Усули интерферометрии ҷойивазкунӣ бар асоси ҳамвории комплексии s, равиши таҷрибавии ченкунӣ мебошад, ки кӯшиш мекунад бо интиқоли функсияи модулятсия, ки аз нақши интерференсионии интерферометри Микелсон гирифта шудааст, тавассути табдили Лаплас ба ҳамвории комплексӣ ҷойивазкунии физикиро аз рӯи тағйири мавқеи сифрҳои функсия муайян кунад. Дар таҳқиқот яке аз оинаҳои интерферометри Микелсон бо нури 635 nm ба таври идорашаванда ҳаракат дода шуда, чор ҷойивазкунӣ дар фосилаи 0,8–8,8 mm бо ҳолати истинод муқоиса шудааст, аз интерферограммаҳои тасвиршуда функсияи модулятсия ҷудо карда шуда, қутбҳо ва сифрҳо дар ҳамвории комплексии \(s=\sigma+i\omega\) ҳисоб шудаанд.

Тибқи модели математикии манбаъ, дар ҳолати истинодии бе пертурбатсия қутбҳои функсияи комплексӣ дар \(s=0\) ва \(s=\pm i\omega_0\), сифрҳо бошад дар \(s=\pm i\omega_0/\sqrt{2}\) ҷойгиранд. Барои қимати \(\omega_0=9.8947\times10^6\), ки дар таҷриба истифода шудааст, сифрҳои истинодӣ тақрибан \(\pm6.9966\times10^6 i\) ҳисоб шудаанд. Полиноми кубии хаттикунонидашудае, ки манбаъ барои ҳолати пертурбатсияшуда истифода мебарад, се сифр ҳосил мекунад: як решаи ҳақиқӣ дар меҳвари ҳақиқии манфӣ ва як ҷуфти решаҳои комплексии ҳамроҳ бо қисми ҳақиқии мусбат. Бо афзоиши \(\Delta x\)-и таҷрибавӣ мавқеи ин решаҳо ба таври низомманд тағйир меёбад.

Панҷ интерферограмма сохта шудааст. Дар ҳолати истинодӣ мавқеи гузоришшудаи оинаи 2 нисбат ба ҷудокунандаи шуоъ 14,3 mm мебошад. Дар ҳолатҳои дигар мавқеъҳо 15,1, 16,2, 17,0 ва 23,1 mm буда, ҷойивазкуниҳо нисбат ба истинод мутаносибан 0,8, 1,9, 2,7 ва 8,8 mm дода шудаанд. Дар ҳамаи ҳолатҳо басомади фазоӣ \(\nu_0=1.5748\times10^6~\mathrm{m^{-1}}\) ва басомади кунҷии фазоӣ \(\omega_0=9.8947\times10^6~\mathrm{rad/m}\) истифода шудаанд.

Маҳдудияти муҳими усулии таҳқиқот номувофиқиҳои математикии дохили манбаъ дар табдили Лапласи функсияи пертурбатсияшуда ва хаттикунонии Taylor мебошанд. Манбаъ узви \(e^{-s\Delta x}\)-ро то дараҷаи якум кушода, таҳти фарзияи \(|\Delta x s|\ll1\) муодилаи кубии сифрро ҳосил мекунад; аммо ҳангоми якҷо истифода бурдани \(\Delta x\) ва қиматҳои сифри ҳақиқии гузоришшудаи манбаъ, \(|\Delta x s|\) тақрибан аз 398 то 1965 аст ва ин қиматҳо шарти \(\ll1\)-ро қонеъ намекунанд. Аз ин рӯ, ҳангоми пешниҳоди интерферограммаҳои таҷрибавӣ ва ҷадвалҳои решаҳои ҳисобшудаи таҳқиқот ҳадди эътибори миқдории модели хаттикунонидашуда низ бояд алоҳида ва намоён нигоҳ дошта шавад.

Муаллифон бар онанд, ки усул ҷойивазкунии физикиро ба масъалаи ҷойгиркунии нуқта/сифр дар ҳамвории комплексӣ табдил медиҳад ва метавонад усулҳои анъанавии шумориши рахҳои интерференсионӣ ё равишҳои танҳо ба шиддат асосёфтаро пурра кунад. Бо вуҷуди ин, дар таҳқиқот санҷиши алоҳидаи такрорпазирӣ, буҷети номуайянии ченкунӣ, ҳадди тафриқа, таҳлили номуайянии рахҳои интерференсионӣ ё муқоисаи назоратшавандаи иҷрои миқдорӣ бо усулҳои алтернативӣ анҷом дода нашудааст. Аз ин рӯ, таҳқиқот нишон медиҳад, ки ҷойивазкуниҳои идорашавандаи 0,8–8,8 mm бо равиши пешниҳодшудаи ҳамвории s фарқ карда мешаванд; ҳассосияти умумии метрологии усул ҳанӯз пурра тавсиф нашудааст.

Интерферометри Микелсон Дар Ин Таҳқиқот Чӣ Гуна Истифода Мешавад?

