Ин таҳқиқот як пажӯҳиши назариявии риёзӣ мебошад, ки барои муодилаҳои матритсавии дискретии хаттии тартиби якум бо таъхирҳои сершумор, ки ҳолати ҷории матритсавии система аз қиматҳои он дар якчанд қадамҳои қаблии вақт вобаста аст, назарияи ҳалли шакли пӯшида ва устувориро таҳия мекунад. Навгонии асосии таҳқиқот бартараф кардани шарти коммутативӣ будани матритсаҳо мебошад, ки бисёр ҳалҳои қаблӣ онро талаб мекарданд. Ба ибораи дигар, таҳқиқот бо матритсаҳое кор мекунад, ки дар ҳолати умумӣ метавонанд \(AB\neq BA\) бошанд; ҳалли масъала бо истифода аз густаришҳои умумисозишудаи мултиномӣ ва функсияҳои экспоненсиалии матритсавии дискретии дорои таъхирҳои сершумор, бе аз даст додани тартиби зарбкунии матритсаҳо, сохта мешавад.

Системаи асосии баррасишаванда фарқи пеши номаълуми матритсаарзиши \(n\times n\), яъне \(Y(k)\)-ро тавассути зарб намудани қиматҳои \(Y(k-\varrho_i)\) дар таъхирҳои гуногун аз чап бо матритсаҳои \(V_i\), аз рост бо матритсаҳои \(W_i\) ва инчунин тавассути ҳади ғайриякҷинсаи \(\Pi(k)\) муайян мекунад. Таҳқиқот нахуст механизми умумисозишудаи мултиномиро, ки ба ин сохтори ғайрикоммутативӣ мувофиқ аст, месозад; сипас дар асоси он функсияи экспоненсиалии матритсавии дискретии дорои таъхирҳои сершуморро таъриф мекунад ва бо истифода аз ин воситаи ҳалли фундаменталӣ ҳалли ошкори масъалаи умумии қиматҳои ибтидоиро ба даст меорад.

Натиҷаи асосии дуюм устувории Hyers–Ulam мебошад. Ин мафҳуми устуворӣ маънои онро дорад, ки фарқи байни ҳалли тақрибии \(\varepsilon\), ки муодиларо бо хатои хурди \(\chi(k)\) қонеъ мекунад, ва ҳалли дақиқи \(Y(k)\) метавонад дар шакли \(\lambda\varepsilon\) идора карда шавад. Таҳқиқот барои ҳар фосилаи ниҳоии вақти дискретӣ чунин ҳадро ба даст меорад; барои уфуқи вақти беохир бошад, нишон медиҳад, ки шарти иловагии контрактӣ барои фурӯнишонии ҳалли фундаменталӣ зарур аст.

Дар мисоли ададӣ системае бо ду таъхир, матритсаҳои \(2\times2\) ва коэффисиентҳои ғайрикоммутативӣ баррасӣ шудааст. Барои \(k=0,1,2,3,4\) ҳалҳои дақиқ ва пертурбатсияшуда ҳисоб шуда, нишон дода шудааст, ки каҷҳои чор ҷузъи матритса ба ҳам наздик мемонанд. Дар мисол \(\varepsilon=2/3\) интихоб шуда, доимии дар ҳади болоии назариявии устуворӣ истифодашуда тақрибан \(\lambda=1470.7\) ба даст омадааст.

Муҳимтарин маҳдудияти тафсир: Ин таҳқиқот озмоиши саҳроии ягон дастгоҳи мушаххаси физикӣ ё муваффақияти идоракунии вақти воқеиро тасдиқ намекунад. Натиҷаҳо ба теоремаҳои математикӣ ва як мисоли ададӣ, ки онҳоро нишон медиҳад, асос ёфтаанд. Устувории Hyers–Ulam низ маънои онро надорад, ки система аз рӯи ҳамаи намудҳои классикии устуворӣ устувор аст; ин мафҳуми махсуси устуворист, ки нишон медиҳад пертурбатсияҳои хурди муодила нисбат ба ҳалли дақиқ инҳирофи маҳдуди ҳалли масъала ба вуҷуд меоранд.

Чаро масъалаи таҳқиқот ба миён меояд?

Дар системаҳои вақти дискретӣ ба тағйирёбанда на танҳо ҳолати ҷорӣ, балки қадамҳои гузаштаи вақт низ таъсир карда метавонанд. Дар системаҳои идоракунӣ, коркарди сигнал, системаҳои динамикии ба шабака пайваст ва сохторҳои бозхӯрди таъхирдор истифодаи як ё якчанд ҳолати гузашта барои муайян кардани ҳолати навбатӣ табиӣ аст.

Дар муодилаи скалярӣ тартиби зарб мушкил эҷод намекунад. Аммо вақте система бо матритсаҳо ифода мешавад, душвории муҳими математикӣ ба миён меояд. Умуман барои ду матритса

\[ AB \neq BA \]

метавонад иҷро шавад. Ин ҳолат усулҳои иваз кардани ҷойи ҳадҳоро, ки дар густаришҳои оддии биномӣ ё мултиномӣ истифода мешаванд, беэътибор мегардонад.

Чаро ғайрикоммутативӣ будани матритсаҳо дар ин таҳқиқот масъалаи марказист?

Агар матритсаҳо коммутативӣ набошанд, тартиби зарб натиҷаи математикиро тағйир медиҳад; бинобар ин ҳадҳое чун \(V_iY\), \(YW_i\), \(V_iYW_j\) ва \(W_jV_iY\)-ро ба таври дилхоҳ аз нав тартиб додан мумкин нест ва истифодаи мустақими густаришҳои классикии мултиномӣ имконнопазир мегардад.

Қисми муҳими таҳқиқоти қаблӣ барои рафъи ин душворӣ фарз мекарданд, ки матритсаҳои коэффисиентӣ ҷуфт-ҷуфт коммутативӣ мебошанд. Таҳқиқоти манбаъ назарияи ҳалро тавре аз нав месозад, ки ин фарз бартараф шавад.

Масъалаи ибтидоии яктаъхираи Diblík — Муодилаи (1)

Яке аз нуқтаҳои ибтидоии адабиётии таҳқиқот муодилаи зерини матритсавии яктаъхир мебошад:

\[ \Delta Y(k) = AY(k-\tau) + Y(k-\tau)B + \Lambda(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Psi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\tau}^{0}. \]

1. Формула чиро ҳисоб мекунад? Он муайян мекунад, ки тағйироти матритса дар қадами навбатии вақти дискретӣ чӣ гуна ба ҳолати матритсаи \(\tau\) қадам пештар ва ба ҳади беруна/ғайриякҷинсаи \(\Lambda(k)\) вобаста аст.

