Бул изилдөө системанын учурдагы матрицалык абалы бир нече мурунку убакыт кадамдарындагы маанилерге көз каранды болгон көп кечигүүлүү биринчи тартиптеги сызыктуу дискреттик матрицалык теңдемелер үчүн жабык түрдөгү чечим жана туруктуулук теориясын иштеп чыккан теориялык математика изилдөөсү болуп саналат. Изилдөөнүн негизги жаңылыгы — мурдагы көптөгөн чечимдер талап кылган матрицалардын өз ара коммутативдүү болушу шартын алып салуу. Башкача айтканда, изилдөө жалпы учурда \(AB\neq BA\) болушу мүмкүн болгон матрицалар менен иштейт; матрицалык көбөйтүүдөгү тартипти жоготпостон жалпыланган мультиномдук ажыратууларды жана көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функцияларды колдонуп чечим түзөт.

Каралып жаткан негизги система \(n\times n\) матрица маанилүү белгисиз \(Y(k)\) функциясынын алдыга айырмасын ар башка кечигүүлөрдөгү \(Y(k-\varrho_i)\) маанилерин сол жактан \(V_i\), оң жактан \(W_i\) матрицалары менен көбөйтүү жана бир тектүү эмес \(\Pi(k)\) мүчөсү аркылуу аныктайт. Изилдөө адегенде ушул коммутативдүү эмес түзүлүшкө ылайык жалпыланган мультиномдук механизмди курат, андан соң анын негизинде көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функцияны аныктап, бул фундаменталдык чечим куралын колдонуу менен жалпы баштапкы маанилер маселесинин ачык чечимин алат.

Экинчи негизги натыйжа — Hyers–Ulam туруктуулугу. Бул туруктуулук түшүнүгү теңдемени кичине \(\varepsilon\) катасы менен канааттандырган жакындатылган чечим \(\chi(k)\) менен так чечим \(Y(k)\) ортосундагы айырманы \(\lambda\varepsilon\) түрүндө көзөмөлдөөгө болорун билдирет. Изилдөө ар бир чектүү дискреттик убакыт аралыгында ушундай чек алат; ал эми чексиз убакыт горизонтунда фундаменталдык чечимдин басаңдашын камсыз кылган кошумча контрактуулук шарты керек экенин көрсөтөт.

Сандык мисалда эки кечигүүсү бар, \(2\times2\) өлчөмүндөгү жана коммутативдүү эмес коэффициенттик матрицалардан турган система каралган. \(k=0,1,2,3,4\) үчүн так жана пертурбацияланган чечимдер эсептелип, төрт матрицалык компоненттеги ийри сызыктар бири-бирине жакын бойдон калаары көрсөтүлгөн. Мисалда \(\varepsilon=2/3\) тандалып, теориялык туруктуулуктун жогорку чегинде колдонулган туруктуу болжол менен \(\lambda=1470.7\) болуп алынган.

Эң маанилүү чечмелөө чеги: Бул изилдөө белгилүү бир физикалык түзүлүштүн талаа экспериментин же реалдуу убакыттагы башкаруунун ийгилигин ырастабайт. Натыйжалар математикалык теоремаларга жана аларды көрсөтүүчү сандык мисалга негизделет. Hyers–Ulam туруктуулугу да системанын бардык классикалык туруктуулук түрлөрү боюнча туруктуу экенин билдирбейт; ал теңдемедеги кичине пертурбациялар так чечимге салыштырмалуу чектелген чечимдик четтөөнү жаратарын билдирген өзгөчө туруктуулук түшүнүгү.

Изилдөө маселеси эмне үчүн пайда болот?

Дискреттик убакыт системаларында өзгөрмөгө учурдагы абал гана эмес, мурунку убакыт кадамдары да таасир этиши мүмкүн. Башкаруу системаларында, сигналдарды иштетүүдө, тармакка туташкан динамикалык системаларда жана кечигүүчү кайтарым байланыш түзүлүштөрүндө кийинки абалды аныктоо үчүн бир же бир нече мурунку абалды колдонуу табигый көрүнүш.

Скалярдык теңдемеде көбөйтүү тартиби көйгөй жаратпайт. Бирок система матрицалар менен берилгенде маанилүү математикалык кыйынчылык пайда болот. Жалпы учурда эки матрица үчүн

\[ AB \neq BA \]

болушу мүмкүн. Бул жагдай кадимки биномдук же мультиномдук ажыратууларда колдонулган мүчөлөрдүн ордун алмаштыруу ыкмаларын жараксыз кылат.

Матрицалардын коммутативдүү эместиги эмне үчүн бул изилдөөдө борбордук маселе?

Матрицалар коммутативдүү эмес болсо, көбөйтүү тартиби математикалык натыйжаны өзгөртөт; ошондуктан \(V_iY\), \(YW_i\), \(V_iYW_j\) жана \(W_jV_iY\) сыяктуу мүчөлөрдү каалагандай кайра иреттөөгө болбойт жана классикалык мультиномдук ажыратууларды түз колдонуу мүмкүн эмес.

Мурунку изилдөөлөрдүн маанилүү бөлүгү бул кыйынчылыкты жеңүү үчүн коэффициенттик матрицалар жуп-жуп болуп коммутативдүү деп болжолдогон. Булак изилдөө болсо чечим теориясын ушул божомолду алып сала тургандай кылып кайра курат.

Diblíктин бир кечигүүлүү баштапкы маселеси — Теңдеме (1)

Изилдөөнүн адабияттагы баштапкы чекиттеринин бири төмөнкү бир кечигүүлүү матрицалык теңдеме:

\[ \Delta Y(k) = AY(k-\tau) + Y(k-\tau)B + \Lambda(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Psi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\tau}^{0}. \]

1. Формула эмнени эсептейт? Кийинки дискреттик убакыт кадамындагы матрицанын өзгөрүшү \(\tau\) убакыт кадамы мурунку матрицалык абалга жана тышкы/бир тектүү эмес \(\Lambda(k)\) мүчөсүнө кандай көз каранды экенин аныктайт.

