Kompleks s-müstəvisinə əsaslanan interferometrik yerdəyişmə metodu, Michelson interferometrinin interferensiya naxışından alınan modulyasiya funksiyasını Laplas çevrilməsi ilə kompleks müstəviyə daşıyaraq fiziki yerdəyişməni funksiyanın sıfırlarının mövqe dəyişməsi əsasında müəyyən etməyə çalışan eksperimental ölçmə yanaşmasıdır. Tədqiqatda 635 nm işıqdan istifadə edən Michelson interferometrinin güzgülərindən biri idarə olunan şəkildə hərəkət etdirilmiş, 0,8–8,8 mm arasındakı dörd yerdəyişmə istinad vəziyyəti ilə müqayisə edilmiş, görüntülənən interferoqramlardan modulyasiya funksiyası çıxarılmış və kompleks \(s=\sigma+i\omega\) müstəvisindəki qütb və sıfırlar hesablanmışdır.

Mənbənin riyazi modelinə görə perturbasiya olmayan istinad vəziyyətində kompleks funksiyanın qütbləri \(s=0\) və \(s=\pm i\omega_0\), sıfırları isə \(s=\pm i\omega_0/\sqrt{2}\) mövqelərindədir. Təcrübədə istifadə olunan \(\omega_0=9.8947\times10^6\) qiyməti üçün istinad sıfırları təxminən \(\pm6.9966\times10^6 i\) kimi hesablanmışdır. Mənbənin perturbasiya olunmuş vəziyyət üçün istifadə etdiyi xəttiləşdirilmiş kub polinom isə üç sıfır yaradır: mənfi həqiqi oxda bir həqiqi kök və müsbət həqiqi hissəyə malik kompleks qoşma köklər cütü. Eksperimental \(\Delta x\) böyüdükcə bu köklərin mövqeyi sistematik şəkildə dəyişir.

Beş interferoqram yaradılmışdır. İstinad vəziyyətində güzgü 2-nin şüa ayırıcıya nəzərən bildirilən mövqeyi 14,3 mm-dir. Digər vəziyyətlərdə mövqelər 15,1, 16,2, 17,0 və 23,1 mm olmuş; istinada görə yerdəyişmələr müvafiq olaraq 0,8, 1,9, 2,7 və 8,8 mm kimi verilmişdir. Bütün vəziyyətlərdə fəza tezliyi \(\nu_0=1.5748\times10^6~\mathrm{m^{-1}}\) və fəza bucaq tezliyi \(\omega_0=9.8947\times10^6~\mathrm{rad/m}\) kimi istifadə edilmişdir.

Tədqiqatın mühüm metodoloji məhdudiyyəti perturbasiya olunmuş funksiyanın Laplas çevrilməsində və Taylor xəttiləşdirməsində mənbədaxili riyazi uyğunsuzluqlardır. Mənbə \(e^{-s\Delta x}\) terminini birinci dərəcəyə qədər açaraq \(|\Delta x s|\ll1\) fərziyyəsi altında kub sıfır tənliyini çıxarır; lakin mənbənin bildirdiyi \(\Delta x\) və həqiqi sıfır qiymətləri birlikdə istifadə edildikdə \(|\Delta x s|\) təxminən 398 ilə 1965 arasındadır və bu qiymətlər \(\ll1\) şərtini ödəmir. Buna görə tədqiqatın eksperimental interferoqramları və hesablanmış kök cədvəlləri təqdim edilərkən istifadə olunan xəttiləşdirilmiş modelin kəmiyyətcə etibarlılıq həddi ayrıca görünən saxlanmalıdır.

Müəlliflər metodun fiziki yerdəyişməni kompleks müstəvidə nöqtə/sıfır yerləşdirmə probleminə çevirdiyini və ənənəvi interferensiya zolaqlarının sayılması və ya yalnız intensivliyə əsaslanan yanaşmaları tamamlaya biləcəyini müdafiə edirlər. Bununla belə, tədqiqatda ayrıca təkrarlanma qabiliyyəti testi, ölçmə qeyri-müəyyənliyi büdcəsi, ayırdetmə həddi, interferensiya zolağı qeyri-müəyyənliyi analizi və ya alternativ metodlarla idarə olunan kəmiyyət performans müqayisəsi aparılmamışdır. Buna görə tədqiqat 0,8–8,8 mm aralığındakı idarə olunan yerdəyişmələrin təklif olunan s-müstəvisi yanaşması ilə fərqləndirilə bildiyini göstərir; metodun ümumi metroloji həssaslığı hələ tam xarakterizə edilməmişdir.

Michelson İnterferometri Bu Tədqiqatda Necə İstifadə Olunur?

