Ushbu tadqiqot tizimning joriy matritsali holati bir nechta oldingi vaqt qadamlaridagi qiymatlarga bogʻliq boʻlgan koʻp kechikishli birinchi tartibli chiziqli diskret matritsa tenglamalari uchun yopiq shakldagi yechim va barqarorlik nazariyasini ishlab chiquvchi nazariy matematik tadqiqotdir. Tadqiqotning asosiy yangiligi avvalgi koʻplab yechimlarda talab qilingan matritsalarning oʻzaro kommutativ boʻlish shartini olib tashlashidir. Boshqacha aytganda, tadqiqot umumiy holda \(AB\neq BA\) boʻlishi mumkin boʻlgan matritsalar bilan ishlaydi; matritsa koʻpaytmasidagi tartibni yoʻqotmasdan umumlashtirilgan multinom yoyilmalari va koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyalaridan foydalanib yechim quradi.

Koʻrib chiqilayotgan asosiy tizim \(n\times n\) matritsa qiymatli nomaʼlum \(Y(k)\) ning oldinga ayirmasini turli kechikishlardagi \(Y(k-\varrho_i)\) qiymatlarining chapdan \(V_i\), oʻngdan \(W_i\) matritsalari bilan koʻpaytirilishi va bir jinsli boʻlmagan \(\Pi(k)\) hadi orqali belgilaydi. Tadqiqot avval ushbu nokommutativ tuzilishga mos umumlashtirilgan multinom mexanizmini quradi, soʻngra uning asosida koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyasini taʼriflaydi va ushbu fundamental yechim vositasidan foydalanib umumiy boshlangʻich qiymat masalasining ochiq yechimini oladi.

Ikkinchi asosiy natija Hyers–Ulam barqarorligidir. Bu barqarorlik tushunchasi tenglamani kichik \(\varepsilon\) xatolik bilan qanoatlantiruvchi taqribiy yechim \(\chi(k)\) bilan aniq yechim \(Y(k)\) orasidagi farqni \(\lambda\varepsilon\) koʻrinishida nazorat qilish mumkinligini bildiradi. Tadqiqot har bir chekli diskret vaqt oraligʻida shunday chegara oladi; cheksiz vaqt ufqida esa fundamental yechimning soʻnishini taʼminlaydigan qoʻshimcha kontraktivlik sharti zarurligini koʻrsatadi.

Sonli misolda ikki kechikishli, \(2\times2\) oʻlchamli va kommutativ boʻlmagan koeffitsiyent matritsalardan tashkil topgan tizim koʻrib chiqilgan. \(k=0,1,2,3,4\) uchun aniq va perturbatsiyalangan yechimlar hisoblangan; toʻrtta matritsa komponentidagi egri chiziqlar bir-biriga yaqin qolishi koʻrsatilgan. Misolda \(\varepsilon=2/3\) tanlangan va nazariy barqarorlik yuqori chegarasida ishlatiladigan doimiy taxminan \(\lambda=1470.7\) deb olingan.

Eng muhim talqin chegarasi: Ushbu tadqiqot muayyan jismoniy qurilmaning dala tajribasini yoki real vaqt boshqaruvi muvaffaqiyatini tasdiqlamaydi. Natijalar matematik teoremalar va ularni namoyish qiluvchi sonli misolga asoslangan. Hyers–Ulam barqarorligi ham tizim barcha klassik barqarorlik turlarida barqaror ekanini anglatmaydi; u tenglamadagi kichik perturbatsiyalar aniq yechimga nisbatan cheklangan yechim ogʻishini keltirib chiqarishini ifodalovchi maxsus barqarorlik tushunchasidir.

Tadqiqot muammosi nima sababdan yuzaga keladi?

Diskret vaqtli tizimlarda oʻzgaruvchi faqat joriy holatdan emas, balki oldingi vaqt qadamlaridan ham taʼsirlanishi mumkin. Boshqaruv tizimlari, signalni qayta ishlash, tarmoqqa ulangan dinamik tizimlar va kechikkan teskari aloqa tuzilmalarida keyingi holatni aniqlash uchun bir yoki bir nechta oldingi holatdan foydalanish tabiiydir.

Skalyar tenglamada koʻpaytirish tartibi muammo tugʻdirmaydi. Biroq tizim matritsalar bilan ifodalanganda muhim matematik qiyinchilik paydo boʻladi. Umuman olganda, ikkita matritsa uchun

\[ AB \neq BA \]

boʻlishi mumkin. Bu holat odatiy binom yoki multinom yoyilmalarida qoʻllanadigan hadlarni oʻrin almashtirish usullarini yaroqsiz qiladi.

Matritsalarning kommutativ boʻlmasligi nega ushbu tadqiqotda markaziy muammodir?

Matritsalar kommutativ boʻlmasa, koʻpaytirish tartibi matematik natijani oʻzgartiradi; shu sababli \(V_iY\), \(YW_i\), \(V_iYW_j\) va \(W_jV_iY\) kabi hadlarni istalgancha qayta tartiblash mumkin emas va klassik multinom yoyilmalaridan bevosita foydalanib boʻlmaydi.

Avvalgi tadqiqotlarning katta qismi ushbu qiyinchilikni chetlab oʻtish uchun koeffitsiyent matritsalari juft-juft kommutativ deb faraz qilgan. Manba tadqiqot esa yechim nazariyasini ushbu farazni olib tashlaydigan tarzda qayta quradi.

Diblíkning bitta kechikishli boshlangʻich masalasi — Tenglama (1)

Tadqiqotning adabiyotdagi boshlangʻich nuqtalaridan biri quyidagi bitta kechikishli matritsa tenglamasidir:

\[ \Delta Y(k) = AY(k-\tau) + Y(k-\tau)B + \Lambda(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Psi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\tau}^{0}. \]

1. Formula nimani hisoblaydi? Keyingi diskret vaqt qadamidagi matritsa oʻzgarishi \(\tau\) vaqt qadami oldingi matritsa holatiga va tashqi/bir jinsli boʻlmagan \(\Lambda(k)\) hadiga qanday bogʻliqligini belgilaydi.

