Kompleks s-tekisligiga asoslangan interferometrik siljish usuli, Maykelson interferometrining interferensiya manzarasidan olingan modulyatsiya funksiyasini Laplas almashtirishi orqali kompleks tekislikka oʻtkazib, fizik siljishni funksiya nollarining oʻrin almashishi orqali aniqlashga qaratilgan tajribaviy oʻlchash yondashuvidir. Tadqiqotda 635 nm yorugʻlikdan foydalanadigan Maykelson interferometrining bir koʻzgusi boshqariladigan tarzda harakatlantirilgan, 0,8–8,8 mm oraligʻidagi toʻrtta siljish tayanch holat bilan taqqoslangan, tasvirlangan interferogrammalardan modulyatsiya funksiyasi ajratib olingan va kompleks \(s=\sigma+i\omega\) tekisligidagi qutblar va nollar hisoblangan.
Manbaning matematik modeliga koʻra, perturbatsiya boʻlmagan tayanch holatda kompleks funksiyaning qutblari \(s=0\) va \(s=\pm i\omega_0\), nollari esa \(s=\pm i\omega_0/\sqrt{2}\) oʻrinlarida joylashadi. Tajribada ishlatilgan \(\omega_0=9.8947\times10^6\) qiymati uchun tayanch nollar taxminan \(\pm6.9966\times10^6 i\) deb hisoblangan. Manba perturbatsiyalangan holat uchun ishlatgan chiziqlashtirilgan kub polinom esa uchta nol hosil qiladi: manfiy haqiqiy oʻqda bitta haqiqiy ildiz va musbat haqiqiy qismga ega kompleks qoʻshma ildizlar jufti. Tajribaviy \(\Delta x\) ortgani sari bu ildizlarning oʻrni tizimli ravishda oʻzgaradi.
Beshta interferogramma hosil qilingan. Tayanch holatda 2-koʻzguning nur ajratgichga nisbatan xabar qilingan oʻrni 14,3 mm. Boshqa holatlarda oʻrinlar 15,1, 16,2, 17,0 va 23,1 mm boʻlgan; tayanchga nisbatan siljishlar mos ravishda 0,8, 1,9, 2,7 va 8,8 mm deb berilgan. Barcha holatlarda fazoviy chastota \(\nu_0=1.5748\times10^6~\mathrm{m^{-1}}\) va fazoviy burchak chastota \(\omega_0=9.8947\times10^6~\mathrm{rad/m}\) sifatida ishlatilgan.
Tadqiqotning muhim usuliy cheklovi perturbatsiyalangan funksiyaning Laplas almashtirishi va Taylor chiziqlashtirishidagi manba ichidagi matematik nomuvofiqliklardir. Manba \(e^{-s\Delta x}\) hadini birinchi darajagacha yoyib, \(|\Delta x s|\ll1\) farazi ostida kub nol tenglamasini keltirib chiqaradi; biroq manba xabar qilgan \(\Delta x\) va haqiqiy nol qiymatlari birga ishlatilganda \(|\Delta x s|\) taxminan 398 dan 1965 gacha boʻladi va bu qiymatlar \(\ll1\) shartini qanoatlantirmaydi. Shu sababli tadqiqotning tajribaviy interferogrammalari va hisoblangan ildiz jadvallari bayon qilinayotganda ishlatilgan chiziqlashtirilgan modelning miqdoriy yaroqlilik chegarasi ham alohida koʻrinadigan holda saqlanishi kerak.
Mualliflar usul fizik siljishni kompleks tekislikdagi nuqta/nolni joylashtirish muammosiga aylantirishini va an’anaviy interferensiya polosalarini sanash yoki faqat intensivlikka asoslangan yondashuvlarni toʻldirishi mumkinligini ta’kidlaydilar. Biroq tadqiqotda alohida takrorlanuvchanlik sinovi, oʻlchash noaniqligi byudjeti, ajrata olish chegarasi, interferensiya polosasi noaniqligi tahlili yoki muqobil usullar bilan nazorat qilinadigan miqdoriy ishlash taqqoslanishi bajarilmagan. Shu sababli tadqiqot 0,8–8,8 mm oraligʻidagi boshqariladigan siljishlarni taklif etilgan s-tekisligi yondashuvi bilan farqlash mumkinligini koʻrsatadi; usulning umumiy metrologik sezgirligi hali toʻliq tavsiflanmagan.
Maykelson Interferometri Ushbu Tadqiqotda Qanday Ishlatiladi?
Maykelson interferometri bir xil koherent yorugʻlik manbasidan kelayotgan nurni ikki yelkaga ajratadigan, ikki koʻzgudan qaytgan nurlarni qayta birlashtirib optik yoʻl farqini interferensiya manzarasiga aylantiradigan interferometrdir. Ushbu tadqiqotda ikkinchi koʻzguning oʻrni boshqariladigan tarzda oʻzgartirilib optik yoʻl farqi va interferensiya fazasi oʻzgartirilgan; hosil boʻlgan interferogrammalarning matematik ma’lumoti keyin Furye filtrlashi va Laplas almashtirishi orqali kompleks s-tekisligiga oʻtkazilgan.