Michelson interferometri eyni koherent işıq mənbəyindən gələn şüanı iki qola ayıran, iki güzgüdən geri qayıdan şüaları yenidən birləşdirərək optik yol fərqini interferensiya naxışına çevirən interferometrdir. Bu tədqiqatda ikinci güzgünün mövqeyi idarə olunan şəkildə dəyişdirilərək optik yol fərqi və interferensiya fazası dəyişdirilmiş; yaranan interferoqramların riyazi məlumatı daha sonra Furye filtrləməsi və Laplas çevrilməsi ilə kompleks s-müstəvisinə daşınmışdır.

Eksperimental qurğunun komponentləri

İki Şüa Birləşdikdə İntensivlik Necə Yaranır?

İki koherent optik dalğa yenidən birləşdikdə detektor elektrik sahəsinin kompleks amplitudunu birbaşa deyil, ümumi sahənin modulunun kvadratına uyğun gələn intensivliyi aşkar edir. Mənbə iki qolun eyni tezliyə və eyni mənşədən gələn faza əlaqəsinə malik olduğunu qəbul edərək interferensiya intensivliyini əvvəlcə:

\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) + I_0(x,y) \left[ e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)} + e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)} \right] \tag{1} \]

şəklində ifadə edir. Eyler eyniliyi:

\[ e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta \]

istifadə edildikdə:

\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) \left[ 1+\cos\left( \mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) \right) \right]. \tag{2} \]

Burada \(I_0\) bir qolun intensivlik miqyasını, \(\mathbf{k}\) dalğa vektorunu, \(\mathbf{r}_1\) və \(\mathbf{r}_2\) isə iki işıq yolu ilə əlaqəli mövqe vektorlarını təmsil edir. Kosinus termini iki optik yol arasındakı faza fərqini daşıyır; interferometrin yerdəyişməyə həssaslığı bu termindən qaynaqlanır.

İkiölçülü Naxış Niyə Bir Ölçüyə Endirilir?

Mənbədə interferoqramlar konsentrik halqalardan ibarətdir. Həndəsi simmetriyaya görə naxışın bir ox boyunca götürülən kəsiyi analiz üçün birölçülü profilə endirilir. \(y=0\) sabit qəbul edilərək:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(k(x_1-x_2)) \right] \tag{3} \]

və:

\[ x=x_1-x_2 \]

tərifi ilə:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(kx) \right]. \tag{4} \]

Dalğa vektorunun böyüklüyü:

\[ k= \frac{2\pi n}{\lambda} \]

olduğuna görə:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+ \cos \left( \frac{2\pi n}{\lambda}x \right) \right]. \tag{5} \]

Mənbə fəza tezliyini:

\[ \nu_0= \frac{n}{\lambda} \]

kimi tərif edir. Beləliklə:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(2\pi\nu_0x) \right], \tag{6} \]

və fəza bucaq tezliyini:

\[ \omega_0=2\pi\nu_0 \tag{8} \]

tərifi ilə:

\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right]. \tag{7} \]

Bu zəncirin fiziki mənası belədir: interferensiya profilinin sürətli rəqsi optik yol fərqinin faza məlumatını daşıyarkən \(I_0(x)\) daha yavaş dəyişən işıq intensivliyi zərfini təmsil edir.

Modulyasiya Funksiyası Niyə İnterferensiya Naxışından Ayrılır?

Modulyasiya funksiyası \(f_m(x)=1+\cos(\omega_0x)\), işıq mənbəyinin intensivlik zərfindən asılı olmayaraq interferensiya fazası və optik yol fərqi haqqında məlumat daşıyan komponentdir; buna görə tədqiqat əvvəlcə Furye oblastında zərfi ayırıb modulyasiya komponentini çıxarır, sonra Laplas çevrilməsini birbaşa bu funksiyaya tətbiq edir.

Mənbə interferensiya profilini iki vuruğa ayırır:

\[ f_e(x)=2I_0(x), \]

\[ f_m(x)=1+\cos(\omega_0x). \tag{9} \]

\(f_e(x)\) mənbə işığının zərf funksiyasıdır. \(f_m(x)\) isə iki optik qol arasındakı interferensiyanın dövri məlumatını daşıyır.