2. Тағйирёбандаҳо кадомҳоянд? \(Y(k)\) функсияи номаълуми матритсаарзиши \(n\times n\) аст. \(A\) ва \(B\) матритсаҳои коэффисиентии доимии \(n\times n\) мебошанд. \(\tau>0\) таъхир аст. \(\Lambda(k)\) ҳади маълум ва ғайриякҷинса аст. \(\Psi(k)\) таърихи ибтидоиро, ки барои оғоз кардани системаи таъхирдор зарур аст, медиҳад.

3. Воҳидҳо кадомҳоянд? Манбаъ ягон татбиқи физикӣ ё воҳидро муайян намекунад. Аз нигоҳи андозаи математикӣ \(Y,A,B,\Lambda,\Psi\) сохторҳои мувофиқи матритсавии \(n\times n\) мебошанд; \(k\) ва \(\tau\) индексҳои бутуни вақти дискретӣ мебошанд.

4. Нақши математикӣ чист? Азбаски муодила ҳамзамон зарб аз чап бо \(A\) ва аз рост бо \(B\)-ро дар бар мегирад, он нисбат ба муодилаҳои оддии фарқии векторӣ сохтори бойтар ба вуҷуд меорад.

5. Маънои илмӣ чист? Ҳолати гузашта ба система тавассути ду амалиёти гуногуни хаттии матритсавӣ таъсир мерасонад.

6. Дар кадом шартҳо дуруст аст? \(A\) ва \(B\) доимӣ мебошанд; таъхири \(\tau\) мусбат аст ва таърихи ибтидоӣ дар вақтҳои дискретии байни \(-\tau\) ва 0 дода шудааст.

7. Чӣ гуна бояд тафсир шавад? Ин муодила модели бевоситаи ниҳоии таҳқиқоти ҷорӣ нест, балки заминаи адабиётии яктаъхир аст. Таҳқиқоти нав онро ба якчанд таъхир ва матритсаҳои ғайрикоммутативӣ васеъ мекунад.

Системаи асосии бисёртаъхираи таҳқиқот — Муодилаи (2)

\[ \Delta Y(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_iY(k-\varrho_i) + Y(k-\varrho_i)W_i \right] + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\varrho}^{0}, \]

\[ \varrho = \max\{\varrho_1,\ldots,\varrho_d\}. \]

1. Формула чиро ҳисоб мекунад? Он саҳми умумии якчанд канали таъхирро ба фарқи пеши ҳамон системаи матритсавӣ муайян мекунад.

2. Тағйирёбандаҳо кадомҳоянд? \(d\) шумораи каналҳои таъхир аст. \(\varrho_i\in\mathbb N\) таъхири ҳар канал аст. \(V_i\) ва \(W_i\) матритсаҳои воқеии доимии \(n\times n\) мебошанд. \(\Pi(k)\) функсияи матритсавии маълум ва ғайриякҷинса мебошад. \(\Phi(k)\) таърихи ибтидоӣ аст.

3. Воҳидҳо кадомҳоянд? Манбаъ воҳиди физикиро муайян намекунад. Ҳамаи ҳадҳои ҷамъшавии матритсавӣ бояд сохтори якхелаи математикии \(n\times n\) дошта бошанд.

4. Нақши математикӣ чист? Ҳар таъхири \(\varrho_i\) аз нуқтаи дигари вақти гузашта иттилоъ меорад. Ба ҳамон матритсаи гузашта аз чап \(V_i\) ва аз рост \(W_i\) алоҳида таъсир мекунанд.

5. Маънои математикӣ чист? Тартиби зарб бояд нигоҳ дошта шавад. Масалан, \(V_iY(k-\varrho_i)\) ва \(Y(k-\varrho_i)V_i\) як ҳад нестанд.

6. Фарз чист? Навгонии муҳими таҳқиқоти манбаъ дар он аст, ки байни \(V_i\), \(W_i\), \(\Phi\) ва \(\Pi\) шарти умумии коммутативӣ гузошта намешавад.

7. Натиҷа чӣ гуна бояд тафсир шавад? Ҳамаи таърифҳо, леммаҳо ва теоремаҳои мақола асосан барои ба таври ошкор ҳал кардани ин система ва маҳдуд намудани устувории он нисбат ба пертурбатсияҳо сохта шудаанд.

Оператори фарқи пеш

\[ \Delta Y(k)=Y(k+1)-Y(k). \]

Ин оператор ҳамтои дискретии ҳосила дар вақти пайваста аст. Он тағйироти \(Y(k)\)-ро дар қадами навбатӣ чен мекунад. Ба ҷойи ҳосила фарқи байни ду ҳолати пайдарпайи дискретӣ гирифта мешавад.

Нормаи матритсавии истифодашуда

Таҳқиқоти манбаъ нормаи зерини максималии суммаи сатрҳоро истифода мебарад:

\[ \|A\| = \max_{1\le i\le n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|. \]

Ин норма суммаи қиматҳои мутлақи унсурҳои ҳар сатрро ҳисоб карда, калонтарин суммаи сатрро интихоб мекунад. Дар исботи устуворӣ он барои назорат кардани бузургии матритсаҳо бо як адади мусбат хизмат мекунад.

Коэффисиенти мултиномӣ

\[ \binom{\Xi} {\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N} = \frac{\Xi!} {\displaystyle\prod_{h=1}^{N}\Xi_h!}, \qquad \Xi=\sum_{h=1}^{N}\Xi_h. \]

Ин коэффисиент ҳисоб мекунад, ки маҷмӯи \(\Xi\) интихобро ба гурӯҳҳои андозаҳои \(\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N\) бо чанд роҳи гуногун ҷудо кардан мумкин аст. Дар таҳқиқоти манбаъ барои тартиб додани комбинатсияҳои таъхир ва бисёрииндексҳо истифода мешавад.

