Utafiti huu ni utafiti wa kinadharia wa hisabati unaokuza nadharia ya suluhisho la umbo funge na uthabiti kwa milinganyo ya matriki diskreti ya mstari ya daraja la kwanza yenye ucheleweshaji mwingi, ambamo hali ya sasa ya matriki ya mfumo hutegemea thamani zake katika hatua kadhaa za wakati uliopita. Ubunifu mkuu wa utafiti ni kuondoa sharti kwamba matriki ziwe za kubadilishana, sharti lililohitajika na suluhisho nyingi za awali. Kwa maneno mengine, utafiti unafanya kazi na matriki ambazo kwa ujumla zinaweza kuwa \(AB\neq BA\); unatengeneza suluhisho kwa kutumia upanuzi wa multinomial uliorahisishwa kwa hali ya jumla na funksi za eksponensheli za matriki diskreti zenye ucheleweshaji mwingi bila kupoteza mpangilio wa uzidishaji wa matriki.

Mfumo mkuu unaochunguzwa hufafanua tofauti ya mbele ya kisichojulikana cha thamani ya matriki \(n\times n\), \(Y(k)\), kupitia kuzidisha thamani za \(Y(k-\varrho_i)\) katika ucheleweshaji tofauti kwa matriki \(V_i\) kutoka kushoto na \(W_i\) kutoka kulia, pamoja na neno lisilo homojeni \(\Pi(k)\). Kwanza utafiti huunda utaratibu wa multinomial uliorahisishwa kwa hali ya jumla unaofaa kwa muundo huu usiobadilishana, kisha hufafanua funksi ya eksponensheli ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji mwingi, na kwa kutumia zana hii ya suluhisho msingi hupata suluhisho wazi la tatizo la jumla la thamani za awali.

Matokeo makuu ya pili ni uthabiti wa Hyers–Ulam. Dhana hii ya uthabiti inaeleza kuwa tofauti kati ya suluhisho la kukadiria \(\varepsilon\), ambalo linatimiza mlinganyo kwa kosa dogo \(\chi(k)\), na suluhisho kamili \(Y(k)\) inaweza kudhibitiwa kwa umbo la \(\lambda\varepsilon\). Utafiti hupata mpaka kama huo katika kila kipindi cha muda diskreti chenye kikomo; kwa upeo wa muda usio na mwisho, unaonyesha kuwa sharti la ziada la ukandamizaji linahitajika ili suluhisho msingi lipungue.

Katika mfano wa nambari, mfumo wenye ucheleweshaji miwili, matriki za \(2\times2\), na matriki za mgawo zisizobadilishana umechunguzwa. Suluhisho kamili na zilizoperturbishwa zimehesabiwa kwa \(k=0,1,2,3,4\); imeonyeshwa kuwa mikunjo ya vipengele vinne vya matriki inabaki karibu. Katika mfano, \(\varepsilon=2/3\) imechaguliwa na konstanti inayotumika katika mpaka wa juu wa kinadharia wa uthabiti imepatikana kuwa takribani \(\lambda=1470.7\).

Kikomo muhimu zaidi cha tafsiri: Utafiti huu hauhakikishi jaribio la uwandani la kifaa fulani cha kimwili wala mafanikio ya udhibiti wa wakati halisi. Matokeo yanahusu teorema za hisabati na mfano wa nambari unaozionyesha. Uthabiti wa Hyers–Ulam pia haumaanishi kuwa mfumo ni thabiti katika aina zote za kawaida za uthabiti; ni dhana maalum ya uthabiti inayoeleza kwamba perturbation ndogo za mlinganyo husababisha mkengeuko wa suluhisho wenye mpaka ikilinganishwa na suluhisho kamili.

Kwa nini tatizo la utafiti linajitokeza?

Katika mifumo ya muda diskreti, kigezo kinaweza kuathiriwa si tu na hali ya sasa bali pia na hatua za wakati uliopita. Katika mifumo ya udhibiti, uchakataji wa ishara, mifumo dinamiki iliyounganishwa kwa mtandao na miundo ya mrejesho yenye ucheleweshaji, ni kawaida kutumia hali moja au zaidi za zamani katika kuamua hali inayofuata.

Katika mlinganyo skala, mpangilio wa uzidishaji hauleti tatizo. Hata hivyo, mfumo unapowakilishwa kwa matriki, changamoto muhimu ya kihisabati hutokea. Kwa ujumla, kwa matriki mbili

\[ AB \neq BA \]

inaweza kuwa hivyo. Hali hii hufanya mbinu za kubadilisha nafasi za maneno zinazotumika katika upanuzi wa kawaida wa binomial au multinomial kutokuwa halali.

Kwa nini kutobadilishana kwa matriki ni tatizo kuu katika utafiti huu?

Iwapo matriki hazibadilishani, mpangilio wa uzidishaji hubadilisha matokeo ya kihisabati; kwa hiyo maneno kama \(V_iY\), \(YW_i\), \(V_iYW_j\) na \(W_jV_iY\) hayawezi kupangwa upya kwa hiari na upanuzi wa kawaida wa multinomial hauwezi kutumika moja kwa moja.

Sehemu kubwa ya tafiti za awali zilidhani kuwa matriki za mgawo hubadilishana jozi kwa jozi ili kushinda changamoto hii. Utafiti chanzo hujenga upya nadharia ya suluhisho kwa namna inayoondoa dhana hiyo.

Tatizo la awali la Diblík lenye ucheleweshaji mmoja — Mlinganyo (1)

Moja ya sehemu za kuanzia katika fasihi ya utafiti ni mlinganyo ufuatao wa matriki wenye ucheleweshaji mmoja:

\[ \Delta Y(k) = AY(k-\tau) + Y(k-\tau)B + \Lambda(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Psi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\tau}^{0}. \]

1. Fomula inahesabu nini? Inafafanua jinsi mabadiliko ya matriki katika hatua inayofuata ya muda diskreti yanavyotegemea hali ya matriki ya hatua \(\tau\) za wakati zilizopita na neno la nje/lisilo homojeni \(\Lambda(k)\).

