Bu tədqiqat sistemin cari matris vəziyyətinin bir neçə keçmiş zaman addımındakı qiymətlərindən asılı olduğu çoxsaylı gecikməli birinci tərtib xətti diskret matris tənlikləri üçün qapalı formalı həll və dayanıqlıq nəzəriyyəsi hazırlayan nəzəri riyaziyyat tədqiqatıdır. Tədqiqatın əsas yeniliyi əvvəlki bir çox həllin tələb etdiyi matrislərin bir-biri ilə kommutativ olması şərtini aradan qaldırmasıdır. Başqa sözlə, tədqiqat ümumilikdə \(AB\neq BA\) ola bilən matrislərlə işləyir; matris hasilindəki ardıcıllığı itirmədən ümumiləşdirilmiş multinom açılımlarından və çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyalarından istifadə etməklə həll qurur.

İncelənən əsas sistem \(n\times n\) matris qiymətli naməlum \(Y(k)\)-nın irəli fərqini; müxtəlif gecikmələrdəki \(Y(k-\varrho_i)\) qiymətlərinin soldan \(V_i\), sağdan \(W_i\) matrisləri ilə vurulması və qeyri-bircins \(\Pi(k)\) həddi vasitəsilə müəyyən edir. Tədqiqat əvvəlcə bu qeyri-kommutativ quruluşa uyğun ümumiləşdirilmiş multinom mexanizmi qurur, sonra bunun əsasında çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyasını müəyyənləşdirir və bu fundamental həll vasitəsindən istifadə etməklə ümumi başlanğıc qiymət məsələsinin açıq həllini əldə edir.

İkinci əsas nəticə Hyers–Ulam dayanıqlığıdır. Bu dayanıqlıq anlayışı tənliyi kiçik \(\varepsilon\) xətası ilə ödəyən təxmini həll \(\chi(k)\) ilə dəqiq həll \(Y(k)\) arasındakı fərqin \(\lambda\varepsilon\) formasında nəzarət edilə bilməsini ifadə edir. Tədqiqat hər sonlu diskret zaman intervalında belə bir sərhəd əldə edir; sonsuz zaman üfüqündə isə fundamental həllin sönməsini təmin edən əlavə kontraktivlik şərtinin lazım olduğunu göstərir.

Ədədi nümunədə iki gecikməli, \(2\times2\) ölçülü və kommutativ olmayan əmsal matrislərindən ibarət sistem nəzərdən keçirilmişdir. \(k=0,1,2,3,4\) üçün dəqiq və perturbasiya edilmiş həllər hesablanmış; dörd matris komponentindəki əyrilərin bir-birinə yaxın qaldığı göstərilmişdir. Nümunədə \(\varepsilon=2/3\) seçilmiş və nəzəri dayanıqlıq yuxarı sərhədində istifadə olunan sabit təxminən \(\lambda=1470.7\) alınmışdır.

Ən mühüm şərh sərhədi: Bu tədqiqat konkret fiziki qurğunun sahə təcrübəsini və ya real vaxt idarəetmə uğurunu təsdiqləmir. Nəticələr riyazi teoremlərə və onları nümayiş etdirən ədədi nümunəyə əsaslanır. Hyers–Ulam dayanıqlığı da sistemin bütün klassik dayanıqlıq növləri üzrə dayanıqlı olduğunu demir; kiçik tənlik perturbasiyalarının dəqiq həllə nisbətən məhdud həll sapması yaratdığını ifadə edən xüsusi dayanıqlıq anlayışıdır.

Tədqiqat problemi niyə yaranır?

Diskret zamanlı sistemlərdə dəyişən yalnız cari vəziyyətdən deyil, keçmiş zaman addımlarından da təsirlənə bilər. İdarəetmə sistemlərində, siqnal emalında, şəbəkəyə qoşulmuş dinamik sistemlərdə və gecikməli əks-əlaqə quruluşlarında növbəti vəziyyətin müəyyən edilməsində bir və ya daha çox keçmiş vəziyyətdən istifadə olunması təbiidir.

Skalyar tənlikdə vurma ardıcıllığı problem yaratmır. Lakin sistem matrislərlə təsvir edildikdə mühüm riyazi çətinlik yaranır. Ümumiyyətlə iki matris üçün

\[ AB \neq BA \]

ola bilər. Bu hal adi binom və ya multinom açılımlarında istifadə etdiyimiz hədlərin yerini dəyişmə üsullarını etibarsız edir.

Matrislərin kommutativ olmaması niyə bu tədqiqatda mərkəzi problemdir?

Matrislər kommutativ deyilsə, vurma ardıcıllığı riyazi nəticəni dəyişdirir; buna görə \(V_iY\), \(YW_i\), \(V_iYW_j\) və \(W_jV_iY\) kimi hədlər istənilən şəkildə yenidən sıralana bilməz və klassik multinom açılımlarından birbaşa istifadə mümkün olmur.

Əvvəlki tədqiqatların mühüm hissəsi bu çətinliyi aşmaq üçün əmsal matrislərinin cüt-cüt kommutativ olduğunu fərz etmişdir. Mənbə tədqiqat isə həll nəzəriyyəsini bu fərziyyəni aradan qaldıracaq şəkildə yenidən qurur.

Diblíkin tək gecikməli başlanğıc məsələsi — Tənlik (1)

Tədqiqatın ədəbiyyatdakı çıxış nöqtələrindən biri aşağıdakı tək gecikməli matris tənliyidir:

\[ \Delta Y(k) = AY(k-\tau) + Y(k-\tau)B + \Lambda(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Psi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\tau}^{0}. \]

1. Formula nəyi hesablayır? Növbəti diskret zaman addımındakı matris dəyişməsinin \(\tau\) zaman addımı əvvəlki matris vəziyyətinə və xarici/qeyri-bircins \(\Lambda(k)\) həddinə necə bağlı olduğunu müəyyən edir.

