerçek 2018–2020 DRC salgını nasıl kullanılıyor?

Çalışma, 2018–2020 Kivu Ebola salgını sırasında Demokratik Kongo Cumhuriyeti Sağlık Bakanlığı ve Dünya Sağlık Örgütü tarafından yayımlanan kamuya açık gözetim kayıtlarını kullanmaktadır. Ancak bu verilerin görevi modele parametre uydurmak değildir.

Günlük gözlemler, kısa dönem raporlama dalgalanmalarını azaltmak amacıyla 7 günlük kayan toplamlar hâline dönüştürülmüştür. Kaynakta kullanılan grafiklerin bilimsel görevleri şöyledir:

14 günlük gecikmeli CFR neden kullanılmış?

Case-fatality ratio (CFR; vaka ölüm oranı), bildirilen vakalar ile bildirilen ölümler arasındaki ilişkiyi özetleyen epidemiyolojik bir göstergedir. Kaynak, aynı haftadaki vaka ve ölümü doğrudan birbirine bölmenin biyolojik zaman gecikmesini ihmal edebileceği gerekçesiyle vakalar ile daha sonra bildirilen ölümler arasında 14 günlük gecikme kullanmıştır.

Kaynak bu gecikmeli CFR'nin zaman içinde önemli dalgalanmalar gösterdiğini, yüksek bulaşma dönemlerinde daha yüksek, salgının sonlarına doğru görece daha düşük değerler görülebildiğini belirtmektedir. Yazarlar olası açıklamalar arasında sağlık hizmetine erişim, gözetimin gelişmesi, raporlama veya salgın kontrol önlemlerinin etkinliğindeki değişiklikleri tartışmaktadır. Bu açıklamalar grafikten tek başına kanıtlanmış nedensel mekanizmalar değildir.

Sağlık bölgeleri neden aynı anda tepe yapmıyor?

Kaynak Şekil 4 ve 5, DRC'deki farklı sağlık bölgelerinin haftalık vaka dalgalarının hem zaman hem büyüklük bakımından önemli ölçüde ayrıştığını göstermektedir. Yazarlar bu asenkron davranışın yerel bulaşma koşulları, nüfus hareketliliği, sağlık hizmetlerine erişim, müdahalelerin zamanlaması ve etkinliği gibi faktörlerle ilişkili olabileceğini tartışır.

Modelleme açısından kritik nokta, tek bir homojen nüfus eğrisinin bu farklı yerel zamanlamaları doğal olarak temsil etmekte sınırlı olabilmesidir. Bu gözlem çok-popülasyonlu model kurulmasının epidemiyolojik gerekçelerinden biridir.

Şekil 6'daki \(R_0=0.8\), 1.0, 1.2 ve 2.6 eğrileri ne anlama geliyor?

Çalışma farklı bulaşma eşiklerini karşılaştırmak için simülasyon trajektorilerini aynı tepe büyüklüğüne normalize etmiştir. Bunun amacı mutlak vaka sayılarını karşılaştırmak değil, \(R_0\) değişirken salgının zaman yapısının, sönme hızının ve kalıcılığının nasıl değiştiğini göstermektir.

• \(R_0=0.8\): subkritik örnek; salgın hızlı biçimde sönmektedir.
• \(R_0=1.0\): kritik eşiğe yakın örnek; düşüş daha yavaştır ve geçici davranış uzar.
• \(R_0=1.2\): süperkritik örnek; daha uzun süreli bulaşma/persistans davranışı ortaya çıkar.
• \(R_0=2.6\): daha yüksek süperkritik örnek; tepe zamanlaması ve eğrinin biçimi belirgin biçimde değişmektedir.

Bu eğrilerin gerçek 2018–2020 salgınına “en iyi uyan \(R_0\)” değerlerini belirlemek amacıyla üretilmediği özellikle önemlidir. Kaynak açık biçimde karşılaştırmanın formal fitting veya predictive validation olmadığını belirtmektedir.

Şekil 8'de çevresel viral yük neden belirgin görünüyor?