2. Vigezo ni vipi? \(Y(k)\) ni funksi isiyojulikana yenye thamani ya matriki \(n\times n\). \(A\) na \(B\) ni matriki za mgawo thabiti za \(n\times n\). \(\tau>0\) ni ucheleweshaji. \(\Lambda(k)\) ni neno linalojulikana lisilo homojeni. \(\Psi(k)\) hutoa historia ya awali inayohitajika kuanzisha mfumo wenye ucheleweshaji.

3. Vitengo ni vipi? Chanzo hakifafanui matumizi ya kimwili wala kitengo. Kwa upande wa vipimo vya kihisabati, \(Y,A,B,\Lambda,\Psi\) ni miundo inayofaa ya matriki \(n\times n\); \(k\) na \(\tau\) ni fahirisi za muda diskreti za namba kamili.

4. Jukumu la kihisabati ni lipi? Kwa kuwa mlinganyo unajumuisha kwa wakati mmoja kuzidisha kwa \(A\) kutoka kushoto na \(B\) kutoka kulia, huunda muundo tajiri zaidi kuliko milinganyo ya kawaida ya tofauti za vekta.

5. Maana ya kisayansi ni nini? Hali ya zamani huathiri mfumo kupitia operesheni mbili tofauti za matriki za mstari.

6. Ni halali chini ya masharti gani? \(A\) na \(B\) ni thabiti; ucheleweshaji \(\tau\) ni chanya na historia ya awali imetolewa katika nyakati diskreti kati ya \(-\tau\) na 0.

7. Inapaswa kutafsiriwaje? Mlinganyo huu si modeli ya mwisho ya moja kwa moja ya utafiti wa sasa, bali ni msingi wa fasihi ya ucheleweshaji mmoja. Utafiti mpya unaupanua hadi ucheleweshaji mwingi na matriki zisizobadilishana.

Mfumo mkuu wa utafiti wenye ucheleweshaji mwingi — Mlinganyo (2)

\[ \Delta Y(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_iY(k-\varrho_i) + Y(k-\varrho_i)W_i \right] + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\varrho}^{0}, \]

\[ \varrho = \max\{\varrho_1,\ldots,\varrho_d\}. \]

1. Fomula inahesabu nini? Inafafanua jumla ya mchango wa njia nyingi za ucheleweshaji katika tofauti ya mbele ya mfumo huo huo wa matriki.

2. Vigezo ni vipi? \(d\) ni idadi ya njia za ucheleweshaji. \(\varrho_i\in\mathbb N\) ni ucheleweshaji wa kila njia. \(V_i\) na \(W_i\) ni matriki halisi thabiti za \(n\times n\). \(\Pi(k)\) ni funksi ya matriki inayojulikana isiyo homojeni. \(\Phi(k)\) ni historia ya awali.

3. Vitengo ni vipi? Chanzo hakifafanui kitengo cha kimwili. Maneno yote ya jumla ya matriki lazima yawe katika muundo uleule wa kihisabati wa \(n\times n\).

4. Jukumu la kihisabati ni lipi? Kila ucheleweshaji \(\varrho_i\) huleta taarifa kutoka hatua tofauti ya wakati uliopita. Matriki ileile ya zamani huathiriwa kando na \(V_i\) kutoka kushoto na \(W_i\) kutoka kulia.

5. Maana ya kihisabati ni nini? Mpangilio wa uzidishaji lazima uhifadhiwe. Kwa mfano, \(V_iY(k-\varrho_i)\) na \(Y(k-\varrho_i)V_i\) si neno lilelile.

6. Dhana ni ipi? Ubunifu muhimu wa utafiti chanzo ni kwamba hauweki sharti la jumla la kubadilishana kati ya \(V_i\), \(W_i\), \(\Phi\) na \(\Pi\).

7. Matokeo yanapaswa kutafsiriwaje? Ufafanuzi, lemma na teorema zote za makala zimeundwa hasa ili kutatua mfumo huu kwa umbo wazi na kuweka mpaka wa uthabiti wake dhidi ya perturbation.

Opereta ya tofauti ya mbele

\[ \Delta Y(k)=Y(k+1)-Y(k). \]

Opereta hii ni kilinganishi cha muda diskreti cha derivative katika muda endelevu. Hupima mabadiliko ya \(Y(k)\) katika hatua inayofuata. Badala ya derivative, tofauti kati ya hali mbili diskreti zinazofuatana huchukuliwa.

Norma ya matriki iliyotumika

Utafiti chanzo unatumia norma ifuatayo ya jumla ya juu zaidi ya safu:

\[ \|A\| = \max_{1\le i\le n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|. \]

Norma hii huhesabu jumla ya thamani kamili za vipengele katika kila safu na kuchagua jumla kubwa zaidi ya safu. Katika uthibitisho wa uthabiti hutumika kudhibiti ukubwa wa matriki kwa namba moja chanya.

Mgawo wa multinomial

\[ \binom{\Xi} {\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N} = \frac{\Xi!} {\displaystyle\prod_{h=1}^{N}\Xi_h!}, \qquad \Xi=\sum_{h=1}^{N}\Xi_h. \]

Mgawo huu huhesabu kwa njia ngapi tofauti jumla ya chaguo \(\Xi\) inaweza kugawanywa katika makundi yenye ukubwa \(\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N\). Katika utafiti chanzo hutumika kupanga michanganyiko ya ucheleweshaji na fahirisi nyingi.

Lemma 1: utambulisho wa tofauti kwa jumla diskreti

Chanzo hutoa mahusiano ya ujumuishaji diskreti na utofautishaji kwa matumizi katika uthibitisho. Opereta ya msingi:

\[ \nabla_tu(t,s) = u(t+1,s)-u(t,s). \]

Pamoja na hilo, uhusiano unaofanana na ujumuishaji kwa sehemu katika hali diskreti:

\[ \sum_{s=m}^{p}u(s)\nabla v(s) = u(p)v(p+1) - u(m)v(m) - \sum_{s=m+1}^{p} \nabla u(s-1)v(s) \]

na kwa tofauti ya jumla ambayo mpaka wake wa juu unategemea \(t\):

\[ \nabla_t \left[ \sum_{s=1}^{t}u(t,s) \right] = u(t+1,t+1) + \sum_{s=1}^{t}\nabla_tu(t,s) \]

hutumika. Mahusiano haya, hasa katika Teorema 1 wakati tofauti ya mbele ya fomula ya suluhisho inachukuliwa, huhakikisha kuwa maneno ya mpaka yanajitokeza kwa usahihi.