2. Oʻzgaruvchilar nimalar? \(Y(k)\) nomaʼlum \(n\times n\) matritsa qiymatli funksiyadir. \(A\) va \(B\) doimiy \(n\times n\) koeffitsiyent matritsalardir. \(\tau>0\) — kechikish. \(\Lambda(k)\) maʼlum bir jinsli boʻlmagan haddir. \(\Psi(k)\) kechikishli tizimni boshlash uchun zarur boshlangʻich tarixni beradi.

3. Birliklar qanday? Manba jismoniy qoʻllanish yoki birlikni belgilamaydi. Matematik oʻlcham nuqtayi nazaridan \(Y,A,B,\Lambda,\Psi\) mos \(n\times n\) matritsa tuzilmalaridir; \(k\) va \(\tau\) diskret butun sonli vaqt indekslaridir.

4. Matematik roli nima? Tenglama chapdan \(A\) va oʻngdan \(B\) ga koʻpaytirishni bir vaqtda oʻz ichiga olgani uchun odatiy vektor ayirma tenglamalariga qaraganda boyroq tuzilma hosil qiladi.

5. Ilmiy maʼnosi nima? Oldingi holat tizimga ikki xil chiziqli matritsa amali orqali taʼsir qiladi.

6. Qaysi shartlarda amal qiladi? \(A\) va \(B\) doimiy; kechikish \(\tau\) musbat va boshlangʻich tarix \(-\tau\) bilan 0 orasidagi diskret vaqtlarda berilgan.

7. Qanday talqin qilinishi kerak? Bu tenglama joriy tadqiqotning bevosita yakuniy modeli emas, balki bitta kechikishli adabiyotdagi asosdir. Yangi tadqiqot uni bir nechta kechikish va kommutativ boʻlmagan matritsalarga kengaytiradi.

Tadqiqotning asosiy koʻp kechikishli tizimi — Tenglama (2)

\[ \Delta Y(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_iY(k-\varrho_i) + Y(k-\varrho_i)W_i \right] + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{0}^{\infty}, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb{Z}_{-\varrho}^{0}, \]

\[ \varrho = \max\{\varrho_1,\ldots,\varrho_d\}. \]

1. Formula nimani hisoblaydi? Bir nechta kechikish kanalining ayni matritsa tizimi oldinga ayirmasiga qoʻshadigan umumiy hissasini belgilaydi.

2. Oʻzgaruvchilar nimalar? \(d\) — kechikish kanallari soni. \(\varrho_i\in\mathbb N\) — har bir kanalning kechikishi. \(V_i\) va \(W_i\) doimiy haqiqiy \(n\times n\) matritsalardir. \(\Pi(k)\) maʼlum bir jinsli boʻlmagan matritsa funksiyasidir. \(\Phi(k)\) boshlangʻich tarixdir.

3. Birliklar qanday? Manba jismoniy birlikni belgilamaydi. Barcha matritsa qoʻshish hadlari bir xil \(n\times n\) matematik tuzilishda boʻlishi kerak.

4. Matematik roli nima? Har bir kechikish \(\varrho_i\) oʻtmishdagi boshqa vaqt nuqtasidan axborot olib keladi. Ayni oldingi matritsaga chapdan \(V_i\) va oʻngdan \(W_i\) alohida taʼsir qiladi.

5. Matematik maʼnosi nima? Koʻpaytirish tartibi saqlanishi kerak. Masalan, \(V_iY(k-\varrho_i)\) va \(Y(k-\varrho_i)V_i\) bir xil had emas.

6. Faraz nima? Manba tadqiqotning muhim yangiligi \(V_i\), \(W_i\), \(\Phi\) va \(\Pi\) oʻrtasida umumiy kommutativlik shartini qoʻymasligidir.

7. Natija qanday talqin qilinishi kerak? Maqoladagi barcha taʼrif, lemma va teoremalar asosan ushbu tizimni ochiq shaklda yechish va uning perturbatsiyalarga nisbatan barqarorligini chegaralash uchun qurilgan.

Oldinga ayirma operatori

\[ \Delta Y(k)=Y(k+1)-Y(k). \]

Bu operator uzluksiz vaqtdagi hosilaning diskret vaqtdagi analogidir. U \(Y(k)\) ning keyingi qadamdagi oʻzgarishini oʻlchaydi. Hosila oʻrniga ketma-ket ikki diskret holat orasidagi ayirma olinadi.

Qoʻllanilgan matritsa normasi

Manba tadqiqot quyidagi maksimal satr yigʻindisi normasidan foydalanadi:

\[ \|A\| = \max_{1\le i\le n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|. \]

Bu norma har bir satrdagi elementlarning mutlaq qiymatlari yigʻindisini hisoblaydi va eng katta satr yigʻindisini tanlaydi. Barqarorlik isbotida matritsalarning kattaligini bitta musbat son bilan nazorat qilishga xizmat qiladi.

Multinom koeffitsiyenti

\[ \binom{\Xi} {\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N} = \frac{\Xi!} {\displaystyle\prod_{h=1}^{N}\Xi_h!}, \qquad \Xi=\sum_{h=1}^{N}\Xi_h. \]

Bu koeffitsiyent jami \(\Xi\) ta tanlovni \(\Xi_1,\Xi_2,\ldots,\Xi_N\) oʻlchamdagi guruhlarga nechta turli usulda ajratish mumkinligini hisoblaydi. Manba tadqiqotda kechikish kombinatsiyalari va koʻp indekslarni tartibga solish uchun qoʻllanadi.

Lemma 1: diskret yigʻindilar uchun ayirma ayniyatlari

Manba isbotlarda foydalanish uchun diskret yigʻish va ayirma olish munosabatlarini beradi. Asosiy operator:

\[ \nabla_tu(t,s) = u(t+1,s)-u(t,s). \]

Bundan tashqari, diskret qismlar boʻyicha yigʻishga oʻxshash munosabat:

\[ \sum_{s=m}^{p}u(s)\nabla v(s) = u(p)v(p+1) - u(m)v(m) - \sum_{s=m+1}^{p} \nabla u(s-1)v(s) \]

va yuqori chegarasi \(t\) ga bogʻliq boʻlgan yigʻindining ayirmasi uchun:

\[ \nabla_t \left[ \sum_{s=1}^{t}u(t,s) \right] = u(t+1,t+1) + \sum_{s=1}^{t}\nabla_tu(t,s) \]

qoʻllanadi. Ushbu munosabatlar, ayniqsa Teorem 1 da yechim formulasining oldinga ayirmasi olinganda chegara hadlarining toʻgʻri paydo boʻlishini taʼminlaydi.