2. Dəyişənlər hansılardır? \(Y(k)\) naməlum \(n\times n\) matris qiymətli funksiyadır. \(A\) və \(B\) sabit \(n\times n\) əmsal matrisləridir. \(\tau>0\) gecikmədir. \(\Lambda(k)\) məlum qeyri-bircins həddir. \(\Psi(k)\) gecikməli sistemi başlatmaq üçün zəruri başlanğıc tarixçəsini verir.

3. Vahidlər hansılardır? Mənbə fiziki tətbiq və ya vahid müəyyən etmir. Riyazi ölçü baxımından \(Y,A,B,\Lambda,\Psi\) uyğun \(n\times n\) matris quruluşlarıdır; \(k\) və \(\tau\) diskret tam ədəd zaman indeksləridir.

4. Riyazi rolu nədir? Tənlik soldan \(A\) və sağdan \(B\) vurulmalarını eyni vaxtda ehtiva etdiyi üçün adi vektor fərq tənliklərindən daha zəngin quruluş yaradır.

5. Elmi mənası nədir? Keçmiş vəziyyət sistemə iki müxtəlif xətti matris əməliyyatı vasitəsilə təsir edir.

6. Hansı şərtlərdə keçərlidir? \(A\) və \(B\) sabitdir; gecikmə \(\tau\) müsbətdir və başlanğıc tarixçəsi \(-\tau\) ilə 0 arasındakı diskret zamanlarda verilmişdir.

7. Necə şərh edilməlidir? Bu tənlik cari tədqiqatın birbaşa yekun modeli deyil, tək gecikməli ədəbiyyat bazasıdır. Yeni tədqiqat bunu bir neçə gecikməyə və kommutativ olmayan matrislərə genişləndirir.

Tədqiqatın əsas çoxsaylı gecikməli sistemi — Tənlik (2)

\[ \Delta Y(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_iY(k-\varrho_i) + Y(k-\varrho_i)W_i \right] + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\varrho}^{0}, \]

\[ \varrho = \max\{\varrho_1,\ldots,\varrho_d\}. \]

1. Formula nəyi hesablayır? Bir neçə gecikmə kanalının eyni matris sisteminin irəli fərqinə verdiyi ümumi töhfəni müəyyən edir.

2. Dəyişənlər hansılardır? \(d\) gecikmə kanallarının sayıdır. \(\varrho_i\in\mathbb N\) hər kanalın gecikməsidir. \(V_i\) və \(W_i\) sabit həqiqi \(n\times n\) matrislərdir. \(\Pi(k)\) məlum qeyri-bircins matris funksiyasıdır. \(\Phi(k)\) başlanğıc tarixçəsidir.

3. Vahidlər hansılardır? Mənbə fiziki vahid müəyyən etmir. Bütün matris toplama hədləri eyni \(n\times n\) riyazi quruluşda olmalıdır.

4. Riyazi rolu nədir? Hər gecikmə \(\varrho_i\) keçmişdə fərqli zaman nöqtəsindən məlumat gətirir. Eyni keçmiş matris soldan \(V_i\) və sağdan \(W_i\) ilə ayrıca təsirlənir.

5. Riyazi mənası nədir? Vurma ardıcıllığı qorunmalıdır. Məsələn, \(V_iY(k-\varrho_i)\) ilə \(Y(k-\varrho_i)V_i\) eyni hədd deyil.

6. Fərziyyə nədir? Mənbə tədqiqatın mühüm yeniliyi \(V_i\), \(W_i\), \(\Phi\) və \(\Pi\) arasında ümumi kommutativlik şərti qoymamasıdır.

7. Nəticə necə şərh edilməlidir? Məqalənin bütün tərif, lemma və teoremləri əsasən bu sistemi açıq şəkildə həll etmək və perturbasiyalara qarşı dayanıqlığını məhdudlaşdırmaq üçün qurulmuşdur.

İrəli fərq operatoru

\[ \Delta Y(k)=Y(k+1)-Y(k). \]

Bu operator fasiləsiz zamandakı törəmənin diskret zamanlı qarşılığıdır. \(Y(k)\)-nın növbəti addımdakı dəyişməsini ölçür. Törəmə əvəzinə iki ardıcıl diskret vəziyyət arasındakı fərq götürülür.

İstifadə olunan matris norması

Mənbə tədqiqat aşağıdakı maksimal sətir cəmi normasından istifadə edir:

\[ \|A\| = \max_{1\le i\le n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|. \]

Bu norma hər sətirdəki elementlərin mütləq qiymətlərinin cəmini hesablayır və ən böyük sətir cəmini seçir. Dayanıqlıq isbatında matrislərin böyüklüyünü vahid müsbət ədədlə nəzarətdə saxlamağa xidmət edir.

Multinom əmsalı

\[ \binom{\Xi} {\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N} = \frac{\Xi!} {\displaystyle\prod_{h=1}^{N}\Xi_h!}, \qquad \Xi=\sum_{h=1}^{N}\Xi_h. \]

Bu əmsal ümumi \(\Xi\) sayda seçimin \(\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N\) ölçülü qruplara neçə müxtəlif üsulla bölünə biləcəyini sayır. Mənbə tədqiqatda gecikmə kombinasiyalarını və çoxindeksləri nizamlamaq üçün istifadə olunur.