Rəqəmsal filtrləmə addımları

1. İnterferensiya profili \(I(x)\) Furye çevrilməsi ilə tezlik oblastına keçirilir: \[ I(\nu)=\mathcal{F}\{I(x)\}. \]
2. Mənbədə: \[ F(\nu) = \delta(\nu) + \delta(\nu+\nu_0) + \delta(\nu-\nu_0) \] filtri tərif edilir və: \[ F_m(\nu)=I(\nu)F(\nu) \] əməliyyatı istifadə olunur.
3. Filtrlənmiş spektr tərs Furye çevrilməsi ilə fəza oblastına qaytarılır: \[ f_m(x)=\mathcal{F}^{-1}\{F_m(\nu)\}. \]

Bu əməliyyatın məqsədi interferensiya naxışının optik faza məlumatını daşıyan dövri hissəsini işıq intensivliyi zərfindən ayırmaqdır.

Yerdəyişmə Modulyasiya Funksiyasına Necə Daxil Olur?

Mənbənin nəzəri Tənlik (10)-u:

\[ f_m(x,\Delta x) = 1+ \cos \left[ \omega_0(x-\Delta x) \right]. \tag{10} \]

şəklindədir. Riyazi olaraq \(\Delta x\), kosinusun arqumentinə faza/mövqe sürüşməsi kimi daxil olur. Buna görə güzgünün hərəkəti modulyasiya funksiyasının fəzadakı mövqeyini dəyişir.

Mənbədaxili işarə qeydi: Tənlik (10) \(x-\Delta x\) formasından istifadə etdiyi halda eksperiment nəticələrindəki Cədvəl 2 və Cədvəl 4 perturbasiya olunmuş funksiyaları \(x+\Delta x\) formasında yazır. Mənbə iki işarə konvensiyası arasındakı fərqi izah etmir; buna görə Verianla işarəni birtərəfli şəkildə “düzəltmir”.

Laplas Çevrilməsi Yerdəyişməni s-Müstəvisinə Necə Daşıyır?

Laplas çevrilməsi fəza koordinatındakı modulyasiya olunmuş interferensiya funksiyasını \(s=\sigma+i\omega\) kompleks dəyişəninin funksiyasına çevirir; tədqiqatın metodunda fiziki \(\Delta x\) dəyişməsi bu kompleks funksiyanın surətindəki polinomun və bununla da sıfırların mövqeyinin dəyişməsi ilə aşkar edilir.

İstinad vəziyyətinin Laplas çevrilməsi

Perturbasiya olmadıqda birtərəfli Laplas çevrilməsi:

\[ F(s) = \int_0^\infty \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right] e^{-sx}\,dx. \tag{11} \]

Mənbəyə görə həll:

\[ F(s) = \frac{1}{s} + \frac{s}{s^2+\omega_0^2}. \tag{12} \]

Ortaq məxrəcdə:

\[ F(s) = \frac{ 2s^2+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) }. \tag{13} \]

Bu rasional funksiyanın qütbləri məxrəci sıfır edən qiymətlərdir:

\[ s=0, \qquad s=\pm i\omega_0. \]

Sıfırlar isə surəti sıfır edən qiymətlərdir:

\[ 2s^2+\omega_0^2=0, \]

beləliklə:

\[ s= \pm i \frac{\omega_0}{\sqrt2}. \]

Təcrübədə:

\[ \omega_0= 9.8947\times10^6, \]

olduğuna görə istinad sıfırları mənbə cədvəlində:

\[ s= \pm6.9966\times10^6 i \]

kimi verilir.

Perturbasiya olunmuş funksiyanın mənbədə verilən çevrilməsi

Mənbə:

\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty \left[ 1+ \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) \right] e^{-sx}\,dx \tag{14} \]

ifadəsini iki inteqrala ayırır:

\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty e^{-sx}\,dx + \int_0^\infty \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) e^{-sx}\,dx. \tag{15} \]

Sonra mənbə \(u=x-\Delta x\) dəyişən əvəzləməsindən istifadə edib ikinci termini:

\[ \int_0^\infty \cos(\omega_0u) e^{-su} e^{-s\Delta x}\,du \]

şəklində götürərək:

\[ F(s,\Delta x) = \frac{1}{s} + \frac{ e^{-s\Delta x}s }{ s^2+\omega_0^2 } \tag{17} \]

nəticəsinə çatır.

Riyazi mənbədaxili məhdudiyyət: \(u=x-\Delta x\) çevrilməsində \(x=0\) olduqda \(u=-\Delta x\) olur. Mənbə Tənlik (16)-da bu dəyişən əvəzləməsindən sonra aşağı inteqrasiya həddini yenə 0 kimi göstərir. Bu addım ayrıca izah edilmədiyindən Verianla Tənlik (17)-ni mənbədə verilən metod kimi təqdim edir, lakin bu hədd dəyişməsini riyazi olaraq təsdiqlənmiş addım kimi yenidən çıxarmır.