Леммаи 1: айниятҳои фарқӣ барои суммаҳои дискретӣ

Манбаъ робитаҳои ҷамъкунии дискретӣ ва гирифтани фарқро барои истифода дар исботҳо медиҳад. Оператори асосӣ:

\[ \nabla_tu(t,s) = u(t+1,s)-u(t,s). \]

Ҳамчунин робитаи монанд ба ҷамъбасти қисм-қисми дискретӣ:

\[ \sum_{s=m}^{p}u(s)\nabla v(s) = u(p)v(p+1) - u(m)v(m) - \sum_{s=m+1}^{p} \nabla u(s-1)v(s) \]

ва барои фарқи суммае, ки ҳади болояш ба \(t\) вобаста аст:

\[ \nabla_t \left[ \sum_{s=1}^{t}u(t,s) \right] = u(t+1,t+1) + \sum_{s=1}^{t}\nabla_tu(t,s) \]

истифода мешаванд. Ин робитаҳо махсусан дар Теоремаи 1 ҳангоми гирифтани фарқи пеши формулаи ҳал пайдо шудани дурусти ҳадҳои сарҳадиро таъмин мекунанд.

Матритсаи муайянкунандаи \(Q\) — Таърифи 1

Манбаъ барои аз даст надодани тартиби зарбҳои матритсаҳои ғайрикоммутативӣ оилаи ёрирасони матритсаҳои \(Q_G^{V,W}(k;\mathbf i)\)-ро таъриф мекунад:

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i) = \sum_{h=1}^{d} \left[ V_h Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h) + Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h)W_h \right]. \]

Шартҳои ибтидоӣ:

\[ Q_G^{V,W}(0;\mathbf i)=\Theta, \qquad Q_G^{V,W}(1;\mathbf 0)=G, \]

ва вақте яке аз бисёрииндексҳо манфӣ бошад, қимати мувофиқи \(Q\) ҳамчун матритсаи сифрии \(\Theta\) гирифта мешавад.

Чаро ин сохтор зарур аст? Дар густариши классикии мултиномӣ бо иваз кардани тартиби ҳадҳо метавон ҳадҳои монандро якҷо кард. Дар матритсаи ғайрикоммутативӣ ин амал бехатар нест. Рекурсияи \(Q\) тартиби пайдо шудани зарбҳои \(V_h\) аз чап ва \(W_h\) аз ростро дар дохили сохтор нигоҳ медорад.

Леммаи 2: сифр кардани бисёрииндексҳои номумкин

Агар

\[ i_1+i_2+\cdots+i_d\ge k+1, \]

бошад

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i)=\Theta. \]

Ин натиҷа барои ҳисоб муҳим аст, зеро қисми калони фазои бисёрииндексӣ, ки беохир менамояд, ба таври худкор саҳми сифр медиҳад. Манбаъ инро бо индуксияи математикӣ аз рӯи \(k\) исбот мекунад.

Сохтори умумисозишудаи мултиномӣ барои матритсаҳои ғайрикоммутативӣ

Манбаъ ба ҷойи дараҷаи оддии мултиномӣ сохтори зерини умумисозишударо истифода мебарад, ки тартиби зарбро нигоҳ медорад:

\[ \left( \sum_{\ell=1}^{d}(V_\ell+W_\ell) \right)_{G}^{n} = \sum_{\substack{\beta\in\mathbb N_0^d\\ n\ge\tau}} Q_G^{V,W}(n+1;\beta), \]

\[ \tau = \sum_{i=1}^{d}\beta_i. \]

Манбаъ ҳамин сохторро инчунин тавассути коэффисиентҳои мултиномӣ мекушояд. Индекси поёнии \(G\) хотиррасон мекунад, ки ин ифода набояд ҳамчун дараҷаи оддии матритсаи коммутативӣ хонда шавад.

Дар ҳолати яктаъхираи \(d=1\) сохтор ба шакли биномии умумисозишуда кам мешавад. Вақте матритсаҳо ҷуфт-ҷуфт коммутативӣ мебошанд, сохтори умумисозишуда бо густариши классикии мултиномӣ мувофиқ мегардад. Ҳамин тавр, таърифи нав бо назарияи кӯҳна зид нест, балки онро ҳамчун ҳолати махсус дар бар мегирад.

Чаро функсияи экспоненсиалии матритсавии дискретии дорои таъхирҳои сершумор зарур аст?

Функсияи экспоненсиалии матритсавии дискретии дорои таъхирҳои сершумор ҳамчун ҳамтои дискретӣ ва таъхирдори экспонентаи фундаменталии матритсавӣ дар системаҳои пайваста амал мекунад; таъсири вақтҳои гузашта, комбинатсияҳои гуногуни таъхир ва зарбҳои матритсавии ғайрикоммутативиро дар як объекти ҳалли фундаменталӣ муттаҳид мекунад.

Муодилаи (3): функсияи экспоненсиалии матритсавии дискретии дорои таъхирҳои сершумор

\[ \mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k }} \binom{ k-\sum_{\ell=1}^{d}\varrho_\ell\rho_\ell }{ \rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_d,\; k-\sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell } Q_G^{V,W}(\vartheta+1;\rho), \]

\[ \vartheta=\rho_1+\rho_2+\cdots+\rho_d. \]

1. Формула чиро ҳисоб мекунад? Он то вақти дискретии \(k\) чанд маротиба истифода шудани таъхирҳои гуногунро дар ҳамаи бисёрииндексҳои мувофиқ ҷамъ мекунад ва саҳми матритсавии ғайрикоммутативии ҳар комбинатсияро муттаҳид месозад.

2. Тағйирёбандаҳо кадомҳоянд? \(\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_d)\) бисёрииндексест, ки нишон медиҳад ҳар канали таъхир чанд маротиба дар комбинатсия иштирок мекунад. \(\varrho_\ell\) таъхирҳо мебошанд. \(Q_G^{V,W}\) матритсаи муайянкунандаест, ки тартиби зарбро нигоҳ медорад.

3. Воҳидҳо кадомҳоянд? Манбаъ воҳиди физикиро муайян намекунад. Хуруҷи функсия матритсаи \(n\times n\) аст.

4. Нақши математикӣ чист? Он ҳамтои дискретӣ ва бисёртаъхираи ҳалли фундаменталии матритсавӣ дар муодилаҳои дифференсиалӣ мебошад.

5. Маънояш чист? Ҳар \(\rho\)-и мувофиқро метавон ҳамчун роҳи алоҳидаи комбинаторӣ тасаввур кард, ки аз таърихи таъхир ба система мерасад.

6. Шарт чист? Танҳо

\[ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k \]

бисёрииндексҳое ба сумма дохил мешаванд, ки ин шартро қонеъ мекунанд.