Интерферометри Микелсон интерферометрест, ки шуои аз як манбаи когерентии нур омадаро ба ду шоха ҷудо мекунад ва шуоъҳои аз ду оина баргаштаро дубора якҷо карда, фарқи роҳи оптикиро ба нақши интерференсионӣ табдил медиҳад. Дар ин таҳқиқот мавқеи оинаи дуюм ба таври идорашаванда тағйир дода шуда, фарқи роҳи оптикӣ ва фазаи интерференсия тағйир дода шудаанд; маълумоти математикии интерферограммаҳои ҳосилшуда баъдан тавассути филтркунии Фурье ва табдили Лаплас ба ҳамвории комплексии s гузаронда шудааст.

Ҷузъҳои дастгоҳи таҷрибавӣ

Ҳангоми Якҷо Шудани Ду Шуоъ Шиддат Чӣ Гуна Ҳосил Мешавад?

Ҳангоми дубора якҷо шудани ду мавҷи оптикии когерентӣ детектор на амплитудаи комплексии майдони электриро бевосита, балки шиддатеро ҳис мекунад, ки ба квадрати модули майдони умумӣ мувофиқ аст. Манбаъ бо фарз кардани он ки ду шоха басомади баробар ва робитаи фазавии аз як манбаъ пайдошударо доранд, шиддати интерференсияро аввал чунин менависад:

\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) + I_0(x,y) \left[ e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)} + e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)} \right] \tag{1} \]

Ифодаи айниятии Эйлер:

\[ e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta \]

истифода шавад:

\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) \left[ 1+\cos\left( \mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) \right) \right]. \tag{2} \]

Дар ин ҷо \(I_0\) миқёси шиддати як шоха, \(\mathbf{k}\) вектори мавҷ ва \(\mathbf{r}_1\) ва \(\mathbf{r}_2\) векторҳои мавқеи вобаста ба ду роҳи нурро ифода мекунанд. Узви косинус фарқи фазаи байни ду роҳи оптикиро интиқол медиҳад; ҳассосияти интерферометр ба ҷойивазкунӣ аз ҳамин узв сарчашма мегирад.

Чаро Нақши Дученака Ба Якченака Коҳиш Дода Мешавад?

Дар манбаъ интерферограммаҳо аз ҳалқаҳои ҳаммарказ иборатанд. Бо сабаби симметрияи геометрӣ буриши нақш дар баробари як меҳвар барои таҳлил ба профили якченака коҳиш дода мешавад. Бо доимӣ қабул кардани \(y=0\):

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(k(x_1-x_2)) \right] \tag{3} \]

ва:

\[ x=x_1-x_2 \]

бо таърифи:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(kx) \right]. \tag{4} \]

Бузургии вектори мавҷ:

\[ k= \frac{2\pi n}{\lambda} \]

азбаски чунин аст:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+ \cos \left( \frac{2\pi n}{\lambda}x \right) \right]. \tag{5} \]

Манбаъ басомади фазоиро:

\[ \nu_0= \frac{n}{\lambda} \]

таъриф мекунад. Ҳамин тавр:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(2\pi\nu_0x) \right], \tag{6} \]

ва басомади кунҷии фазоиро:

\[ \omega_0=2\pi\nu_0 \tag{8} \]

бо таърифи:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right]. \tag{7} \]

Маънои физикии ин занҷир чунин аст: лаппиши босуръати профили интерференсия маълумоти фазавии фарқи роҳи оптикиро интиқол медиҳад, дар ҳоле ки \(I_0(x)\) лифофаи шиддати нурро, ки сусттар тағйир меёбад, ифода мекунад.

Чаро Функсияи Модулятсия Аз Нақши Интерференсионӣ Ҷудо Карда Мешавад?

Функсияи модулятсия \(f_m(x)=1+\cos(\omega_0x)\) ҷузъест, ки новобаста аз лифофаи шиддати манбаи нур маълумоти фазаи интерференсия ва фарқи роҳи оптикиро интиқол медиҳад; аз ин рӯ, таҳқиқот аввал лифофаро дар соҳаи Фурье ҷудо карда, ҷузъи модулятсияро мегирад ва баъдан табдили Лапласро бевосита ба ҳамин функсия татбиқ мекунад.

Манбаъ профили интерференсияро ба ду зарбкунанда ҷудо мекунад:

\[ f_e(x)=2I_0(x), \]

\[ f_m(x)=1+\cos(\omega_0x). \tag{9} \]

\(f_e(x)\) функсияи лифофаи нури манбаъ аст. \(f_m(x)\) бошад, маълумоти даврии интерференсияи байни ду шохаи оптикиро интиқол медиҳад.