Taylor yaxınlaşması və kub sıfır tənliyi

Mənbə Tənlik (18)-dəki eksponensial terminə Taylor açılımı tətbiq edir və yalnız xətti termini saxladığını bildirir. Bu yaxınlaşma üçün verilən şərt:

\[ |\Delta x\,s|\ll1. \]

Mənbə sonra:

\[ F(s,\Delta x) = \frac{ s^2(2+\Delta xs)+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{19} \]

və:

\[ F(s,\Delta x) = \frac{ \Delta x s^3 + 2s^2 + \omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{20} \]

ifadələrindən istifadə edir.

İşarə uyğunluğu qeydi: Mənbədə görünən eksponensial termin \(e^{-s\Delta x}\)-dir. Standart birinci dərəcəli Taylor açılımı \(e^{-s\Delta x}=1-s\Delta x+\cdots\) formasındadır. Bunun əksinə, Tənlik (19)–(20)-də \(+\Delta xs\) və \(+\Delta xs^3\) çap edilmişdir. Mənbə bu işarə dəyişməsini izah etmir. Verianla mənbə tənliyindəki müsbət işarəni dəyişdirmədən təqdim edir, lakin riyazi fərqi görünən saxlayır.

\(|\Delta xs|\ll1\) Şərti Bildirilən Köklərdə Ödənirmi?

Mənbənin öz həqiqi sıfır qiymətləri ilə aparılan birbaşa ölçüsüz hasil yoxlaması belədir:

Bu cədvəl yeni eksperimental nəticə deyil; mənbədə açıq şəkildə verilən \(\Delta x\) və sıfır qiymətlərinin mənbənin öz \(|\Delta xs|\ll1\) etibarlılıq şərtinə yerləşdirilməsidir. Nəticə Tənlik (19)–(20)-dəki birinci dərəcəli Taylor yaxınlaşmasının bildirilən həqiqi kök miqyaslarında kiçik-parametr şərtini ödəmədiyini göstərir. Buna görə kub yaxınlaşmanın kəmiyyət xəta böyüklüyü mənbə tərəfindən ayrıca təsdiqlənmədən “dəqiq” kimi ümumiləşdirilməməlidir.

Üçüncü Sıfır Niyə Perturbasiya Meyarı Kimi İstifadə Olunur?

Mənbənin xəttiləşdirilmiş modelində istinad funksiyasının surəti ikinci dərəcəli olduğuna görə iki sıfır yaratdığı halda, \(\Delta x\neq0\) vəziyyətində surət \(\Delta xs^3+2s^2+\omega_0^2\) formasında üçüncü dərəcəli olur və üç kök yaradır; buna görə tədqiqat üç sıfırın görünməsini Michelson interferometrində perturbasiya olduğuna dair kifayət qədər aşkarlama meyarı kimi tərif edir.

İstinad vəziyyətində:

\[ 2s^2+\omega_0^2=0 \]

iki sıfır verir.

Mənbənin perturbasiya olunmuş modeli:

\[ \Delta xs^3 + 2s^2 + \omega_0^2 = 0 \]

isə üçüncü dərəcəli polinomdur və üç kök yaradır.

Mühüm məqam, məxrəc:

\[ s(s^2+\omega_0^2) \]

dəyişmədiyi üçün mənbənin modelində qütblərin bütün eksperimental vəziyyətlərdə eyni qalmasıdır. Dəyişən kəmiyyət sıfır strukturudur.

Təcrübədə istifadə olunan beş interferoqram

İstinad mövqeyinə görə güzgünün hərəkəti artdıqca şəkillərdəki halqa/interferensiya zolağı sayının 3-dən 9-a yüksəldiyi görünür. Tədqiqat bu interferoqramlardan yalnız birbaşa interferensiya zolaqlarının sayılması ilə ölçmə aparmaq əvəzinə, profil çıxarılması və kompleks-müstəvi analizinin girişi kimi istifadə edir.

Hesablanmış qütblər və sıfırlar

Cədvəl iki aydın meyl göstərir. Birincisi, mənbənin hesablama modelində qütblər bütün vəziyyətlərdə dəyişmir. İkincisi, perturbasiyadan sonra yaranan üç sıfırın həqiqi və xəyali hissələri \(\Delta x\) ilə dəyişir. Xüsusilə mənfi həqiqi kökün mütləq qiyməti 0,8 mm vəziyyətində 497318 olduğu halda, 8,8 mm vəziyyətində 223317-yə düşür.