7. Чӣ гуна бояд тафсир шавад? Ин функсия танҳо бознависии зебошиносона нест; он воситаи асосии математикӣ мебошад, ки дар Теоремаи 1 имкон медиҳад ҳалли дақиқ ба шакли фишурда ифода шавад.

Леммаи 4: муодилаи фарқии ҳалли фундаменталӣ

Функсияи экспоненсиалии матритсавии бисёртаъхир муодилаи якҷинсаи зеринро қонеъ мекунад:

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Ин натиҷа нишон медиҳад, ки \(\mathcal E_G^{V,W}\) воқеан нақши ҳалли фундаменталиро иҷро мекунад. Ба ибораи дигар, ин функсия танҳо як суммаи таърифшуда нест; он динамикаи қисми якҷинсаи системаи ҳадафро бевосита таъмин мекунад.

Устувории Hyers–Ulam чиро ифода мекунад?

Устувории Hyers–Ulam маънои онро дорад, ки метавон кафолат дод ҳалли тақрибие, ки муодиларо дар ҳар қадам бо хатои на бештар аз \(\varepsilon\) қонеъ мекунад, аз ҳалли дақиқи воқеӣ ба андозаи на бештар аз \(\lambda\varepsilon\)-и доимӣ дур мемонад.

Муодилаи (4): системаи пертурбатсияшуда

\[ \left\| \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \right\| \le \varepsilon. \]

Агар ҳалли \(Y(k)\)-и системаи дақиқ ва доимии \(\lambda>0\) ёфта шаванд ва

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \lambda\varepsilon \]

қонеъ шавад, система устувори Hyers–Ulam ҳисобида мешавад.

\(\varepsilon\) андозаи пертурбатсияи иҷозатдодашуда дар сатҳи муодила мебошад. \(\lambda\) бошад, доимии устуворист, ки то чӣ андоза афзудани ин хатои маҳаллии муодиларо дар фазои ҳалҳо маҳдуд мекунад.

Нуктаи муҳим ин аст, ки устувории Hyers–Ulam маънои «бо гузашти вақт ба сифр рафтани ҳал»-ро надорад. Ин таъриф ба наздикии идорашавандаи ҳалҳои тақрибӣ ва дақиқ ба ҳамдигар марбут аст.

Леммаи 5: ҳади болоии нормаи ҳалли фундаменталӣ

\[ \left\| \mathcal E_G^{V,W}(k) \right\| \le \mathcal E_{\|G\|}^{\|V\|,\|W\|}(k). \]

Ин нобаробарӣ бузургии ҳалли мураккаби матритсаарзиши фундаменталиро бо ифодаи мусбате маҳдуд мекунад, ки аз нормаҳои матритсаҳои коэффисиентӣ сохта шуда, осонтар назорат мешавад.

Мантиқи асосии исботи устуворӣ дар ҳамин ҷо зоҳир мешавад: ба ҷойи пайгирии мустақими самтҳои муфассали зарбҳои матритсавӣ, тавассути нормаҳои онҳо ҳади болоии боэътимод сохта мешавад.

Леммаи 6: ҳади болоии вақти ниҳоӣ барои суммаи комбинаторӣ

Манбаъ нишон медиҳад, ки бо \(\vartheta=\rho_1+\cdots+\rho_d\) суммаи мултиномии дахлдор

\[ \frac{T^{\vartheta+1}} {(\vartheta+1)\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell!} \]

маҳдуд карда мешавад.

Ин натиҷа дар исботи Hyers–Ulam аҳамияти ҳалкунанда дорад, зеро аз ҷиҳати математикӣ кафолат медиҳад, ки саҳми умумии роҳҳои таъхирҳои сершумор дар уфуқи ниҳоии вақти \(T\) идорашаванда аст.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Теоремаи 1: ҳалли умумии шакли пӯшида — Муодилаи (5)

Теоремаи асосии ҳалли таҳқиқот ҳалли Муодилаи (2)-ро дар шакли қисм-қисми зерин медиҳад:

\[ Y(k) = \begin{cases} \Phi(k), & k\in\mathbb Z_{-\varrho}^{0}, \\[6pt] \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \displaystyle \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \mathcal E_{ V_r\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_r }^{V,W} (k-\varrho_r-i) \\ \qquad\qquad + \displaystyle \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h), & k\in\mathbb Z_{0}^{\infty}. \end{cases} \]

1. Формула чиро ҳисоб мекунад? Агар таърихи ибтидоӣ, таъхирҳо ва маҷбурсозии берунии \(\Pi(k)\) маълум бошанд, барои ҳар \(k\ge0\) ҳалли дақиқи матритсавиро медиҳад.

2. Се қисми асосии формула кадомҳоянд?

• \(\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k)\): паҳншавии матритсаи \(\Phi(0)\) дар лаҳзаи ибтидоӣ дар тамоми система.
• Суммаи дукарата: саҳми таърихи ибтидоии пеш аз 0, ки тавассути ҳар канали таъхир ба оянда интиқол меёбад.
• Суммаи охирин: таъсири ҷамъшудаи вурудҳои ғайриякҷинсаи \(\Pi(h-1)\) аз вақтҳои гузашта то \(k\).

3. Воҳидҳо кадомҳоянд? Ҳамаи ҳадҳо матритсаҳои \(n\times n\) мебошанд.

4. Нақши математикӣ чист? Ин формула барои системаҳои таъхирдор як навъ сохтори дискретии Duhamel/variation-of-constants ба вуҷуд меорад: таъсири ибтидоӣ ва таъсири ҳади маҷбурсозро алоҳида ҷамъ мекунад.

5. Ғайрикоммутативӣ дар куҷо нигоҳ дошта мешавад? Тамоми тартиби матритсаҳо дар \(\mathcal E_G^{V,W}\) ва сохтори \(Q_G^{V,W}\) дар дохили он нигоҳ дошта мешавад. Аз ин рӯ, зарбҳо ба таври худсарона аз нав тартиб дода намешаванд.

6. Шартҳо кадомҳоянд? \(\varrho_\ell\ge1\), \(V_\ell\) ва \(W_\ell\) матритсаҳои воқеии доимӣ ва ғайрисифрии \(n\times n\) мебошанд. Коммутативӣ будани онҳо талаб карда намешавад.

7. Натиҷа чӣ гуна бояд тафсир шавад? Навгонии асосии мақола дар он аст, ки ин ҳалли ошкорро бидуни ниёз ба коммутативии матритсаҳо сохтан мумкин аст.