2. Өзгөрмөлөр кайсылар? \(Y(k)\) — белгисиз \(n\times n\) матрица маанилүү функция. \(A\) жана \(B\) — туруктуу \(n\times n\) коэффициенттик матрицалар. \(\tau>0\) — кечигүү. \(\Lambda(k)\) — белгилүү бир тектүү эмес мүчө. \(\Psi(k)\) кечигүүлүү системаны баштоо үчүн зарыл болгон баштапкы тарыхты берет.

3. Бирдиктер кайсылар? Булак физикалык колдонмону же өлчөө бирдигин аныктабайт. Математикалык өлчөм жагынан \(Y,A,B,\Lambda,\Psi\) ылайыктуу \(n\times n\) матрицалык түзүлүштөр; \(k\) жана \(\tau\) — дискреттик бүтүн сандык убакыт индекстери.

4. Математикалык ролу кандай? Теңдеме сол жактан \(A\) жана оң жактан \(B\) менен көбөйтүүнү бир убакта камтыгандыктан, кадимки вектордук айырма теңдемелерине караганда байыраак түзүлүштү түзөт.

5. Илимий мааниси кандай? Мурунку абал системага эки башка сызыктуу матрицалык амал аркылуу таасир этет.

6. Кайсы шарттарда жарактуу? \(A\) жана \(B\) туруктуу; кечигүү \(\tau\) оң жана баштапкы тарых \(-\tau\) менен 0 аралыгындагы дискреттик убакыттарда берилген.

7. Кантип чечмелениши керек? Бул теңдеме учурдагы изилдөөнүн түздөн-түз акыркы модели эмес, бир кечигүүлүү адабияттын негизи. Жаңы изилдөө аны бир нече кечигүүгө жана коммутативдүү эмес матрицаларга кеңейтет.

Изилдөөнүн негизги көп кечигүүлүү системасы — Теңдеме (2)

\[ \Delta Y(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_iY(k-\varrho_i) + Y(k-\varrho_i)W_i \right] + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\varrho}^{0}, \]

\[ \varrho = \max\{\varrho_1,\ldots,\varrho_d\}. \]

1. Формула эмнени эсептейт? Бир нече кечигүү каналынын ошол эле матрицалык системанын алдыга айырмасына кошкон жалпы салымын аныктайт.

2. Өзгөрмөлөр кайсылар? \(d\) — кечигүү каналдарынын саны. \(\varrho_i\in\mathbb N\) — ар бир каналдын кечигүүсү. \(V_i\) жана \(W_i\) — туруктуу реалдуу \(n\times n\) матрицалар. \(\Pi(k)\) — белгилүү бир тектүү эмес матрицалык функция. \(\Phi(k)\) — баштапкы тарых.

3. Бирдиктер кайсылар? Булак физикалык бирдик аныктабайт. Бардык матрицалык кошуу мүчөлөрү бирдей \(n\times n\) математикалык түзүлүштө болушу керек.

4. Математикалык ролу кандай? Ар бир кечигүү \(\varrho_i\) өткөндөгү башка убакыт чекитинен маалымат алып келет. Ошол эле мурунку матрицага сол жактан \(V_i\), оң жактан \(W_i\) өз-өзүнчө таасир этет.

5. Математикалык мааниси кандай? Көбөйтүү тартиби сакталышы керек. Мисалы, \(V_iY(k-\varrho_i)\) менен \(Y(k-\varrho_i)V_i\) бир эле мүчө эмес.

6. Божомол кандай? Булак изилдөөнүн маанилүү жаңылыгы — \(V_i\), \(W_i\), \(\Phi\) жана \(\Pi\) ортосунда жалпы коммутативдүүлүк шартын койбогондугу.

7. Натыйжа кантип чечмелениши керек? Макаланын бардык аныктамалары, леммалары жана теоремалары негизинен ушул системаны ачык түрдө чечүү жана анын пертурбацияларга карата туруктуулугун чектөө үчүн курулган.

Алдыга айырма оператору

\[ \Delta Y(k)=Y(k+1)-Y(k). \]

Бул оператор үзгүлтүксүз убакыттагы туундунун дискреттик убакыттагы аналогу. Ал \(Y(k)\) функциясынын кийинки кадамдагы өзгөрүшүн өлчөйт. Туундунун ордуна эки ырааттуу дискреттик абалдын ортосундагы айырма алынат.

Колдонулган матрицалык норма

Булак изилдөө төмөнкү максималдуу сап суммасы нормасын колдонот:

\[ \|A\| = \max_{1\le i\le n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|. \]

Бул норма ар бир саптагы элементтердин абсолюттук маанилеринин суммасын эсептеп, эң чоң сап суммасын тандайт. Туруктуулукту далилдөөдө матрицалардын чоңдугун бир оң сан аркылуу көзөмөлдөөгө жардам берет.

Мультиномдук коэффициент

\[ \binom{\Xi} {\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N} = \frac{\Xi!} {\displaystyle\prod_{h=1}^{N}\Xi_h!}, \qquad \Xi=\sum_{h=1}^{N}\Xi_h. \]

Бул коэффициент жалпы \(\Xi\) тандоону \(\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N\) өлчөмүндөгү топторго канча ар кандай жол менен бөлүүгө болорун эсептейт. Булак изилдөөдө кечигүү комбинацияларын жана көп индекстерди иреттөө үчүн колдонулат.