Mənbədaxili müzakirə qeydi: Məqalənin müzakirə bölməsində bir cümlədə yerdəyişmədən sonra “poles and zeros” mövqelərində dəyişiklik müşahidə edildiyi yazılmışdır. Lakin Cədvəl 6 və eyni müzakirənin əvvəlki cümlələri qütblərin dəyişmədiyini açıq göstərir. Verianla kəmiyyət cədvəlini əsas götürərək “qütblər sabit, sıfırlar dəyişkəndir” nəticəsindən istifadə edir.

Ölçmə Vektoru \(s_{\mathrm{meas}}\) Nəyi Göstərir?

\(s_{\mathrm{meas}}\), tədqiqatda istinad vəziyyətinin seçilmiş sıfırı ilə perturbasiya olunmuş vəziyyətdəki seçilmiş sıfır arasındakı kompleks-vektor fərqidir; sıfır olmayan \(s_{\mathrm{meas}}\) fiziki vəziyyətin istinaddan fərqləndiyini, vektorun komponenti və bucağı isə bu iki s-müstəvisi mövqeyi arasındakı həndəsi fərqi ifadə edir.

Mənbə ölçmə vektorunu:

\[ s_{\mathrm{meas}} = s_{\mathrm{ref}} - s_{\mathrm{per}} \tag{22} \]

şəklində tərif edir.

Burada:

• \(s_{\mathrm{ref}}\): istinad vəziyyətindən seçilən sıfır vektorudur.
• \(s_{\mathrm{per}}\): perturbasiya olunmuş vəziyyətdən seçilən sıfır vektorudur.
• \(s_{\mathrm{meas}}\): ikisi arasındakı kompleks vektor fərqidir.

Mənbə hesablamasında istinad kimi müsbət xəyali sıfır:

\[ s_{\mathrm{ref}} = 6.9966\times10^6 i \]

istifadə edilmişdir. Perturbasiya olunmuş vəziyyət üçün isə üç sıfırdan mənfi həqiqi oxda yerləşən həqiqi sıfır \(s_{\mathrm{per}}\) kimi seçilmişdir.

Yerdəyişmə 0,8 mm-dən 8,8 mm-ə yüksəldikdə \(s_{\mathrm{meas}}\)-in həqiqi hissəsi 497318-dən 223317-yə, vektor böyüklüyü 7014252-dən 7000163-ə düşür, bucaq isə 85,93°-dən 88,17°-yə yüksəlir.

Mənbədaxili şərh qeydi: Məqalə bu verilənləri “həqiqi hissə ilə vektor böyüklüyü arasında tərs əlaqə” kimi şərh edir. Lakin Cədvəl 8-də \(s_{\mathrm{meas}}\)-in müsbət həqiqi hissəsinin böyüklüyü ilə ümumi vektor böyüklüyü birlikdə azalır. Mənbənin bu ifadə ilə perturbasiya olunmuş sıfırın mənfi işarəli həqiqi koordinatını, yoxsa başqa istiqamətli şərhi nəzərdə tutduğu aydın deyil. Verianla cədvəl qiymətlərini eynilə qoruyur və qeyri-müəyyənliyi ört-basdır etmir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Eksperiment və analiz axınının hamısı

1. 635 nm işıq mənbəyi Michelson interferometrinə göndərildi.
2. Şüa 50/50 şüa ayırıcı ilə iki qola ayrıldı.
3. Güzgü 1 və güzgü 2 şüaları yenidən şüa ayırıcıya əks etdirdi.
4. Birləşən şüaların interferoqramı Canon EOS 90D kamera ilə qeydə alındı.
5. İstinad mövqeyi 14,3 mm kimi götürüldü.
6. Güzgü 2 idarə olunan şəkildə hərəkət etdirilərək 0,8, 1,9, 2,7 və 8,8 mm istinad fərqləri yaradıldı.
7. Hər interferoqramdan birölçülü intensivlik profili çıxarıldı.
8. Profil Furye çevrilməsi ilə tezlik oblastına keçirildi.
9. Mənbədə tərif edilən üç-Dirak-delta filtri ilə modulyasiya komponenti ayrıldı.
10. Tərs Furye çevrilməsi ilə \(f_m(x)\) və ya \(f_m(x,\Delta x)\) əldə edildi.
11. Modulyasiya funksiyasına birtərəfli Laplas çevrilməsi tətbiq edildi.
12. Mənbənin xəttiləşdirilmiş modelində kompleks funksiyanın qütbləri və sıfırları hesablandı.
13. İstinad və perturbasiya olunmuş sıfırlar müqayisə edilərək \(s_{\mathrm{meas}}\) ölçmə vektoru yaradıldı.