Lemma 1: diskret cəmlər üçün fərq eynilikləri

Mənbə isbatlarda istifadə etmək üçün diskret toplama və fərq alma əlaqələrini verir. Əsas operator:

\[ \nabla_tu(t,s) = u(t+1,s)-u(t,s). \]

Bununla yanaşı, diskret hissələr üzrə toplama tipli əlaqə:

\[ \sum_{s=m}^{p}u(s)\nabla v(s) = u(p)v(p+1) - u(m)v(m) - \sum_{s=m+1}^{p} \nabla u(s-1)v(s) \]

və yuxarı sərhədi \(t\)-dən asılı olan cəmin fərqi üçün:

\[ \nabla_t \left[ \sum_{s=1}^{t}u(t,s) \right] = u(t+1,t+1) + \sum_{s=1}^{t}\nabla_tu(t,s) \]

istifadə olunur. Bu əlaqələr xüsusilə Teorem 1-də həll düsturunun irəli fərqi alınarkən sərhəd hədlərinin düzgün şəkildə meydana çıxmasını təmin edir.

Müəyyənedici \(Q\) matrisi — Tərif 1

Mənbə kommutativ olmayan matris hasillərinin ardıcıllığını itirməmək üçün köməkçi \(Q_G^{V,W}(k;\mathbf i)\) matris ailəsini müəyyən edir:

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i) = \sum_{h=1}^{d} \left[ V_h Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h) + Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h)W_h \right]. \]

Başlanğıc şərtləri:

\[ Q_G^{V,W}(0;\mathbf i)=\Theta, \qquad Q_G^{V,W}(1;\mathbf 0)=G, \]

və çoxindekslərdən hər hansı biri mənfi olduqda müvafiq \(Q\) qiyməti sıfır matris \(\Theta\) kimi qəbul edilir.

Bu quruluş niyə lazımdır? Klassik multinom açılımında hədlərin sırası dəyişdirilərək oxşar hədlər birləşdirilə bilər. Qeyri-kommutativ matrisdə bu əməliyyat təhlükəsiz deyil. \(Q\) rekursiyası soldan gələn \(V_h\) və sağdan gələn \(W_h\) vurulmalarının yaranma ardıcıllığını quruluş daxilində saxlayır.

Lemma 2: mümkün olmayan çoxindekslərin sıfırlanması

Əgər

\[ i_1+i_2+\cdots+i_d\ge k+1, \]

isə

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i)=\Theta. \]

Bu nəticə hesablamada vacibdir, çünki sonsuz görünən çoxindeks fəzasının böyük hissəsi avtomatik olaraq sıfır töhfə verir. Mənbə bunu \(k\) üzrə riyazi induksiya ilə sübut edir.

Kommutativ olmayan matrislər üçün ümumiləşdirilmiş multinom quruluşu

Mənbə adi multinom qüvvəti əvəzinə vurma ardıcıllığını qoruyan aşağıdakı ümumiləşdirilmiş quruluşdan istifadə edir:

\[ \left( \sum_{\ell=1}^{d}(V_\ell+W_\ell) \right)_{G}^{n} = \sum_{\substack{\beta\in\mathbb N_0^d\\ n\ge\tau}} Q_G^{V,W}(n+1;\beta), \]

\[ \tau = \sum_{i=1}^{d}\beta_i. \]

Mənbə eyni quruluşu multinom əmsalları vasitəsilə də açır. Buradakı aşağı indeks \(G\), ifadənin adi kommutativ matris qüvvəti kimi oxunmamalı olduğunu xatırladır.

Tək gecikməli \(d=1\) halında quruluş ümumiləşdirilmiş binom formasına endirilir. Matrislər cüt-cüt kommutativ olduqda isə ümumiləşdirilmiş quruluş klassik multinom açılımı ilə uyğunlaşır. Beləliklə, yeni tərif köhnə nəzəriyyə ilə ziddiyyət təşkil etmir, əksinə onu xüsusi hal kimi əhatə edir.

Çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyası niyə lazımdır?

Çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyası fasiləsiz sistemlərdəki fundamental matris eksponensialının diskret və gecikməli analoqu kimi davranır; keçmiş zaman təsirlərini, müxtəlif gecikmə kombinasiyalarını və kommutativ olmayan matris hasillərini vahid fundamental həll obyektində birləşdirir.

Tənlik (3): çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyası

\[ \mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k }} \binom{ k-\sum_{\ell=1}^{d}\varrho_\ell\rho_\ell }{ \rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_d,\; k-\sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell } Q_G^{V,W}(\vartheta+1;\rho), \]

\[ \vartheta=\rho_1+\rho_2+\cdots+\rho_d. \]

1. Formula nəyi hesablayır? \(k\) diskret zamanına qədər müxtəlif gecikmələrin neçə dəfə istifadə oluna biləcəyini bütün uyğun çoxindekslər üzrə cəmləyir və hər kombinasiyanın qeyri-kommutativ matris töhfəsini birləşdirir.

2. Dəyişənlər hansılardır? \(\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_d)\), hər gecikmə kanalının kombinasiyada neçə dəfə yer aldığını göstərən çoxindeksdir. \(\varrho_\ell\) gecikmələrdir. \(Q_G^{V,W}\) vurma ardıcıllığını qoruyan müəyyənedici matrisdir.

3. Vahidlər hansılardır? Mənbə fiziki vahid müəyyən etmir. Funksiyanın çıxışı \(n\times n\) matrisdir.

4. Riyazi rolu nədir? Diferensial tənliklərdəki fundamental matris həllinin diskret və çoxsaylı gecikməli analoqudur.

5. Mənası nədir? Hər uyğun \(\rho\) gecikmə tarixçəsindən sistemə çata bilən ayrıca kombinator yol kimi düşünülə bilər.

6. Şərt nədir? Yalnız

\[ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k \]

şərtini ödəyən çoxindekslər cəmə daxil edilir.

7. Necə şərh edilməlidir? Bu funksiya yalnız estetik yenidən yazılış deyil; Teorem 1-də dəqiq həllin kompakt şəkildə ifadə olunmasını təmin edən əsas riyazi vasitədir.