Лемма 1: дискреттик суммалар үчүн айырма тождестволору

Булак далилдерде колдонуу үчүн дискреттик суммалоо жана айырма алуу байланыштарын берет. Негизги оператор:

\[ \nabla_tu(t,s) = u(t+1,s)-u(t,s). \]

Мындан тышкары, дискреттик бөлүктөр боюнча суммалоого окшош байланыш:

\[ \sum_{s=m}^{p}u(s)\nabla v(s) = u(p)v(p+1) - u(m)v(m) - \sum_{s=m+1}^{p} \nabla u(s-1)v(s) \]

жана жогорку чеги \(t\) га көз каранды болгон сумманын айырмасы үчүн:

\[ \nabla_t \left[ \sum_{s=1}^{t}u(t,s) \right] = u(t+1,t+1) + \sum_{s=1}^{t}\nabla_tu(t,s) \]

колдонулат. Бул байланыштар айрыкча Теорема 1де чечим формуласынын алдыга айырмасы алынганда чектик мүчөлөрдүн туура пайда болушун камсыз кылат.

Аныктоочу \(Q\) матрицасы — Аныктама 1

Булак коммутативдүү эмес матрицалык көбөйтүүлөрдүн тартибин жоготпоо үчүн жардамчы \(Q_G^{V,W}(k;\mathbf i)\) матрицалар үй-бүлөсүн аныктайт:

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i) = \sum_{h=1}^{d} \left[ V_h Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h) + Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h)W_h \right]. \]

Баштапкы шарттар:

\[ Q_G^{V,W}(0;\mathbf i)=\Theta, \qquad Q_G^{V,W}(1;\mathbf 0)=G, \]

жана көп индекстердин кайсы бири болбосун терс болгондо тиешелүү \(Q\) мааниси нөл матрица \(\Theta\) деп алынат.

Бул түзүлүш эмне үчүн керек? Классикалык мультиномдук ажыратууда мүчөлөрдүн тартибин өзгөртүп, окшош мүчөлөрдү бириктирүүгө болот. Коммутативдүү эмес матрицада мындай амал коопсуз эмес. \(Q\) рекурсиясы сол жактан келген \(V_h\) жана оң жактан келген \(W_h\) көбөйтүүлөрүнүн пайда болуу тартибин түзүлүштүн ичинде сактайт.

Лемма 2: мүмкүн эмес көп индекстерди нөлгө келтирүү

Эгер

\[ i_1+i_2+\cdots+i_d\ge k+1, \]

болсо

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i)=\Theta. \]

Бул натыйжа эсептөөдө маанилүү, анткени чексиздей көрүнгөн көп индекстүү мейкиндиктин чоң бөлүгү автоматтык түрдө нөл салым берет. Булак муну \(k\) боюнча математикалык индукция менен далилдейт.

Коммутативдүү эмес матрицалар үчүн жалпыланган мультиномдук түзүлүш

Булак кадимки мультиномдук даражанын ордуна көбөйтүү тартибин сактаган төмөнкү жалпыланган түзүлүштү колдонот:

\[ \left( \sum_{\ell=1}^{d}(V_\ell+W_\ell) \right)_{G}^{n} = \sum_{\substack{\beta\in\mathbb N_0^d\\ n\ge\tau}} Q_G^{V,W}(n+1;\beta), \]

\[ \tau = \sum_{i=1}^{d}\beta_i. \]

Булак ушул эле түзүлүштү мультиномдук коэффициенттер аркылуу да ачат. Бул жердеги төмөнкү индекс \(G\) туюнтманы кадимки коммутативдүү матрицалык даража катары окубоо керектигин эскертет.

Бир кечигүүлүү \(d=1\) учурда түзүлүш жалпыланган биномдук формага келет. Матрицалар жуп-жуп болуп коммутативдүү болгондо болсо, жалпыланган түзүлүш классикалык мультиномдук ажыратууга шайкеш келет. Ошентип жаңы аныктама эски теорияга карама-каршы келбестен, аны атайын учур катары камтыйт.

Көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функция эмне үчүн керек?

Көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функция үзгүлтүксүз системалардагы фундаменталдык матрицалык экспонентанын дискреттик жана кечигүүлүү аналогу катары кызмат кылат; өткөн убакыт таасирлерин, ар башка кечигүү комбинацияларын жана коммутативдүү эмес матрицалык көбөйтүүлөрдү бир фундаменталдык чечим объектисине бириктирет.

Теңдеме (3): көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функция

\[ \mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k }} \binom{ k-\sum_{\ell=1}^{d}\varrho_\ell\rho_\ell }{ \rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_d,\; k-\sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell } Q_G^{V,W}(\vartheta+1;\rho), \]

\[ \vartheta=\rho_1+\rho_2+\cdots+\rho_d. \]

1. Формула эмнени эсептейт? \(k\) дискреттик убактысына чейин ар башка кечигүүлөр канча жолу колдонулушу мүмкүн экенин бардык ылайыктуу көп индекстер боюнча суммалайт жана ар бир комбинациянын коммутативдүү эмес матрицалык салымын бириктирет.

2. Өзгөрмөлөр кайсылар? \(\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_d)\) — ар бир кечигүү каналы комбинацияда канча жолу орун алганын көрсөткөн көп индекс. \(\varrho_\ell\) — кечигүүлөр. \(Q_G^{V,W}\) — көбөйтүү тартибин сактаган аныктоочу матрица.

3. Бирдиктер кайсылар? Булак физикалык бирдик аныктабайт. Функциянын чыгышы \(n\times n\) матрица.

4. Математикалык ролу кандай? Дифференциалдык теңдемелердеги фундаменталдык матрицалык чечимдин дискреттик жана көп кечигүүлүү аналогу.

5. Мааниси кандай? Ар бир ылайыктуу \(\rho\) кечигүү тарыхынан системага жетиши мүмкүн болгон өзүнчө комбинатордук жол катары каралышы мүмкүн.

6. Шарт кандай? Болгону

\[ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k \]

шартты канааттандырган көп индекстер суммага кирет.