Марҳилаҳои филтркунии рақамӣ

1. Профили интерференсия \(I(x)\) бо табдили Фурье ба соҳаи басомад гузаронда мешавад: \[ I(\nu)=\mathcal{F}\{I(x)\}. \]
2. Дар манбаъ филтри: \[ F(\nu) = \delta(\nu) + \delta(\nu+\nu_0) + \delta(\nu-\nu_0) \] таъриф шуда, амали: \[ F_m(\nu)=I(\nu)F(\nu) \] истифода мешавад.
3. Спектри филтршуда бо табдили баръакси Фурье ба соҳаи фазоӣ баргардонда мешавад: \[ f_m(x)=\mathcal{F}^{-1}\{F_m(\nu)\}. \]

Ҳадафи ин амал ҷудо кардани қисми даврии нақши интерференсионӣ, ки маълумоти фазаи оптикиро интиқол медиҳад, аз лифофаи шиддати нур мебошад.

Ҷойивазкунӣ Ба Функсияи Модулятсия Чӣ Гуна Дохил Мешавад?

Муодилаи назариявии (10)-и манбаъ:

\[ f_m(x,\Delta x) = 1+ \cos \left[ \omega_0(x-\Delta x) \right]. \tag{10} \]

чунин аст. Аз нигоҳи математикӣ \(\Delta x\) ба аргументи косинус ҳамчун лағжиши фаза/мавқеъ дохил мешавад. Аз ин рӯ, ҳаракати оина мавқеи функсияи модулятсияро дар фазо тағйир медиҳад.

Ёддошти аломати дохили манбаъ: Дар ҳоле ки Муодилаи (10) шакли \(x-\Delta x\)-ро истифода мебарад, Ҷадвали 2 ва Ҷадвали 4 дар натиҷаҳои таҷриба функсияҳои пертурбатсияшударо дар шакли \(x+\Delta x\) менависанд. Манбаъ фарқи байни ду конвенсияи аломатро шарҳ намедиҳад; аз ин рӯ, Verianla аломатро яктарафа “ислоҳ” намекунад.

Табдили Лаплас Ҷойивазкуниро Чӣ Гуна Ба Ҳамвории s Мегузаронад?

Табдили Лаплас функсияи интерференсионии модулятсияшударо дар координатаи фазоӣ ба функсияи тағйирёбандаи комплексии \(s=\sigma+i\omega\) табдил медиҳад; дар усули таҳқиқот тағйири физикии \(\Delta x\) аз рӯи тағйири полином дар сурати ин функсияи комплексӣ ва, дар натиҷа, мавқеи сифрҳо муайян карда мешавад.

Табдили Лапласи ҳолати истинодӣ

Ҳангоми набудани пертурбатсия табдили яктарафаи Лаплас:

\[ F(s) = \int_0^\infty \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right] e^{-sx}\,dx. \tag{11} \]

Тибқи манбаъ, ҳал:

\[ F(s) = \frac{1}{s} + \frac{s}{s^2+\omega_0^2}. \tag{12} \]

Бо махраҷи умумӣ:

\[ F(s) = \frac{ 2s^2+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) }. \tag{13} \]

Дар ин функсияи рационалӣ қутбҳо қиматҳое мебошанд, ки махраҷро ба сифр баробар мекунанд:

\[ s=0, \qquad s=\pm i\omega_0. \]

Сифрҳо бошанд қиматҳое мебошанд, ки суратро ба сифр баробар мекунанд:

\[ 2s^2+\omega_0^2=0, \]

бинобар ин:

\[ s= \pm i \frac{\omega_0}{\sqrt2}. \]

Дар таҷриба:

\[ \omega_0= 9.8947\times10^6, \]

азбаски чунин аст, сифрҳои истинодӣ дар ҷадвали манбаъ:

\[ s= \pm6.9966\times10^6 i \]

чунин дода шудаанд.

Табдили функсияи пертурбатсияшуда, ки дар манбаъ дода шудааст

Манбаъ:

\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty \left[ 1+ \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) \right] e^{-sx}\,dx \tag{14} \]

ифодаро ба ду интеграл ҷудо мекунад:

\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty e^{-sx}\,dx + \int_0^\infty \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) e^{-sx}\,dx. \tag{15} \]

Сипас манбаъ ивазкунии тағйирёбандаи \(u=x-\Delta x\)-ро истифода бурда, узви дуюмро:

\[ \int_0^\infty \cos(\omega_0u) e^{-su} e^{-s\Delta x}\,du \]

ба ин шакл гирифта:

\[ F(s,\Delta x) = \frac{1}{s} + \frac{ e^{-s\Delta x}s }{ s^2+\omega_0^2 } \tag{17} \]

ба натиҷа мерасад.

Маҳдудияти математикии дохили манбаъ: Дар ивазкунии \(u=x-\Delta x\), вақте \(x=0\), \(u=-\Delta x\) мешавад. Манбаъ дар Муодилаи (16) пас аз ин ивазкунии тағйирёбанда ҳадди поёнии интегралро боз 0 нишон медиҳад. Азбаски ин қадам алоҳида шарҳ дода нашудааст, Verianla Муодилаи (17)-ро ҳамчун усули дар манбаъ додашуда нақл мекунад, вале ин тағйири ҳадро ҳамчун қадами аз ҷиҳати математикӣ тасдиқшуда аз нав ҳосил намекунад.