Муодилаи (6): ҷудо кардани ҳал аз рӯи ҳолатҳои таъхир дар исбот

Дар исботи Теоремаи 1 таъхирҳо барои \(k\)-и интихобшуда ба онҳое ҷудо мешаванд, ки таъсири онҳо ҳанӯз дар минтақаи ибтидоӣ мондааст, ва онҳое, ки ба минтақаи ҳал гузаштаанд. Манбаъ ҳалро дар сохтори зерин аз нав тартиб медиҳад:

\[ Y(k) = \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h). \]

Ин ҷудокунӣ таърифи нави ҳал нест. Ин техникаи исбот аст: он равшан ҷудо мекунад, ки қимати \(k-\varrho_r\) дар минтақаи ибтидоӣ мемонад ё ба минтақаи динамикии ҳал гузаштааст.

Муодилаи (7): гирифтани фарқи пеш

Ҳангоми гирифтани фарқи пеши Муодилаи (6), манбаъ бо истифода аз Леммаи 1 ба

\[ \Delta Y(k) = \Delta\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \Delta \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \Delta \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \left[ V_{r_2}\Phi(k-\varrho_{r_2}) + \Phi(k-\varrho_{r_2})W_{r_2} \right] + \sum_{h=1}^{k} \Delta\mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) + \Pi(k) \]

ифода мерасад.

Ҷузъи муҳими масъала дар он аст, ки ҳангоми гирифтани фарқи суммае, ки ҳади болоияш тағйирёбанда аст, ҳади нави сарҳадӣ пайдо мешавад. Ҳади \(\Pi(k)\) низ маҳз дар ҳамин амали гирифтани фарқи пеш дар қадами ҷории вақт зоҳир мешавад.

Муодилаи (8): робитаи ҳалли фундаменталии якҷинса

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Манбаъ ин баробариро ба ҳар ҳади \(\Delta\mathcal E\) дар Муодилаи (7) татбиқ мекунад. Ҳамин тавр, ифодаи мураккаби фарқӣ ба сохтори таъхирдори \(V_iY+YW_i\), ки дар системаи ҳадаф мавҷуд аст, табдил меёбад.

Муодилаи (9): бозгашт ба системаи ҳадаф

Дар охири исбот ифода ба сохтори мобайнии зерин оварда мешавад:

\[ \Delta Y(k) = \sum_{p} \left[ V_pY(k-\varrho_p) + Y(k-\varrho_p)W_p \right] + \sum_{r} \left[ V_r\Phi(k-\varrho_r) + \Phi(k-\varrho_r)W_r \right] + \Pi(k). \]

Дар минтақаи ибтидоӣ

\[ \Phi(k-\varrho_r)=Y(k-\varrho_r) \]

буданаш боис мешавад, ки ду сумма якҷо шуда ва боз

\[ \Delta Y(k) = \sum_{\ell=1}^{d} \left[ V_\ell Y(k-\varrho_\ell) + Y(k-\varrho_\ell)W_\ell \right] + \Pi(k) \]

ба даст ояд. Ҳамин тавр нишон дода мешавад, ки Муодилаи (5) воқеан Муодилаи (2)-ро ҳал мекунад.

Ҳолати махсуси яктаъхираи ғайрикоммутативӣ — Муодилаи (10)

Барои \(d=1\) ҳал

\[ Y(k) = \mathcal Y_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal Y_{ V\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W }^{V,W} (k-\varrho-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal Y_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \]

ба шакл оварда мешавад.

Дар ин ҷо

\[ \mathcal Y_G^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} (V+W)_{G}^{\rho}. \]

Ин натиҷа нишон медиҳад, ки назарияи нав на танҳо дар ҳолати таъхирҳои сершумор, балки барои матритсаи яктаъхира ва ғайрикоммутативӣ низ истифода мешавад.

Ифодаҳои махсус дар шартҳои иловагии коммутативӣ — Муодилаи (11)

Манбаъ дар ҳолати як таъхир ва шартҳои иловагии коммутативӣ ҳалро ба шакли алтернативии зерин меорад:

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k-\varrho)\Phi(0) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \left[ V\mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i) + \mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i)W \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Муодилаи (12): ифодаи ҳамон ҳолати махсус бо оғози фарқӣ

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k)\Phi(-\varrho) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-i) \Delta_i\Phi(i-1) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Дар манбаъ

\[ \mathcal X^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} V^{\rho}W^{\,n-\rho} \]

функсияи махсуси матритсавии чунин навъ истифода мешавад.

Муодилаҳои (11) ва (12) барои нишон додани мувофиқати сохтори нави умумӣ бо ҳолатҳои махсуси коммутативии қаблӣ дода шудаанд; натиҷаи асосии ғайрикоммутативии бисёртаъхир Муодилаи (5) мебошад.

Ҳолати махсуси коммутативии якчанд таъхир — Муодилаи (13)

Дар ҳолати махсусе, ки матритсаҳо ҷуфт-ҷуфт коммутативӣ мебошанд, манбаъ ҳалро

\[ Y(k) = P^{V,W}(k)\Phi(0) + \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \left[ V_rP^{V,W}(k-\varrho_r-i) + P^{V,W}(k-\varrho_r-i)W_r \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} P^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1) \]

ба чунин шакл ифода мекунад.

Ин ҳолати махсус бо адабиёти қаблӣ мувофиқ аст. Пас, назарияи нав формулаҳои кӯҳнаро аз байн намебарад; онҳоро ба ҳолатҳои махсуси чаҳорчӯбаи умумитари ғайрикоммутативӣ табдил медиҳад.

Муодилаи (14): матритсаи пертурбатсия

Дар исботи Hyers–Ulam боқимондае, ки ҳалли тақрибӣ дар муодила мегузорад, бевосита

\[ O(k) = \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \]

таъриф шуда ва

\[ \|O(k)\|\le\varepsilon \]

қабул карда мешавад.

Ин таъриф аз ҷиҳати омӯзишӣ муҳим аст. \(O(k)\) матритсаи хатои маҳаллиест, ки аз пурра қонеъ накардани муодилаи ҳадаф аз ҷониби ҳалли тақрибӣ ба вуҷуд меояд.