Matriki bainishi \(Q\) — Ufafanuzi 1

Chanzo hufafanua familia msaidizi ya matriki \(Q_G^{V,W}(k;\mathbf i)\) ili kutopoteza mpangilio wa bidhaa za matriki zisizobadilishana:

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i) = \sum_{h=1}^{d} \left[ V_h Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h) + Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h)W_h \right]. \]

Masharti ya awali:

\[ Q_G^{V,W}(0;\mathbf i)=\Theta, \qquad Q_G^{V,W}(1;\mathbf 0)=G, \]

na ikiwa mojawapo ya fahirisi nyingi ni hasi, thamani husika ya \(Q\) huchukuliwa kuwa matriki sifuri \(\Theta\).

Kwa nini muundo huu unahitajika? Katika upanuzi wa kawaida wa multinomial, maneno yanayofanana yanaweza kuunganishwa kwa kubadilisha mpangilio wa maneno. Katika matriki zisizobadilishana, operesheni hii si salama. Rekurensia ya \(Q\) huhifadhi ndani ya muundo mpangilio ambao uzidishaji wa \(V_h\) kutoka kushoto na \(W_h\) kutoka kulia hujitokeza.

Lemma 2: kuweka sifuri fahirisi nyingi zisizowezekana

Ikiwa

\[ i_1+i_2+\cdots+i_d\ge k+1, \]

basi

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i)=\Theta. \]

Matokeo haya ni muhimu katika hesabu kwa sababu sehemu kubwa ya nafasi ya fahirisi nyingi inayoonekana kuwa isiyo na mwisho hutoa mchango sifuri kiotomatiki. Chanzo kinathibitisha hili kwa induction ya kihisabati juu ya \(k\).

Muundo wa multinomial uliorahisishwa kwa hali ya jumla kwa matriki zisizobadilishana

Chanzo kinatumia muundo ufuatao uliorahisishwa kwa hali ya jumla, ambao huhifadhi mpangilio wa uzidishaji, badala ya nguvu ya kawaida ya multinomial:

\[ \left( \sum_{\ell=1}^{d}(V_\ell+W_\ell) \right)_{G}^{n} = \sum_{\substack{\beta\in\mathbb N_0^d\\ n\ge\tau}} Q_G^{V,W}(n+1;\beta), \]

\[ \tau = \sum_{i=1}^{d}\beta_i. \]

Chanzo pia hupanua muundo huohuo kupitia migawo ya multinomial. Fahirisi ya chini \(G\) hapa hukumbusha kwamba usemi haupaswi kusomwa kama nguvu ya kawaida ya matriki zinazobadilishana.

Katika hali ya ucheleweshaji mmoja \(d=1\), muundo hupunguzwa kuwa umbo la binomial lililorahisishwa kwa hali ya jumla. Matriki zinapobadilishana jozi kwa jozi, muundo huo hulingana na upanuzi wa kawaida wa multinomial. Hivyo ufafanuzi mpya haupingani na nadharia ya zamani, bali huihusisha kama hali maalum.

Kwa nini funksi ya eksponensheli ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji mwingi inahitajika?

Funksi ya eksponensheli ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji mwingi hufanya kazi kama kilinganishi diskreti chenye ucheleweshaji cha eksponensheli ya matriki msingi katika mifumo endelevu; huunganisha athari za wakati uliopita, michanganyiko tofauti ya ucheleweshaji na bidhaa za matriki zisizobadilishana katika kitu kimoja cha suluhisho msingi.

Mlinganyo (3): funksi ya eksponensheli ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji mwingi

\[ \mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k }} \binom{ k-\sum_{\ell=1}^{d}\varrho_\ell\rho_\ell }{ \rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_d,\; k-\sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell } Q_G^{V,W}(\vartheta+1;\rho), \]

\[ \vartheta=\rho_1+\rho_2+\cdots+\rho_d. \]

1. Fomula inahesabu nini? Hujumlisha juu ya fahirisi nyingi zote zinazofaa mara ngapi ucheleweshaji tofauti unaweza kutumika hadi wakati diskreti \(k\), na kuunganisha mchango wa matriki usiobadilishana wa kila mchanganyiko.

2. Vigezo ni vipi? \(\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_d)\) ni fahirisi nyingi inayoonyesha mara ngapi kila njia ya ucheleweshaji inahusika katika mchanganyiko. \(\varrho_\ell\) ni ucheleweshaji. \(Q_G^{V,W}\) ni matriki bainishi inayohifadhi mpangilio wa uzidishaji.

3. Vitengo ni vipi? Chanzo hakifafanui kitengo cha kimwili. Matokeo ya funksi ni matriki \(n\times n\).

4. Jukumu la kihisabati ni lipi? Ni kilinganishi diskreti chenye ucheleweshaji mwingi cha suluhisho msingi la matriki katika milinganyo tofauti.

5. Maana yake ni nini? Kila \(\rho\) inayofaa inaweza kufikiriwa kama njia tofauti ya kikorombwe inayoweza kufikia mfumo kutoka historia ya ucheleweshaji.

6. Sharti ni lipi? Ni

\[ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k \]

fahirisi nyingi zinazotimiza sharti hilo pekee ndizo zinazoingia kwenye jumla.

7. Inapaswa kutafsiriwaje? Funksi hii si uandishi upya wa urembo tu; ni zana ya msingi ya kihisabati inayowezesha suluhisho kamili kuandikwa kwa umbo fupi katika Teorema 1.