Tajriba qurilmasining tarkibiy qismlari
| Tarkibiy qism | Manba ma’lumoti | Tadqiqotdagi vazifasi |
|---|---|---|
| Yorugʻlik manbai | 635 nm, <1 mW, Gauss nur profili | Koherent interferensiya yorugʻligini ta’minlaydi |
| Kollimator | 18 mm fokus masofasi | Nurni tajriba geometriyasiga moslashtiradi |
| Nur ajratgich | 50/50 | Kiruvchi nurni interferometrning ikki yelkasiga ajratadi |
| Koʻzgu 1 | 635 nm da %100 qaytaruvchanlik deb koʻrsatilgan | Birinchi optik yelka nurini qaytaradi |
| Koʻzgu 2 | 635 nm da %100 qaytaruvchanlik deb koʻrsatilgan | Boshqariladigan \(\Delta x\) siljishi qoʻllanadigan yelka |
| Kamera | Canon EOS 90D + makro obyektiv | Ikki nur birlashishidan hosil boʻlgan interferogrammani qayd etadi |
Ikki Nur Birlashganda Intensivlik Qanday Hosil Boʻladi?
Ikki koherent optik toʻlqin qayta birlashganda detektor elektr maydonining kompleks amplitudasini bevosita emas, umumiy maydon modulining kvadratiga mos intensivlikni sezadi. Manba ikki yelka teng chastotaga va bir manbadan keladigan fazaviy bogʻlanishga ega deb qabul qilib, interferensiya intensivligini avval:
\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) + I_0(x,y) \left[ e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)} + e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)} \right] \tag{1} \]
koʻrinishida ifodalaydi. Eyler ayniyati:
\[ e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta \]
ishlatilganda:
\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) \left[ 1+\cos\left( \mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) \right) \right]. \tag{2} \]
Bu yerda \(I_0\) bitta yelkaning intensivlik masshtabini, \(\mathbf{k}\) toʻlqin vektorini, \(\mathbf{r}_1\) va \(\mathbf{r}_2\) esa ikki yorugʻlik yoʻli bilan bogʻliq joylashuv vektorlarini ifodalaydi. Kosinus hadi ikki optik yoʻl orasidagi faza farqini olib yuradi; interferometrning siljishga sezgirligi shu haddan kelib chiqadi.
Ikki Oʻlchamli Manzara Nega Bir Oʻlchamga Keltiriladi?
Manbada interferogrammalar konsentrik halqalardan iborat. Geometrik simmetriya tufayli manzaraning bitta oʻq boʻylab olingan kesimi tahlil uchun bir oʻlchamli profilga keltiriladi. \(y=0\) doimiy deb olinib:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(k(x_1-x_2)) \right] \tag{3} \]
va:
\[ x=x_1-x_2 \]
ta’rifi bilan:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(kx) \right]. \tag{4} \]
Toʻlqin vektorining kattaligi:
\[ k= \frac{2\pi n}{\lambda} \]
boʻlgani uchun:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+ \cos \left( \frac{2\pi n}{\lambda}x \right) \right]. \tag{5} \]
Manba fazoviy chastotani:
\[ \nu_0= \frac{n}{\lambda} \]
deb ta’riflaydi. Shunday qilib:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(2\pi\nu_0x) \right], \tag{6} \]
va fazoviy burchak chastotani:
\[ \omega_0=2\pi\nu_0 \tag{8} \]
ta’rifi bilan:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right]. \tag{7} \]
Bu zanjirning fizik ma’nosi shuki: interferensiya profilining tez tebranishi optik yoʻl farqining faza ma’lumotini olib yursa, \(I_0(x)\) sekinroq oʻzgaradigan yorugʻlik intensivligi qobigʻini ifodalaydi.
Modulyatsiya Funksiyasi Nega Interferensiya Manzarasidan Ajratiladi?
Modulyatsiya funksiyasi \(f_m(x)=1+\cos(\omega_0x)\), yorugʻlik manbaining intensivlik qobigʻidan mustaqil ravishda interferensiya fazasi va optik yoʻl farqi haqidagi ma’lumotni tashuvchi komponentdir; shu sababli tadqiqot avval Furye sohasida qobiqni ajratib modulyatsiya komponentini chiqaradi, keyin Laplas almashtirishini bevosita shu funksiyaga qoʻllaydi.
Manba interferensiya profilini ikki koʻpaytuvchiga ajratadi:
\[ f_e(x)=2I_0(x), \]
\[ f_m(x)=1+\cos(\omega_0x). \tag{9} \]
\(f_e(x)\) manba yorugʻligining qobiq funksiyasidir. \(f_m(x)\) esa ikki optik yelka orasidagi interferensiyaning davriy ma’lumotini olib yuradi.