Теоремаи 2: занҷири асосии исботи устувории Hyers–Ulam

Вақте ҳадҳои умумии ибтидоӣ ва саҳмҳои умумии \(\Pi\) ҳамдигарро бекор мекунанд, фарқи байни ҳалли пертурбатсияшуда ва ҳалли дақиқ танҳо ҳамчун суммае боқӣ мемонад, ки аз пертурбатсияи \(O\) бармеояд:

\[ \chi(k)-Y(k) = \sum_{h=1}^{k} \left[ \mathcal E_{\Pi(h-1)+O(h-1)}^{V,W}(k-h) - \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \right]. \]

Ҳангоми аз боло маҳдуд кардани нормаҳои матритсавӣ бо Леммаи 5 ва суммаҳои комбинаторӣ бо Леммаи 6

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \varepsilon\lambda \]

натиҷа ба даст меояд.

Доимии устуворӣ:

\[ \lambda = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le T }} \left( \sum_{\ell=1}^{d} \bigl( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \bigr) \right)^{\vartheta} \frac{ T^{\vartheta+1} }{ (\vartheta+1) \displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell! } >0. \]

1. Ин формула чиро ҳисоб мекунад? Дар уфуқи ниҳоии вақти \(T\) он коэффисиенти назариявии ҳади болоиро месозад, ки хатои андозаи \(\varepsilon\) дар муодила метавонад ба масофаи байни ҳалҳо интиқол ёбад.

2. Тағйирёбандаҳо кадомҳоянд? \(T\) ҳади болоии ниҳоии вақт, \(\rho\) комбинатсияи таъхир, \(\vartheta=\sum\rho_\ell\), \(\varrho_\ell\) таъхирҳо ва \(\|V_\ell\|,\|W_\ell\|\) нормаҳои коэффисиентҳо мебошанд.

3. Воҳидҳо кадомҳоянд? Таҳқиқот воҳиди физикиро муайян намекунад; \(\lambda\) доимии ҳади математикӣ бар асоси норма мебошад.

4. Нақши математикӣ чист? Таъсири роҳҳои бисёртаъхир ва бузургии матритсаҳоро ба афзоиши умумии пертурбатсия ба таври бехатар дар як ҳади болоӣ ҷамъ мекунад.

5. Ғайрикоммутативӣ чӣ гуна таъсир мерасонад? Азбаски тартиби матритсаҳо бояд нигоҳ дошта шавад, таъсири ҳамаи мономҳои ғайрикоммутативӣ ба ҳисоб гирифта мешавад. Манбаъ қайд мекунад, ки ин метавонад нисбат ба ҳолати коммутативӣ ҳади \(\lambda\)-и консервативитар ба вуҷуд оварад.

6. Таъхирҳо чӣ гуна таъсир мерасонанд? Шарти \((\varrho_\ell+1)\rho_\ell\) муайян мекунад, ки кадом бисёрииндексҳо дар дохили \(T\)-и муайян саҳм дода метавонанд. Аз ин рӯ, сохтори таъхир бевосита дар ҳади устуворӣ ҷой мегирад.

7. Чӣ гуна бояд тафсир шавад? \(\lambda\)-и калон маънои онро надорад, ки инҳирофи воқеии ҳал ҳатман ба ҳамин қимат мерасад. Ин ҳади болоии кафолатнок аст ва метавонад консервативӣ бошад.

Фарқи байни уфуқи вақти ниҳоӣ ва беохир

Манбаъ барои ҳар \(T\)-и ниҳоӣ устувории Hyers–Ulam-ро муқаррар мекунад. Аммо

\[ T\rightarrow\infty \]

дар ин ҳолат барои устувории вақти беохир шарти иловагии контрактӣ лозим аст:

\[ \sum_{\ell=1}^{d} \left( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \right) <1. \]

Ин шарт фурӯнишонии экспоненсиалии ҳалли фундаменталӣ ва ҳамгароии қатореро, ки \(\lambda\)-ро муайян мекунад, таъмин мекунад.

Аз ин рӯ, натиҷаи «устуворӣ исбот шуд»-и мақола набояд барои вақти номаҳдуд бешарт хонда шавад. Теоремаи умумӣ барои фосилаи ниҳоӣ аст; дар уфуқи беохир контрактӣ будан талаб карда мешавад.

Мисоли ададӣ — Муодилаи (15)

Манбаъ системаи \(2\times2\)-и дорои ду таъхирро баррасӣ мекунад:

\[ \Delta Y(k) = V_1Y(k-1) + Y(k-1)W_1 + V_2Y(k-2) + Y(k-2)W_2 + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb Z_0^4, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}. \]

Матритсаҳои коэффисиентӣ:

\[ V_1= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_1= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \]

\[ V_2= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_2= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Таъхирҳо:

\[ \varrho_1=1, \qquad \varrho_2=2. \]

Ҳади ғайриякҷинса:

\[ \Pi(k) = \begin{bmatrix} 2k-1 & 0\\ 0 & 3k+1 \end{bmatrix}. \]

Матритсаи ибтидоӣ:

\[ \Phi(k) = \begin{bmatrix} 1+k & 0\\ 0 & 1-k \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}, \]

ва махсусан

\[ \Phi(0)=I_2. \]

Қиматҳои аввалини ҳалли фундаменталӣ

Манбаъ матритсаҳои ҳалли фундаменталии барои қисми якҷинса бадастомадаро барои \(k=0,\ldots,4\) ҳисоб мекунад:

Муодилаи (16): шакли матритсавии ҳалли дақиқ

Пас аз татбиқи Теоремаи 1 ҳал

\[ Y(k) = \begin{bmatrix} Y_{11}(k) & Y_{12}(k)\\ Y_{21}(k) & Y_{22}(k) \end{bmatrix} \]

навишта мешавад.

Пертурбатсияи Hyers–Ulam дар мисоли ададӣ

Манбаъ

\[ \varepsilon=\frac{2}{3} \]

интихоб мекунад ва

\[ O(k) = \begin{bmatrix} k/6 & 0\\ 0 & k/6 \end{bmatrix} \]

пертурбатсияро таъриф мекунад.

\[ \|O(k)\| = \frac{k}{6} \le \frac{2}{3}, \qquad k=0,1,2,3,4. \]

Ҳамин тавр, шарти пертурбатсия дар Муодилаи (4) бевосита қонеъ мешавад.

Дар мисол доимии ҳади болоии Теоремаи 2

\[ \lambda \approx 1470.7 >0 \]

ҳисоб шудааст.