Lemma 4: mlinganyo wa tofauti wa suluhisho msingi

Funksi ya eksponensheli ya matriki yenye ucheleweshaji mwingi hutimiza mlinganyo ufuatao homojeni:

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Matokeo haya yanaonyesha kwamba \(\mathcal E_G^{V,W}\) kweli hufanya kazi ya suluhisho msingi. Kwa maneno mengine, funksi hii si jumla iliyofafanuliwa tu; hutoa moja kwa moja dinamiki ya sehemu homojeni ya mfumo unaolengwa.

Uthabiti wa Hyers–Ulam unaeleza nini?

Uthabiti wa Hyers–Ulam unaeleza kwamba inaweza kuhakikishwa kuwa suluhisho la kukadiria linalotimiza mlinganyo katika kila hatua kwa kosa lisilozidi \(\varepsilon\) litabaki katika umbali usiozidi kiasi thabiti cha \(\lambda\varepsilon\) kutoka kwa suluhisho halisi kamili.

Mlinganyo (4): mfumo ulioperturbishwa

\[ \left\| \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \right\| \le \varepsilon. \]

Ikiwa suluhisho \(Y(k)\) la mfumo kamili na konstanti \(\lambda>0\) vinaweza kupatikana ili

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \lambda\varepsilon \]

itimizwe, mfumo huchukuliwa kuwa thabiti kwa maana ya Hyers–Ulam.

\(\varepsilon\) ni ukubwa wa perturbation unaoruhusiwa katika kiwango cha mlinganyo. \(\lambda\) ni konstanti ya uthabiti inayoweka mpaka wa kiasi ambacho kosa hili la ndani la mlinganyo linaweza kukua katika nafasi ya suluhisho.

Jambo la kuzingatia hapa ni kwamba uthabiti wa Hyers–Ulam haumaanishi “suluhisho linaenda sifuri kadiri muda unavyopita”. Ufafanuzi huu unahusu ukaribu unaodhibitiwa kati ya suluhisho la kukadiria na suluhisho kamili.

Lemma 5: mpaka wa juu wa norma ya suluhisho msingi

\[ \left\| \mathcal E_G^{V,W}(k) \right\| \le \mathcal E_{\|G\|}^{\|V\|,\|W\|}(k). \]

Kutokuwa sawa huku kunaweka mpaka wa ukubwa wa suluhisho msingi tata lenye thamani ya matriki kwa usemi chanya uliojengwa kutokana na norma za matriki za mgawo na ambao ni rahisi zaidi kudhibiti.

Mantiki kuu ya uthibitisho wa uthabiti inaonekana hapa: badala ya kufuatilia moja kwa moja mwelekeo wa kina wa bidhaa za matriki moja baada ya nyingine, mpaka wa juu salama hujengwa kupitia norma zake.

Lemma 6: mpaka wa juu wa muda wenye kikomo kwa jumla ya kikorombwe

Chanzo kinaonyesha kwamba, kwa \(\vartheta=\rho_1+\cdots+\rho_d\), jumla husika ya multinomial inaweza kuwekwa mpaka na

\[ \frac{T^{\vartheta+1}} {(\vartheta+1)\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell!} \]

.

Matokeo haya ni muhimu katika uthibitisho wa Hyers–Ulam kwa sababu yanahakikisha kihisabati kuwa mchango wa jumla wa njia nyingi za ucheleweshaji unaweza kudhibitiwa ndani ya upeo wa muda wenye kikomo \(T\).

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Teorema 1: suluhisho la jumla la umbo funge — Mlinganyo (5)

Teorema kuu ya suluhisho katika utafiti inatoa suluhisho la Mlinganyo (2) kwa umbo la vipande lifuatalo:

\[ Y(k) = \begin{cases} \Phi(k), & k\in\mathbb Z_{-\varrho}^{0}, \\[6pt] \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \displaystyle \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \mathcal E_{ V_r\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_r }^{V,W} (k-\varrho_r-i) \\ \qquad\qquad + \displaystyle \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h), & k\in\mathbb Z_{0}^{\infty}. \end{cases} \]

1. Fomula inahesabu nini? Historia ya awali, ucheleweshaji na msukumo wa nje \(\Pi(k)\) vinapojulikana, hutoa suluhisho kamili la matriki kwa kila \(k\ge0\).

2. Sehemu kuu tatu za fomula ni zipi?

• \(\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k)\): kuenea kwa matriki \(\Phi(0)\) ya wakati wa mwanzo katika mfumo.
• Jumla maradufu: mchango wa historia ya awali kabla ya 0 unaopelekwa mbele kupitia kila njia ya ucheleweshaji.
• Jumla ya mwisho: athari iliyokusanywa ya viingizo visivyo homojeni \(\Pi(h-1)\) kutoka nyakati zilizopita hadi \(k\).

3. Vitengo ni vipi? Maneno yote ni matriki \(n\times n\).

4. Jukumu la kihisabati ni lipi? Fomula hii huunda aina ya muundo diskreti wa Duhamel/variation-of-constants kwa mifumo yenye ucheleweshaji: hujumlisha kando athari ya mwanzo na athari ya neno la kulazimisha.

5. Kutobadilishana kunahifadhiwa wapi? Mpangilio wote wa matriki huhifadhiwa ndani ya \(\mathcal E_G^{V,W}\) na muundo wa \(Q_G^{V,W}\) ulio ndani yake. Kwa hiyo bidhaa hazipangwi upya kiholela.

6. Masharti ni yapi? \(\varrho_\ell\ge1\), \(V_\ell\) na \(W_\ell\) ni matriki halisi thabiti zisizo sifuri za \(n\times n\). Hazihitaji kubadilishana.

7. Matokeo yanapaswa kutafsiriwaje? Ubunifu mkuu wa makala ni kwamba suluhisho hili wazi linaweza kujengwa bila kuhitaji matriki ziwe za kubadilishana.