Belgilovchi \(Q\) matritsasi — Taʼrif 1

Manba kommutativ boʻlmagan matritsa koʻpaytmalarining tartibini yoʻqotmaslik uchun yordamchi \(Q_G^{V,W}(k;\mathbf i)\) matritsalar oilasini taʼriflaydi:

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i) = \sum_{h=1}^{d} \left[ V_h Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h) + Q_G^{V,W}(k;\mathbf i-e_h)W_h \right]. \]

Boshlangʻich shartlar:

\[ Q_G^{V,W}(0;\mathbf i)=\Theta, \qquad Q_G^{V,W}(1;\mathbf 0)=G, \]

va koʻp indekslardan birortasi manfiy boʻlsa, tegishli \(Q\) qiymati nol matritsa \(\Theta\) deb olinadi.

Bu tuzilma nima uchun kerak? Klassik multinom yoyilmasida hadlarning tartibini oʻzgartirib, oʻxshash hadlarni birlashtirish mumkin. Nokommutativ matritsada bu amal xavfsiz emas. \(Q\) rekursiyasi chapdan keluvchi \(V_h\) va oʻngdan keluvchi \(W_h\) koʻpaytirishlarining hosil boʻlish tartibini tuzilma ichida saqlaydi.

Lemma 2: mumkin boʻlmagan koʻp indekslarni nollash

Agar

\[ i_1+i_2+\cdots+i_d\ge k+1, \]

boʻlsa

\[ Q_G^{V,W}(k+1;\mathbf i)=\Theta. \]

Bu natija hisoblashda muhim, chunki cheksizdek koʻrinadigan koʻp indekslar fazosining katta qismi avtomatik ravishda nol hissa beradi. Manba buni \(k\) boʻyicha matematik induksiya bilan isbotlaydi.

Kommutativ boʻlmagan matritsalar uchun umumlashtirilgan multinom tuzilma

Manba odatiy multinom darajasi oʻrniga koʻpaytirish tartibini saqlaydigan quyidagi umumlashtirilgan tuzilmadan foydalanadi:

\[ \left( \sum_{\ell=1}^{d}(V_\ell+W_\ell) \right)_{G}^{n} = \sum_{\substack{\beta\in\mathbb N_0^d\\ n\ge\tau}} Q_G^{V,W}(n+1;\beta), \]

\[ \tau = \sum_{i=1}^{d}\beta_i. \]

Manba ayni tuzilmani multinom koeffitsiyentlari orqali ham yoyadi. Bu yerdagi pastki indeks \(G\) ifodani odatiy kommutativ matritsa darajasi sifatida oʻqimaslik kerakligini eslatadi.

Bitta kechikishli \(d=1\) holatda tuzilma umumlashtirilgan binom koʻrinishiga keladi. Matritsalar juft-juft kommutativ boʻlganda esa umumlashtirilgan tuzilma klassik multinom yoyilmasiga mos keladi. Shunday qilib, yangi taʼrif eski nazariyaga zid emas, balki uni maxsus holat sifatida oʻz ichiga oladi.

Koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyasi nima uchun kerak?

Koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyasi uzluksiz tizimlardagi fundamental matritsa eksponensialining diskret va kechikishli analogi sifatida ishlaydi; oʻtmishdagi vaqt taʼsirlarini, turli kechikish kombinatsiyalarini va kommutativ boʻlmagan matritsa koʻpaytmalarini bitta fundamental yechim obyektida birlashtiradi.

Tenglama (3): koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyasi

\[ \mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k }} \binom{ k-\sum_{\ell=1}^{d}\varrho_\ell\rho_\ell }{ \rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_d,\; k-\sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell } Q_G^{V,W}(\vartheta+1;\rho), \]

\[ \vartheta=\rho_1+\rho_2+\cdots+\rho_d. \]

1. Formula nimani hisoblaydi? \(k\) diskret vaqtigacha turli kechikishlardan necha marta foydalanish mumkinligini barcha mos koʻp indekslar boʻyicha yigʻadi va har bir kombinatsiyaning nokommutativ matritsa hissasini birlashtiradi.

2. Oʻzgaruvchilar nimalar? \(\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_d)\) — har bir kechikish kanali kombinatsiyada necha marta qatnashishini koʻrsatuvchi koʻp indeks. \(\varrho_\ell\) — kechikishlar. \(Q_G^{V,W}\) koʻpaytirish tartibini saqlovchi belgilovchi matritsadir.

3. Birliklar qanday? Manba jismoniy birlikni belgilamaydi. Funksiya chiqishi \(n\times n\) matritsadir.

4. Matematik roli nima? Differensial tenglamalardagi fundamental matritsa yechimining diskret va koʻp kechikishli analogidir.

5. Maʼnosi nima? Har bir mos \(\rho\) kechikish tarixidan tizimga yetib kelishi mumkin boʻlgan alohida kombinatorik yoʻl sifatida qaralishi mumkin.

6. Shart nima? Faqat

\[ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le k \]

shartni qanoatlantiradigan koʻp indekslar yigʻindiga kiradi.

7. Qanday talqin qilinishi kerak? Bu funksiya shunchaki estetik qayta yozish emas; Teorem 1 da aniq yechimni ixcham shaklda ifodalash imkonini beruvchi asosiy matematik vositadir.

Lemma 4: fundamental yechimning ayirma tenglamasi

Koʻp kechikishli matritsa eksponensial funksiyasi quyidagi bir jinsli tenglamani qanoatlantiradi:

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Bu natija \(\mathcal E_G^{V,W}\) haqiqatan ham fundamental yechim vazifasini bajarishini koʻrsatadi. Boshqacha aytganda, bu funksiya shunchaki taʼriflangan yigʻindi emas; u maqsadli tizimning bir jinsli qismi dinamikasini bevosita taʼminlaydi.