Kaynak Şekil 8, süperkritik bir senaryoda \(I\), \(H\), \(D\) ve \(W\) bölmelerinin teorik zaman gelişimini gösterir. \(W\), enfeksiyöz kişiler, hastanedeki kişiler ve bulaştırıcı cenazelerden gelen üç ayrı saçılım teriminin toplamını aldığı için model içinde bütün bu kanalları biriktiren ortak bir çevresel durum değişkenidir.

Ancak Şekil 8'in düşey ekseni keyfî/normalize büyüklük olarak verilmiştir. Dolayısıyla çevresel eğrinin diğer eğrilerden görsel olarak daha büyük olması gerçek çevrede ölçülmüş belirli bir virüs konsantrasyonuna karşılık gelmez ve klinik bir viral yük ölçümü olarak yorumlanmamalıdır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Araştırma tasarımı

Bu çalışma özgün bir matematiksel epidemiyoloji ve sayısal modelleme çalışmasıdır. Yeni hastalar üzerinde klinik müdahale yapılmamış, biyolojik numune toplanmamış ve deneysel laboratuvar enfeksiyonu yürütülmemiştir.

Araştırma üç ana katmandan oluşmaktadır:

1. Çok popülasyonlu ve çevresel rezervuarlı EVD diferansiyel denklem sisteminin kurulması.
2. Pozitiflik, sınırlılık, hastalıksız/endemik denge, \(R_0\), yerel ve küresel kararlılık ve uniform persistans gibi matematiksel özelliklerin analizi.
3. 2018–2020 DRC salgını gözetim verileriyle yalnız nitel karşılaştırma yapılan sayısal simülasyonlar.

Model varsayımları

• Toplam \(n\) adet etkileşen popülasyon vardır.
• Her popülasyon \(S,E,I,H,R,D\) bölmelerine ayrılır.
• Bütün popülasyonlar ortak çevresel viral rezervuar \(W\)'yi etkileyebilir.
• Doğrudan, hastane ilişkili, cenaze ilişkili ve çevresel bulaşma yolları birlikte kullanılır.
• Bütün epidemiyolojik parametreler pozitif sabitlerdir.
• Parametreler zamanın açık fonksiyonu değildir.
• Model deterministiktir; rastlantısal olay terimleri içermez.
• Model zamanı gün cinsinden ölçülür.
• Durum değişkenleri başlangıçta negatif değildir.
• \(D_i\), yaşayan toplam nüfus \(N_i\)'ye dahil değildir.
• Çevresel rezervuar tek bir ortak \(W\) bölmesiyle temsil edilir.

Sayısal çözüm yöntemi

Genel \(n\)-popülasyon modeli, gruplar arası dinamiklerin görselleştirilmesi için sayısal örneklerde \(n=2\)'ye indirgenmiştir. Buna rağmen denklemlerin bağlantılı çok-popülasyon mantığı korunmuştur.

Model Gerçek Ebola Vakalarını Tahmin Etmek İçin Kalibre Edilmiş midir?

Hayır. Çalışma 2018–2020 Demokratik Kongo Cumhuriyeti salgın verilerini resmi parametre kestirimi, goodness-of-fit optimizasyonu veya geleceğe yönelik tahmin doğrulaması için kullanmamıştır; gözetim verileri modelin salgın büyümesi, tepe zamanlaması, düşüş, bölgesel heterojenlik ve eşik davranışı gibi nitel özellikleriyle karşılaştırılmıştır.

Kaynak, gözlenen haftalık insidansı \(C_{\mathrm{obs}}(t_k)\), simüle edilmiş haftalık insidansı ise \(C_{\mathrm{sim}}(t_k)\) olarak adlandırmaktadır. Simüle edilmiş insidans, etkileşen popülasyonlardaki enfeksiyöz bölmelerin toplamıyla ilişkilendirilmiştir.

Mean absolute error (MAE; ortalama mutlak hata) ve root mean square error (RMSE; kök ortalama kare hata) gibi tanımlayıcı hata ölçülerinin yalnız gözlenen ve simüle edilen salgın örüntüleri arasındaki benzerliği betimlemek amacıyla kullanıldığı belirtilmektedir. Bu metrikler parametre tahmini, kalibrasyon veya prediktif doğrulama için kullanılmamıştır.