Mlinganyo (6): kutenganisha suluhisho kulingana na hali za ucheleweshaji katika uthibitisho

Katika uthibitisho wa Teorema 1, ucheleweshaji hugawanywa kwa \(k\) iliyochaguliwa kuwa ule ambao athari yake bado iko katika eneo la mwanzo na ule ambao umeingia katika eneo la suluhisho. Chanzo hupanga upya suluhisho katika muundo ufuatao:

\[ Y(k) = \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h). \]

Mgawanyo huu si ufafanuzi mpya wa suluhisho. Ni mbinu ya uthibitisho: unatenganisha wazi ikiwa thamani ya \(k-\varrho_r\) bado iko katika eneo la mwanzo au imeingia katika eneo la suluhisho dinamiki.

Mlinganyo (7): kuchukua tofauti ya mbele

Tofauti ya mbele ya Mlinganyo (6) inapochukuliwa, chanzo hutumia Lemma 1 na kufikia

\[ \Delta Y(k) = \Delta\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \Delta \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \Delta \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \left[ V_{r_2}\Phi(k-\varrho_{r_2}) + \Phi(k-\varrho_{r_2})W_{r_2} \right] + \sum_{h=1}^{k} \Delta\mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) + \Pi(k) \]

usemi.

Jambo muhimu ni kwamba neno jipya la mpaka hujitokeza wakati tofauti ya jumla yenye mpaka wa juu unaobadilika inapochukuliwa. Neno \(\Pi(k)\) pia hujitokeza katika hatua ya sasa ya muda hasa wakati wa operesheni hii ya tofauti ya mbele.

Mlinganyo (8): uhusiano wa suluhisho msingi homojeni

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Chanzo hutumia usawa huu kwa kila neno \(\Delta\mathcal E\) katika Mlinganyo (7). Hivyo usemi tata wa tofauti hubadilika kuwa muundo wa kuchelewa \(V_iY+YW_i\) uliopo katika mfumo unaolengwa.

Mlinganyo (9): kurejea katika mfumo unaolengwa

Mwishoni mwa uthibitisho usemi hupunguzwa kuwa muundo wa kati ufuatao:

\[ \Delta Y(k) = \sum_{p} \left[ V_pY(k-\varrho_p) + Y(k-\varrho_p)W_p \right] + \sum_{r} \left[ V_r\Phi(k-\varrho_r) + \Phi(k-\varrho_r)W_r \right] + \Pi(k). \]

Katika eneo la mwanzo

\[ \Phi(k-\varrho_r)=Y(k-\varrho_r) \]

kwa kuwa hivyo, jumla mbili huungana na tena

\[ \Delta Y(k) = \sum_{\ell=1}^{d} \left[ V_\ell Y(k-\varrho_\ell) + Y(k-\varrho_\ell)W_\ell \right] + \Pi(k) \]

hupatikana. Hivyo inaonyeshwa kwamba Mlinganyo (5) kweli hutatua Mlinganyo (2).

Hali maalum isiyobadilishana yenye ucheleweshaji mmoja — Mlinganyo (10)

Kwa \(d=1\), suluhisho

\[ Y(k) = \mathcal Y_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal Y_{ V\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W }^{V,W} (k-\varrho-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal Y_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \]

hupunguzwa kuwa umbo

Hapa

\[ \mathcal Y_G^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} (V+W)_{G}^{\rho}. \]

Matokeo haya yanaonyesha kwamba nadharia mpya inaweza kutumika si tu katika ucheleweshaji mwingi bali pia katika matriki yenye ucheleweshaji mmoja ambayo haibadilishani.

Uwakilishi maalum chini ya masharti ya ziada ya kubadilishana — Mlinganyo (11)

Chanzo hupunguza suluhisho katika hali ya ucheleweshaji mmoja na masharti ya ziada ya kubadilishana hadi umbo mbadala lifuatalo:

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k-\varrho)\Phi(0) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \left[ V\mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i) + \mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i)W \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Mlinganyo (12): uwakilishi wa hali maalum hiyo hiyo wenye mwanzo wa tofauti

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k)\Phi(-\varrho) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-i) \Delta_i\Phi(i-1) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Katika chanzo

\[ \mathcal X^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} V^{\rho}W^{\,n-\rho} \]

hutumika funksi maalum ya matriki ya aina hiyo.

Mlinganyo (11) na (12) hutolewa ili kuonyesha kuwa muundo mpya wa jumla unalingana na hali maalum za awali zinazobadilishana; matokeo makuu ya ucheleweshaji mwingi usiobadilishana ni Mlinganyo (5).

Hali maalum inayobadilishana ya ucheleweshaji mwingi — Mlinganyo (13)

Katika hali maalum ambapo matriki hubadilishana jozi kwa jozi, chanzo huonyesha suluhisho

\[ Y(k) = P^{V,W}(k)\Phi(0) + \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \left[ V_rP^{V,W}(k-\varrho_r-i) + P^{V,W}(k-\varrho_r-i)W_r \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} P^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1) \]

kwa umbo hilo.

Hali hii maalum inalingana na fasihi ya awali. Kwa hiyo nadharia mpya haiondoi fomula za zamani; inazifanya kuwa hali maalum za mfumo mpana zaidi usiobadilishana.

Mlinganyo (14): matriki ya perturbation

Katika uthibitisho wa Hyers–Ulam, mabaki yanayoachwa na suluhisho la kukadiria katika mlinganyo yanafafanuliwa moja kwa moja kama

\[ O(k) = \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \]

na inakubaliwa kuwa

\[ \|O(k)\|\le\varepsilon \]

.

Ufafanuzi huu ni muhimu kwa upande wa ufundishaji. \(O(k)\) ni matriki ya kosa la ndani linalotokana na suluhisho la kukadiria kutotimiza mlinganyo unaolengwa kikamilifu.

Teorema 2: mnyororo mkuu wa uthibitisho wa uthabiti wa Hyers–Ulam

Tofauti kati ya suluhisho lililoperturbishwa na suluhisho kamili, baada ya maneno ya awali ya pamoja na michango ya pamoja ya \(\Pi\) kufutana, hubaki tu kama jumla inayotokana na perturbation \(O\):

\[ \chi(k)-Y(k) = \sum_{h=1}^{k} \left[ \mathcal E_{\Pi(h-1)+O(h-1)}^{V,W}(k-h) - \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \right]. \]

Norma za matriki zinapowekwa mpaka wa juu kwa Lemma 5 na jumla za kikorombwe kwa Lemma 6

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \varepsilon\lambda \]

matokeo hupatikana.