Hyers–Ulam barqarorligi nimani anglatadi?

Hyers–Ulam barqarorligi tenglamani har bir qadamda koʻpi bilan \(\varepsilon\) kattalikdagi xato bilan qanoatlantiruvchi taqribiy yechimning haqiqiy aniq yechimdan koʻpi bilan doimiy \(\lambda\varepsilon\) kattalik miqdorida uzoqda qolishiga kafolat berish mumkinligini bildiradi.

Tenglama (4): perturbatsiyalangan tizim

\[ \left\| \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \right\| \le \varepsilon. \]

Agar aniq tizimning biror yechimi \(Y(k)\) va \(\lambda>0\) doimiysi topilib

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \lambda\varepsilon \]

qanoatlantirilsa, tizim Hyers–Ulam barqaror deb hisoblanadi.

\(\varepsilon\) tenglama darajasida ruxsat etilgan perturbatsiya kattaligidir. \(\lambda\) esa ushbu lokal tenglama xatosining yechim fazosida qanchalik kattalashishi mumkinligini chegaralovchi barqarorlik doimiysidir.

Bu yerda eʼtibor berish kerak boʻlgan jihat shuki, Hyers–Ulam barqarorligi “yechim vaqt oʻtishi bilan nolga boradi” degani emas. Ushbu taʼrif taqribiy va aniq yechimlarning bir-biriga nazorat qilinadigan yaqinligi bilan bogʻliq.

Lemma 5: fundamental yechim normasining yuqori chegarasi

\[ \left\| \mathcal E_G^{V,W}(k) \right\| \le \mathcal E_{\|G\|}^{\|V\|,\|W\|}(k). \]

Ushbu tengsizlik matritsa qiymatli murakkab fundamental yechim kattaligini koeffitsiyent matritsalar normalaridan tuzilgan, nazorat qilish osonroq boʻlgan musbat ifoda bilan chegaralaydi.

Barqarorlik isbotining asosiy mantiqi shu yerda namoyon boʻladi: matritsa koʻpaytmalarining batafsil yoʻnalishlarini birma-bir bevosita kuzatish oʻrniga, ularning normalari orqali ishonchli yuqori chegara quriladi.

Lemma 6: kombinatorik yigʻindi uchun chekli vaqt yuqori chegarasi

Manba \(\vartheta=\rho_1+\cdots+\rho_d\) boʻlganda tegishli multinom yigʻindining

\[ \frac{T^{\vartheta+1}} {(\vartheta+1)\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell!} \]

bilan chegaralanishi mumkinligini koʻrsatadi.

Bu natija Hyers–Ulam isbotida hal qiluvchi ahamiyatga ega, chunki koʻp kechikish yoʻllarining umumiy hissasi chekli \(T\) vaqt ufqida nazorat qilinishi mumkinligini matematik jihatdan kafolatlaydi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Teorem 1: umumiy yopiq shakldagi yechim — Tenglama (5)

Tadqiqotning asosiy yechim teoremi Tenglama (2) ning yechimini quyidagi boʻlakli shaklda beradi:

\[ Y(k) = \begin{cases} \Phi(k), & k\in\mathbb Z_{-\varrho}^{0}, \\[6pt] \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \displaystyle \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \mathcal E_{ V_r\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_r }^{V,W} (k-\varrho_r-i) \\ \qquad\qquad + \displaystyle \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h), & k\in\mathbb Z_{0}^{\infty}. \end{cases} \]

1. Formula nimani hisoblaydi? Boshlangʻich tarix, kechikishlar va tashqi majburlovchi \(\Pi(k)\) maʼlum boʻlganda har bir \(k\ge0\) uchun aniq matritsa yechimini beradi.

2. Formuladagi uchta asosiy qism nima?

• \(\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k)\): boshlangʻich paytdagi \(\Phi(0)\) matritsasining tizim boʻylab tarqalishi.
• Ikki karra yigʻindi: 0 dan oldingi boshlangʻich tarixning har bir kechikish kanali orqali kelajakka olib oʻtiladigan hissasi.
• Oxirgi yigʻindi: bir jinsli boʻlmagan \(\Pi(h-1)\) kirishlarining oʻtgan vaqtlardan \(k\) gacha toʻplangan taʼsiri.

3. Birliklar qanday? Barcha hadlar \(n\times n\) matritsadir.

4. Matematik roli nima? Bu formula kechikishli tizimlar uchun diskret Duhamel/variation-of-constants tuzilmasining bir turini hosil qiladi: boshlangʻich taʼsir va majburlovchi had taʼsirini alohida yigʻadi.

5. Nokommutativlik qayerda saqlanadi? Barcha matritsa tartibi \(\mathcal E_G^{V,W}\) va uning ichidagi \(Q_G^{V,W}\) tuzilmasida saqlanadi. Shuning uchun koʻpaytmalar ixtiyoriy tarzda qayta tartiblanmaydi.

6. Shartlar nimalar? \(\varrho_\ell\ge1\), \(V_\ell\) va \(W_\ell\) doimiy haqiqiy va nol boʻlmagan \(n\times n\) matritsalardir. Ularning kommutativ boʻlishi shart emas.

7. Natija qanday talqin qilinishi kerak? Maqolaning asosiy yangiligi shundaki, ushbu ochiq yechimni matritsalarning kommutativligini talab qilmasdan qurish mumkin.

Tenglama (6): isbotda yechimni kechikish holatlariga koʻra ajratish

Teorem 1 isbotida kechikishlar tanlangan \(k\) uchun taʼsiri hali boshlangʻich sohada qolganlar va yechim sohasiga oʻtganlar tarzida ajratiladi. Manba yechimni quyidagi tuzilmada qayta tashkil etadi:

\[ Y(k) = \mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h). \]

Bu ajratish yangi yechim taʼrifi emas. Bu isbot usulidir: \(k-\varrho_r\) qiymati boshlangʻich sohada qolganmi yoki dinamik yechim sohasiga oʻtganmi, aniq ajratib koʻrsatadi.