7. Кантип чечмелениши керек? Бул функция жөн гана эстетикалык кайра жазуу эмес; Теорема 1де так чечимди компакттуу түрдө туюнтууга мүмкүндүк берген негизги математикалык курал.

Лемма 4: фундаменталдык чечимдин айырма теңдемеси

Көп кечигүүлүү матрицалык экспоненциалдык функция төмөнкү бир тектүү теңдемени канааттандырат:

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Бул натыйжа \(\mathcal E_G^{V,W}\) чындап эле фундаменталдык чечимдин ролун аткарарын көрсөтөт. Башкача айтканда, бул функция жөн гана аныкталган сумма эмес; максаттуу системанын бир тектүү бөлүгүнүн динамикасын түздөн-түз камсыз кылат.

Hyers–Ulam туруктуулугу эмнени билдирет?

Hyers–Ulam туруктуулугу теңдемени ар бир кадамда эң көп \(\varepsilon\) өлчөмүндөгү ката менен канааттандырган жакындатылган чечимдин чыныгы так чечимден эң көп туруктуу \(\lambda\varepsilon\) өлчөмүнө чейин алыстап калышына кепилдик берүүгө болорун билдирет.

Теңдеме (4): пертурбацияланган система

\[ \left\| \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \right\| \le \varepsilon. \]

Эгер так системанын \(Y(k)\) чечими жана \(\lambda>0\) туруктуусу табылып

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \lambda\varepsilon \]

аткарылса, система Hyers–Ulam туруктуу деп эсептелет.

\(\varepsilon\) теңдеме деңгээлиндеги уруксат берилген пертурбациянын чоңдугу. \(\lambda\) болсо бул жергиликтүү теңдеме катасынын чечимдер мейкиндигинде канчалык өсө аларын чектеген туруктуулук туруктуусу.

Бул жерде көңүл буруучу нерсе — Hyers–Ulam туруктуулугу “чечим убакыт өткөн сайын нөлгө барат” дегенди билдирбейт. Бул аныктама жакындатылган жана так чечимдердин бири-бирине көзөмөлдөнгөн жакындыгы жөнүндө.

Лемма 5: фундаменталдык чечимдин нормасынын жогорку чеги

\[ \left\| \mathcal E_G^{V,W}(k) \right\| \le \mathcal E_{\|G\|}^{\|V\|,\|W\|}(k). \]

Бул теңсиздик матрица маанилүү татаал фундаменталдык чечимдин чоңдугун коэффициенттик матрицалардын нормаларынан түзүлгөн, оңойураак көзөмөлдөнүүчү оң туюнтма менен чектейт.

Туруктуулукту далилдөөнүн негизги логикасы ушул жерде көрүнөт: матрицалык көбөйтүүлөрдүн майда багыттарын бирден түз көзөмөлдөөнүн ордуна, алардын нормалары аркылуу коопсуз жогорку чек түзүлөт.

Лемма 6: комбинатордук сумма үчүн чектүү убакыттагы жогорку чек

Булак \(\vartheta=\rho_1+\cdots+\rho_d\) болгондо тиешелүү мультиномдук сумманын

\[ \frac{T^{\vartheta+1}} {(\vartheta+1)\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell!} \]

менен чектелерин көрсөтөт.

Бул натыйжа Hyers–Ulam далилинде өтө маанилүү, анткени көп кечигүү жолдорунун жалпы салымын чектүү \(T\) убакыт горизонтунда көзөмөлдөөгө болорун математикалык жактан кепилдейт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Теорема 1: жалпы жабык түрдөгү чечим — Теңдеме (5)

Изилдөөнүн негизги чечим теоремасы Теңдеме (2)нин чечимин төмөнкү бөлүктүү түрдө берет:

\[ Y(k) = \begin{cases} \Phi(k), & k\in\mathbb Z_{-\varrho}^{0}, \\[6pt] \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \displaystyle \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \mathcal E_{ V_r\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_r }^{V,W} (k-\varrho_r-i) \\ \qquad\qquad + \displaystyle \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h), & k\in\mathbb Z_{0}^{\infty}. \end{cases} \]

1. Формула эмнени эсептейт? Баштапкы тарых, кечигүүлөр жана тышкы мажбурлоочу \(\Pi(k)\) белгилүү болгондо ар бир \(k\ge0\) үчүн так матрицалык чечимди берет.

2. Формуладагы үч негизги бөлүк кайсылар?

• \(\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k)\): баштапкы учурдун \(\Phi(0)\) матрицасынын система боюнча жайылышы.
• Кош сумма: 0дөн мурунку баштапкы тарыхтын ар бир кечигүү каналы аркылуу келечекке ташылган салымы.
• Акыркы сумма: бир тектүү эмес \(\Pi(h-1)\) кирүүлөрүнүн өткөн убакыттардан \(k\) га чейинки топтолгон таасири.

3. Бирдиктер кайсылар? Бардык мүчөлөр \(n\times n\) матрицалар.

4. Математикалык ролу кандай? Бул формула кечигүүлүү системалар үчүн дискреттик Duhamel/variation-of-constants түзүлүшүнүн бир түрүн түзөт: баштапкы таасир менен мажбурлоочу мүчөнүн таасирин өз-өзүнчө суммалайт.

5. Коммутативдүү эместик кайда сакталат? Матрицалардын бардык тартиби \(\mathcal E_G^{V,W}\) жана анын ичиндеги \(Q_G^{V,W}\) түзүлүшүндө сакталат. Ошондуктан көбөйтүүлөр каалагандай кайра иреттелбейт.

6. Шарттар кайсылар? \(\varrho_\ell\ge1\), \(V_\ell\) жана \(W_\ell\) — туруктуу реалдуу жана нөл эмес \(n\times n\) матрицалар. Алардын коммутативдүү болушу талап кылынбайт.

7. Натыйжа кантип чечмелениши керек? Макаланын негизги жаңылыгы — бул ачык чечимди матрицалардын коммутативдүүлүгүн талап кылбастан курууга болору.