Raqamli filtrlash bosqichlari
- Interferensiya profili \(I(x)\) Furye almashtirishi orqali chastota sohasiga oʻtkaziladi: \[ I(\nu)=\mathcal{F}\{I(x)\}. \]
- Manbada: \[ F(\nu) = \delta(\nu) + \delta(\nu+\nu_0) + \delta(\nu-\nu_0) \] filtri ta’riflanadi va: \[ F_m(\nu)=I(\nu)F(\nu) \] amali ishlatiladi.
- Filtrlangan spektr teskari Furye almashtirishi bilan fazoviy sohaga qaytariladi: \[ f_m(x)=\mathcal{F}^{-1}\{F_m(\nu)\}. \]
Bu amalning maqsadi interferensiya manzarasining optik faza ma’lumotini tashuvchi davriy qismini yorugʻlik intensivligi qobigʻidan ajratishdir.
Siljish Modulyatsiya Funksiyasiga Qanday Kiradi?
Manbaning nazariy Tenglama (10)-i:
\[ f_m(x,\Delta x) = 1+ \cos \left[ \omega_0(x-\Delta x) \right]. \tag{10} \]
koʻrinishidadir. Matematik jihatdan \(\Delta x\) kosinus argumentiga faza/joylashuv siljishi sifatida kiradi. Shu sababli koʻzgu harakati modulyatsiya funksiyasining fazodagi oʻrnini oʻzgartiradi.
Manba ichidagi ishora izohi: Tenglama (10) \(x-\Delta x\) koʻrinishidan foydalansa, tajriba natijalaridagi 2-jadval va 4-jadval perturbatsiyalangan funksiyalarni \(x+\Delta x\) koʻrinishida yozadi. Manba ikki ishora konvensiyasi orasidagi farqni izohlamaydi; shu sababli Verianla ishorani bir tomonlama “tuzatmaydi”.
Laplas Almashtirishi Siljishni s-Tekisligiga Qanday Oʻtkazadi?
Laplas almashtirishi fazoviy koordinatadagi modulyatsiyalangan interferensiya funksiyasini \(s=\sigma+i\omega\) kompleks oʻzgaruvchisining funksiyasiga aylantiradi; tadqiqot usulida fizik \(\Delta x\) oʻzgarishi ushbu kompleks funksiya suratidagi polinomning va shunga mos ravishda nollar oʻrnining oʻzgarishi orqali aniqlanadi.
Tayanch holatning Laplas almashtirishi
Perturbatsiya boʻlmaganda bir tomonlama Laplas almashtirishi:
\[ F(s) = \int_0^\infty \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right] e^{-sx}\,dx. \tag{11} \]
Manbaga koʻra yechim:
\[ F(s) = \frac{1}{s} + \frac{s}{s^2+\omega_0^2}. \tag{12} \]
Umumiy maxrajda:
\[ F(s) = \frac{ 2s^2+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) }. \tag{13} \]
Ushbu ratsional funksiyaning qutblari maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlardir:
\[ s=0, \qquad s=\pm i\omega_0. \]
Nollar esa suratni nolga aylantiradigan qiymatlardir:
\[ 2s^2+\omega_0^2=0, \]
demak:
\[ s= \pm i \frac{\omega_0}{\sqrt2}. \]
Tajribada:
\[ \omega_0= 9.8947\times10^6, \]
boʻlgani uchun tayanch nollar manba jadvalida:
\[ s= \pm6.9966\times10^6 i \]
deb beriladi.
Perturbatsiyalangan funksiyaning manbada berilgan almashtirishi
Manba:
\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty \left[ 1+ \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) \right] e^{-sx}\,dx \tag{14} \]
ifodani ikki integralga ajratadi:
\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty e^{-sx}\,dx + \int_0^\infty \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) e^{-sx}\,dx. \tag{15} \]
Keyin manba \(u=x-\Delta x\) oʻzgaruvchi almashtirishidan foydalanib ikkinchi hadni:
\[ \int_0^\infty \cos(\omega_0u) e^{-su} e^{-s\Delta x}\,du \]
koʻrinishida koʻrib:
\[ F(s,\Delta x) = \frac{1}{s} + \frac{ e^{-s\Delta x}s }{ s^2+\omega_0^2 } \tag{17} \]
natijaga keladi.
Manba ichidagi matematik chegara: \(u=x-\Delta x\) almashtirishida \(x=0\) boʻlganda \(u=-\Delta x\) boʻladi. Manba Tenglama (16) da bu oʻzgaruvchi almashtirishidan keyin quyi integrallash chegarasini yana 0 deb koʻrsatadi. Bu qadam alohida izohlanmagani sababli Verianla Tenglama (17) ni manbada berilgan usul sifatida bayon qiladi, biroq ushbu chegara oʻzgarishini matematik jihatdan tasdiqlangan qadamdek qayta keltirib chiqarmaydi.