Konstanti ya uthabiti:

\[ \lambda = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le T }} \left( \sum_{\ell=1}^{d} \bigl( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \bigr) \right)^{\vartheta} \frac{ T^{\vartheta+1} }{ (\vartheta+1) \displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell! } >0. \]

1. Fomula hii inahesabu nini? Katika upeo wa muda wenye kikomo \(T\), huunda mgawo wa kinadharia wa mpaka wa juu ambao kosa la ukubwa \(\varepsilon\) katika mlinganyo linaweza kuhamishiwa katika umbali kati ya suluhisho.

2. Vigezo ni vipi? \(T\) ni mpaka wa juu wa muda wenye kikomo, \(\rho\) ni mchanganyiko wa ucheleweshaji, \(\vartheta=\sum\rho_\ell\), \(\varrho_\ell\) ni ucheleweshaji, na \(\|V_\ell\|,\|W_\ell\|\) ni norma za migawo.

3. Vitengo ni vipi? Utafiti hauainishi kitengo cha kimwili; \(\lambda\) ni konstanti ya mpaka wa kihisabati inayotegemea norma.

4. Jukumu la kihisabati ni lipi? Hukusanya kwa usalama katika mpaka mmoja wa juu athari za njia nyingi za ucheleweshaji na ukubwa wa matriki juu ya ukuaji wa jumla wa perturbation.

5. Kutobadilishana kunaathirije? Kwa kuwa mpangilio wa matriki lazima uhifadhiwe, athari ya monomial zote zisizobadilishana huzingatiwa. Chanzo kinaeleza kuwa hali hii inaweza kutoa mpaka wa \(\lambda\) ulio wa tahadhari zaidi ikilinganishwa na hali inayobadilishana.

6. Ucheleweshaji unaathirije? Sharti \((\varrho_\ell+1)\rho_\ell\) huamua ni fahirisi nyingi zipi zinaweza kuchangia ndani ya \(T\) fulani. Kwa hiyo muundo wa ucheleweshaji huingia moja kwa moja katika mpaka wa uthabiti.

7. Inapaswa kutafsiriwaje? \(\lambda\) kubwa haimaanishi kuwa mkengeuko halisi wa suluhisho lazima ufikie thamani hiyo. Huu ni mpaka wa juu wa dhamana na unaweza kuwa wa tahadhari.

Tofauti kati ya upeo wa muda wenye kikomo na usio na mwisho

Chanzo huanzisha uthabiti wa Hyers–Ulam kwa kila \(T\) yenye kikomo. Hata hivyo

\[ T\rightarrow\infty \]

katika hali hiyo, sharti la ziada la ukandamizaji linahitajika kwa uthabiti wa muda usio na mwisho:

\[ \sum_{\ell=1}^{d} \left( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \right) <1. \]

Sharti hili huhakikisha kupungua kwa eksponensheli kwa suluhisho msingi na ukaribiaji wa mfululizo unaofafanua \(\lambda\).

Kwa hiyo hitimisho la makala kwamba “uthabiti umethibitishwa” halipaswi kusomwa kama lisilo na masharti kwa muda usio na kikomo. Teorema ya jumla ni kwa kipindi chenye kikomo; katika upeo usio na mwisho ukandamizaji unahitajika.

Mfano wa nambari — Mlinganyo (15)

Chanzo kinachunguza mfumo wa \(2\times2\) wenye ucheleweshaji miwili:

\[ \Delta Y(k) = V_1Y(k-1) + Y(k-1)W_1 + V_2Y(k-2) + Y(k-2)W_2 + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb Z_0^4, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}. \]

Matriki za mgawo:

\[ V_1= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_1= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \]

\[ V_2= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_2= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Ucheleweshaji:

\[ \varrho_1=1, \qquad \varrho_2=2. \]

Neno lisilo homojeni:

\[ \Pi(k) = \begin{bmatrix} 2k-1 & 0\\ 0 & 3k+1 \end{bmatrix}. \]

Matriki ya awali:

\[ \Phi(k) = \begin{bmatrix} 1+k & 0\\ 0 & 1-k \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}, \]

na hasa

\[ \Phi(0)=I_2. \]

Thamani za kwanza za suluhisho msingi

Chanzo huhesabu matriki za suluhisho msingi zilizopatikana kwa sehemu homojeni kwa \(k=0,\ldots,4\):

Mlinganyo (16): umbo la matriki la suluhisho kamili

Baada ya kutumia Teorema 1, suluhisho

\[ Y(k) = \begin{bmatrix} Y_{11}(k) & Y_{12}(k)\\ Y_{21}(k) & Y_{22}(k) \end{bmatrix} \]

huandikwa kama.

Perturbation ya Hyers–Ulam katika mfano wa nambari

Chanzo

\[ \varepsilon=\frac{2}{3} \]

huchagua na

\[ O(k) = \begin{bmatrix} k/6 & 0\\ 0 & k/6 \end{bmatrix} \]

hufafanua perturbation.

\[ \|O(k)\| = \frac{k}{6} \le \frac{2}{3}, \qquad k=0,1,2,3,4. \]

Hivyo sharti la perturbation katika Mlinganyo (4) linatimizwa moja kwa moja.

Katika mfano, konstanti ya mpaka wa juu ya Teorema 2

\[ \lambda \approx 1470.7 >0 \]

imehesabiwa.

Ukubwa wa thamani hii haumaanishi kuwa suluhisho kamili na lililoperturbishwa kweli yanatengana kwa karibu vitengo 1470. \(\lambda\varepsilon\) ni mpaka wa juu wa kinadharia na wa tahadhari. Kwa hakika, katika grafu ya chanzo mikengeuko halisi ni midogo zaidi sana.