Калон будани ин қимат маънои онро надорад, ки ҳалҳои дақиқ ва пертурбатсияшуда воқеан тақрибан 1470 воҳид аз ҳам ҷудо мешаванд. \(\lambda\varepsilon\) ҳади болоии назариявӣ ва консервативӣ аст. Дар ҳақиқат, дар графики манбаъ инҳирофҳои воқеӣ хеле хурдтаранд.

Муқоисаи ҷузъии ҳалли дақиқ ва пертурбатсияшуда

Чаро расм устувории Hyers–Ulam-ро дастгирӣ мекунад?

Дар ҷузъи \(Y_{21}\) ду ҳал дар ҳамаи қиматҳои намунавии \(k\) якхела менамоянд. Дар ҷузъҳои \(Y_{12}\), \(Y_{11}\) ва \(Y_{22}\) баъд аз пертурбатсия фарқҳои хурд ба вуҷуд меоянд, аммо каҷҳо аз ҳам бе назорат дур намешаванд.

Масалан:

• Ҳангоми \(k=2\), \(Y_{11}=-2\), \(\chi_{11}\approx-1.667\).
• Ҳангоми \(k=3\), \(Y_{11}=1\), \(\chi_{11}=1.5\).
• Ҳангоми \(k=4\), \(Y_{22}=49\), \(\chi_{22}\approx50.167\).
• Ҳангоми \(k=4\), \(Y_{12}=92\), \(\chi_{12}\approx92.167\).

Ин мушоҳида худ аз худ исботи теоремаи умумӣ нест. Теоремаи 2 ба таври аналитикӣ исбот шудааст; мисоли ададӣ танҳо нишон медиҳад, ки теорема дар системаи мушаххас чӣ гуна зоҳир мешавад.

Таъхир ба устуворӣ чӣ гуна таъсир мерасонад?

Манбаъ қайд мекунад, ки дар ҳади болоии Hyers–Ulam таъхирҳо махсусан ба интихоби ҳади болоии мувофиқи \(T\) таъсир мерасонанд. Дар суммаи бисёрииндексӣ

\[ \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le T \]

шарт бевосита муайян мекунад, ки кадом комбинатсияҳои таъхир ба доимии устуворӣ саҳм мегузоранд.

Вақте таъхирҳо зиёд мешаванд, пайдоиши роҳҳои саҳм дар вақт тағйир меёбад. Азбаски дар матритсаҳои ғайрикоммутативӣ тартиби зарб дар ҳар яке аз ин роҳҳо низ бояд нигоҳ дошта шавад, таъсирҳои таъхир ва ғайрикоммутативӣ аз ҳам комилан мустақил нестанд.

Ғайрикоммутативӣ ба ҳади болоии устуворӣ чӣ гуна таъсир мерасонад?

Шарҳи Remark 11-и манбаъ таъкид мекунад, ки дар ҳолати ғайрикоммутативӣ густариши умумисозишудаи мултиномӣ бояд тартиби ҳамаи ҳосили зарбҳои матритсавиро нигоҳ дорад. Аз ин рӯ, \(\lambda\) метавонад саҳмҳои нормавии ҳамаи мономҳои ғайрикоммутативиро дар бар гирад.

Дар натиҷа ҳади болоии назариявӣ метавонад нисбат ба ҳолати махсуси коммутативӣ консервативитар бошад. Ин маънои «система ҳатман ноустувортар аст»-ро надорад; ҳади болоии бехатари исбот метавонад васеътар бошад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Барои муодилаҳои матритсавии дискретии хаттии тартиби якум бо таъхирҳои сершумор метавон бе фарзияи коммутативӣ ифодаи ошкори ҳалро сохт.
• Мултиноми умумисозишуда ва функсияи экспоненсиалии матритсавии дискретии бисёртаъхир воситаҳои асосии математикии ин ҳал мебошанд.
• Сохтори нав натиҷаҳои классикии коммутативӣ ва яктаъхирро ҳамчун ҳолатҳои махсус бозмегардонад.
• Система дар ҳар фосилаи ниҳоии вақти дискретӣ таҳти шартҳои зикршуда устувории Hyers–Ulam дорад.
• Мисоли ададии дутaъхир нишон медиҳад, ки ҷузъҳои ҳалли дақиқ ва пертурбатсияшуда ба таври маҳдуд аз ҳам фарқ мекунанд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Таҳқиқот намегӯяд, ки ҳамаи системаҳои таъхирдори ғайрикоммутативӣ аз ҷиҳати асимптотикӣ устуворанд.
• Дар уфуқи вақти беохир устувории бешарти Hyers–Ulam иддао намешавад; контрактии мувофиқ зарур аст.
• Мисоли ададӣ таҷрибаи воқеии физикӣ нест.
• Натиҷаҳо матритсаҳои вобаста ба вақти \(V_\ell(k)\) ва \(W_\ell(k)\)-ро бевосита дар бар намегиранд.
• Таҳқиқот иддао намекунад, ки ҳангоми хеле зиёд будани шумораи таъхирҳо усул аз ҷиҳати ҳисоббарорӣ ҳамеша самаранок аст.

Мураккабии ҳисоббарорӣ ва маҳдудияти усул

Манбаъ дар бахши хулоса як маҳдудияти муҳими ҳисоббарориро ба таври возеҳ қайд мекунад. Бисёрииндексҳо дар формулаҳои ҳалли ошкор

\[ \rho\in\mathbb N_0^d, \qquad \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le k \]

шартро қонеъ мекунанд.

Барои шумораи доимии таъхирҳо \(d\) миқёси афзоиши шумораи индексҳои мувофиқ дар манбаъ тақрибан

\[ O\left( \frac{k^d} {\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)} \right) \]

дода шудааст.

Аз ин рӯ, муаллифон қайд мекунанд, ки равиш махсусан барои шумораи ками таъхирҳо, масалан \(d\le3\), ва уфуқҳои вақти дарозии миёна муносиб аст. Барои системаҳои хеле калон муқоисаи арзиши ҳисоббарорӣ бо усулҳои ададӣ, ба монанди табдили Z ё итератсияи мустақим, бояд алоҳида анҷом дода шавад.