Taylor yaqinlashuvi va kub nol tenglamasi
Manba Tenglama (18) dagi eksponensial hadga Taylor yoyilmasini qoʻllaydi va faqat chiziqli hadni saqlaganini bildiradi. Ushbu yaqinlashuv uchun berilgan shart:
\[ |\Delta x\,s|\ll1. \]
Manba keyin:
\[ F(s,\Delta x) = \frac{ s^2(2+\Delta xs)+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{19} \]
va:
\[ F(s,\Delta x) = \frac{ \Delta x s^3 + 2s^2 + \omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{20} \]
ifodalaridan foydalanadi.
Ishora muvofiqligi izohi: Manbada koʻrinadigan eksponensial had \(e^{-s\Delta x}\) dir. Standart birinchi darajali Taylor yoyilmasi \(e^{-s\Delta x}=1-s\Delta x+\cdots\) koʻrinishidadir. Bunga qarshi ravishda Tenglama (19)–(20) da \(+\Delta xs\) va \(+\Delta xs^3\) bosilgan. Manba bu ishora oʻzgarishini izohlamaydi. Verianla manba tenglamasidagi musbat ishorani oʻzgartirmasdan beradi, biroq matematik farqni koʻrinadigan holda qoldiradi.
\(|\Delta xs|\ll1\) Sharti Xabar Qilingan Ildizlarda Bajariladimi?
Manbaning oʻz haqiqiy nol qiymatlari bilan bajarilgan toʻgʻridan-toʻgʻri oʻlchovsiz koʻpaytma tekshiruvi quyidagicha:
| \(\Delta x\) (m) | Manbaning haqiqiy noli \(|s|\) | \(|\Delta xs|\) | \(\ll1\) sharti |
|---|---|---|---|
| 0.0008 | 497318 | ≈397.9 | Bajarilmaydi |
| 0.0019 | 372472 | ≈707.7 | Bajarilmaydi |
| 0.0027 | 331236 | ≈894.3 | Bajarilmaydi |
| 0.0088 | 223317 | ≈1965.2 | Bajarilmaydi |
Bu jadval yangi tajriba natijasi emas; manbada ochiq berilgan \(\Delta x\) va nol qiymatlarining manbaning oʻz \(|\Delta xs|\ll1\) yaroqlilik shartiga qoʻyilishidir. Natija Tenglama (19)–(20) dagi birinchi darajali Taylor yaqinlashuvi xabar qilingan haqiqiy ildiz masshtablarida kichik-parametr shartini qanoatlantirmasligini koʻrsatadi. Shu sababli kub yaqinlashuvning miqdoriy xato kattaligi manba tomonidan alohida tasdiqlanmasdan “aniq” deb umumlashtirilmasligi kerak.
Uchinchi Nol Nega Perturbatsiya Mezoni Sifatida Ishlatiladi?
Manbaning chiziqlashtirilgan modelida tayanch funksiya surati ikkinchi darajali boʻlgani uchun ikkita nol hosil qilsa, \(\Delta x\neq0\) holatida surat \(\Delta xs^3+2s^2+\omega_0^2\) koʻrinishida uchinchi darajali boʻladi va uchta ildiz hosil qiladi; shu sababli tadqiqot uchta nolning koʻrinishini Maykelson interferometrida perturbatsiya mavjudligini aniqlash uchun yetarli mezon sifatida ta’riflaydi.
Tayanch holatda:
\[ 2s^2+\omega_0^2=0 \]
ikkita nol beradi.
Manbaning perturbatsiyalangan modeli:
\[ \Delta xs^3 + 2s^2 + \omega_0^2 = 0 \]
esa uchinchi darajali polinom boʻlib, uchta ildiz hosil qiladi.
Muhim nuqta shuki, maxraj:
\[ s(s^2+\omega_0^2) \]
oʻzgarmagani uchun manba modelida qutblar barcha tajriba holatlarida bir xil qoladi. Oʻzgaradigan kattalik nol tuzilishidir.
Tajribada ishlatilgan beshta interferogramma
| Holat | Koʻzgu 2 oʻrni | Tayanchga nisbatan \(\Delta x\) | Polosalar soni \(N\) | \(\nu_0\) (m⁻¹) | \(\omega_0\) (rad/m) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 — Tayanch | 14,3 mm | — | 3 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 2 | 15,1 mm | 0,8 mm | 4 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 3 | 16,2 mm | 1,9 mm | 5 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 4 | 17,0 mm | 2,7 mm | 6 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 5 | 23,1 mm | 8,8 mm | 9 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
Tayanch holatga nisbatan koʻzgu harakati ortgani sari tasvirlardagi halqa/interferensiya polosalari soni 3 dan 9 gacha oshgani koʻrinadi. Tadqiqot bu interferogrammalardan faqat bevosita polosalarni sanash orqali oʻlchash oʻrniga profil ajratish va kompleks-tekislik tahlilining kirishi sifatida foydalanadi.