Теңдеме (6): далилде чечимди кечигүү абалдары боюнча ажыратуу

Теорема 1дин далилинде кечигүүлөр тандалган \(k\) үчүн таасири али баштапкы аймакта калган жана чечим аймагына өткөн деп бөлүнөт. Булак чечимди төмөнкү түзүлүштө кайра уюштурат:

\[ Y(k) = \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h). \]

Бул ажыратуу жаңы чечимдин аныктамасы эмес. Бул далилдөө ыкмасы: \(k-\varrho_r\) мааниси баштапкы аймактабы же динамикалык чечим аймагындабы экенин так бөлөт.

Теңдеме (7): алдыга айырманы алуу

Теңдеме (6)нын алдыга айырмасы алынганда булак Лемма 1ди колдонуп

\[ \Delta Y(k) = \Delta\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \Delta \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \Delta \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \left[ V_{r_2}\Phi(k-\varrho_{r_2}) + \Phi(k-\varrho_{r_2})W_{r_2} \right] + \sum_{h=1}^{k} \Delta\mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) + \Pi(k) \]

туюнтмага келет.

Маанилүү деталь — жогорку чеги өзгөрмө болгон сумманын айырмасы алынганда жаңы чектик мүчө пайда болушу. \(\Pi(k)\) мүчөсү да дал ушул алдыга айырма алуу учурунда учурдагы убакыт кадамында көрүнөт.

Теңдеме (8): бир тектүү фундаменталдык чечимдин байланышы

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Булак бул теңдикти Теңдеме (7)деги ар бир \(\Delta\mathcal E\) мүчөсүнө колдонот. Ошентип татаал айырма туюнтмасы максаттуу системадагы кечигүүлүү \(V_iY+YW_i\) түзүлүшүнө айланат.

Теңдеме (9): максаттуу системага кайтуу

Далилдин аягында туюнтма төмөнкү аралык түзүлүшкө келтирилет:

\[ \Delta Y(k) = \sum_{p} \left[ V_pY(k-\varrho_p) + Y(k-\varrho_p)W_p \right] + \sum_{r} \left[ V_r\Phi(k-\varrho_r) + \Phi(k-\varrho_r)W_r \right] + \Pi(k). \]

Баштапкы аймакта

\[ \Phi(k-\varrho_r)=Y(k-\varrho_r) \]

болгондуктан эки сумма биригип, кайра

\[ \Delta Y(k) = \sum_{\ell=1}^{d} \left[ V_\ell Y(k-\varrho_\ell) + Y(k-\varrho_\ell)W_\ell \right] + \Pi(k) \]

алынат. Ошентип Теңдеме (5) чындап эле Теңдеме (2)ни чечери көрсөтүлөт.

Бир кечигүүлүү коммутативдүү эмес атайын учур — Теңдеме (10)

\(d=1\) үчүн чечим

\[ Y(k) = \mathcal Y_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal Y_{ V\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W }^{V,W} (k-\varrho-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal Y_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \]

түрүнө келтирилет.

Бул жерде

\[ \mathcal Y_G^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} (V+W)_{G}^{\rho}. \]

Бул натыйжа жаңы теория көп кечигүүлүү учурда гана эмес, бир кечигүүлүү, бирок коммутативдүү эмес матрица үчүн да колдонуларын көрсөтөт.

Кошумча коммутативдүүлүк шарттарындагы атайын туюнтмалар — Теңдеме (11)

Булак бир кечигүү жана кошумча коммутативдүүлүк шарттарында чечимди төмөнкү альтернативдүү формага келтирет:

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k-\varrho)\Phi(0) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \left[ V\mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i) + \mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i)W \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Теңдеме (12): ошол эле атайын учурдун айырма баштапкы туюнтмасы

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k)\Phi(-\varrho) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-i) \Delta_i\Phi(i-1) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Булакта

\[ \mathcal X^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} V^{\rho}W^{\,n-\rho} \]

түрүндөгү атайын матрицалык функция колдонулат.

Теңдеме (11) жана (12) жаңы жалпы түзүлүштүн мурдагы коммутативдүү атайын учурлар менен шайкештигин көрсөтүү үчүн берилет; негизги коммутативдүү эмес көп кечигүүлүү натыйжа — Теңдеме (5).

Бир нече кечигүүнүн коммутативдүү атайын учуру — Теңдеме (13)

Матрицалар жуп-жуп коммутативдүү болгон атайын учурда булак чечимди

\[ Y(k) = P^{V,W}(k)\Phi(0) + \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \left[ V_rP^{V,W}(k-\varrho_r-i) + P^{V,W}(k-\varrho_r-i)W_r \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} P^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1) \]

түрүндө туюнтат.

Бул атайын учур мурдагы адабиятка шайкеш келет. Демек, жаңы теория эски формулаларды жок кылбайт; аларды жалпыраак коммутативдүү эмес алкактын атайын учурларына айлантат.

Теңдеме (14): пертурбация матрицасы

Hyers–Ulam далилинде жакындатылган чечимдин теңдемеде калтырган калдыгы түздөн-түз

\[ O(k) = \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \]

деп аныкталат жана

\[ \|O(k)\|\le\varepsilon \]

деп кабыл алынат.

Бул аныктама түшүндүрмөлүк жактан маанилүү. \(O(k)\) — жакындатылган чечимдин максаттуу теңдемени так канааттандырбагандыгынан келип чыккан жергиликтүү ката матрицасы.

Теорема 2: Hyers–Ulam туруктуулугун далилдөөнүн негизги чынжыры

Пертурбацияланган чечим менен так чечимдин айырмасы, жалпы баштапкы мүчөлөр жана жалпы \(\Pi\) салымдары бири-бирин жокко чыгарганда, \(O\) пертурбациясынан келген сумма гана болуп калат:

\[ \chi(k)-Y(k) = \sum_{h=1}^{k} \left[ \mathcal E_{\Pi(h-1)+O(h-1)}^{V,W}(k-h) - \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \right]. \]

Лемма 5 менен матрицалык нормалар, Лемма 6 менен комбинатордук суммалар жогору жактан чектелгенде

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \varepsilon\lambda \]

натыйжасы алынат.