Наздиксозии Taylor ва муодилаи кубии сифр

Манбаъ ба узви экспоненсиалии Муодилаи (18) густариши Taylor-ро татбиқ карда, мегӯяд, ки танҳо узви хаттиро нигоҳ доштааст. Шарти барои ин наздиксозӣ додашуда:

\[ |\Delta x\,s|\ll1. \]

Сипас манбаъ:

\[ F(s,\Delta x) = \frac{ s^2(2+\Delta xs)+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{19} \]

ва:

\[ F(s,\Delta x) = \frac{ \Delta x s^3 + 2s^2 + \omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{20} \]

ифодаҳоро истифода мебарад.

Ёддошти мутобиқати аломат: Узви экспоненсиалии дар манбаъ дидашаванда \(e^{-s\Delta x}\) мебошад. Густариши стандартии Taylor-и дараҷаи якум \(e^{-s\Delta x}=1-s\Delta x+\cdots\) аст. Аммо дар Муодилаҳои (19)–(20) \(+\Delta xs\) ва \(+\Delta xs^3\) чоп шудаанд. Манбаъ ин тағйири аломатро шарҳ намедиҳад. Verianla аломати мусбати муодилаи манбаъро тағйир надода нақл мекунад, вале фарқи математикиро намоён нигоҳ медорад.

Оё Шарти \(|\Delta xs|\ll1\) Дар Решаҳои Гузоришшуда Иҷро Мешавад?

Санҷиши бевоситаи ҳосили беандоза бо истифода аз қиматҳои сифри ҳақиқии худи манбаъ чунин аст:

Ин ҷадвал натиҷаи нави таҷрибавӣ нест; он ҷойгузории қиматҳои \(\Delta x\) ва сифрҳои дар манбаъ ошкоро додашуда ба шарти эътибори худи манбаъ \(|\Delta xs|\ll1\) мебошад. Натиҷа нишон медиҳад, ки наздиксозии Taylor-и дараҷаи якум дар Муодилаҳои (19)–(20) дар миқёси решаҳои ҳақиқии гузоришшуда шарти параметри хурдро қонеъ намекунад. Аз ин рӯ, бузургии хатои миқдории наздиксозии кубӣ набояд бе тасдиқи алоҳидаи манбаъ ҳамчун “дақиқ” умумӣ карда шавад.

Чаро Сифри Сеюм Ҳамчун Меъёри Пертурбатсия Истифода Мешавад?

Дар модели хаттикунонидашудаи манбаъ, азбаски сурати функсияи истинодӣ дараҷаи дуюм аст, ду сифр медиҳад; дар ҳолати \(\Delta x\neq0\) бошад, сурат ба шакли \(\Delta xs^3+2s^2+\omega_0^2\) дараҷаи сеюм шуда, се реша ҳосил мекунад; аз ин рӯ, таҳқиқот мушоҳида шудани се сифрро ҳамчун меъёри кофии ошкорсозӣ барои мавҷудияти пертурбатсия дар интерферометри Микелсон таъриф мекунад.

Дар ҳолати истинодӣ:

\[ 2s^2+\omega_0^2=0 \]

ду сифр медиҳад.

Модели пертурбатсияшудаи манбаъ:

\[ \Delta xs^3 + 2s^2 + \omega_0^2 = 0 \]

полиноми дараҷаи сеюм аст ва се реша ҳосил мекунад.

Нуқтаи муҳим ин аст, ки махраҷ:

\[ s(s^2+\omega_0^2) \]

азбаски тағйир намеёбад, дар модели манбаъ қутбҳо дар ҳамаи ҳолатҳои таҷрибавӣ яксон мемонанд. Бузургии тағйирёбанда сохтори сифрҳост.

Панҷ интерферограммаи дар таҷриба истифодашуда

Бо зиёд шудани ҳаракати оина нисбат ба мавқеи истинодӣ дида мешавад, ки шумораи ҳалқа/рахҳои интерференсионӣ дар тасвирҳо аз 3 то 9 зиёд шудааст. Таҳқиқот ба ҷойи чен кардани ин интерферограммаҳо танҳо бо шумориши мустақими рахҳо, онҳоро ҳамчун вуруд барои гирифтани профил ва таҳлили ҳамвории комплексӣ истифода мебарад.

Қутбҳо ва сифрҳои ҳисобшуда

Ҷадвал ду тамоюли равшанро нишон медиҳад. Якум, дар модели ҳисобкунии манбаъ қутбҳо дар ҳамаи ҳолатҳо тағйир намеёбанд. Дуюм, қисмҳои ҳақиқӣ ва мавҳуми се сифре, ки пас аз пертурбатсия пайдо мешаванд, бо \(\Delta x\) тағйир меёбанд. Аз ҷумла, қимати мутлақи решаи ҳақиқии манфӣ аз 497318 дар ҳолати 0,8 mm то 223317 дар ҳолати 8,8 mm коҳиш меёбад.