Таҳқиқоти пешниҳодшуда барои оянда

• Васеъ кардани усул ба системаҳои дискретии касртартиби таъхирдор.
• Баррасии таъхирҳои ғайридоимӣ ва вобаста ба ҳолат.
• Омӯзиши мафҳумҳои дигари устуворӣ, ба монанди устувории вақти ниҳоӣ, устувории экспоненсиалӣ ва устувории вуруд-ба-ҳолат.
• Истифодаи ифодаҳои ҳалли ошкор дар идорашавандагӣ, мушоҳидашавандагӣ ва идоракунии омӯзиши итеративӣ.
• Татбиқ ба системаҳои динамикии ба шабака пайваст ва системаҳои бисёрагента.
• Омӯзиши коэффисиентҳои вобаста ба вақти \(V_\ell,W_\ell\) ба ҷойи матритсаҳои доимии \(V_\ell(k),W_\ell(k)\).
• Таҳияи қатори навъи Peano–Baker ё сохторҳои умумисозишудаи мултиномии вобаста ба вақт барои ҳолати тағйирёбанда бо вақт.
• Таҳлили муфассали мураккабии ҳисоббарорӣ ва стратегияҳои самараноки татбиқ дар масъалаҳои калонмиқёс.

Натиҷаи умумии илмӣ

Саҳми асосии математикии таҳқиқот бартараф кардани фарзияи коммутативӣ мебошад, ки муддати дароз формулаҳои ҳалро дар системаҳои матритсавии дискретии таъхирдор осон мекард. Барои ин ба ҷойи истифодаи мустақими густариши классикии мултиномӣ сохтори \(Q_G^{V,W}\), ки тартиби зарбҳои матритсавиро нигоҳ медорад, таҳия шуда, ба функсияи экспоненсиалии матритсавии дискретии бисёртаъхир гузаронда шудааст.

Бо истифода аз ин функсияи фундаменталӣ ҳалли ошкоре ба даст оварда шудааст, ки таърихи ибтидоӣ, таъхирҳои сершумор ва ҳамаи вурудҳои ғайриякҷинсаро фаро мегирад. Бо истифода аз баҳодиҳии нормаҳо дар ҳамин сохтори ҳал, фарқи байни ҳалҳои тақрибӣ ва дақиқ маҳдуд карда шуда, устувории Hyers–Ulam нишон дода шудааст.

Нуктаи муҳими математикӣ танҳо ба даст овардани «формулаи умумитар» нест. Таҳқиқот ҳатто дар муҳите, ки тартиби зарбро дигар озодона тағйир додан мумкин нест, мафҳумҳои ҳалли фундаменталӣ, масъалаи қиматҳои ибтидоӣ ва устувориро дар назарияи классикии системаҳои таъхирдор дар як чаҳорчӯба нигоҳ дошта метавонад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Кори аслӣ: Exact Solutions and Stability for First-Order Linear Discrete Matrix Equations with Multiple Delays and Non-Permutable Matrices.

Муаллифон: Ahmed M. Elshenhab, Ghada AlNemer ва Xingtao Wang.

Муаллифи масъул: Ahmed M. Elshenhab.

Муассисаи 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt.

Муассисаи 2: Department of Mathematical Sciences, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia.

Муассисаи 3: School of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China.

Маҷалла: Mathematics.

Ношир: MDPI, Basel, Switzerland.

Сабти библиографӣ: Mathematics, 2026, Ҷилди 14, Шумораи 9, Мақолаи 1537.

DOI: 10.3390/math14091537

Ирсол: 3 апрели 2026.

Бознигарӣ: 22 апрели 2026.

Қабул: 29 апрели 2026.

Нашр: 1 майи 2026.

Навъи манбаъ: Таҳқиқоти аслии назариявии риёзӣ, рецензияшуда ва дастрасии кушода.

Иҷозатнома: Creative Commons Attribution (CC BY).

Калидвожаҳо: linear matrix discrete equation; multiple delays; noncommutative matrices; representation of solutions; Hyers-Ulam stability.

MSC: 39A06; 39A12; 39A05; 39A30.

Саҳми муаллифон

• Консептуализатсия: A.M.E. ва X.W.
• Куратсияи маълумот: A.M.E., G.A. ва X.W.
• Таҳлили формалӣ: A.M.E. ва X.W.
• Нармафзор: A.M.E.
• Назорат: X.W.
• Санҷиш: A.M.E., G.A. ва X.W.
• Визуализатсия: A.M.E.
• Лоиҳаи аввал: A.M.E.
• Баррасӣ ва таҳрир: A.M.E., G.A. ва X.W.
• Таҳқиқот: A.M.E.
• Методология: A.M.E. ва X.W.
• Ҷалби маблағгузорӣ: G.A.

Маблағгузорӣ

Таҳқиқот аз ҷониби Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project бо PNURSP2026R45 ҳамчун рақами лоиҳа маблағгузорӣ шудааст.

Дастрасии маълумот

Тибқи изҳороти муаллифон, саҳмҳои аслии таҳқиқот дар дохили мақола ҷой доранд. Саволҳои иловагӣ метавонанд ба муаллифи масъул ирсол шаванд.

Сипосгузорӣ

Муаллифон ба барномаи Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number PNURSP2026R45 изҳори сипос мекунанд.

Бархӯрди манфиатҳо

Муаллифон изҳор мекунанд, ки бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Маҳдудияти методологӣ

Таҳқиқот пажӯҳиши назариявии риёзӣ мебошад. Мисоли ададии дар манбаъ пешниҳодшуда барои нишон додани ҳисобшавандагии ҳалли умумӣ ва теоремаҳои устувории Hyers–Ulam пешбинӣ шудааст; он тасдиқи таҷрибавӣ дар системаи воқеии муҳандисӣ нест.

Модели асосӣ матритсаҳои коэффисиентии доимиро истифода мебарад. Коэффисиентҳои вобаста ба вақти \(V_\ell(k)\) ва \(W_\ell(k)\) дар доираи теоремаи мавҷуда бевосита ҳал карда намешаванд.

Азбаски усул суммаҳои бисёрииндексиро дар бар мегирад, бо зиёд шудани шумораи таъхирҳо ва уфуқи вақт арзиши ҳисоббарорӣ меафзояд. Таҳқиқоти манбаъ махсусан шумораи ками таъхирҳо ва уфуқҳои вақти миёнаро соҳаи табиии истифодаи усул мешуморад.

Устувории Hyers–Ulam дар вақти ниҳоӣ ва устуворӣ дар вақти беохир як натиҷа нестанд. Дар уфуқи беохир манбаъ шарти иловагии контрактиро пешниҳод мекунад.

Пайванди расмии нашр: https://doi.org/10.3390/math14091537