Ulinganisho wa suluhisho kamili na lililoperturbishwa kwa kila kipengele

Kwa nini kielelezo kinaunga mkono uthabiti wa Hyers–Ulam?

Katika kipengele \(Y_{21}\), suluhisho mbili zinaonekana sawa katika thamani zote za \(k\) zilizochukuliwa. Katika vipengele \(Y_{12}\), \(Y_{11}\) na \(Y_{22}\), tofauti ndogo hutokea baada ya perturbation, lakini mikunjo haitengani bila udhibiti.

Kwa mfano:

• Kwa \(k=2\), \(Y_{11}=-2\), \(\chi_{11}\approx-1.667\).
• Kwa \(k=3\), \(Y_{11}=1\), \(\chi_{11}=1.5\).
• Kwa \(k=4\), \(Y_{22}=49\), \(\chi_{22}\approx50.167\).
• Kwa \(k=4\), \(Y_{12}=92\), \(\chi_{12}\approx92.167\).

Uchunguzi huu peke yake si uthibitisho wa teorema ya jumla. Teorema 2 imethibitishwa kwa uchanganuzi; mfano wa nambari unaonyesha tu jinsi teorema inavyoonekana katika mfumo maalum.

Ucheleweshaji unaathirije uthabiti?

Chanzo kinaeleza kuwa katika mpaka wa juu wa Hyers–Ulam, ucheleweshaji huathiri hasa uchaguzi wa mpaka wa juu unaofaa wa \(T\). Katika jumla ya fahirisi nyingi

\[ \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le T \]

sharti huamua moja kwa moja ni michanganyiko ipi ya ucheleweshaji itakayochangia konstanti ya uthabiti.

Ucheleweshaji unapoongezeka, namna njia za mchango zinavyotokea kwa muda hubadilika. Katika matriki zisizobadilishana, kwa kuwa mpangilio wa uzidishaji lazima pia uhifadhiwe katika kila njia hizi, athari za ucheleweshaji na kutobadilishana si huru kabisa kutoka kwa kila nyingine.

Kutobadilishana kunaathirije mpaka wa juu wa uthabiti?

Maelezo ya Remark 11 ya chanzo yanasisitiza kwamba katika hali isiyobadilishana, upanuzi wa multinomial uliorahisishwa kwa hali ya jumla lazima uhifadhi mpangilio wa bidhaa zote za matriki. Kwa hiyo \(\lambda\) inaweza kujumuisha michango ya norma ya monomial zote zisizobadilishana.

Kwa hiyo mpaka wa juu wa kinadharia unaweza kuwa wa tahadhari zaidi kuliko katika hali maalum inayobadilishana. Hii haimaanishi kwamba “mfumo lazima uwe usiotulia zaidi”; mpaka wa juu salama wa uthibitisho unaweza kuwa mpana zaidi.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Kwa milinganyo ya matriki diskreti ya mstari ya daraja la kwanza yenye ucheleweshaji mwingi, uwakilishi wa suluhisho wazi unaweza kujengwa bila dhana ya kubadilishana.
• Multinomial iliyorahisishwa kwa hali ya jumla na funksi ya eksponensheli ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji mwingi ni zana kuu za kihisabati za suluhisho hili.
• Muundo mpya hurudisha matokeo ya kawaida ya matriki zinazobadilishana na ya ucheleweshaji mmoja kama hali maalum.
• Mfumo una uthabiti wa Hyers–Ulam katika kila kipindi cha muda diskreti chenye kikomo chini ya masharti yaliyotajwa.
• Katika mfano wa nambari wenye ucheleweshaji miwili, vipengele vya suluhisho kamili na suluhisho lililopotoshwa vinaonyeshwa kutengana kwa kiwango kilichodhibitiwa.

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono

• Utafiti hausemi kwamba mifumo yote yenye ucheleweshaji na matriki zisizobadilishana ni thabiti kiasimptoti.
• Uthabiti wa Hyers–Ulam usio na masharti katika upeo wa muda usio na mwisho haudaiwi; hali inayofaa ya ukandamizaji inahitajika.
• Mfano wa nambari si jaribio halisi la kimwili.
• Matokeo hayajumuishi moja kwa moja matriki \(V_\ell(k)\) na \(W_\ell(k)\) zinazobadilika kwa wakati.
• Utafiti haudai kwamba mbinu hiyo daima ina ufanisi wa kihesabu kwa idadi kubwa sana ya ucheleweshaji.

Utata wa kihesabu na mpaka wa mbinu

Chanzo kinaeleza wazi katika sehemu ya hitimisho kizuizi muhimu cha kihesabu. Viashiria vingi katika fomula za suluhisho wazi

\[ \rho\in\mathbb N_0^d, \qquad \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le k \]

vinatimiza sharti.

Kwa idadi isiyobadilika ya ucheleweshaji \(d\), kiwango cha ukuaji wa idadi ya viashiria vinavyofaa kinatolewa katika chanzo takribani kama

\[ O\left( \frac{k^d} {\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)} \right) \]

.

Kwa hiyo waandishi wanaeleza kwamba mkabala huo unafaa hasa kwa idadi ndogo ya ucheleweshaji, kwa mfano \(d\le3\), na upeo wa muda wa urefu wa wastani. Kwa mifumo mikubwa zaidi, ulinganisho wa gharama za kihesabu na mbinu za nambari kama Z-transform au iteresheni ya moja kwa moja unahitaji kufanywa kando.