Ёддошти муҳокимаи дохили манбаъ: Дар қисми муҳокимаи мақола як ҷумла мегӯяд, ки баъд аз ҷойивазкунӣ тағйир дар мавқеи “poles and zeros” мушоҳида шудааст. Аммо Ҷадвали 6 ва ҷумлаҳои пешини ҳамон муҳокима равшан нишон медиҳанд, ки қутбҳо тағйир намеёбанд. Verianla бо такя ба ҷадвали миқдорӣ натиҷаи “қутбҳо собит, сифрҳо тағйирёбанда” -ро истифода мебарад.

Вектори Ченкунии \(s_{\mathrm{meas}}\) Чиро Нишон Медиҳад?

\(s_{\mathrm{meas}}\) дар таҳқиқот фарқи комплексӣ-векторӣ байни сифри интихобшудаи ҳолати истинодӣ ва сифри интихобшудаи ҳолати пертурбатсияшуда мебошад; \(s_{\mathrm{meas}}\)-и ғайрисифр нишон медиҳад, ки ҳолати физикӣ аз истинод фарқ кардааст, дар ҳоле ки ҷузъ ва кунҷи вектор фарқи геометрии байни ин ду мавқеи ҳамвории s-ро ифода мекунанд.

Манбаъ вектори ченкуниро:

\[ s_{\mathrm{meas}} = s_{\mathrm{ref}} - s_{\mathrm{per}} \tag{22} \]

чунин таъриф мекунад.

Дар ин ҷо:

• \(s_{\mathrm{ref}}\): вектори сифрест, ки аз ҳолати истинодӣ интихоб шудааст.
• \(s_{\mathrm{per}}\): вектори сифрест, ки аз ҳолати пертурбатсияшуда интихоб шудааст.
• \(s_{\mathrm{meas}}\): фарқи вектории комплексии байни ин ду мебошад.

Дар ҳисобҳои манбаъ ҳамчун истинод сифри мавҳуми мусбат:

\[ s_{\mathrm{ref}} = 6.9966\times10^6 i \]

истифода шудааст. Барои ҳолати пертурбатсияшуда бошад, аз се сифр сифри ҳақиқие, ки дар меҳвари ҳақиқии манфӣ ҷойгир аст, ҳамчун \(s_{\mathrm{per}}\) интихоб шудааст.

Ҳангоми аз 0,8 mm то 8,8 mm зиёд шудани ҷойивазкунӣ, қисми ҳақиқии \(s_{\mathrm{meas}}\) аз 497318 то 223317 ва бузургии вектор аз 7014252 то 7000163 коҳиш меёбад, дар ҳоле ки кунҷ аз 85,93° то 88,17° зиёд мешавад.

Ёддошти тафсири дохили манбаъ: Мақола ин маълумотро ҳамчун “робитаи баръакс байни қисми ҳақиқӣ ва бузургии вектор” тафсир мекунад. Аммо дар Ҷадвали 8 бузургии қисми ҳақиқии мусбати \(s_{\mathrm{meas}}\) ва бузургии умумии вектор якҷо кам мешаванд. Маълум нест, ки манбаъ бо ин ибора координатаи ҳақиқии бо аломати манфии сифри пертурбатсияшударо дар назар дорад ё тафсири самтдори дигарро. Verianla қиматҳои ҷадвалро айнан нигоҳ медорад ва номуайяниро намепӯшонад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Ҷараёни пурраи таҷриба ва таҳлил

1. Манбаи нури 635 nm ба интерферометри Микелсон фиристода шуд.
2. Шуоъ бо ҷудокунандаи 50/50 ба ду шоха ҷудо шуд.
3. Оинаи 1 ва оинаи 2 шуоъҳоро дубора ба ҷудокунандаи шуоъ инъикос карданд.
4. Интерферограммаи шуоъҳои якҷошуда бо камераи Canon EOS 90D сабт шуд.
5. Мавқеи истинодӣ 14,3 mm қабул шуд.
6. Оинаи 2 ба таври идорашаванда ҳаракат дода шуда, фарқҳои истинодии 0,8, 1,9, 2,7 ва 8,8 mm ба вуҷуд оварда шуданд.
7. Аз ҳар интерферограмма профили якченакаи шиддат гирифта шуд.
8. Профил бо табдили Фурье ба соҳаи басомад гузаронда шуд.
9. Бо филтри се-Дирак-делта, ки дар манбаъ таъриф шудааст, ҷузъи модулятсия ҷудо карда шуд.
10. Бо табдили баръакси Фурье \(f_m(x)\) ё \(f_m(x,\Delta x)\) ба даст оварда шуд.
11. Ба функсияи модулятсия табдили яктарафаи Лаплас татбиқ шуд.
12. Дар модели хаттикунонидашудаи манбаъ қутбҳо ва сифрҳои функсияи комплексӣ ҳисоб шуданд.
13. Бо муқоисаи сифрҳои истинодӣ ва пертурбатсияшуда вектори ченкунии \(s_{\mathrm{meas}}\) сохта шуд.