Hisoblangan qutblar va nollar
| Holat | \(\Delta x\) | Qutblar | Nol 1 | Nol 2 | Nol 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | \(+6.9966\times10^6i\) | \(-6.9966\times10^6i\) | — |
| 2 | 0,8 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −497318 | \(247409+429966i\) | \(247409-429966i\) |
| 3 | 1,9 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −372472 | \(185709+322265i\) | \(185709-322265i\) |
| 4 | 2,7 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −331236 | \(165247+286644i\) | \(165247-286644i\) |
| 5 | 8,8 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −223317 | \(111544+193332i\) | \(111544-193332i\) |
Jadval ikkita aniq tendensiyani koʻrsatadi. Birinchidan, manbaning hisoblash modelida qutblar barcha holatlarda oʻzgarmaydi. Ikkinchidan, perturbatsiyadan keyin paydo boʻladigan uchta nolning haqiqiy va mavhum qismlari \(\Delta x\) bilan oʻzgaradi. Xususan, manfiy haqiqiy ildizning mutlaq qiymati 0,8 mm holatda 497318 boʻlsa, 8,8 mm holatda 223317 gacha kamayadi.
Manba ichidagi muhokama izohi: Maqolaning muhokama boʻlimidagi bir jumlada siljishdan keyin “poles and zeros” oʻrinlarida oʻzgarish kuzatilgani yozilgan. Biroq 6-jadval va shu muhokamaning avvalgi jumlalari qutblar oʻzgarmaganini aniq koʻrsatadi. Verianla miqdoriy jadvalni asos qilib, “qutblar oʻzgarmas, nollar oʻzgaruvchan” degan xulosadan foydalanadi.
Oʻlchash Vektori \(s_{\mathrm{meas}}\) Nimani Koʻrsatadi?
\(s_{\mathrm{meas}}\), tadqiqotda tayanch holatning tanlangan noli bilan perturbatsiyalangan holatdagi tanlangan nol orasidagi kompleks-vektor farqidir; nolga teng boʻlmagan \(s_{\mathrm{meas}}\) fizik holatning tayanchdan farq qilishini, vektorning komponenti va burchagi esa ushbu ikki s-tekisligi oʻrni orasidagi geometrik farqni ifodalaydi.
Manba oʻlchash vektorini:
\[ s_{\mathrm{meas}} = s_{\mathrm{ref}} - s_{\mathrm{per}} \tag{22} \]
koʻrinishida ta’riflaydi.
Bu yerda:
- \(s_{\mathrm{ref}}\): tayanch holatdan tanlangan nol vektori.
- \(s_{\mathrm{per}}\): perturbatsiyalangan holatdan tanlangan nol vektori.
- \(s_{\mathrm{meas}}\): ular orasidagi kompleks vektor farqi.
Manba hisobida tayanch sifatida musbat mavhum nol:
\[ s_{\mathrm{ref}} = 6.9966\times10^6 i \]
ishlatilgan. Perturbatsiyalangan holat uchun esa uchta noldan manfiy haqiqiy oʻqda joylashgan haqiqiy nol \(s_{\mathrm{per}}\) sifatida tanlangan.
| Taqqoslash | \(\Delta x\) | \(s_{\mathrm{meas}}\) | Vektor kattaligi | Burchak |
|---|---|---|---|---|
| 1 → 2 | 0,8 mm | \(497318+6.9966\times10^6i\) | 7014252 | 85,93° / 1,4998 rad |
| 1 → 3 | 1,9 mm | \(372472+6.9966\times10^6i\) | 7006507 | 86,95° / 1,5176 rad |
| 1 → 4 | 2,7 mm | \(331236+6.9966\times10^6i\) | 7004436 | 87,29° / 1,5235 rad |
| 1 → 5 | 8,8 mm | \(223317+6.9966\times10^6i\) | 7000163 | 88,17° / 1,5389 rad |
Siljish 0,8 mm dan 8,8 mm gacha oshganda \(s_{\mathrm{meas}}\) ning haqiqiy qismi 497318 dan 223317 gacha, vektor kattaligi 7014252 dan 7000163 gacha kamayadi, burchak esa 85,93° dan 88,17° gacha oshadi.
Manba ichidagi talqin izohi: Maqola bu ma’lumotlarni “haqiqiy qism bilan vektor kattaligi orasida teskari munosabat” deb talqin qiladi. Biroq 8-jadvalda \(s_{\mathrm{meas}}\) ning musbat haqiqiy qismi kattaligi bilan umumiy vektor kattaligi birga kamayadi. Manbaning bu ibora bilan perturbatsiyalangan nolning manfiy ishorali haqiqiy koordinatasini yoki boshqa yoʻnalishli talqinni nazarda tutgani aniq emas. Verianla jadval qiymatlarini aynan saqlaydi va noaniqlikni yashirmaydi.
Tadqiqot Usuli va Natijalari
Tajriba va tahlil oqimining toʻliq ketma-ketligi
- 635 nm yorugʻlik manbai Maykelson interferometriga yuborildi.
- Nur 50/50 nur ajratgich bilan ikki yelkaga ajratildi.
- Koʻzgu 1 va koʻzgu 2 nurlarni yana nur ajratgichga qaytardi.
- Birlashgan nurlarning interferogrammasi Canon EOS 90D kamera bilan qayd etildi.