Eksperimental olaraq müşahidə olunan əsas nəticə

Beş interferoqramın halqa sayları və profilləri fərqlidir. İstinad vəziyyətində üç halqa bildirildiyi halda, ən böyük 8,8 mm yerdəyişmə vəziyyətində doqquz halqa bildirilmişdir. Bütün vəziyyətlərdə eyni \(\nu_0\) və \(\omega_0\) qiymətləri cədvələ daxil edilmiş; fərq modulyasiya funksiyasının faza/mövqe terminində təmsil olunmuşdur.

Mənbənin s-müstəvisi hesablamasında istinad vəziyyətinin yalnız iki sıfırı vardır. Dörd perturbasiya olunmuş vəziyyətin hər birində xəttiləşdirilmiş kub tənlik üç sıfır verir. Sıfır koordinatları \(\Delta x\) böyüdükcə nizamlı şəkildə s-müstəvisinin müxtəlif nöqtələrinə daşınmışdır.

Tədqiqatın güclü tərəfləri

• Nəzəri olaraq təklif edilən s-müstəvisi yanaşması real Michelson interferometri ilə eksperimental təsvirlər üzərində tətbiq edilmişdir.
• İstinad və dörd idarə olunan perturbasiya vəziyyəti eyni metod zənciri ilə analiz edilmişdir.
• İnterferoqram təsvirindən başlayaraq Furye filtrləməsi, Laplas çevrilməsi, qütb-sıfır analizi və kompleks ölçmə vektoruna qədər uzanan aydın əməliyyat zənciri təqdim edilmişdir.
• Mənbə yalnız təsvirlərin vizual dəyişməsini deyil, qütb və sıfırların ədədi kompleks koordinatlarını da cədvəllərlə verir.
• \(s_{\mathrm{meas}}\) yanaşması fiziki perturbasiyanın kompleks müstəvidə vektor şəklində təmsil olunmasına imkan verir.

Əsas metodoloji məhdudiyyətlər

• Taylor yaxınlaşması: Tənlik (19)–(20) üçün göstərilən \(|\Delta xs|\ll1\) şərti mənbənin bildirdiyi həqiqi sıfır qiymətləri istifadə edildikdə ödənmir.
• Taylor işarəsi: \(e^{-s\Delta x}\) ifadəsinin birinci dərəcəli açılımı ilə mənbədə çap olunan \(+\Delta xs^3\) termini arasında işarə uyğunsuzluğu vardır.
• Dəyişən əvəzləməsi: \(u=x-\Delta x\) çevrilməsində ikinci inteqralın aşağı həddinin necə nəzərə alındığı izah edilməmişdir.
• Yerdəyişmə işarəsi: nəzəri Tənlik (10) \(x-\Delta x\), eksperiment cədvəlləri isə \(x+\Delta x\) istifadə edir.
• Qütblərin təsviri: Cədvəl 6 qütblərin dəyişmədiyini göstərdiyi halda, müzakirənin bir cümləsi qütb və sıfırların birlikdə dəyişdiyini bildirir.
• Metroloji qeyri-müəyyənlik: hər \(\Delta x\) üçün təkrar sayı, standart sapma, etibar intervalı və ya tam ölçmə qeyri-müəyyənliyi büdcəsi bildirilməmişdir.
• Ayırdetmə qabiliyyəti: 0,8 mm tədqiqatda istifadə olunan ən kiçik idarə olunan sürüşmədir; bunun metodun son ayırdetmə həddi olduğu göstərilməmişdir.
• Təkrarlanma qabiliyyəti: müəlliflər repeatability analizini gələcək tədqiqat kimi saxlayırlar.
• İnterferensiya zolağı qeyri-müəyyənliyi: müəlliflər fringe ambiguity analizini də gələcək tədqiqat kimi göstərirlər.
• Müqayisəli üstünlük: interferensiya zolaqlarının sayılması və ya Furye metodları ilə eyni verilənlər üzərində kəmiyyət xəta/dayanıqlıq benchmark-ı təqdim edilməmişdir.
• İşıq gücünə dayanıqlıq: işıq mənbəyinin gücü idarə olunan şəkildə dəyişdirilməklə ayrıca dayanıqlıq eksperimenti bildirilməmişdir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Michelson interferometrinin idarə olunan güzgü yerdəyişmələri müxtəlif interferoqramlar yaratmışdır.
• 0,8, 1,9, 2,7 və 8,8 mm yerdəyişmə vəziyyətləri mənbənin metod zənciri ilə bir-birindən fərqləndirilmişdir.
• İstinad funksiyasının mənbə modelində üç qütbü və iki sıfırı vardır.
• Perturbasiya olunmuş vəziyyət üçün mənbədə istifadə olunan kub yaxınlaşma üç sıfır yaradır.
• Mənbə cədvəllərində qütb koordinatları bütün vəziyyətlərdə sabitdir.
• Sıfır koordinatları yerdəyişmə ilə dəyişir.
• İstinad sıfırı ilə seçilmiş perturbasiya olunmuş sıfır arasındakı \(s_{\mathrm{meas}}\) vektoru bütün perturbasiya olunmuş vəziyyətlərdə sıfırdan fərqlidir.
• Kompleks s-müstəvisi fiziki yerdəyişmə vəziyyətlərini riyazi mövqelərlə əlaqələndirən təqdimat təmin edir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• 0,8 mm qiyməti metodun dəqiq minimum aşkarlama həddi və ya ayırdetmə qabiliyyəti kimi göstərilə bilməz.
• Tədqiqat mikrometr, nanometr və ya daha kiçik yerdəyişmələri eksperimental olaraq göstərməmişdir.
• Metodun ənənəvi interferensiya zolaqlarının sayılması və ya Furye demodulyasiyasından kəmiyyətcə daha həssas olduğu birbaşa müqayisəli eksperimentlə göstərilməmişdir.
• “High precision” ifadəsinə uyğun ayrıca tam ölçmə qeyri-müəyyənliyi büdcəsi bildirilməmişdir.
• İşıq gücü dalğalanmalarına qarşı dayanıqlıq xüsusi güc-dəyişmə eksperimenti ilə kəmiyyətcə sınaqdan keçirilməmişdir.
• Kompleks müstəvidə sıfır hərəkətinin bütün digər fiziki perturbasiyalar üçün eyni kalibrləmə ilə işləyəcəyi göstərilməmişdir.
• Sındırma əmsalının ölçülməsi bu məqalədə həyata keçirilməmişdir; mənbə bunu gələcəkdə mümkün tətbiqlərdən biri kimi təklif edir.
• Mənbənin xəttiləşdirilmiş kub modelinin bildirilən bütün \(s\) qiymətlərində kiçik-parametr yaxınlaşması ilə kəmiyyətcə etibarlı olduğu göstərilməmişdir.