Utafiti unaopendekezwa kwa siku zijazo

• Kupanua mbinu hadi mifumo diskreti ya mpangilio wa sehemu yenye ucheleweshaji.
• Kushughulikia ucheleweshaji usiobadilika na unaotegemea hali.
• Kuchunguza dhana nyingine za uthabiti kama uthabiti wa muda wenye mwisho, uthabiti wa kielelezo na uthabiti wa pembejeo-kwa-hali.
• Kutumia uwakilishaji wa suluhisho wazi katika udhibitidhibiti, uangalikaji na udhibiti wa ujifunzaji unaorudiwa.
• Kutumika katika mifumo dinamiki iliyounganishwa kwa mtandao na mifumo yenye mawakala wengi.
• Kuchunguza vigawo vinavyobadilika kwa wakati \(V_\ell,W_\ell\) badala ya matriki zisizobadilika \(V_\ell(k),W_\ell(k)\).
• Kuendeleza mfululizo wa aina ya Peano–Baker au miundo ya multinomial iliyojumlishwa inayobadilika kwa wakati kwa hali inayobadilika kwa wakati.
• Uchambuzi wa kina wa utata wa kihesabu na mikakati bora ya utekelezaji katika matatizo ya kiwango kikubwa.

Hitimisho la jumla la kisayansi

Mchango mkuu wa kimahesabu wa utafiti ni kuondoa dhana ya ubadilishanaji ambayo kwa muda mrefu imekuwa ikirahisisha fomula za suluhisho katika mifumo ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji. Kwa kusudi hili, badala ya kutumia moja kwa moja upanuzi wa kawaida wa multinomial, muundo \(Q_G^{V,W}\) unaohifadhi mpangilio wa kuzidisha matriki umeendelezwa, na muundo huu umehamishwa katika funksi ya eksponenti ya matriki diskreti yenye ucheleweshaji mwingi.

Kupitia funksi hii ya msingi, suluhisho wazi linalojumuisha historia ya awali, ucheleweshaji mwingi na pembejeo zote zisizo homojeni limepatikana. Kwa kutumia makadirio ya normu ya muundo huo huo wa suluhisho, tofauti kati ya suluhisho la kukadiria na suluhisho kamili imewekewa mpaka na uthabiti wa Hyers–Ulam umeonyeshwa.

Jambo muhimu kimahesabu si kupata tu “fomula ya jumla zaidi”. Utafiti unaonyesha kwamba hata katika mazingira ambamo mpangilio wa kuzidisha hauwezi tena kubadilishwa kwa uhuru, dhana za suluhisho la msingi, tatizo la thamani ya awali na uthabiti katika nadharia ya kawaida ya mifumo yenye ucheleweshaji zinaweza kuendelezwa chini ya mfumo mmoja.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Utafiti asilia:Exact Solutions and Stability for First-Order Linear Discrete Matrix Equations with Multiple Delays and Non-Permutable Matrices.

Waandishi:Ahmed M. Elshenhab, Ghada AlNemer na Xingtao Wang.

Mwandishi wa mawasiliano:Ahmed M. Elshenhab.

Taasisi 1:Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt.

Taasisi 2:Department of Mathematical Sciences, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia.

Taasisi 3:School of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China.

Jarida:Mathematics.

Mchapishaji:MDPI, Basel, Switzerland.

Rekodi ya bibliografia:Mathematics, 2026, Juzuu 14, Toleo 9, Makala 1537.

DOI:10.3390/math14091537

Tarehe ya kuwasilisha:3 Aprili 2026.

Tarehe ya marekebisho:22 Aprili 2026.

Tarehe ya kukubaliwa:29 Aprili 2026.

Tarehe ya kuchapishwa:1 Mei 2026.

Aina ya chanzo:Utafiti asilia wa nadharia ya hisabati uliopitiwa na wataalamu na wenye ufikiaji wazi.

Leseni:Creative Commons Attribution (CC BY).

Maneno muhimu:linear matrix discrete equation; multiple delays; noncommutative matrices; representation of solutions; Hyers-Ulam stability.

MSC:39A06; 39A12; 39A05; 39A30.

Michango ya waandishi

• Uundaji wa dhana:A.M.E. na X.W.
• Uratibu wa data:A.M.E., G.A. na X.W.
• Uchambuzi rasmi:A.M.E. na X.W.
• Programu:A.M.E.
• Usimamizi:X.W.
• Uthibitishaji:A.M.E., G.A. na X.W.
• Uonyeshaji:A.M.E.
• Rasimu ya kwanza:A.M.E.
• Mapitio na uhariri:A.M.E., G.A. na X.W.
• Utafiti:A.M.E.
• Mbinu:A.M.E. na X.W.
• Upatikanaji wa ufadhili:G.A.

Ufadhili

Utafiti ulifadhiliwa na Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project kwaPNURSP2026R45nambari ya mradi.

Upatikanaji wa data

Kulingana na tamko la waandishi, michango asilia ya utafiti imo ndani ya makala. Maswali ya ziada yanaweza kuelekezwa kwa mwandishi wa mawasiliano.

Shukrani

Waandishi wanaishukuru programu ya Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number PNURSP2026R45.

Mgongano wa maslahi

Waandishi wanatangaza kwamba hakuna mgongano wa maslahi.

Mpaka wa kimethodolojia

Utafiti ni utafiti wa nadharia ya hisabati. Mfano wa nambari uliowasilishwa katika chanzo unalenga kuonyesha uwezekano wa kukokotoa teorema za suluhisho la jumla na uthabiti wa Hyers–Ulam; si uthibitishaji wa kimajaribio kwenye mfumo halisi wa uhandisi.

Muundo msingi hutumia matriki za vigawo zisizobadilika. Vigawo vinavyobadilika kwa wakati kama \(V_\ell(k)\) na \(W_\ell(k)\) havitatuliwi moja kwa moja ndani ya upeo wa teorema ya sasa.

Kwa kuwa mbinu inajumuisha jumla za viashiria vingi, gharama ya kihesabu huongezeka kadiri idadi ya ucheleweshaji na upeo wa muda unavyoongezeka. Utafiti chanzo unaona hasa idadi ndogo ya ucheleweshaji na upeo wa muda wa wastani kuwa eneo la kawaida la matumizi ya mbinu.

Uthabiti wa Hyers–Ulam wa muda wenye mwisho na uthabiti wa muda usio na mwisho si matokeo yale yale. Katika upeo usio na mwisho, chanzo kinatoa hali ya ziada ya ukandamizaji.

Kiungo rasmi cha chapisho: https://doi.org/10.3390/math14091537