- Tayanch oʻrin 14,3 mm deb olindi.
- Koʻzgu 2 boshqariladigan tarzda harakatlantirilib, 0,8, 1,9, 2,7 va 8,8 mm tayanch farqlari hosil qilindi.
- Har bir interferogrammadan bir oʻlchamli intensivlik profili ajratib olindi.
- Profil Furye almashtirishi bilan chastota sohasiga oʻtkazildi.
- Manbada ta’riflangan uch-Dirak-delta filtri bilan modulyatsiya komponenti ajratildi.
- Teskari Furye almashtirishi bilan \(f_m(x)\) yoki \(f_m(x,\Delta x)\) olindi.
- Modulyatsiya funksiyasiga bir tomonlama Laplas almashtirishi qoʻllandi.
- Manbaning chiziqlashtirilgan modelida kompleks funksiyaning qutblari va nollari hisoblandi.
- Tayanch va perturbatsiyalangan nollar taqqoslanib, \(s_{\mathrm{meas}}\) oʻlchash vektori hosil qilindi.
Tajribada kuzatilgan asosiy natija
Beshta interferogrammaning halqa sonlari va profillari farq qiladi. Tayanch holatda uchta halqa xabar qilingan boʻlsa, eng katta 8,8 mm siljish holatida toʻqqizta halqa xabar qilingan. Barcha holatlarda bir xil \(\nu_0\) va \(\omega_0\) qiymatlari jadvalga kiritilgan; farq modulyatsiya funksiyasining faza/joylashuv hadida ifodalangan.
Manbaning s-tekisligi hisobida tayanch holat faqat ikkita nolga ega. Toʻrtta perturbatsiyalangan holatning har birida chiziqlashtirilgan kub tenglama uchta nol beradi. Nol koordinatalari \(\Delta x\) kattalashgani sari s-tekisligining turli nuqtalariga tartibli ravishda siljigan.
Tadqiqotning kuchli jihatlari
- Nazariy jihatdan taklif qilingan s-tekisligi yondashuvi haqiqiy Maykelson interferometri yordamida tajribaviy tasvirlarga qoʻllangan.
- Tayanch va toʻrtta boshqariladigan perturbatsiya holati bir xil usul zanjiri bilan tahlil qilingan.
- Interferogramma tasviridan boshlab Furye filtrlashi, Laplas almashtirishi, qutb-nol tahlili va kompleks oʻlchash vektorigacha boʻlgan aniq ishlov berish zanjiri taqdim etilgan.
- Manba faqat tasvirlarning vizual oʻzgarishini emas, balki qutblar va nollarning sonli kompleks koordinatalarini ham jadvallar koʻrinishida beradi.
- \(s_{\mathrm{meas}}\) yondashuvi fizik perturbatsiyani kompleks tekislikda vektor koʻrinishida ifodalash imkonini beradi.
Asosiy usuliy cheklovlar
- Taylor yaqinlashuvi: Tenglama (19)–(20) uchun koʻrsatilgan \(|\Delta xs|\ll1\) sharti manba xabar qilgan haqiqiy nol qiymatlari ishlatilganda bajarilmaydi.
- Taylor ishorasi: \(e^{-s\Delta x}\) ifodasining birinchi darajali yoyilmasi bilan manbada bosilgan \(+\Delta xs^3\) hadi orasida ishora nomuvofiqligi mavjud.
- Oʻzgaruvchi almashtirish: \(u=x-\Delta x\) almashtirishida ikkinchi integralning quyi chegarasi qanday ko‘rib chiqilgani izohlanmagan.
- Siljish ishorasi: nazariy Tenglama (10) \(x-\Delta x\), tajriba jadvallari esa \(x+\Delta x\) dan foydalanadi.
- Qutblar bayoni: 6-jadval qutblar oʻzgarmaganini koʻrsatsa, muhokamaning bir jumlasi qutblar va nollar birga oʻzgarganini aytadi.
- Metrologik noaniqlik: har bir \(\Delta x\) uchun takrorlar soni, standart ogʻish, ishonch oraligʻi yoki toʻliq oʻlchash noaniqligi byudjeti xabar qilinmagan.
- Ajrata olish qobiliyati: 0,8 mm tadqiqotda ishlatilgan eng kichik boshqariladigan siljishdir; bu usulning yakuniy ajrata olish chegarasi ekani koʻrsatilmagan.
- Takrorlanuvchanlik: mualliflar repeatability tahlilini kelajak tadqiqotiga qoldiradilar.
- Interferensiya polosasi noaniqligi: mualliflar fringe ambiguity tahlilini ham kelajak tadqiqoti sifatida koʻrsatadilar.
- Qiyosiy ustunlik: interferensiya polosalarini sanash yoki Furye usullari bilan ayni ma’lumotlar ustida miqdoriy xato/barqarorlik benchmark-i berilmagan.
- Yorugʻlik quvvatiga barqarorlik: yorugʻlik manbai quvvati boshqariladigan tarzda oʻzgartirilib, alohida barqarorlik tajribasi xabar qilinmagan.
Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan natijalar
- Maykelson interferometrining boshqariladigan koʻzgu siljishlari turli interferogrammalarni hosil qilgan.
- 0,8, 1,9, 2,7 va 8,8 mm siljish holatlari manba usul zanjiri bilan bir-biridan farqlangan.
- Tayanch funksiyaning manba modelida uchta qutbi va ikkita noli bor.
- Perturbatsiyalangan holat uchun manbada ishlatilgan kub yaqinlashuv uchta nol hosil qiladi.
- Manba jadvallarida qutb koordinatalari barcha holatlarda oʻzgarmas.
- Nol koordinatalari siljish bilan oʻzgaradi.
- Tayanch nol bilan tanlangan perturbatsiyalangan nol orasidagi \(s_{\mathrm{meas}}\) vektori barcha perturbatsiyalangan holatlarda nolga teng emas.
- Kompleks s-tekisligi fizik siljish holatlarini matematik oʻrinlar bilan bogʻlaydigan tasvirni ta’minlaydi.
Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan natijalar
- 0,8 mm qiymatini usulning aniq minimal aniqlash chegarasi yoki ajrata olish qobiliyati deb koʻrsatib boʻlmaydi.
- Tadqiqot mikrometr, nanometr yoki undan kichik siljishlarni tajribaviy koʻrsatmagan.
- Usulning an’anaviy interferensiya polosalarini sanash yoki Furye demodulyatsiyasidan miqdoriy jihatdan sezgirroq ekani bevosita qiyosiy tajriba bilan koʻrsatilmagan.
- “High precision” iborasiga mos alohida toʻliq oʻlchash noaniqligi byudjeti xabar qilinmagan.
- Yorugʻlik quvvati tebranishlariga qarshi barqarorlik maxsus quvvat-oʻzgarishi tajribasi bilan miqdoriy sinovdan oʻtkazilmagan.
- Kompleks tekislikdagi nol harakati barcha boshqa fizik perturbatsiyalar uchun ayni kalibrlash bilan ishlashi koʻrsatilmagan.
- Sinish koʻrsatkichini oʻlchash ushbu maqolada bajarilmagan; manba buni kelajakdagi mumkin boʻlgan qoʻllanmalardan biri sifatida taklif qiladi.
- Manbaning chiziqlashtirilgan kub modeli xabar qilingan barcha \(s\) qiymatlarida kichik-parametr yaqinlashuvi bilan miqdoriy jihatdan yaroqli ekani koʻrsatilmagan.
Kelajak tadqiqotlari uchun takliflar
Mualliflar usulning keyingi bosqichida sezgirlik, takrorlanuvchanlik, oʻlchash xatolari, fringe ambiguity va interferometrning ajrata olish qobiliyatini batafsil oʻrganishni taklif qiladilar. Bundan tashqari, optik yoʻl farqi geometrik yoʻl uzunligidan tashqari muhitning sinish koʻrsatkichiga ham bogʻliq boʻlgani sababli, ayni s-tekisligi vektor yondashuvi kelajakda sinish koʻrsatkichidagi oʻzgarishlarni va shu orqali suyuqlik tavsifini kuzatish uchun ishlatilishi mumkinligi qayd etiladi.
Manba va Usul Haqida Izoh
Asl sarlavha: Experimental Detection of ∆x Variations on the Complex s-Plane Based on a Michelson Interferometer
Mualliflar: Romel Rubicel Flores Gámez, José Trinidad Guillen Bonilla, Héctor Guillen Bonilla, Alex Guillen Bonilla, Cuauhtémoc Acosta Lúa, Maricela Jiménez Rodríguez, Mónica Vázquez Gutiérrez, María Eugenia Sánchez Morales.
Mualliflar tartibi: Manba PDF dagi tartib aynan saqlangan.
Mas’ul mualliflar: José Trinidad Guillen Bonilla va María Eugenia Sánchez Morales.
Teng hissa: Manbada teng birinchi mualliflik yoki teng hissa bayonoti aniqlanmagan.
Muassasalar: Departamento de Ciencias Tecnológicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Electro-Fotónica, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ingeniería de Proyectos, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ciencias Computacionales e Ingenierías, Centro Universitario de los Valles; Departamento de Ciencias Básicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Sistemas de Información, Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas. Barcha affiliasiyalar Universidad de Guadalajara, Jalisco, Mexico tarkibidadir.
Jurnal: Physics.
Jurnal boʻlimi: Applied Physics.
Nashriyot: MDPI.
Jild / son / maqola raqami: 8(3), 67.
DOI: 10.3390/physics8030067.
Topshirilgan: 16 iyun 2026.
Tahrir: 14 avgust 2026.
Qabul qilingan: 31 avgust 2026.
Nashr qilingan: 17 sentabr 2026.
Manba turi: Taqrizdan oʻtgan tajribaviy tadqiqot maqolasi; amaliy optika, interferometriya, signalni qayta ishlash va siljishni oʻlchash tadqiqoti.