2018–2020 DRC verisinin işlenmesi

Gözetim verileri WHO durum raporları ve DRC Sağlık Bakanlığı güncellemelerinden yeniden oluşturulmuştur. Günlük kayıtlar, kısa dönem raporlama değişkenliğini azaltmak için 7 günlük kayan toplamlarla haftalık insidansa dönüştürülmüştür.

Kaynak verilerde:

• 2018'in son aylarında yükseliş,
• 2019 ortalarına kadar güçlü salgın aktivitesi,
• daha sonra kademeli azalma,
• farklı sağlık bölgelerinde eşzamanlı olmayan tepe zamanları

görülmektedir. Yazarlar bu heterojenliği çok-popülasyonlu model kurulmasının epidemiyolojik gerekçesi olarak değerlendirmektedir.

Analitik sonuç: hastalıksız denge

Çalışmanın analitik çerçevesinde \(R_0<1\) temel eşiktir. Hastalıksız denge bu durumda yerel olarak asimptotik kararlıdır. Karşılaştırma ilkesi altında verilen ek koşullarla çalışma, \(E_0\)'ın \(\Omega\) içinde küresel asimptotik kararlılığını da elde etmektedir.

Bu sonuç, modelin matematiksel varsayımları altında enfeksiyon dinamiğinin uzun dönemde hastalıksız duruma yaklaşabildiğini ifade eder. Gerçek salgında bütün müdahalelerin başarısını tek başına garanti eden klinik eşik olarak yorumlanamaz.

Analitik sonuç: süperkritik rejim ve persistans

\(R_0>1\) olduğunda hastalıksız denge kararsızdır. Ayrıca bulaşma ağı indirgenemez ve uniform persistans için gerekli şartlar sağlanırsa enfeksiyonla ilişkili bölmeler uzun dönemde pozitif kalabilir.

Çalışma bu şartlar altında:

• en az bir pozitif endemik dengenin varlığını,
• belirli sıralı pozitif sınıf altında endemik dengenin koşullu tekliğini,
• ek Lyapunov koşulları altında endemik denge için küresel kararlılık sonucunu

tartışmaktadır. Tam ispatların önemli bölümleri sırasıyla Ek Materyal S5, S6 ve S7'ye bırakılmıştır.

Sayısal sonuç: eşik yakınındaki yavaş sönüm

Simülasyonlar \(R_0\) kritik değer olan 1'e yaklaştığında salgın trajektorisinin subkritik fakat daha küçük \(R_0\) değerlerine göre daha yavaş sönümlenebildiğini göstermektedir. Bu nedenle yalnız “sonunda sıfıra gidiyor mu?” sorusu değil, ne kadar uzun bir geçici dönem oluşturduğu da epidemiyolojik açıdan önemlidir.

Süperkritik rejimlerde ise model tepe zamanının gecikebildiği ve salgın etkinliğinin daha uzun sürebildiği trajektoriler üretmektedir.

Sayısal sonuç: çevresel rezervuarın persistans rolü

\(W\) bölmesi, \(I\), \(H\) ve \(D\) kaynaklarından sürekli girdi alabildiği için doğrudan topluluk insidansı azalmaya başladıktan sonra bile model içinde gecikmeli bir çevresel katkı oluşturabilir. Çalışmanın tartışmasına göre bu yapı, çevresel sanitasyonun ve yalnız kişi-kişiye bulaşmayı değil çevresel kontaminasyonu da hedefleyen bütünleşik kontrol stratejilerinin neden matematiksel olarak önemli olabileceğini göstermektedir.

Bu sonuç, çalışmanın gerçek bir sanitasyon müdahalesinin etkinliğini saha deneyiyle ölçtüğü anlamına gelmez. Çıkarım modelin yapısından ve teorik simülasyon davranışından gelmektedir.

Çapraz popülasyon bağlantısının önemi

Modelde \(\beta_{ij}\), \(\beta_{ij}^H\) ve \(\beta_{ij}^D\) katsayıları \(i\neq j\) olduğunda popülasyonlar arası bulaşmayı temsil eder. Böylece bir gruptaki yüksek bulaşma yalnız o grubun kendi dinamikleriyle sınırlı kalmaz; bağlantı matrisi üzerinden başka grupları da etkileyebilir.