Lemma 4: fundamental həllin fərq tənliyi

Çoxsaylı gecikməli matris eksponensial funksiyası aşağıdakı bircins tənliyi ödəyir:

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Bu nəticə \(\mathcal E_G^{V,W}\)-nin həqiqətən fundamental həll rolunu oynadığını göstərir. Başqa sözlə, bu funksiya yalnız müəyyən edilmiş bir cəm deyil; hədəf sistemin bircins hissəsinin dinamikasını birbaşa təmin edir.

Hyers–Ulam dayanıqlığı nəyi ifadə edir?

Hyers–Ulam dayanıqlığı tənliyi hər addımda ən çox \(\varepsilon\) böyüklüyündə xəta ilə ödəyən təxmini həllin həqiqi dəqiq həlldən ən çox sabit \(\lambda\varepsilon\) böyüklüyü qədər uzaqda qalmasına zəmanət verilə bilməsini ifadə edir.

Tənlik (4): perturbasiya edilmiş sistem

\[ \left\| \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \right\| \le \varepsilon. \]

Əgər dəqiq sistemin bir həlli \(Y(k)\) və \(\lambda>0\) sabiti tapılaraq

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \lambda\varepsilon \]

ödənirsə, sistem Hyers–Ulam dayanıqlı qəbul edilir.

\(\varepsilon\) tənlik səviyyəsində yol verilən perturbasiya böyüklüyüdür. \(\lambda\) isə bu lokal tənlik xətasının həll fəzasında nə qədər böyüyə biləcəyini məhdudlaşdıran dayanıqlıq sabitidir.

Burada diqqət edilməli məqam Hyers–Ulam dayanıqlığının “həll zamanla sıfıra gedir” mənasına gəlməməsidir. Bu tərif təxmini və dəqiq həllərin bir-birinə nəzarətli yaxınlığı ilə əlaqədardır.

Lemma 5: fundamental həllin norma üzrə yuxarı sərhədi

\[ \left\| \mathcal E_G^{V,W}(k) \right\| \le \mathcal E_{\|G\|}^{\|V\|,\|W\|}(k). \]

Bu bərabərsizlik matris qiymətli mürəkkəb fundamental həllin böyüklüyünü əmsal matrislərinin normalarından yaradılan daha asan nəzarət edilə bilən müsbət ifadə ilə məhdudlaşdırır.

Dayanıqlıq isbatının əsas məntiqi burada ortaya çıxır: matris hasillərinin təfərrüatlı istiqamətlərini birbaşa ayrı-ayrılıqda izləmək əvəzinə, onların normaları vasitəsilə etibarlı yuxarı sərhəd qurulur.

Lemma 6: kombinator cəm üçün sonlu zaman yuxarı sərhədi

Mənbə \(\vartheta=\rho_1+\cdots+\rho_d\) olmaqla müvafiq multinom cəminin

\[ \frac{T^{\vartheta+1}} {(\vartheta+1)\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell!} \]

ilə məhdudlaşdırıla bildiyini göstərir.

Bu nəticə Hyers–Ulam isbatında kritik əhəmiyyət daşıyır, çünki çoxsaylı gecikmə yollarının ümumi töhfəsinin sonlu \(T\) zaman üfüqündə idarə edilə bildiyini riyazi olaraq təmin edir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Teorem 1: ümumi qapalı formalı həll — Tənlik (5)

Tədqiqatın əsas həll teoremi Tənlik (2)-nin həllini aşağıdakı hissəli formada verir:

\[ Y(k) = \begin{cases} \Phi(k), & k\in\mathbb Z_{-\varrho}^{0}, \\[6pt] \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \displaystyle \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \mathcal E_{ V_r\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_r }^{V,W} (k-\varrho_r-i) \\ \qquad\qquad + \displaystyle \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h), & k\in\mathbb Z_{0}^{\infty}. \end{cases} \]

1. Formula nəyi hesablayır? Başlanğıc tarixçəsi, gecikmələr və xarici məcburetmə \(\Pi(k)\) məlum olduqda hər \(k\ge0\) üçün dəqiq matris həllini verir.

2. Formuldakı üç əsas hissə hansılardır?

• \(\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k)\): başlanğıc anındakı \(\Phi(0)\) matrisinin sistem boyunca yayılması.
• İkiqat cəm: 0-dan əvvəlki başlanğıc tarixçəsinin hər gecikmə kanalı vasitəsilə gələcəyə daşınan töhfəsi.
• Son cəm: qeyri-bircins \(\Pi(h-1)\) girişlərinin keçmiş zamanlardan \(k\)-ya qədər toplanmış təsiri.

3. Vahidlər hansılardır? Bütün hədlər \(n\times n\) matrisdir.

4. Riyazi rolu nədir? Bu formula gecikməli sistemlər üçün bir növ diskret Duhamel/variation-of-constants quruluşu yaradır: başlanğıc təsiri ilə məcburedici həddin təsirini ayrıca cəmləyir.

5. Qeyri-kommutativlik harada qorunur? Bütün matris ardıcıllığı \(\mathcal E_G^{V,W}\) və onun daxilindəki \(Q_G^{V,W}\) quruluşunda qorunur. Buna görə hasillər ixtiyari şəkildə yenidən sıralanmır.

6. Şərtlər hansılardır? \(\varrho_\ell\ge1\), \(V_\ell\) və \(W_\ell\) sabit həqiqi və sıfır olmayan \(n\times n\) matrislərdir. Onların kommutativ olması tələb olunmur.

7. Nəticə necə şərh edilməlidir? Məqalənin əsas yeniliyi bu açıq həllin matrislərin kommutativliyinə ehtiyac olmadan qurula bilməsidir.