Gələcək tədqiqat təklifləri

Müəlliflər metodun növbəti mərhələsində həssaslıq, təkrarlanma qabiliyyəti, ölçmə xətaları, fringe ambiguity və interferometrin ayırdetmə qabiliyyətinin ətraflı araşdırılmasını təklif edirlər. Bundan əlavə, optik yol fərqinin həndəsi yol uzunluğuna əlavə olaraq mühitin sındırma əmsalından asılı olması səbəbindən eyni s-müstəvisi vektor yanaşmasının gələcəkdə sındırma əmsalındakı dəyişiklikləri və bununla da maye xarakterizasiyasını izləmək üçün istifadə edilə biləcəyi bildirilir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: Experimental Detection of ∆x Variations on the Complex s-Plane Based on a Michelson Interferometer

Müəlliflər: Romel Rubicel Flores Gámez, José Trinidad Guillen Bonilla, Héctor Guillen Bonilla, Alex Guillen Bonilla, Cuauhtémoc Acosta Lúa, Maricela Jiménez Rodríguez, Mónica Vázquez Gutiérrez, María Eugenia Sánchez Morales.

Müəllif sırası: Mənbə PDF-dəki sıra eynilə qorunmuşdur.

Məsul müəlliflər: José Trinidad Guillen Bonilla və María Eugenia Sánchez Morales.

Bərabər töhfə: Mənbədə bərabər birinci müəlliflik və ya bərabər töhfə bəyanı müəyyən edilməmişdir.

Qurumlar: Departamento de Ciencias Tecnológicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Electro-Fotónica, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ingeniería de Proyectos, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ciencias Computacionales e Ingenierías, Centro Universitario de los Valles; Departamento de Ciencias Básicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Sistemas de Información, Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas. Bütün afiliyasiyalar Universidad de Guadalajara, Jalisco, Mexico daxilindədir.

Jurnal: Physics.

Jurnal bölməsi: Applied Physics.

Nəşriyyat: MDPI.

Cild / nömrə / məqalə nömrəsi: 8(3), 67.

DOI: 10.3390/physics8030067.

Göndərilmə: 16 iyun 2026.

Reviziya: 14 avqust 2026.

Qəbul: 31 avqust 2026.

Nəşr: 17 sentyabr 2026.

Mənbə növü: Resenziyalı eksperimental tədqiqat məqaləsi; tətbiqi optika, interferometriya, siqnal emalı və yerdəyişmə ölçülməsi tədqiqatı.

Lisenziya: Creative Commons Attribution 4.0, CC BY 4.0.

Rəsmi bağlantı: DOI 10.3390/physics8030067 üzərindən MDPI nəşr qeydi.