Yazarlar özellikle yüksek bağlantılı veya yüksek riskli popülasyonların, toplam sistemin spektral özellikleri üzerinden salgının persistansı ve bulaşma yoğunluğu üzerinde orantısız etki gösterebileceğini tartışmaktadır.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Birden fazla etkileşen popülasyon, hastane bulaşması, enfeksiyöz cenazeler ve çevresel viral rezervuar tek bir deterministik EVD modeli içinde temsil edilebilir.
• Model negatif olmayan başlangıç koşulları altında pozitif çözümler üretir.
• Yaşayan popülasyonlar ve çevresel viral yük matematiksel olarak sınırlandırılabilir.
• \(R_0=\rho(FV^{-1})\), sistemin temel eşik parametresidir.
• \(R_0<1\) rejiminde hastalıksız denge kararlıdır.
• Uygun bağlantılılık ve persistans şartları altında \(R_0>1\) rejimi kalıcı enfeksiyon ve pozitif endemik dengeyle uyumludur.
• DRC sağlık bölgelerindeki salgın tepe zamanları ve yoğunlukları belirgin biçimde heterojendir.
• Bu heterojenlik, homojen tek-popülasyon varsayımına alternatif çok-popülasyonlu yapı için epidemiyolojik gerekçe sağlar.
• Çevresel rezervuar modeli doğrudan, hastane ve cenaze ilişkili bulaşmadan farklı olarak gecikmeli/dolaylı persistans kanalını temsil edebilir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Model 2018–2020 DRC salgınına istatistiksel olarak kalibre edilmiş bir tahmin modeli değildir.
• Şekillerdeki simülasyon eğrileri gerçek vaka sayılarının nicel tahmini olarak yorumlanmamalıdır.
• Kaynak belirli bir müdahalenin kaç vaka veya ölümü önleyeceğine ilişkin etki büyüklüğü hesaplamamaktadır.
• Safe burial, hastane enfeksiyon kontrolü, karantina veya çevresel sanitasyon için optimal kontrol çözümü bu çalışmada hesaplanmamaktadır.
• Model parametreleri zaman içinde değişmediğinden davranış değişikliği, müdahale zamanlaması veya sağlık sistemi tepkisinin dinamik değişimi doğrudan modellenmemektedir.
• Tek bir \(W\) rezervuarı kullanıldığından hastane, ev, cenaze alanı veya başka çevresel ortamlar ayrı rezervuarlar olarak modellenmemektedir.
• Stokastik salgın sönümü veya rastgele bireysel olaylar doğrudan modellenmemektedir.
• Göç ve nüfus yer değiştirmesi mevcut deterministik sistemde açık durum süreçleri olarak yer almamaktadır.
• Model başka ülkelerde veya gelecekteki salgınlarda aynı parametrelerle doğrulanmış değildir.

Çalışmanın temel sınırlılıkları

1. Zamanla sabit parametreler: Gerçek salgında davranışlar, müdahaleler, sağlık sistemi tepkisi ve raporlama değişirken model bunları zamanla sabit parametrelerle temsil eder.

2. Tek çevresel rezervuar: Hastane ortamı, konut, cenaze alanı veya başka kontaminasyon ortamlarının birbirinden farklı dinamikleri ayrı ayrı tanımlanmamaktadır.

3. Çok sayıda parametre: Popülasyon sayısı büyüdükçe \(\beta_{ij}\), \(\beta_{ij}^{H}\) ve \(\beta_{ij}^{D}\) gibi çapraz bağlantı parametrelerinin sayısı hızla artar. Sınırlı veya gürültülü gözetim verisi altında bunların tanımlanması zorlaşabilir.

4. Deterministik yapı: Demografik stokastisite, rastgele salgın sönümü ve küçük vaka sayılarındaki rastlantısal olaylar sistemde doğrudan yoktur.

5. Göç ve yer değiştirme: Çatışma ve kaynak kısıtlı bölgelerde önemli olabilecek nüfus hareketleri doğrudan modellenmemektedir.