Туруктуулук туруктуусу:

\[ \lambda = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le T }} \left( \sum_{\ell=1}^{d} \bigl( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \bigr) \right)^{\vartheta} \frac{ T^{\vartheta+1} }{ (\vartheta+1) \displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell! } >0. \]

1. Бул формула эмнени эсептейт? Чектүү \(T\) убакыт горизонтунда теңдемедеги \(\varepsilon\) өлчөмүндөгү ката чечимдердин ортосундагы аралыкка өтүшү мүмкүн болгон теориялык жогорку чек коэффициентин түзөт.

2. Өзгөрмөлөр кайсылар? \(T\) — чектүү убакыттын жогорку чеги, \(\rho\) — кечигүү комбинациясы, \(\vartheta=\sum\rho_\ell\), \(\varrho_\ell\) — кечигүүлөр жана \(\|V_\ell\|,\|W_\ell\|\) — коэффициенттердин нормалары.

3. Бирдиктер кайсылар? Изилдөө физикалык бирдик аныктабайт; \(\lambda\) — нормага негизделген математикалык чек туруктуусу.

4. Математикалык ролу кандай? Көп кечигүү жолдорунун жана матрицалардын чоңдуктарынын жалпы пертурбация өсүшүнө таасирин коопсуз түрдө бир жогорку чекке бириктирет.

5. Коммутативдүү эместик кандай таасир этет? Матрицалардын тартиби сакталууга тийиш болгондуктан, бардык коммутативдүү эмес мономдордун таасири эсепке алынат. Булак мунун коммутативдүү учурга салыштырмалуу консервативдүү \(\lambda\) чегин жаратышы мүмкүн экенин белгилейт.

6. Кечигүүлөр кандай таасир этет? \((\varrho_\ell+1)\rho_\ell\) шарты белгилүү \(T\) ичинде кайсы көп индекстер салым бере аларын аныктайт. Демек, кечигүү түзүлүшү туруктуулук чегинде түздөн-түз орун алат.

7. Кантип чечмелениши керек? Чоң \(\lambda\) чыныгы чечимдин четтөөсү сөзсүз ушул мааниге жетерин билдирбейт. Бул кепилденген жогорку чек жана консервативдүү болушу мүмкүн.

Чектүү жана чексиз убакыт горизонтунун айырмасы

Булак ар бир чектүү \(T\) үчүн Hyers–Ulam туруктуулугун орнотот. Бирок

\[ T\rightarrow\infty \]

учурунда чексиз убакыттагы туруктуулук үчүн кошумча контрактуулук шарты талап кылынат:

\[ \sum_{\ell=1}^{d} \left( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \right) <1. \]

Бул шарт фундаменталдык чечимдин экспоненциалдык түрдө басаңдашын жана \(\lambda\) ны аныктаган катардын жыйналуусун камсыз кылат.

Ошондуктан макаладагы “туруктуулук далилденди” деген жыйынтык чексиз убакыт үчүн шартсыз деп кабыл алынбашы керек. Жалпы теорема чектүү аралык үчүн; чексиз горизонтто контрактуулук талап кылынат.

Сандык мисал — Теңдеме (15)

Булак эки кечигүүлүү \(2\times2\) системаны карайт:

\[ \Delta Y(k) = V_1Y(k-1) + Y(k-1)W_1 + V_2Y(k-2) + Y(k-2)W_2 + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb Z_0^4, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}. \]

Коэффициенттик матрицалар:

\[ V_1= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_1= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \]

\[ V_2= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_2= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Кечигүүлөр:

\[ \varrho_1=1, \qquad \varrho_2=2. \]

Бир тектүү эмес мүчө:

\[ \Pi(k) = \begin{bmatrix} 2k-1 & 0\\ 0 & 3k+1 \end{bmatrix}. \]

Баштапкы матрица:

\[ \Phi(k) = \begin{bmatrix} 1+k & 0\\ 0 & 1-k \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}, \]

жана өзгөчө

\[ \Phi(0)=I_2. \]

Фундаменталдык чечимдин алгачкы маанилери

Булак бир тектүү бөлүк үчүн алынган фундаменталдык чечим матрицаларын \(k=0,\ldots,4\) үчүн эсептейт:

Теңдеме (16): так чечимдин матрицалык түрү

Теорема 1 колдонулгандан кийин чечим

\[ Y(k) = \begin{bmatrix} Y_{11}(k) & Y_{12}(k)\\ Y_{21}(k) & Y_{22}(k) \end{bmatrix} \]

деп жазылат.

Сандык мисалдагы Hyers–Ulam пертурбациясы

Булак

\[ \varepsilon=\frac{2}{3} \]

тандайт жана

\[ O(k) = \begin{bmatrix} k/6 & 0\\ 0 & k/6 \end{bmatrix} \]

пертурбацияны аныктайт.

\[ \|O(k)\| = \frac{k}{6} \le \frac{2}{3}, \qquad k=0,1,2,3,4. \]

Ошентип Теңдеме (4)төгү пертурбация шарты түздөн-түз аткарылат.

Мисалда Теорема 2нин жогорку чек туруктуусу

\[ \lambda \approx 1470.7 >0 \]

деп эсептелген.

Бул маанинин чоңдугу так жана пертурбацияланган чечимдер чындыгында 1470 бирдиктин тегерегинде ажырайт дегенди билдирбейт. \(\lambda\varepsilon\) — теориялык жана консервативдүү жогорку чек. Чынында булак графигинде реалдуу четтөөлөр кыйла кичине.