Натиҷаи асосии таҷрибавӣ мушоҳидашуда

Шумораи ҳалқаҳо ва профилҳои панҷ интерферограмма фарқ мекунанд. Дар ҳолати истинодӣ се ҳалқа гузориш шудааст, дар ҳоле ки дар ҳолати бузургтарин ҷойивазкунии 8,8 mm нӯҳ ҳалқа гузориш шудааст. Дар ҳамаи ҳолатҳо ҳамон қиматҳои \(\nu_0\) ва \(\omega_0\) ба ҷадвал ворид шудаанд; фарқ дар узви фаза/мавқеи функсияи модулятсия ифода шудааст.

Дар ҳисобҳои ҳамвории s-и манбаъ ҳолати истинодӣ танҳо ду сифр дорад. Дар ҳар яке аз чор ҳолати пертурбатсияшуда муодилаи кубии хаттикунонидашуда се сифр медиҳад. Бо зиёд шудани \(\Delta x\) координатаҳои сифрҳо ба таври муназзам ба нуқтаҳои гуногуни ҳамвории s кӯчидаанд.

Ҷиҳатҳои қавии таҳқиқот

• Равиши ҳамвории s, ки назариявӣ пешниҳод шудааст, бо интерферометри воқеии Микелсон ба тасвирҳои таҷрибавӣ татбиқ шудааст.
• Ҳолати истинодӣ ва чор ҳолати пертурбатсияи идорашаванда бо як занҷири усул таҳлил шудаанд.
• Занҷири равшани коркард аз тасвири интерферограмма то филтркунии Фурье, табдили Лаплас, таҳлили қутб-сифр ва вектори комплексии ченкунӣ пешниҳод шудааст.
• Манбаъ на танҳо тағйири визуалии тасвирҳо, балки координатаҳои ададии комплексии қутбҳо ва сифрҳоро низ дар ҷадвалҳо медиҳад.
• Равиши \(s_{\mathrm{meas}}\) имкон медиҳад, ки пертурбатсияи физикӣ дар ҳамвории комплексӣ ба таври векторӣ ифода шавад.

Маҳдудиятҳои асосии усулӣ

• Наздиксозии Taylor: Шарти \(|\Delta xs|\ll1\), ки барои Муодилаҳои (19)–(20) зикр шудааст, ҳангоми истифодаи қиматҳои сифри ҳақиқии гузоришшудаи манбаъ иҷро намешавад.
• Аломати Taylor: Байни густариши дараҷаи якуми \(e^{-s\Delta x}\) ва узви \(+\Delta xs^3\), ки дар манбаъ чоп шудааст, номувофиқии аломат вуҷуд дорад.
• Ивазкунии тағйирёбанда: Дар ивазкунии \(u=x-\Delta x\) шарҳ дода нашудааст, ки ҳадди поёнии интеграли дуюм чӣ гуна баррасӣ шудааст.
• Аломати ҷойивазкунӣ: Муодилаи назариявии (10) \(x-\Delta x\)-ро истифода мебарад, ҷадвалҳои таҷриба бошад \(x+\Delta x\)-ро.
• Баёни қутбҳо: Дар ҳоле ки Ҷадвали 6 тағйир наёфтани қутбҳоро нишон медиҳад, як ҷумлаи муҳокима мегӯяд, ки қутбҳо ва сифрҳо якҷо тағйир меёбанд.
• Номуайянии метрологӣ: Барои ҳар \(\Delta x\) шумораи такрорҳо, инҳирофи стандартӣ, фосилаи эътимод ё буҷети пурраи номуайянии ченкунӣ гузориш нашудааст.
• Қобилияти тафриқа: 0,8 mm хурдтарин ҷойивазкунии идорашавандаест, ки дар таҳқиқот истифода шудааст; нишон дода нашудааст, ки ин ҳадди ниҳоии тафриқаи усул мебошад.
• Такрорпазирӣ: муаллифон таҳлили repeatability-ро ба таҳқиқоти оянда мегузоранд.
• Номуайянии рахҳои интерференсионӣ: муаллифон таҳлили fringe ambiguity-ро низ ҳамчун кори оянда зикр мекунанд.
• Бартарии муқоисавӣ: барои ҳамон маълумот benchmark-и миқдории хато/устуворӣ бо шумориши рахҳои интерференсионӣ ё усулҳои Фурье дода нашудааст.
• Устуворӣ нисбат ба қувваи нур: бо тағйири идорашавандаи қувваи манбаи нур озмоиши ҷудогонаи устуворӣ гузориш нашудааст.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Ҷойивазкуниҳои идорашавандаи оинаи интерферометри Микелсон интерферограммаҳои гуногун ба вуҷуд овардаанд.
• Ҳолатҳои ҷойивазкунии 0,8, 1,9, 2,7 ва 8,8 mm бо занҷири усули манбаъ аз ҳам фарқ карда шудаанд.
• Функсияи истинодӣ дар модели манбаъ се қутб ва ду сифр дорад.
• Наздиксозии кубие, ки манбаъ барои ҳолати пертурбатсияшуда истифода мебарад, се сифр ҳосил мекунад.
• Дар ҷадвалҳои манбаъ координатаҳои қутбҳо дар ҳамаи ҳолатҳо собитанд.
• Координатаҳои сифрҳо бо ҷойивазкунӣ тағйир меёбанд.
• Вектори \(s_{\mathrm{meas}}\) байни сифри истинодӣ ва сифри интихобшудаи пертурбатсияшуда дар ҳамаи ҳолатҳои пертурбатсияшуда аз сифр фарқ мекунад.
• Ҳамвории комплексии s тасвиреро фароҳам меорад, ки ҳолатҳои ҷойивазкунии физикиро бо мавқеъҳои математикӣ мепайвандад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Қимати 0,8 mm-ро ҳамчун ҳадди дақиқи минималии ошкорсозӣ ё қобилияти тафриқаи усул нишон додан мумкин нест.
• Таҳқиқот ҷойивазкуниҳои микрометрӣ, нанометрӣ ё хурдтарро ба таври таҷрибавӣ нишон надодааст.
• Бо таҷрибаи муқоисавии бевосита нишон дода нашудааст, ки усул аз шумориши анъанавии рахҳои интерференсионӣ ё демодулятсияи Фурье аз ҷиҳати миқдорӣ ҳассостар аст.
• Барои ибораи “High precision” буҷети ҷудогонаи пурраи номуайянии ченкунӣ гузориш нашудааст.
• Устуворӣ нисбат ба лаппиши қувваи нур бо озмоиши махсуси тағйири қувва ба таври миқдорӣ санҷида нашудааст.
• Нишон дода нашудааст, ки ҳаракати сифр дар ҳамвории комплексӣ барои ҳамаи пертурбатсияҳои дигари физикӣ бо ҳамон калибронӣ кор мекунад.
• Андозагирии нишондиҳандаи шикаст дар ин мақола анҷом дода нашудааст; манбаъ онро ҳамчун яке аз татбиқҳои эҳтимолии оянда пешниҳод мекунад.
• Нишон дода нашудааст, ки модели кубии хаттикунонидашудаи манбаъ барои ҳамаи қиматҳои гузоришшудаи \(s\) бо наздиксозии параметри хурд аз ҷиҳати миқдорӣ эътибор дорад.