Tenglama (7): oldinga ayirmani olish

Tenglama (6) ning oldinga ayirmasi olinganda manba Lemma 1 dan foydalanib

\[ \Delta Y(k) = \Delta\mathcal E_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{r_1} \sum_{i=-\varrho_{r_1}+1}^{0} \Delta \mathcal E_{ V_{r_1}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_1} }^{V,W} (k-\varrho_{r_1}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \sum_{i=-\varrho_{r_2}+1}^{k-\varrho_{r_2}} \Delta \mathcal E_{ V_{r_2}\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W_{r_2} }^{V,W} (k-\varrho_{r_2}-i) \]

\[ + \sum_{r_2} \left[ V_{r_2}\Phi(k-\varrho_{r_2}) + \Phi(k-\varrho_{r_2})W_{r_2} \right] + \sum_{h=1}^{k} \Delta\mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) + \Pi(k) \]

ifodaga keladi.

Muhim tafsilot shundaki, yuqori chegarasi oʻzgaruvchan yigʻindining ayirmasi olinganda yangi chegara hadi paydo boʻladi. \(\Pi(k)\) hadi ham aynan ushbu oldinga ayirma amali vaqtida joriy vaqt qadamida paydo boʻladi.

Tenglama (8): bir jinsli fundamental yechim munosabati

\[ \Delta\mathcal E_G^{V,W}(k) = \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i) + \mathcal E_G^{V,W}(k-\varrho_i)W_i \right]. \]

Manba ushbu tenglikni Tenglama (7) dagi har bir \(\Delta\mathcal E\) hadiga qoʻllaydi. Natijada murakkab ayirma ifodasi maqsadli tizimdagi kechikishli \(V_iY+YW_i\) tuzilmasiga aylanadi.

Tenglama (9): maqsadli tizimga qaytish

Isbot oxirida ifoda quyidagi oraliq tuzilmaga keltiriladi:

\[ \Delta Y(k) = \sum_{p} \left[ V_pY(k-\varrho_p) + Y(k-\varrho_p)W_p \right] + \sum_{r} \left[ V_r\Phi(k-\varrho_r) + \Phi(k-\varrho_r)W_r \right] + \Pi(k). \]

Boshlangʻich sohada

\[ \Phi(k-\varrho_r)=Y(k-\varrho_r) \]

boʻlgani uchun ikki yigʻindi birlashadi va yana

\[ \Delta Y(k) = \sum_{\ell=1}^{d} \left[ V_\ell Y(k-\varrho_\ell) + Y(k-\varrho_\ell)W_\ell \right] + \Pi(k) \]

olinadi. Shu tariqa Tenglama (5) haqiqatan ham Tenglama (2) ni yechishi koʻrsatiladi.

Bitta kechikishli kommutativ boʻlmagan maxsus holat — Tenglama (10)

\(d=1\) uchun yechim

\[ Y(k) = \mathcal Y_{\Phi(0)}^{V,W}(k) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal Y_{ V\Phi(i-1)+\Phi(i-1)W }^{V,W} (k-\varrho-i) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal Y_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \]

koʻrinishiga keltiriladi.

Bu yerda

\[ \mathcal Y_G^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} (V+W)_{G}^{\rho}. \]

Ushbu natija yangi nazariya faqat koʻp kechikishli holatda emas, balki bitta kechikishli, biroq kommutativ boʻlmagan matritsa holatida ham qoʻllanishi mumkinligini koʻrsatadi.

Qoʻshimcha kommutativlik shartlaridagi maxsus ifodalar — Tenglama (11)

Manba bitta kechikish va qoʻshimcha kommutativlik shartlarida yechimni quyidagi muqobil shaklga keltiradi:

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k-\varrho)\Phi(0) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \left[ V\mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i) + \mathcal X^{V,W}(k-2\varrho-i)W \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Tenglama (12): ayni maxsus holatning ayirma boshlangʻichli ifodasi

\[ Y(k) = \mathcal X^{V,W}(k)\Phi(-\varrho) + \sum_{i=-\varrho+1}^{0} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-i) \Delta_i\Phi(i-1) + \sum_{h=1}^{k} \mathcal X^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1). \]

Manbada

\[ \mathcal X^{V,W}(k) = \sum_{\rho=0}^{\left\lfloor k/(\varrho+1)\right\rfloor} \binom{k-\rho\varrho}{\rho} V^{\rho}W^{\,n-\rho} \]

turidagi maxsus matritsa funksiyasidan foydalaniladi.

Tenglama (11) va (12) yangi umumiy tuzilmaning avvalgi kommutativ maxsus holatlarga mosligini koʻrsatish uchun berilgan; asosiy nokommutativ koʻp kechikishli natija Tenglama (5) dir.

Bir nechta kechikishning kommutativ maxsus holati — Tenglama (13)

Matritsalar juft-juft kommutativ boʻlgan maxsus holatda manba yechimni

\[ Y(k) = P^{V,W}(k)\Phi(0) + \sum_{r=1}^{d} \sum_{i=-\varrho_r+1}^{0} \left[ V_rP^{V,W}(k-\varrho_r-i) + P^{V,W}(k-\varrho_r-i)W_r \right] \Phi(i-1) \]

\[ + \sum_{h=1}^{k} P^{V,W}(k-\varrho-h)\Pi(h-1) \]

koʻrinishida ifodalaydi.

Ushbu maxsus holat avvalgi adabiyot bilan mos keladi. Demak, yangi nazariya eski formulalarni yoʻq qilmaydi; ularni yanada umumiy nokommutativ doiraning maxsus holatlariga aylantiradi.

Tenglama (14): perturbatsiya matritsasi

Hyers–Ulam isbotida taqribiy yechim tenglamada qoldirgan qoldiq bevosita

\[ O(k) = \Delta\chi(k) - \sum_{i=1}^{d} \left[ V_i\chi(k-\varrho_i) + \chi(k-\varrho_i)W_i \right] - \Pi(k) \]

deb taʼriflanadi va

\[ \|O(k)\|\le\varepsilon \]

deb qabul qilinadi.

Ushbu taʼrif didaktik jihatdan muhim. \(O(k)\) — taqribiy yechimning maqsadli tenglamani aynan qanoatlantirmasligidan kelib chiqadigan lokal xato matritsasidir.