6. Tahmin amacı sınırlı: Mevcut çalışma öncelikle Ebola bulaşmasının çok modlu yapısını teorik ve nitel biçimde anlamaya yöneliktir; gelecekteki vaka sayılarını istatistiksel olarak tahmin eden bir forecasting modeli olarak sunulmamaktadır.

Gelecekte önerilen genişletmeler

Yazarlar mevcut çerçevenin ileride şu yönlerde genişletilebileceğini belirtmektedir:

• zamanla değişen epidemiyolojik parametreler,
• güvenli defin uygulamaları için açık kontrol fonksiyonları,
• hastane enfeksiyon önleme kontrolleri,
• karantina stratejileri,
• çevresel sanitasyon kontrolleri,
• optimal kontrol ve maliyet-etkinlik analizleri,
• hareketlilik verisine dayalı bağlantı ağları,
• bölgeler arası etkileşim matrisleri,
• istatistiksel parametre ve belirsizlik kestirimi,
• stokastik model genellemeleri,
• mekânsal olarak açık modeller.

Bunlar mevcut makalede tamamlanmış analizler değil, gelecekte araştırılması önerilen genişletmelerdir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: A generalized multi-population model for Ebola virus transmission incorporating environmental reservoir dynamics

Yazarlar: Muhammad Farhan Hakeem; Shajar Abbas; Imran Siddique; Ilyas Khan; Mohsen Bakouri; Rashid Jan; Rakhmonjon Akhmadjonov; Rasul Turaev.

Corresponding authors: Shajar Abbas ve Mohsen Bakouri.

Eş katkı: İncelenen kaynakta eş katkı/eş birinci yazar bildirimi bulunmamaktadır.

Kurum a: School of Computer Science and Technology, North University of China, Taiyuan, China.

Kurum b: Department of Computer Engineering, Biruni University, Istanbul, Turkey.

Kurum c: Department of Mathematics, University of Sargodha, Sargodha, Pakistan.

Kurum d: Center for Theoretical Physics, Khazar University, Baku, Azerbaijan.

Kurum e: Department of Mathematical Sciences, Saveetha School of Engineering, Saveetha Institute of Medical and Technical Sciences, Chennai, India.

Kurum f: Hourani Center for Applied Scientific Research, Al-Ahliyya Amman University, Amman, Jordan.

Kurum g: Széchenyi István University, Győr, Hungary.

Kurum h: Department of Mathematics, College of Science Al-Zulfi, Majmaah University, Al-Majmaah, Saudi Arabia.

Kurum i: Department of Medical Equipment Technology, College of Applied Medical Science, Majmaah University, Al-Majmaah, Saudi Arabia.

Kurum j: Department of Mathematics, College of Science, Qassim University, Buraydah, Saudi Arabia.

Kurum k: School of Exact Sciences, National Pedagogical University of Uzbekistan named after Nizami, Tashkent, Uzbekistan.

Kurum l: Department of Exact and Natural Sciences, Termez State University of Engineering and Agrotechnologies, Termez, Uzbekistan.

Dergi: Infectious Medicine.

Cilt / sayı / makale numarası: Cilt 5, Sayı 3, 100278.

Kaynak türü: Original Article; matematiksel epidemiyoloji, deterministik diferansiyel denklem modellemesi ve nitel sayısal doğrulama çalışması.

DOI: 10.1016/j.imj.2026.100278.

Alınma tarihi: 26 Mart 2026.

Revizyon tarihi: 20 Mayıs 2026.

Kabul tarihi: 1 Temmuz 2026.

Çevrimiçi yayın tarihi: Resmî ScienceDirect kaydı 5 Ağustos 2026 tarihini vermektedir.

Basılı/issue bibliyografisi: PubMed kaydı Eylül 2026, Cilt 5, Sayı 3 ve makale 100278 bilgisini vermektedir.

Yayınevi: Elsevier Ltd, Tsinghua University Press adına.

Lisans: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).

Hakemlik/yayın durumu: Kaynak kabul tarihini bildiren ve Infectious Medicine'de Original Article olarak yayımlanmış dergi makalesidir.

Preprint bilgisi: İncelenen kaynakta bu çalışma için ayrı bir preprint kaydı belirtilmemektedir.