Пешниҳодҳо барои таҳқиқоти оянда

Муаллифон пешниҳод мекунанд, ки дар марҳилаи баъдии усул ҳассосият, такрорпазирӣ, хатогиҳои ченкунӣ, fringe ambiguity ва қобилияти тафриқаи интерферометр ба таври муфассал омӯхта шаванд. Илова бар ин, азбаски фарқи роҳи оптикӣ ғайр аз дарозии геометрии роҳ ба нишондиҳандаи шикасти муҳит низ вобаста аст, гуфта мешавад, ки ҳамон равиши вектории ҳамвории s метавонад дар оянда барои пайгирии тағйироти нишондиҳандаи шикаст ва ба ин васила тавсифи моеъ истифода шавад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Experimental Detection of ∆x Variations on the Complex s-Plane Based on a Michelson Interferometer

Муаллифон: Romel Rubicel Flores Gámez, José Trinidad Guillen Bonilla, Héctor Guillen Bonilla, Alex Guillen Bonilla, Cuauhtémoc Acosta Lúa, Maricela Jiménez Rodríguez, Mónica Vázquez Gutiérrez, María Eugenia Sánchez Morales.

Тартиби муаллифон: Тартиби PDF-и манбаъ айнан нигоҳ дошта шудааст.

Муаллифони масъул: José Trinidad Guillen Bonilla ва María Eugenia Sánchez Morales.

Саҳми баробар: Дар манбаъ изҳорот дар бораи ҳаммуаллифии аввалини баробар ё саҳми баробар муайян нашудааст.

Муассисаҳо: Departamento de Ciencias Tecnológicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Electro-Fotónica, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ingeniería de Proyectos, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ciencias Computacionales e Ingenierías, Centro Universitario de los Valles; Departamento de Ciencias Básicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Sistemas de Información, Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas. Ҳамаи аффилиатсияҳо дар таркиби Universidad de Guadalajara, Jalisco, Mexico мебошанд.

Маҷалла: Physics.

Бахши маҷалла: Applied Physics.

Ношир: MDPI.

Ҷилд / шумора / рақами мақола: 8(3), 67.

DOI: 10.3390/physics8030067.

Ирсол: 16 июни 2026.

Бознигарӣ: 14 августи 2026.

Қабул: 31 августи 2026.

Нашр: 17 сентябри 2026.

Навъи манбаъ: Мақолаи таҳқиқотии таҷрибавии тақризшуда; таҳқиқот дар соҳаи оптикаи амалӣ, интерферометрия, коркарди сигнал ва ченкунии ҷойивазкунӣ.