Так жана пертурбацияланган чечимди компоненттер боюнча салыштыруу

Сүрөт эмне үчүн Hyers–Ulam туруктуулугун колдойт?

\(Y_{21}\) компонентинде эки чечим үлгү алынган бардык \(k\) маанилеринде бирдей көрүнөт. \(Y_{12}\), \(Y_{11}\) жана \(Y_{22}\) компоненттеринде пертурбациядан кийин кичине айырмалар пайда болот, бирок ийри сызыктар бири-биринен көзөмөлсүз алыстабайт.

Мисалы:

• \(k=2\) болгондо \(Y_{11}=-2\), \(\chi_{11}\approx-1.667\).
• \(k=3\) болгондо \(Y_{11}=1\), \(\chi_{11}=1.5\).
• \(k=4\) болгондо \(Y_{22}=49\), \(\chi_{22}\approx50.167\).
• \(k=4\) болгондо \(Y_{12}=92\), \(\chi_{12}\approx92.167\).

Бул байкоо өзүнчө жалпы теореманын далили эмес. Теорема 2 аналитикалык түрдө далилденген; сандык мисал теореманын белгилүү бир системада кандай көрүнөрүн гана көрсөтөт.

Кечигүү туруктуулукка кандай таасир этет?

Булак Hyers–Ulam жогорку чегинде кечигүүлөр өзгөчө ылайыктуу \(T\) жогорку чегин тандоого таасир этерин белгилейт. Көп индекстүү суммадагы

\[ \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le T \]

шарт кайсы кечигүү комбинациялары туруктуулук туруктуусуна салым кошорун түздөн-түз аныктайт.

Кечигүүлөр чоңойгондо салым жолдорунун убакыт ичинде пайда болушу өзгөрөт. Коммутативдүү эмес матрицаларда бул жолдордун ар биринде көбөйтүү тартиби да сакталууга тийиш болгондуктан, кечигүү менен коммутативдүү эместиктин таасирлери бири-биринен толугу менен көз карандысыз эмес.

Коммутативдүү эместик туруктуулуктун жогорку чегине кандай таасир этет?

Булактын Remark 11 түшүндүрмөсү коммутативдүү эмес учурда жалпыланган мультиномдук ажыратуу бардык матрицалык көбөйтүүлөрдүн тартибин сактоого тийиш экенин баса белгилейт. Ошондуктан \(\lambda\) бардык коммутативдүү эмес мономдордун норма боюнча салымдарын камтышы мүмкүн.

Натыйжада теориялык жогорку чек коммутативдүү атайын учурга караганда консервативдүү болушу мүмкүн. Бул “система сөзсүз туруксузураак” дегенди билдирбейт; далилдин коопсуз жогорку чеги кеңирээк болушу мүмкүн.

Изилдөө колдогон натыйжалар

• Көп кечигүүлүү биринчи тартиптеги сызыктуу дискреттик матрицалык теңдемелер үчүн коммутативдүүлүк божомолусуз ачык чечимдин көрсөтмөсүн курууга болот.
• Жалпыланган мультином жана көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функция бул чечимдин негизги математикалык куралдары.
• Жаңы түзүлүш классикалык коммутативдүү жана бир кечигүүлүү натыйжаларды атайын учур катары кайра берет.
• Система ар бир чектүү дискреттик убакыт аралыгында көрсөтүлгөн шарттарда Hyers–Ulam туруктуу.
• Эки кечигүүлүү сандык мисал так жана пертурбацияланган чечимдин компоненттери чектелген түрдө айырмаланарын көрсөтөт.

Изилдөө колдобогон натыйжалар

• Изилдөө бардык коммутативдүү эмес кечигүүлүү системалар асимптотикалык туруктуу деп айтпайт.
• Чексиз убакыт горизонтунда шартсыз Hyers–Ulam туруктуулугу ырасталбайт; ылайыктуу контрактуулук талап кылынат.
• Сандык мисал чыныгы физикалык эксперимент эмес.
• Натыйжалар убакыт боюнча өзгөрүүчү \(V_\ell(k)\) жана \(W_\ell(k)\) матрицаларын түздөн-түз камтыбайт.
• Изилдөө кечигүүлөрдүн саны өтө көп болгондо ыкма эсептөө жагынан ар дайым натыйжалуу деп ырастабайт.

Эсептөө татаалдыгы жана ыкманын чеги

Булак жыйынтык бөлүмүндө маанилүү эсептөө чектөөсүн ачык белгилейт. Ачык чечим формулаларындагы көп индекстер

\[ \rho\in\mathbb N_0^d, \qquad \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le k \]

шартты канааттандырат.

Кечигүүлөрдүн туруктуу саны \(d\) үчүн ылайыктуу индекстердин санынын өсүү масштабы булакта болжол менен

\[ O\left( \frac{k^d} {\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)} \right) \]

деп берилет.

Ошондуктан авторлор ыкма өзгөчө кечигүүлөрдүн саны аз, мисалы \(d\le3\), жана убакыт горизонту орточо узундукта болгон учурларга ылайыктуу экенин белгилешет. Андан кыйла чоң системалар үчүн Z-трансформация же түз итерация сыяктуу сандык ыкмалар менен эсептөө чыгымдарын өзүнчө салыштыруу зарыл.