Bilimsel alan: Matematiksel epidemiyoloji, bulaşıcı hastalık dinamikleri ve diferansiyel denklem tabanlı modelleme.

Temel yöntem: \(n\) etkileşen popülasyon için \(S_i\), \(E_i\), \(I_i\), \(H_i\), \(R_i\), \(D_i\) bölmeleri ile ortak \(W\) çevresel viral rezervuarını kullanan otonom ODE sistemi; pozitiflik ve sınırlılık analizi; yeni nesil matris yöntemiyle \(R_0\); denge ve kararlılık analizi; persistans ve Lyapunov tabanlı teorik sonuçlar; Python/SciPy sayısal simülasyonları.

Gerçek epidemiyolojik veri: 2018–2020 Demokratik Kongo Cumhuriyeti Kivu Ebola salgını için WHO ve DRC Sağlık Bakanlığı tarafından yayımlanan kamuya açık gözetim verileri.

Verinin kullanım amacı: Nitel epidemiyolojik karşılaştırma ve görselleştirme. Formal istatistiksel parametre tahmini, model fitting veya prediktif doğrulama yapılmamıştır.

Sayısal çözücü: Python, SciPy solve_ivp, adaptif zaman adımlama; bağıl tolerans \(10^{-6}\), mutlak tolerans \(10^{-8}\).

Ek materyal: Pozitiflik/sınırlılık ve değişmez bölge için S1; yeni nesil \(F,V\) matrislerinin ayrıntısı için S2; DFE yerel kararlılığı için S3; DFE küresel kararlılığı için S4; uniform persistans için S5; endemik denge tekliği için S6; Lyapunov tabanlı endemik denge küresel kararlılığı için S7 kaynak tarafından ek materyale bırakılmıştır. Bu ek ispat içerikleri yüklenen ana PDF'de bulunmadığından Verianla metninde yeniden uydurulmamıştır.

Veri erişilebilirliği: Kaynak, verinin corresponding author'dan makul talep üzerine alınabileceğini belirtmektedir. Ayrıca işlenmiş epidemiyolojik veri ve Python simülasyon kodlarının corresponding author'dan makul talep üzerine sağlanabileceği ana metinde ifade edilmektedir.

CRediT yazar katkıları: Muhammad Farhan Hakeem — Investigation; Shajar Abbas — Supervision; Imran Siddique — Methodology; Ilyas Khan — Data curation; Mohsen Bakouri — Software; Rashid Jan — Formal analysis; Rakhmonjon Akhmadjonov — Validation; Rasul Turaev — Writing – original draft.

Bilgilendirilmiş onam: Kaynak “Nothing to report” bildirmektedir.

Organ donation: Not applicable.

Etik bildirim: Kaynak “Nothing to report” bildirmektedir.

Hayvan çalışması: Not applicable.

Generative AI: None.

Finansman: None.

Çıkar çatışması: Yazarlar çalışmayı etkileyebilecek bilinen rekabet eden mali çıkar veya kişisel ilişki bulunmadığını beyan etmektedir.

Acknowledgements: Not applicable.

Önemli terminoloji notu: Kaynak Tablo 1'de \(\kappa_i\), \(\gamma_i\) ve \(\gamma_i^H\) açıklamalarında “proportion/percentage” benzeri ifadeler kullanılmıştır; fakat parametrelerin birimi zaman\(^{-1}\) ve diferansiyel denklemlerdeki matematiksel rolleri geçiş/iyileşme hızıdır. Türkçe anlatımda bu matematiksel rol esas alınmış, kaynakta bildirilmeyen yeni değer oluşturulmamıştır.

Temel yorum sınırı: Bu çalışma mevcut bir Ebola salgınının birebir dijital kopyası veya klinik tahmin aracı değildir. Sabit parametreli, deterministik ve teorik bir çok-popülasyon modelidir. Gerçek salgın verisi modeli kalibre etmek yerine nitel karşılaştırma amacıyla kullanılmıştır. Dolayısıyla simüle edilen eğrilerin gerçek gelecekteki vaka, ölüm veya çevresel virüs miktarlarını doğrudan tahmin ettiği söylenemez.