Tənlik (6): isbatda həllin gecikmə hallarına görə ayrılması

Teorem 1-in isbatında gecikmələr seçilmiş \(k\) üçün təsiri hələ başlanğıc bölgəsində qalanlar və həll bölgəsinə keçənlər kimi ayrılır. Mənbə həlli aşağıdakı quruluşda yenidən təşkil edir:

\[ Y(k) = \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h). \]

Bu ayırma yeni həll tərifi deyil. Bu, isbat texnikasıdır: \(k-\varrho_r\) qiymətinin başlanğıc bölgəsində, yoxsa dinamik həll bölgəsində qaldığını aydın şəkildə ayırır.

Tənlik (7): irəli fərqin alınması

Tənlik (6)-nın irəli fərqi alındıqda mənbə Lemma 1-dən istifadə edərək

\[ \Delta Y(k) = \Delta\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \Delta \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \Delta \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \left[ V_{r_2}\Phi(k-\varrho_{r_2}) + \Phi(k-\varrho_{r_2})W_{r_2} \right] + \sum_{h=1}^{k} \Delta\mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) + \Pi(k) \]

ifadəsinə çatır.

Mühüm detal ondan ibarətdir ki, dəyişən yuxarı sərhədli cəmin fərqi alınarkən yeni sərhəd həddi meydana çıxır. \(\Pi(k)\) həddi də məhz bu irəli fərq əməliyyatı zamanı cari zaman addımında görünür.

Tənlik (8): bircins fundamental həll əlaqəsi

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Mənbə bu bərabərliyi Tənlik (7)-dəki hər \(\Delta\mathcal E\) həddinə tətbiq edir. Beləliklə, mürəkkəb fərq ifadəsi hədəf sistemdəki gecikməli \(V_iY+YW_i\) quruluşuna çevrilir.

Tənlik (9): hədəf sistemə geri dönüş

İsbatın sonunda ifadə aşağıdakı aralıq quruluşa endirilir:

\[ \Delta Y(k) = \sum_{p} \left[ V_pY(k-\varrho_p) + Y(k-\varrho_p)W_p \right] + \sum_{r} \left[ V_r\Phi(k-\varrho_r) + \Phi(k-\varrho_r)W_r \right] + \Pi(k). \]

Başlanğıc bölgəsində

\[ \Phi(k-\varrho_r)=Y(k-\varrho_r) \]

olduğuna görə iki cəm birləşir və yenidən

\[ \Delta Y(k) = \sum_{\ell=1}^{d} \left[ V_\ell Y(k-\varrho_\ell) + Y(k-\varrho_\ell)W_\ell \right] + \Pi(k) \]

alınır. Beləliklə, Tənlik (5)-in həqiqətən Tənlik (2)-ni həll etdiyi göstərilir.

Tək gecikməli kommutativ olmayan xüsusi hal — Tənlik (10)

\(d=1\) üçün həll

\[ Y(k) = \mathcal Y_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal Y_{ V\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W }^{V,W} (k-\varrho-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal Y_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \]

formasına endirilir.

Burada

\[ \mathcal Y_G^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} (V+W)_{G}^{\rho}. \]

Bu nəticə yeni nəzəriyyənin yalnız çoxsaylı gecikmədə deyil, tək gecikməli, lakin kommutativ olmayan matris halında da istifadə edilə bildiyini göstərir.

Əlavə kommutativlik şərtlərində xüsusi təsvirlər — Tənlik (11)

Mənbə tək gecikmə və əlavə kommutativlik şərtlərində həlli aşağıdakı alternativ formaya endirir:

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k-\varrho)\Phi(0) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \left[ V\mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i) + \mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i)W \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Tənlik (12): eyni xüsusi halın fərq başlanğıclı təsviri

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k)\Phi(-\varrho) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-i) \Delta_i\Phi(i-1) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Mənbədə

\[ \mathcal X^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} V^{\rho}W^{\,n-\rho} \]

tipli xüsusi matris funksiyasından istifadə olunur.

Tənlik (11) və (12) yeni ümumi quruluşun əvvəlki kommutativ xüsusi hallarla uyğun olduğunu göstərmək üçün verilir; əsas qeyri-kommutativ çoxsaylı gecikmə nəticəsi Tənlik (5)-dir.

Bir neçə gecikmənin kommutativ xüsusi halı — Tənlik (13)

Matrislərin cüt-cüt kommutativ olduğu xüsusi halda mənbə həlli

\[ Y(k) = P^{V,W}(k)\Phi(0) + \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \left[ V_rP^{V,W}(k-\varrho_r-i) + P^{V,W}(k-\varrho_r-i)W_r \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} P^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1) \]

şəklində ifadə edir.

Bu xüsusi hal əvvəlki ədəbiyyatla uyğundur. Beləliklə, yeni nəzəriyyə köhnə düsturları aradan qaldırmır; onları daha ümumi qeyri-kommutativ çərçivənin xüsusi hallarına çevirir.

Tənlik (14): perturbasiya matrisi

Hyers–Ulam isbatında təxmini həllin tənlikdə buraxdığı qalıq birbaşa

\[ O(k) = \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \]

kimi müəyyən edilir və

\[ \|O(k)\|\le\varepsilon \]

olduğu qəbul edilir.

Bu tərif öyrədici baxımdan vacibdir. \(O(k)\) təxmini həllin hədəf tənliyi tam ödəməməsindən yaranan lokal xəta matrisidir.

Teorem 2: Hyers–Ulam dayanıqlıq isbatının əsas zənciri

Perturbasiya edilmiş həll ilə dəqiq həllin fərqi, ortaq başlanğıc hədləri və ortaq \(\Pi\) töhfələri bir-birini ləğv etdikdə yalnız \(O\) perturbasiyasından gələn cəm kimi qalır:

\[ \chi(k)-Y(k) = \sum_{h=1}^{k} \left[ \mathcal E_{\Pi(h-1)+O(h-1)}^{V,W}(k-h) - \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \right]. \]

Lemma 5 ilə matris normaları, Lemma 6 ilə kombinator cəmlər yuxarıdan məhdudlaşdırıldıqda

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \varepsilon\lambda \]

nəticəsi əldə edilir.