Teorem 2: Hyers–Ulam barqarorligi isbotining asosiy zanjiri

Perturbatsiyalangan yechim bilan aniq yechim orasidagi farq, umumiy boshlangʻich hadlar va umumiy \(\Pi\) hissalari bir-birini bekor qilganda, faqat \(O\) perturbatsiyasidan keluvchi yigʻindi sifatida qoladi:

\[ \chi(k)-Y(k) = \sum_{h=1}^{k} \left[ \mathcal E_{\Pi(h-1)+O(h-1)}^{V,W}(k-h) - \mathcal E_{\Pi(h-1)}^{V,W}(k-h) \right]. \]

Lemma 5 yordamida matritsa normalari, Lemma 6 yordamida kombinatorik yigʻindilar yuqoridan chegaralanganda

\[ \|\chi(k)-Y(k)\| \le \varepsilon\lambda \]

natija olinadi.

Barqarorlik doimiysi:

\[ \lambda = \sum_{\substack{ \rho\in\mathbb N_0^d\\ \sum_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)\rho_\ell\le T }} \left( \sum_{\ell=1}^{d} \bigl( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \bigr) \right)^{\vartheta} \frac{ T^{\vartheta+1} }{ (\vartheta+1) \displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}\rho_\ell! } >0. \]

1. Bu formula nimani hisoblaydi? Chekli \(T\) vaqt ufqida tenglamadagi \(\varepsilon\) kattalikdagi xatoning yechimlar orasidagi masofaga uzatilishi mumkin boʻlgan nazariy yuqori chegara koeffitsiyentini hosil qiladi.

2. Oʻzgaruvchilar nimalar? \(T\) — chekli vaqtning yuqori chegarasi, \(\rho\) — kechikish kombinatsiyasi, \(\vartheta=\sum\rho_\ell\), \(\varrho_\ell\) — kechikishlar va \(\|V_\ell\|,\|W_\ell\|\) — koeffitsiyent normalari.

3. Birliklar qanday? Tadqiqot jismoniy birlik belgilamaydi; \(\lambda\) norma asosidagi matematik chegara doimiysidir.

4. Matematik roli nima? Koʻp kechikish yoʻllari va matritsalar kattaliklarining umumiy perturbatsiya oʻsishiga taʼsirini xavfsiz tarzda bitta yuqori chegarada jamlaydi.

5. Nokommutativlik qanday taʼsir qiladi? Matritsalar tartibi saqlanishi shart boʻlgani uchun barcha nokommutativ monomlarning taʼsiri hisobga olinadi. Manba bu holat kommutativ holatga nisbatan konservativroq \(\lambda\) chegarasini keltirib chiqarishi mumkinligini taʼkidlaydi.

6. Kechikishlar qanday taʼsir qiladi? \((\varrho_\ell+1)\rho_\ell\) sharti muayyan \(T\) ichida qaysi koʻp indekslar hissa qoʻsha olishini belgilaydi. Demak, kechikish tuzilmasi barqarorlik chegarasida bevosita qatnashadi.

7. Qanday talqin qilinishi kerak? Katta \(\lambda\) haqiqiy yechim ogʻishi albatta shu qiymatga yetishini anglatmaydi. Bu kafolatlangan yuqori chegara boʻlib, konservativ boʻlishi mumkin.

Chekli va cheksiz vaqt ufqi oʻrtasidagi farq

Manba har bir chekli \(T\) uchun Hyers–Ulam barqarorligini oʻrnatadi. Biroq

\[ T\rightarrow\infty \]

holatida cheksiz vaqt barqarorligi uchun qoʻshimcha kontraktivlik sharti talab qilinadi:

\[ \sum_{\ell=1}^{d} \left( \|V_\ell\|+\|W_\ell\| \right) <1. \]

Bu shart fundamental yechimning eksponensial tarzda soʻnishini va \(\lambda\) ni belgilovchi qatorning yaqinlashishini taʼminlaydi.

Shu sababli maqoladagi “barqarorlik isbotlandi” degan natija cheklanmagan vaqt uchun shartsiz deb oʻqilmasligi kerak. Umumiy teorema chekli oraliq uchun; cheksiz ufqda kontraktivlik talab qilinadi.

Sonli misol — Tenglama (15)

Manba ikki kechikishli \(2\times2\) tizimni koʻrib chiqadi:

\[ \Delta Y(k) = V_1Y(k-1) + Y(k-1)W_1 + V_2Y(k-2) + Y(k-2)W_2 + \Pi(k), \qquad k\in\mathbb Z_0^4, \]

\[ Y(k)=\Phi(k), \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}. \]

Koeffitsiyent matritsalar:

\[ V_1= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_1= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \]

\[ V_2= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad W_2= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Kechikishlar:

\[ \varrho_1=1, \qquad \varrho_2=2. \]

Bir jinsli boʻlmagan had:

\[ \Pi(k) = \begin{bmatrix} 2k-1 & 0\\ 0 & 3k+1 \end{bmatrix}. \]

Boshlangʻich matritsa:

\[ \Phi(k) = \begin{bmatrix} 1+k & 0\\ 0 & 1-k \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z_{-2}^{0}, \]

va xususan

\[ \Phi(0)=I_2. \]

Fundamental yechimning dastlabki qiymatlari

Manba bir jinsli qism uchun olingan fundamental yechim matritsalarini \(k=0,\ldots,4\) uchun hisoblaydi:

Tenglama (16): aniq yechimning matritsa shakli

Teorem 1 qoʻllanilgandan keyin yechim

\[ Y(k) = \begin{bmatrix} Y_{11}(k) & Y_{12}(k)\\ Y_{21}(k) & Y_{22}(k) \end{bmatrix} \]

deb yoziladi.

Sonli misolda Hyers–Ulam perturbatsiyasi

Manba

\[ \varepsilon=\frac{2}{3} \]

ni tanlaydi va

\[ O(k) = \begin{bmatrix} k/6 & 0\\ 0 & k/6 \end{bmatrix} \]

perturbatsiyasini taʼriflaydi.

\[ \|O(k)\| = \frac{k}{6} \le \frac{2}{3}, \qquad k=0,1,2,3,4. \]

Shunday qilib, Tenglama (4) dagi perturbatsiya sharti bevosita qanoatlantiriladi.