Иҷозатнома: Creative Commons Attribution 4.0, CC BY 4.0.

Пайванди расмӣ: Сабти нашрии MDPI тавассути DOI 10.3390/physics8030067.

Системаи асосии таҷрибавӣ: Интерферометри Микелсон; манбаи нури 635 nm, коллиматори дорои масофаи фокусии 18 mm, ҷудокунандаи шуоъи 50/50, ду оина ва камераи Canon EOS 90D/объективи макро.

Усули асосӣ: Сабти интерферограмма → профили якченака → табдили Фурье → филтркунии функсияи модулятсия дар соҳаи басомад → табдили баръакси Фурье → табдили яктарафаи Лаплас → таҳлили қутб/сифр дар ҳамвории комплексии s → вектори ченкунии \(s_{\mathrm{meas}}\).

Ҷойивазкуниҳои таҷрибавӣ: 0,8 mm, 1,9 mm, 2,7 mm ва 8,8 mm; мавқеи 14,3 mm ҳамчун истинод қабул шудааст.

Маблағгузорӣ: Манбаъ изҳороти “This research received no external funding”-ро медиҳад.

Сипосгузорӣ: Гуфта мешавад, ки таҳқиқот дар Centro Universitario de la Ciénega Theoretical and Applied Physics Laboratory анҷом дода шудааст ва ба Secretaría de Ciencia, Humanidades, Tecnología e Innovación (SECIHTI) барои дастгирӣ сипос гуфта мешавад. Манбаъ хусусияти ин дастгириро бо ибораи “no external funding” дар изҳороти Funding алоҳида мувофиқ намекунад.

Дастрасии маълумот: Гуфта мешавад, ки маълумоти хом бо дархости асоснок аз ҷониби муаллифон пешниҳод карда мешавад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор кардаанд, ки бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Саҳми муаллифон: Консептуализатсия R.R.F.G., J.T.G.B. ва M.E.S.M.; усул R.R.F.G. ва J.T.G.B.; нармафзор R.R.F.G.; санҷиш ва таҳлили формалӣ R.R.F.G., J.T.G.B. ва M.E.S.M.; таҳқиқот R.R.F.G. ва J.T.G.B.; захираҳо/куратсияи маълумот R.R.F.G., J.T.G.B. ва M.E.S.M.; тарҳи аввал R.R.F.G., J.T.G.B. ва M.E.S.M.; дар бознигарӣ, визуализатсия ва назорат ҳамаи муаллифон дар доираҳои гуногун иштирок кардаанд.

Номувофиқии математикии дохили манбаъ 1: Муодилаи (10) \(x-\Delta x\)-ро истифода мебарад, дар ҳоле ки ҷадвалҳои таҷриба \(x+\Delta x\)-ро истифода мебаранд.

Номувофиқии математикии дохили манбаъ 2: Пас аз ивазкунии тағйирёбандаи \(u=x-\Delta x\), манбаъ ҳадди поёнии интегралро тағйир намедиҳад.

Номувофиқии математикии дохили манбаъ 3: Узви \(e^{-s\Delta x}\) ва аломати \(+\Delta xs^3\) дар Муодилаҳои (19)–(20) ба густариши стандартии дараҷаи якуми Taylor бевосита мувофиқат намекунанд.

Ҳадди эътибори дохили манбаъ: Манбаъ мегӯяд, ки наздиксозии Taylor барои \(|\Delta xs|\ll1\) эътибор дорад. Бо \(\Delta x\) ва қиматҳои сифри ҳақиқии худи манбаъ ин ҳосили беандоза тақрибан дар диапазони 398–1965 аст; шарти параметри хурд дар решаҳои гузоришшуда иҷро намешавад.

Номувофиқии гузоришдиҳии дохили манбаъ: Дар ҳоле ки Ҷадвали 6 ва шарҳи усул тағйир наёфтани қутбҳоро нишон медиҳанд, як ҷумлаи муҳокима мегӯяд, ки баъд аз ҷойивазкунӣ мавқеи қутбҳо ва сифрҳо якҷо тағйир меёбанд.

Ҳадди метрологӣ: Дар таҳқиқот repeatability, буҷети пурраи хато, fringe ambiguity ё таҳлили қобилияти тафриқа алоҳида анҷом дода нашудаанд; инҳо аз ҷониби муаллифон ҳамчун мавзӯъҳои кори оянда номбар шудаанд.

Ҳудуди асосии тафсир: Мақола дар маълумоти таҷрибавӣ нишон медиҳад, ки ҷойивазкуниҳои идорашавандаи 0,8–8,8 mm тавассути занҷири коркарди пешниҳодшудаи ҳамвории комплексии s мавқеъҳои гуногуни решаро ба вуҷуд меоранд. Ин таҳқиқот худ аз худ қобилияти ниҳоии тафриқа, дақиқии мутлақ ё бартарии миқдории усулро нисбат ба дигар усулҳои интерферометрӣ муайян намекунад.