Dayanıqlıq sabiti:

\[ \lambda = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le T }} \left( \sum_{\ell=1}^{d} \bigl( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \bigr) \right)^{\vartheta} \frac{ T^{\vartheta+1} }{ (\vartheta+1) \displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell! } >0. \]

1. Bu formula nəyi hesablayır? Sonlu \(T\) zaman üfüqündə tənlikdəki \(\varepsilon\) böyüklüyündə xətanın həllər arasındakı məsafəyə ötürülə biləcəyi nəzəri yuxarı sərhəd əmsalını yaradır.

2. Dəyişənlər hansılardır? \(T\) sonlu zaman yuxarı sərhədi, \(\rho\) gecikmə kombinasiyası, \(\vartheta=\sum\rho_\ell\), \(\varrho_\ell\) gecikmələr və \(\|V_\ell\|,\|W_\ell\|\) əmsal normalarıdır.

3. Vahidlər hansılardır? Tədqiqat fiziki vahid müəyyən etmir; \(\lambda\) norma əsaslı riyazi sərhəd sabitidir.

4. Riyazi rolu nədir? Çoxsaylı gecikmə yollarının və matris böyüklüklərinin ümumi perturbasiya artımına təsirini təhlükəsiz şəkildə bir yuxarı sərhəddə birləşdirir.

5. Qeyri-kommutativlik necə təsir edir? Matrislərin ardıcıllığı qorunmalı olduğuna görə bütün qeyri-kommutativ monomların təsiri nəzərə alınır. Mənbə bunun kommutativ hala nisbətən daha konservativ \(\lambda\) sərhədi yarada biləcəyini bildirir.

6. Gecikmələr necə təsir edir? \((\varrho_\ell+1)\rho_\ell\) şərti müəyyən \(T\) daxilində hansı çoxindekslərin töhfə verə biləcəyini müəyyən edir. Buna görə gecikmə quruluşu dayanıqlıq sərhədində birbaşa yer alır.

7. Necə şərh edilməlidir? Böyük \(\lambda\) həqiqi həll sapmasının mütləq bu qiymətə çatacağını göstərmir. Bu zəmanətli yuxarı sərhəddir və konservativ ola bilər.

Sonlu və sonsuz zaman üfüqü arasındakı fərq

Mənbə hər sonlu \(T\) üçün Hyers–Ulam dayanıqlığını qurur. Lakin

\[ T\rightarrow\infty \]

halında sonsuz zaman dayanıqlığı üçün əlavə kontraktivlik şərti tələb olunur:

\[ \sum_{\ell=1}^{d} \left( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \right) <1. \]

Bu şərt fundamental həllin eksponensial şəkildə sönməsini və \(\lambda\)-nı müəyyən edən sıranın yaxınlaşmasını təmin edir.

Buna görə məqalənin “dayanıqlıq sübut edildi” nəticəsi məhdudiyyətsiz zaman üçün şərtsiz oxunmamalıdır. Ümumi teorem sonlu interval üçündür; sonsuz üfüqdə kontraktivlik tələb olunur.

Ədədi nümunə — Tənlik (15)

Mənbə iki gecikməli \(2\times2\) sistemi nəzərdən keçirir:

\[ \Delta Y(k) = V_1Y(k-1) + Y(k-1)W_1 + V_2Y(k-2) + Y(k-2)W_2 + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb Z_0^4, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}. \]

Əmsal matrisləri:

\[ V_1= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_1= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \]

\[ V_2= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_2= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Gecikmələr:

\[ \varrho_1=1, \qquad \varrho_2=2. \]

Qeyri-bircins hədd:

\[ \Pi(k) = \begin{bmatrix} 2k-1 & 0\\ 0 & 3k+1 \end{bmatrix}. \]

Başlanğıc matrisi:

\[ \Phi(k) = \begin{bmatrix} 1+k & 0\\ 0 & 1-k \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}, \]

və xüsusilə

\[ \Phi(0)=I_2. \]

Fundamental həllin ilk qiymətləri

Mənbə bircins hissə üçün əldə edilən fundamental həll matrislərini \(k=0,\ldots,4\) üçün hesablayır:

Tənlik (16): dəqiq həllin matris forması

Teorem 1 tətbiq edildikdən sonra həll

\[ Y(k) = \begin{bmatrix} Y_{11}(k) & Y_{12}(k)\\ Y_{21}(k) & Y_{22}(k) \end{bmatrix} \]

kimi yazılır.

Ədədi nümunədə Hyers–Ulam perturbasiyası

Mənbə

\[ \varepsilon=\frac{2}{3} \]

seçir və

\[ O(k) = \begin{bmatrix} k/6 & 0\\ 0 & k/6 \end{bmatrix} \]

perturbasiyasını müəyyən edir.

\[ \|O(k)\| = \frac{k}{6} \le \frac{2}{3}, \qquad k=0,1,2,3,4. \]

Beləliklə, Tənlik (4)-dəki perturbasiya şərti birbaşa ödənir.

Nümunədə Teorem 2-nin yuxarı sərhəd sabiti

\[ \lambda \approx 1470.7 >0 \]

kimi hesablanmışdır.

Bu qiymətin böyüklüyü dəqiq və perturbasiya edilmiş həllərin həqiqətən 1470 vahid ətrafında ayrılması demək deyil. \(\lambda\varepsilon\) nəzəri və konservativ yuxarı sərhəddir. Həqiqətən də, mənbə qrafikində faktiki sapmalar xeyli kiçikdir.