Misolda Teorem 2 ning yuqori chegara doimiysi

\[ \lambda \approx 1470.7 >0 \]

deb hisoblangan.

Bu qiymatning kattaligi aniq va perturbatsiyalangan yechimlar haqiqatan ham 1470 birlik atrofida ajralishini anglatmaydi. \(\lambda\varepsilon\) nazariy va konservativ yuqori chegaradir. Darhaqiqat, manba grafigida haqiqiy ogʻishlar ancha kichik.

Aniq va perturbatsiyalangan yechimni komponentlar boʻyicha taqqoslash

Rasm nima uchun Hyers–Ulam barqarorligini qoʻllab-quvvatlaydi?

\(Y_{21}\) komponentida ikki yechim barcha namunaviy \(k\) qiymatlarida bir xil koʻrinadi. \(Y_{12}\), \(Y_{11}\) va \(Y_{22}\) komponentlarida esa perturbatsiyadan keyin kichik farqlar paydo boʻladi, biroq egri chiziqlar bir-biridan nazoratsiz ravishda uzoqlashmaydi.

Masalan:

• \(k=2\) da \(Y_{11}=-2\), \(\chi_{11}\approx-1.667\).
• \(k=3\) da \(Y_{11}=1\), \(\chi_{11}=1.5\).
• \(k=4\) da \(Y_{22}=49\), \(\chi_{22}\approx50.167\).
• \(k=4\) da \(Y_{12}=92\), \(\chi_{12}\approx92.167\).

Bu kuzatuvning oʻzi umumiy teoremaning isboti emas. Teorem 2 analitik ravishda isbotlangan; sonli misol faqat teorema muayyan tizimda qanday namoyon boʻlishini koʻrsatadi.

Kechikish barqarorlikka qanday taʼsir qiladi?

Manba Hyers–Ulam yuqori chegarasida kechikishlar, ayniqsa, mos \(T\) yuqori chegarasini tanlashga taʼsir qilishini taʼkidlaydi. Koʻp indeksli yigʻindidagi

\[ \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le T \]

shart qaysi kechikish kombinatsiyalari barqarorlik doimiysiga hissa qoʻshishini bevosita belgilaydi.

Kechikishlar kattalashganda hissa yoʻllarining vaqt davomida shakllanishi oʻzgaradi. Nokommutativ matritsalarda bu yoʻllarning har birida koʻpaytirish tartibini ham saqlash shart boʻlgani uchun kechikish va kommutativ boʻlmaslik taʼsirlari bir-biridan butunlay mustaqil emas.

Kommutativ boʻlmaslik barqarorlikning yuqori chegarasiga qanday taʼsir qiladi?

Manbaning Remark 11 izohi nokommutativ holatda umumlashtirilgan multinom yoyilmasi barcha matritsa koʻpaytmalarining tartibini saqlashi shartligini taʼkidlaydi. Shu sababli \(\lambda\) barcha nokommutativ monomlarning norma hissalarini oʻz ichiga olishi mumkin.

Natijada nazariy yuqori chegara kommutativ maxsus holatga nisbatan konservativroq boʻlishi mumkin. Bu “tizim albatta beqarorroq” degani emas; isbotning xavfsiz yuqori chegarasi kengroq boʻlishi mumkin.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar

• Koʻp kechikishli birinchi tartibli chiziqli diskret matritsa tenglamalari uchun kommutativlik farazisiz ochiq yechim ifodasini qurish mumkin.
• Umumlashtirilgan multinom va koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyasi ushbu yechimning asosiy matematik vositalaridir.
• Yangi tuzilma klassik kommutativ va bitta kechikishli natijalarni maxsus holat sifatida qayta beradi.
• Tizim har bir chekli diskret vaqt oraligʻida ko‘rsatilgan shartlar ostida Hyers–Ulam barqarordir.
• Ikki kechikishli sonli misol aniq va perturbatsiyalangan yechim komponentlari cheklangan tarzda ajralishini koʻrsatadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan natijalar

• Tadqiqot barcha nokommutativ kechikishli tizimlar asimptotik barqaror ekanini aytmaydi.
• Cheksiz vaqt ufqida shartsiz Hyers–Ulam barqarorligi daʼvo qilinmaydi; tegishli kontraktivlik talab qilinadi.
• Sonli misol haqiqiy jismoniy tajriba emas.
• Natijalar vaqt boʻyicha oʻzgaruvchi \(V_\ell(k)\) va \(W_\ell(k)\) matritsalarni bevosita qamrab olmaydi.
• Tadqiqot kechikishlar soni juda katta boʻlganda usul hisoblash nuqtayi nazaridan doimo samarali ekanini daʼvo qilmaydi.

Hisoblash murakkabligi va usul chegarasi

Manba xulosa boʻlimida muhim hisoblash cheklovini aniq koʻrsatadi. Ochiq yechim formulalaridagi koʻp indekslar

\[ \rho\in\mathbb N_0^d, \qquad \sum_{\ell=1}^{d} (\varrho_\ell+1)\rho_\ell \le k \]

shartni qanoatlantiradi.

Kechikishlar soni \(d\) oʻzgarmas boʻlganda mos indekslar sonining oʻsish miqyosi manbada taxminan

\[ O\left( \frac{k^d} {\displaystyle\prod_{\ell=1}^{d}(\varrho_\ell+1)} \right) \]

deb berilgan.

Shu sababli mualliflar yondashuv ayniqsa kechikishlar soni kam, masalan \(d\le3\), va vaqt ufqi oʻrtacha uzunlikda boʻlgan holatlar uchun mos ekanini taʼkidlaydi. Ancha katta tizimlar uchun Z-almashtirish yoki bevosita iteratsiya kabi sonli usullar bilan hisoblash xarajatlarini alohida taqqoslash zarur.