Келечек үчүн сунушталган изилдөөлөр

• Ыкманы кечигүүлүү бөлчөк тартиптеги дискреттик системаларга кеңейтүү.
• Туруктуу эмес жана абалга көз каранды кечигүүлөрдү кароо.
• Чектүү убакыт туруктуулугу, экспоненциалдык туруктуулук жана кирүүдөн-абалга туруктуулук сыяктуу башка туруктуулук түшүнүктөрүн изилдөө.
• Ачык чечим көрсөтмөлөрүн башкарылуучулукта, байкалуучулукта жана итеративдик үйрөнүү башкаруусунда колдонуу.
• Тармакка туташкан динамикалык системаларга жана көп агенттүү системаларга колдонуу.
• Туруктуу \(V_\ell,W_\ell\) матрицаларынын ордуна убакыт боюнча өзгөрүүчү \(V_\ell(k),W_\ell(k)\) коэффициенттерин изилдөө.
• Убакыт боюнча өзгөрүүчү учур үчүн Peano–Baker тибиндеги катарды же убакытка көз каранды жалпыланган мультиномдук түзүлүштөрдү иштеп чыгуу.
• Ири масштабдагы маселелерде эсептөө татаалдыгын жана натыйжалуу ишке ашыруу стратегияларын кеңири талдоо.

Жалпы илимий жыйынтык

Изилдөөнүн негизги математикалык салымы — кечигүүлүү дискреттик матрицалык системаларда көптөн бери чечим формулаларын жеңилдеткен коммутативдүүлүк божомолун алып салуу. Бул үчүн классикалык мультиномдук ажыратууну түз колдонуунун ордуна матрицалык көбөйтүүлөрдүн тартибин сактаган \(Q_G^{V,W}\) түзүлүшү иштелип чыгып, ал көп кечигүүлүү дискреттик матрицалык экспоненциалдык функцияга өткөрүлгөн.

Бул фундаменталдык функция аркылуу баштапкы тарыхты, көп кечигүүлөрдү жана бардык бир тектүү эмес кирүүлөрдү камтыган ачык чечим алынган. Ушул эле чечим түзүлүшүнүн норма баалоолорун колдонуу менен жакындатылган жана так чечимдердин ортосундагы айырма чектелип, Hyers–Ulam туруктуулугу көрсөтүлгөн.

Математикалык жактан маанилүү жагы жөн гана “жалпыраак формула” алынганы эмес. Изилдөө көбөйтүү тартибин эркин өзгөртүүгө болбой калган чөйрөдө да классикалык кечигүүлүү системалар теориясындагы фундаменталдык чечим, баштапкы маанилер маселеси жана туруктуулук түшүнүктөрүн бирдиктүү алкакта уланта алат.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түп нуска изилдөө: Exact Solutions and Stability for First-Order Linear Discrete Matrix Equations with Multiple Delays and Non-Permutable Matrices.

Авторлор: Ahmed M. Elshenhab, Ghada AlNemer жана Xingtao Wang.

Жооптуу автор: Ahmed M. Elshenhab.

Мекеме 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt.

Мекеме 2: Department of Mathematical Sciences, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia.

Мекеме 3: School of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China.

Журнал: Mathematics.

Басмакана: MDPI, Basel, Switzerland.

Библиографиялык жазуу: Mathematics, 2026, Том 14, Номер 9, Макала 1537.

DOI: 10.3390/math14091537

Жөнөтүлгөн: 3 апрель 2026.

Ревизия: 22 апрель 2026.

Кабыл алынган: 29 апрель 2026.

Жарыяланган: 1 май 2026.

Булактын түрү: Рецензияланган, ачык жеткиликтүү түп нуска теориялык математика изилдөөсү.

Лицензия: Creative Commons Attribution (CC BY).

Ачкыч сөздөр: linear matrix discrete equation; multiple delays; noncommutative matrices; representation of solutions; Hyers-Ulam stability.

MSC: 39A06; 39A12; 39A05; 39A30.

Авторлордун салымдары

• Концептуалдаштыруу: A.M.E. жана X.W.
• Маалыматтарды курациялоо: A.M.E., G.A. жана X.W.
• Формалдык талдоо: A.M.E. жана X.W.
• Программалык камсыздоо: A.M.E.
• Жетекчилик: X.W.
• Текшерүү: A.M.E., G.A. жана X.W.
• Визуалдаштыруу: A.M.E.
• Алгачкы долбоор: A.M.E.
• Карап чыгуу жана редакциялоо: A.M.E., G.A. жана X.W.
• Изилдөө: A.M.E.
• Методология: A.M.E. жана X.W.
• Каржылоону алуу: G.A.

Каржылоо

Изилдөө Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project тарабынан PNURSP2026R45 долбоор номери менен каржыланган.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү

Авторлордун билдирүүсүнө ылайык, изилдөөнүн түп нуска салымдары макаланын ичинде камтылган. Кошумча суроолор жооптуу авторго жөнөтүлүшү мүмкүн.

Ыраазычылык

Авторлор Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number PNURSP2026R45 программасына ыраазычылык билдиришет.

Кызыкчылыктардын кагылышы

Авторлор кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришет.

Методологиялык чек

Изилдөө теориялык математика изилдөөсү. Булакта берилген сандык мисал жалпы чечим жана Hyers–Ulam туруктуулук теоремаларынын эсептелүү мүмкүнчүлүгүн көрсөтүүгө багытталган; ал реалдуу инженердик системадагы эксперименттик текшерүү эмес.

Негизги модель туруктуу коэффициенттик матрицаларды колдонот. \(V_\ell(k)\) жана \(W_\ell(k)\) сыяктуу убакыт боюнча өзгөрүүчү коэффициенттер азыркы теореманын чегинде түздөн-түз чечилбейт.

Ыкма көп индекстүү суммаларды камтыгандыктан, кечигүүлөрдүн саны жана убакыт горизонту өскөн сайын эсептөө чыгымы да өсөт. Булак изилдөө өзгөчө аз сандагы кечигүүлөрдү жана орточо убакыт горизонтторун ыкманын табигый колдонуу чөйрөсү деп эсептейт.

Чектүү убакыттагы Hyers–Ulam туруктуулугу менен чексиз убакыттагы туруктуулук бир эле натыйжа эмес. Чексиз горизонтто булак кошумча контрактуулук шартын берет.

Расмий жарыялоо шилтемеси: https://doi.org/10.3390/math14091537