Litsenziya: Creative Commons Attribution 4.0, CC BY 4.0.
Rasmiy havola: DOI 10.3390/physics8030067 orqali MDPI nashr yozuvi.
Asosiy tajriba tizimi: Maykelson interferometri; 635 nm yorugʻlik manbai, fokus masofasi 18 mm boʻlgan kollimator, 50/50 nur ajratgich, ikkita koʻzgu va Canon EOS 90D kamera/makro obyektiv.
Asosiy usul: Interferogramma qaydi → bir oʻlchamli profil → Furye almashtirishi → modulyatsiya funksiyasini chastota sohasida filtrlash → teskari Furye almashtirishi → bir tomonlama Laplas almashtirishi → kompleks s-tekisligi qutb/nol tahlili → \(s_{\mathrm{meas}}\) oʻlchash vektori.
Tajribaviy siljishlar: 0,8 mm, 1,9 mm, 2,7 mm va 8,8 mm; 14,3 mm oʻrni tayanch sifatida olingan.
Moliyalashtirish: Manba “This research received no external funding” bayonotini beradi.
Minnatdorchilik: Tadqiqot Centro Universitario de la Ciénega Theoretical and Applied Physics Laboratory da olib borilgani qayd etiladi va Secretaría de Ciencia, Humanidades, Tecnología e Innovación ga (SECIHTI) qoʻllab-quvvatlagani uchun minnatdorchilik bildiriladi. Manba ushbu qoʻllab-quvvatlashning xususiyatini Funding bayonotidagi “no external funding” iborasi bilan alohida muvofiqlashtirmaydi.
Ma’lumotlarning mavjudligi: Xom ma’lumotlar asosli soʻrov boʻyicha mualliflar tomonidan taqdim etilishi bildirilgan.
Manfaatlar toʻqnashuvi: Mualliflar manfaatlar toʻqnashuvi yoʻqligini bayon qilganlar.
Mualliflar hissasi: Konseptuallashtirish R.R.F.G., J.T.G.B. va M.E.S.M.; usul R.R.F.G. va J.T.G.B.; dasturiy ta’minot R.R.F.G.; tekshirish va formal tahlil R.R.F.G., J.T.G.B. va M.E.S.M.; tadqiqot R.R.F.G. va J.T.G.B.; resurslar/ma’lumotlar kuratsiyasi R.R.F.G., J.T.G.B. va M.E.S.M.; dastlabki qoʻlyozma R.R.F.G., J.T.G.B. va M.E.S.M.; koʻrib chiqish, vizuallashtirish va nazoratda barcha mualliflar turli doiralarda ishtirok etgan.
Manba ichidagi matematik nomuvofiqlik 1: Tenglama (10) \(x-\Delta x\) dan foydalansa, tajriba jadvallarida \(x+\Delta x\) ishlatiladi.
Manba ichidagi matematik nomuvofiqlik 2: \(u=x-\Delta x\) oʻzgaruvchi almashtirishidan keyin manba integralning quyi chegarasini oʻzgartirmaydi.
Manba ichidagi matematik nomuvofiqlik 3: \(e^{-s\Delta x}\) hadi bilan Tenglama (19)–(20) dagi \(+\Delta xs^3\) ishorasi standart birinchi darajali Taylor yoyilmasiga bevosita mos kelmaydi.
Manba ichidagi yaroqlilik chegarasi: Manba Taylor yaqinlashuvi \(|\Delta xs|\ll1\) uchun yaroqli ekanini bildiradi. Manbaning oʻz xabar qilingan \(\Delta x\) va haqiqiy nol qiymatlari bilan bu oʻlchovsiz koʻpaytma taxminan 398–1965 oraligʻidadir; kichik-parametr sharti xabar qilingan ildizlarda bajarilmaydi.
Manba ichidagi hisobot nomuvofiqligi: 6-jadval va usul tavsifi qutblar oʻzgarmaganini koʻrsatsa, muhokamaning bir jumlasi siljishdan keyin qutb va nol oʻrinlari birga oʻzgarganini aytadi.
Metrologik chegara: Tadqiqotda alohida repeatability, toʻliq xato byudjeti, fringe ambiguity yoki ajrata olish tahlili bajarilmagan; bular mualliflar tomonidan kelajak tadqiqot mavzulari sifatida sanab oʻtilgan.
Asosiy talqin chegarasi: Maqola 0,8–8,8 mm oraligʻidagi boshqariladigan siljishlar taklif etilgan kompleks s-tekisligi ishlov berish zanjiri orqali turli ildiz oʻrinlarini hosil qilishini tajribaviy ma’lumotlarda koʻrsatadi. Ushbu tadqiqotning oʻzi usulning yakuniy ajrata olish qobiliyatini, mutlaq aniqligini yoki boshqa interferometrik usullarga nisbatan miqdoriy ustunligini aniqlamaydi.
Izoh qoldiring
E-pochta manzilingiz chop etilmaydi. Majburiy maydonlar * bilan belgilangan