Əsas eksperimental sistem: Michelson interferometri; 635 nm işıq mənbəyi, 18 mm fokus məsafəli kolimator, 50/50 şüa ayırıcı, iki güzgü və Canon EOS 90D kamera/makro obyektiv.

Əsas metod: İnterferoqram qeydi → birölçülü profil → Furye çevrilməsi → modulyasiya funksiyasının tezlik oblastında filtrlənməsi → tərs Furye çevrilməsi → birtərəfli Laplas çevrilməsi → kompleks s-müstəvisi qütb/sıfır analizi → \(s_{\mathrm{meas}}\) ölçmə vektoru.

Eksperimental yerdəyişmələr: 0,8 mm, 1,9 mm, 2,7 mm və 8,8 mm; 14,3 mm mövqeyi istinad kimi götürülmüşdür.

Maliyyələşdirmə: Mənbə “This research received no external funding” bəyanını verir.

Təşəkkür: Tədqiqatın Centro Universitario de la Ciénega Theoretical and Applied Physics Laboratory-də aparıldığı bildirilir və Secretaría de Ciencia, Humanidades, Tecnología e Innovación-a (SECIHTI) dəstəyə görə təşəkkür edilir. Mənbə bu dəstəyin xarakterini Funding bəyanındakı “no external funding” ifadəsi ilə ayrıca uzlaşdırmır.

Məlumatların əlçatanlığı: Xam verilənlərin əsaslandırılmış sorğu əsasında müəlliflər tərəfindən təmin ediləcəyi bildirilir.

Maraqlar toqquşması: Müəlliflər maraqlar toqquşmasının olmadığını bəyan etmişlər.

Müəllif töhfələri: Konseptuallaşdırma R.R.F.G., J.T.G.B. və M.E.S.M.; metod R.R.F.G. və J.T.G.B.; proqram təminatı R.R.F.G.; yoxlama və formal analiz R.R.F.G., J.T.G.B. və M.E.S.M.; tədqiqat R.R.F.G. və J.T.G.B.; resurslar/məlumatların kurasiyası R.R.F.G., J.T.G.B. və M.E.S.M.; ilkin layihə R.R.F.G., J.T.G.B. və M.E.S.M.; nəzərdən keçirmə, vizuallaşdırma və nəzarətdə bütün müəlliflər müxtəlif əhatələrdə iştirak etmişlər.

Mənbədaxili riyazi uyğunsuzluq 1: Tənlik (10) \(x-\Delta x\) istifadə etdiyi halda eksperiment cədvəllərində \(x+\Delta x\) istifadə olunur.

Mənbədaxili riyazi uyğunsuzluq 2: \(u=x-\Delta x\) dəyişən əvəzləməsindən sonra mənbə inteqralın aşağı həddini dəyişmir.

Mənbədaxili riyazi uyğunsuzluq 3: \(e^{-s\Delta x}\) termini ilə Tənlik (19)–(20)-dəki \(+\Delta xs^3\) işarəsi standart birinci dərəcəli Taylor açılımı ilə birbaşa uyğun gəlmir.

Mənbədaxili etibarlılıq həddi: Mənbə Taylor yaxınlaşmasının \(|\Delta xs|\ll1\) üçün etibarlı olduğunu bildirir. Mənbənin öz bildirdiyi \(\Delta x\) və həqiqi sıfır qiymətləri ilə bu ölçüsüz hasil təxminən 398–1965 aralığındadır; kiçik-parametr şərti bildirilən köklərdə ödənmir.

Mənbədaxili hesabat uyğunsuzluğu: Cədvəl 6 və metod təsviri qütblərin dəyişmədiyini göstərdiyi halda, müzakirənin bir cümləsi yerdəyişmədən sonra qütb və sıfır mövqelərinin birlikdə dəyişdiyini bildirir.

Metroloji hədd: Tədqiqatda ayrıca repeatability, tam xəta büdcəsi, fringe ambiguity və ya ayırdetmə analizi aparılmamışdır; bunlar müəlliflər tərəfindən gələcək tədqiqat mövzusu kimi sadalanmışdır.

Əsas şərh həddi: Məqalə 0,8–8,8 mm aralığındakı idarə olunan yerdəyişmələrin təklif olunan kompleks s-müstəvisi əməliyyat zənciri ilə fərqli kök mövqeləri yaratdığını eksperimental verilənlər üzərində göstərir. Bu tədqiqat təkbaşına metodun son ayırdetmə qabiliyyətini, mütləq dəqiqliyini və ya digər interferometrik metodlarla müqayisədə kəmiyyət üstünlüyünü müəyyən etmir.