Dəqiq və perturbasiya edilmiş həllin komponentlər üzrə müqayisəsi

Şəkil niyə Hyers–Ulam dayanıqlığını dəstəkləyir?

\(Y_{21}\) komponentində iki həll nümunələnmiş bütün \(k\) qiymətlərində eyni görünür. \(Y_{12}\), \(Y_{11}\) və \(Y_{22}\) komponentlərində isə perturbasiyadan sonra kiçik fərqlər yaranır, lakin əyrilər bir-birindən nəzarətsiz şəkildə uzaqlaşmır.

Məsələn:

• \(k=2\)-də \(Y_{11}=-2\), \(\chi_{11}\approx-1.667\).
• \(k=3\)-də \(Y_{11}=1\), \(\chi_{11}=1.5\).
• \(k=4\)-də \(Y_{22}=49\), \(\chi_{22}\approx50.167\).
• \(k=4\)-də \(Y_{12}=92\), \(\chi_{12}\approx92.167\).

Bu müşahidə təkbaşına ümumi teoremin isbatı deyil. Teorem 2 analitik şəkildə sübut edilmişdir; ədədi nümunə yalnız teoremin konkret sistemdə necə göründüyünü göstərir.

Gecikmə dayanıqlığa necə təsir edir?

Mənbə Hyers–Ulam yuxarı sərhədində gecikmələrin xüsusilə uyğun \(T\) yuxarı sərhədinin seçiminə təsir etdiyini bildirir. Çoxindeks cəmindəki

\[ \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le T \]

şərti hansı gecikmə kombinasiyalarının dayanıqlıq sabitinə töhfə verəcəyini birbaşa müəyyən edir.

Gecikmələr böyüdükdə töhfə yollarının zaman daxilində yaranması dəyişir. Qeyri-kommutativ matrislərdə bu yolların hər birində vurma ardıcıllığı da qorunmalı olduğuna görə gecikmə ilə kommutativ olmama təsirləri bir-birindən tam müstəqil deyil.

Kommutativ olmama dayanıqlıq yuxarı sərhədinə necə təsir edir?

Mənbənin Remark 11 şərhi qeyri-kommutativ halda ümumiləşdirilmiş multinom açılımının bütün matris hasillərinin ardıcıllığını qorumaq məcburiyyətində olduğunu vurğulayır. Buna görə \(\lambda\) bütün qeyri-kommutativ monomların norma töhfələrini ehtiva edə bilər.

Nəticədə nəzəri yuxarı sərhəd kommutativ xüsusi hala nisbətən daha konservativ ola bilər. Bu, “sistem mütləq daha qeyri-dayanıqlıdır” demək deyil; isbatın təhlükəsiz yuxarı sərhədi daha geniş ola bilər.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Çoxsaylı gecikməli birinci tərtib xətti diskret matris tənlikləri üçün kommutativlik fərziyyəsi olmadan açıq həll təsviri qurula bilər.
• Ümumiləşdirilmiş multinom və çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyası bu həllin əsas riyazi vasitələridir.
• Yeni quruluş klassik kommutativ və tək gecikməli nəticələri xüsusi hal kimi yenidən verir.
• Sistem hər sonlu diskret zaman intervalında göstərilən şərtlər daxilində Hyers–Ulam dayanıqlıdır.
• İki gecikməli ədədi nümunə dəqiq və perturbasiya edilmiş həll komponentlərinin məhdud şəkildə ayrıldığını göstərir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Tədqiqat bütün qeyri-kommutativ gecikməli sistemlərin asimptotik dayanıqlı olduğunu demir.
• Sonsuz zaman üfüqündə şərtsiz Hyers–Ulam dayanıqlığı iddia edilmir; uyğun kontraktivlik tələb olunur.
• Ədədi nümunə real fiziki təcrübə deyil.
• Nəticələr zamanla dəyişən \(V_\ell(k)\) və \(W_\ell(k)\) matrislərini birbaşa əhatə etmir.
• Tədqiqat çox yüksək gecikmə saylarında metodun hesablama baxımından həmişə səmərəli olduğunu iddia etmir.

Hesablama mürəkkəbliyi və metodun sərhədi

Mənbə nəticə bölməsində mühüm hesablama məhdudiyyətini açıq şəkildə qeyd edir. Açıq həll düsturlarındakı çoxindekslər

\[ \rho\in\mathbb N_0^d, \qquad \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le k \]

şərtini ödəyir.

Sabit gecikmə sayı \(d\) üçün uyğun indekslərin sayının artım miqyası mənbədə təxminən

\[ O\left( \frac{k^d} {\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)} \right) \]

kimi verilir.

Buna görə müəlliflər yanaşmanın xüsusilə az sayda gecikməli, məsələn \(d\le3\), və orta uzunluqlu zaman üfüqlərində uyğun olduğunu bildirirlər. Daha böyük sistemlər üçün Z-çevrilməsi və ya birbaşa iterasiya kimi ədədi üsullarla hesablama xərcinin müqayisələri ayrıca aparılmalıdır.

Gələcək üçün təklif olunan tədqiqatlar

• Metodun gecikməli kəsr tərtibli diskret sistemlərə genişləndirilməsi.
• Sabit olmayan və vəziyyətdən asılı gecikmələrin nəzərdən keçirilməsi.
• Sonlu zaman dayanıqlığı, eksponensial dayanıqlıq və girişdən-vəziyyətə dayanıqlıq kimi digər dayanıqlıq anlayışlarının araşdırılması.
• Açıq həll təsvirlərinin idarəolunma, müşahidəolunma və iterativ öyrənmə idarəetməsində istifadə edilməsi.
• Şəbəkəyə qoşulmuş dinamik sistemlərə və çoxagentli sistemlərə tətbiq.
• Sabit \(V_\ell,W_\ell\) matrislərinin əvəzinə zamanla dəyişən \(V_\ell(k),W_\ell(k)\) əmsallarının araşdırılması.
• Zamanla dəyişən hal üçün Peano–Baker tipli sıra və ya zamanla dəyişən ümumiləşdirilmiş multinom quruluşlarının hazırlanması.
• Böyük miqyaslı məsələlərdə hesablama mürəkkəbliyinin və səmərəli tətbiq strategiyalarının ətraflı təhlili.