Kelajak uchun tavsiya etilgan tadqiqotlar

• Usulni kechikishli kasr tartibli diskret tizimlarga kengaytirish.
• Oʻzgarmas boʻlmagan va holatga bogʻliq kechikishlarni koʻrib chiqish.
• Chekli vaqt barqarorligi, eksponensial barqarorlik va kirishdan-holatga barqarorlik kabi boshqa barqarorlik tushunchalarini oʻrganish.
• Ochiq yechim ifodalaridan boshqariluvchanlik, kuzatiluvchanlik va iterativ oʻrganish boshqaruvida foydalanish.
• Tarmoqqa ulangan dinamik tizimlar va koʻp agentli tizimlarga qoʻllash.
• Doimiy \(V_\ell,W_\ell\) matritsalar oʻrniga vaqt boʻyicha oʻzgaruvchi \(V_\ell(k),W_\ell(k)\) koeffitsiyentlarni oʻrganish.
• Vaqt boʻyicha oʻzgaruvchi holat uchun Peano–Baker tipidagi qator yoki vaqtga bogʻliq umumlashtirilgan multinom tuzilmalarni ishlab chiqish.
• Katta masshtabli masalalarda hisoblash murakkabligi va samarali amalga oshirish strategiyalarini batafsil tahlil qilish.

Umumiy ilmiy xulosa

Tadqiqotning asosiy matematik hissasi kechikishli diskret matritsa tizimlarida uzoq vaqt davomida yechim formulalarini soddalashtirib kelgan kommutativlik farazini olib tashlashidir. Buning uchun klassik multinom yoyilmasini bevosita ishlatish oʻrniga matritsa koʻpaytmalari tartibini saqlaydigan \(Q_G^{V,W}\) tuzilmasi ishlab chiqilgan va ushbu tuzilma koʻp kechikishli diskret matritsa eksponensial funksiyasiga oʻtkazilgan.

Ushbu fundamental funksiya orqali boshlangʻich tarix, koʻp kechikishlar va barcha bir jinsli boʻlmagan kirishlarni oʻz ichiga olgan ochiq yechim olingan. Ayni yechim tuzilmasining norma baholaridan foydalanib taqribiy va aniq yechimlar orasidagi farq chegaralangan hamda Hyers–Ulam barqarorligi koʻrsatilgan.

Matematik jihatdan muhim nuqta faqat “yanada umumiy formula” olinishi emas. Tadqiqot koʻpaytirish tartibini endi erkin oʻzgartirib boʻlmaydigan muhitda ham klassik kechikishli tizimlar nazariyasidagi fundamental yechim, boshlangʻich qiymat masalasi va barqarorlik tushunchalarini yagona doirada davom ettira oladi.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot: Exact Solutions and Stability for First-Order Linear Discrete Matrix Equations with Multiple Delays and Non-Permutable Matrices.

Mualliflar: Ahmed M. Elshenhab, Ghada AlNemer va Xingtao Wang.

Masʼul muallif: Ahmed M. Elshenhab.

Muassasa 1: Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt.

Muassasa 2: Department of Mathematical Sciences, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, Riyadh 11671, Saudi Arabia.

Muassasa 3: School of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China.

Jurnal: Mathematics.

Nashriyot: MDPI, Basel, Switzerland.

Bibliografik yozuv: Mathematics, 2026, Jild 14, Son 9, Maqola 1537.

DOI: 10.3390/math14091537

Yuborilgan sana: 3 aprel 2026.

Tahrir sanasi: 22 aprel 2026.

Qabul sanasi: 29 aprel 2026.

Nashr sanasi: 1 may 2026.

Manba turi: Taqrizdan oʻtgan, ochiq foydalanishdagi original nazariy matematika tadqiqoti.

Litsenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Kalit soʻzlar: linear matrix discrete equation; multiple delays; noncommutative matrices; representation of solutions; Hyers-Ulam stability.

MSC: 39A06; 39A12; 39A05; 39A30.

Mualliflar hissasi

• Konseptuallashtirish: A.M.E. va X.W.
• Maʼlumotlarni kuratsiya qilish: A.M.E., G.A. va X.W.
• Formal tahlil: A.M.E. va X.W.
• Dasturiy taʼminot: A.M.E.
• Rahbarlik: X.W.
• Tasdiqlash: A.M.E., G.A. va X.W.
• Vizualizatsiya: A.M.E.
• Dastlabki loyiha: A.M.E.
• Koʻrib chiqish va tahrirlash: A.M.E., G.A. va X.W.
• Tadqiqot: A.M.E.
• Metodologiya: A.M.E. va X.W.
• Moliyalashtirishni jalb qilish: G.A.

Moliyalashtirish

Tadqiqot Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project tomonidan PNURSP2026R45 loyiha raqami bilan moliyalashtirilgan.

Maʼlumotlarning mavjudligi

Mualliflar bayonotiga koʻra, tadqiqotning original hissalari maqola ichida keltirilgan. Qoʻshimcha savollar masʼul muallifga yoʻnaltirilishi mumkin.

Minnatdorchilik

Mualliflar Princess Nourah bint Abdulrahman University Researchers Supporting Project Number PNURSP2026R45 dasturiga minnatdorchilik bildiradilar.

Manfaatlar toʻqnashuvi

Mualliflar manfaatlar toʻqnashuvi mavjud emasligini bayon qiladilar.

Metodologik chegara

Tadqiqot nazariy matematika ishidir. Manbada taqdim etilgan sonli misol umumiy yechim va Hyers–Ulam barqarorligi teoremalarining hisoblanish mumkinligini koʻrsatishga qaratilgan; u haqiqiy muhandislik tizimida eksperimental tasdiq emas.

Asosiy model doimiy koeffitsiyent matritsalardan foydalanadi. \(V_\ell(k)\) va \(W_\ell(k)\) kabi vaqt boʻyicha oʻzgaruvchi koeffitsiyentlar mavjud teorema doirasida bevosita yechilmaydi.

Usul koʻp indeksli yigʻindilarni oʻz ichiga olgani uchun kechikishlar soni va vaqt ufqi oshgani sari hisoblash xarajati ham ortadi. Manba tadqiqot, ayniqsa, kam sonli kechikishlar va oʻrtacha vaqt ufqlarini usulning tabiiy qoʻllanish sohasi deb hisoblaydi.

Chekli vaqt Hyers–Ulam barqarorligi bilan cheksiz vaqt barqarorligi bir xil natija emas. Cheksiz ufqda manba qoʻshimcha kontraktivlik shartini beradi.

Rasmiy nashr havolasi: https://doi.org/10.3390/math14091537