Ümumi elmi nəticə

Tədqiqatın əsas riyazi töhfəsi gecikməli diskret matris sistemlərində uzun müddətdir həll düsturlarını asanlaşdıran kommutativlik fərziyyəsini aradan qaldırmasıdır. Bunun üçün klassik multinom açılımından birbaşa istifadə etmək əvəzinə, matris hasillərinin ardıcıllığını saxlayan \(Q_G^{V,W}\) quruluşu hazırlanmış və bu quruluş çoxsaylı gecikməli diskret matris eksponensial funksiyasına daşınmışdır.

Bu fundamental funksiya vasitəsilə başlanğıc tarixçəsi, çoxsaylı gecikmələr və bütün qeyri-bircins girişləri ehtiva edən açıq həll əldə edilmişdir. Eyni həll quruluşunun norma qiymətləndirmələrindən istifadə etməklə təxmini və dəqiq həllər arasındakı fərq məhdudlaşdırılmış və Hyers–Ulam dayanıqlığı göstərilmişdir.

Riyazi baxımdan mühüm məqam yalnız “daha ümumi düstur” əldə edilməsi deyil. Tədqiqat vurma ardıcıllığının artıq sərbəst dəyişdirilə bilmədiyi mühitdə belə klassik gecikməli sistem nəzəriyyəsindəki fundamental həll, başlanğıc qiymət məsələsi və dayanıqlıq anlayışlarını vahid çərçivədə davam etdirə bilir.

Mənbə və Metod Qeydi

Özgün tədqiqat: Exact Solutions and Stability for First-Order Linear Discrete Matrix Equations with Multiple Delays and Non-Permutable Matrices.

Müəlliflər: Ahmed M. Elshenhab, Ghada AlNemer və Xingtao Wang.

Məsul müəllif: Ahmed M. Elshenhab.

Qurum 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt.

Qurum 2: Department of Mathematical Sciences, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia.

Qurum 3: School of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China.

Jurnal: Mathematics.

Nəşriyyat: MDPI, Basel, Switzerland.

Biblioqrafik qeyd: Mathematics, 2026, Cild 14, Say 9, Məqalə 1537.

DOI: 10.3390/math14091537

Göndərilmə: 3 aprel 2026.

Reviziya: 22 aprel 2026.

Qəbul: 29 aprel 2026.

Nəşr: 1 may 2026.

Mənbə növü: Rəyli, açıq girişli orijinal nəzəri riyaziyyat tədqiqatı.

Lisenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Açar sözlər: linear matrix discrete equation; multiple delays; noncommutative matrices; representation of solutions; Hyers-Ulam stability.

MSC: 39A06; 39A12; 39A05; 39A30.

Müəllif töhfələri

• Konseptuallaşdırma: A.M.E. və X.W.
• Məlumatların kurasiyası: A.M.E., G.A. və X.W.
• Formal təhlil: A.M.E. və X.W.
• Proqram təminatı: A.M.E.
• Elmi rəhbərlik: X.W.
• Doğrulama: A.M.E., G.A. və X.W.
• Vizuallaşdırma: A.M.E.
• İlkin layihə: A.M.E.
• İnceleme və redaktə: A.M.E., G.A. və X.W.
• Tədqiqat: A.M.E.
• Metodologiya: A.M.E. və X.W.
• Maliyyələşdirmənin əldə edilməsi: G.A.

Maliyyələşdirmə

Tədqiqat Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project tərəfindən PNURSP2026R45 layihə nömrəsi ilə maliyyələşdirilmişdir.

Məlumatların əlçatanlığı

Müəlliflərin bəyanına görə tədqiqatın orijinal töhfələri məqalənin daxilində yer alır. Əlavə suallar məsul müəllifə yönəldilə bilər.

Təşəkkür

Müəlliflər Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number PNURSP2026R45 proqramına təşəkkür edirlər.

Maraqların toqquşması

Müəlliflər maraqların toqquşmasının olmadığını bəyan edirlər.

Metodoloji sərhəd

Tədqiqat nəzəri riyaziyyat araşdırmasıdır. Mənbədə təqdim olunan ədədi nümunə ümumi həll və Hyers–Ulam dayanıqlıq teoremlərinin hesablana bilməsini göstərmək məqsədi daşıyır; real mühəndislik sistemi üzərində eksperimental təsdiq deyil.

Əsas model sabit əmsal matrislərindən istifadə edir. \(V_\ell(k)\) və \(W_\ell(k)\) kimi zamanla dəyişən əmsallar mövcud teorem çərçivəsində birbaşa həll edilmir.

Metod çoxindeksli cəmləri ehtiva etdiyi üçün gecikmələrin sayı və zaman üfüqü artdıqca hesablama xərci böyüyür. Mənbə tədqiqat xüsusilə az sayda gecikmələri və orta zaman üfüqlərini metodun təbii istifadə sahəsi hesab edir.

Sonlu zaman Hyers–Ulam dayanıqlığı ilə sonsuz zaman dayanıqlığı eyni nəticə deyil. Sonsuz üfüqdə mənbə əlavə kontraktivlik şərti verir.

Rəsmi nəşr bağlantısı: https://doi.org/10.3390/math14091537