Комплекстик s-тегиздигине негизделген интерферометриялык жылышуу ыкмасы, Майкельсон интерферометринин интерференциялык сүрөтүнөн алынган модуляция функциясын Лаплас өзгөртүүсү аркылуу комплекстик тегиздикке өткөрүп, физикалык жылышууну функциянын нөлдөрүнүн орду өзгөрүшү боюнча аныктоого багытталган эксперименттик өлчөө ыкмасы. Изилдөөдө 635 nm жарык колдонгон Майкельсон интерферометринин бир күзгүсү башкарылуучу түрдө жылдырылып, 0,8–8,8 mm аралыгындагы төрт жылышуу таяныч абал менен салыштырылган, алынган интерферограммалардан модуляция функциясы бөлүнүп чыгарылып, комплекстик \(s=\sigma+i\omega\) тегиздигиндеги уюлдар жана нөлдөр эсептелген.
Булактын математикалык моделине ылайык, пертурбация жок таяныч абалда комплекстик функциянын уюлдары \(s=0\) жана \(s=\pm i\omega_0\), ал эми нөлдөрү \(s=\pm i\omega_0/\sqrt{2}\) орундарында жайгашат. Экспериментте колдонулган \(\omega_0=9.8947\times10^6\) мааниси үчүн таяныч нөлдөр болжол менен \(\pm6.9966\times10^6 i\) деп эсептелген. Булак пертурбацияланган абал үчүн колдонгон сызыктандырулган кубдук полином болсо үч нөл берет: терс чыныгы окто бир чыныгы тамыр жана оң чыныгы бөлүккө ээ комплекстик түйүндөш тамырлардын жуптары. Эксперименттик \(\Delta x\) чоңойгон сайын бул тамырлардын орду системалуу түрдө өзгөрөт.
Беш интерферограмма түзүлгөн. Таяныч абалда 2-күзгүнүн нур бөлгүчкө салыштырмалуу билдирилген орду 14,3 mm. Башка абалдарда орундар 15,1, 16,2, 17,0 жана 23,1 mm болгон; таянычка салыштырмалуу жылышуулар тиешелүүлүгүнө жараша 0,8, 1,9, 2,7 жана 8,8 mm деп берилген. Бардык абалдарда мейкиндик жыштыгы \(\nu_0=1.5748\times10^6~\mathrm{m^{-1}}\) жана мейкиндик бурчтук жыштык \(\omega_0=9.8947\times10^6~\mathrm{rad/m}\) колдонулган.
Изилдөөнүн маанилүү ыкмалык чеги — пертурбацияланган функциянын Лаплас өзгөртүүсүндө жана Taylor сызыктандыруусундагы булак ичиндеги математикалык дал келбестиктер. Булак \(e^{-s\Delta x}\) мүчөсүн биринчи даражага чейин жайып, \(|\Delta x s|\ll1\) божомолу астында кубдук нөл теңдемесин чыгарат; бирок булак билдирген \(\Delta x\) жана чыныгы нөл маанилери чогуу колдонулганда \(|\Delta x s|\) болжол менен 398 менен 1965тин ортосунда болуп, бул маанилер \(\ll1\) шартын канааттандырбайт. Ошондуктан изилдөөнүн эксперименттик интерферограммалары жана эсептелген тамыр таблицалары берилгенде колдонулган сызыктандырулган моделдин сандык жарактуулук чеги да өзүнчө көрүнүктүү сакталышы керек.
Авторлор ыкма физикалык жылышууну комплекстик тегиздикте чекит/нөл жайгаштыруу маселесине айлантарын жана салттуу интерференция тилкелерин саноо же интенсивдүүлүккө гана негизделген ыкмаларды толуктай аларын ырасташат. Бирок изилдөөдө өзүнчө кайталануучулук тести, өлчөө белгисиздигинин бюджети, ажыратуу чеги, интерференция тилкесинин анык эместигин талдоо же альтернативдүү ыкмалар менен көзөмөлдөнгөн сандык натыйжалуулук салыштыруусу жүргүзүлгөн эмес. Ошондуктан изилдөө 0,8–8,8 mm аралыгындагы башкарылуучу жылышуулар сунушталган s-тегиздик ыкмасы менен айырмалана аларын көрсөтөт; ыкманын жалпы метрологиялык сезгичтиги али толук мүнөздөлө элек.
Майкельсон Интерферометри Бул Изилдөөдө Кантип Колдонулат?
Майкельсон интерферометри — бир эле когеренттүү жарык булагынан келген нурду эки ийинге бөлүп, эки күзгүдөн кайткан нурларды кайра бириктирип, оптикалык жол айырмасын интерференциялык сүрөткө айландыруучу интерферометр. Бул изилдөөдө экинчи күзгүнүн орду башкарылуучу түрдө өзгөртүлүп, оптикалык жол айырмасы жана интерференция фазасы өзгөртүлгөн; пайда болгон интерферограммалардын математикалык маалыматы кийин Фурье чыпкалоосу жана Лаплас өзгөртүүсү менен комплекстик s-тегиздигине өткөрүлгөн.
Эксперименттик түзүлүштүн компоненттери
| Компонент | Булак маалыматы | Изилдөөдөгү милдети |
|---|---|---|
| Жарык булагы | 635 nm, <1 mW, Гаусс нур профили | Когеренттүү интерференция жарыгын камсыз кылат |
| Коллиматор | 18 mm фокус аралыгы | Нурду эксперименттик геометрияга ылайыкташтырат |
| Нур бөлгүч | 50/50 | Кирген нурду интерферометрдин эки ийинине бөлөт |
| Күзгү 1 | 635 nmде %100 чагылдыруучу деп көрсөтүлгөн | Биринчи оптикалык ийиндин жарыгын кайра чагылдырат |
| Күзгү 2 | 635 nmде %100 чагылдыруучу деп көрсөтүлгөн | Башкарылуучу \(\Delta x\) жылышуусу колдонулган ийин |
| Камера | Canon EOS 90D + макро объектив | Эки нурдун биригишинен пайда болгон интерферограмманы жазат |
Эки Нур Бириккенде Интенсивдүүлүк Кантип Пайда Болот?
Эки когеренттүү оптикалык толкун кайра бириккенде детектор электр талаасынын комплекстик амплитудасын түздөн-түз эмес, жалпы талаанын абсолюттук маанисинин квадратына туура келген интенсивдүүлүктү сезет. Булак эки ийиндин жыштыгы бирдей жана бир булактан келип чыккан фазалык байланышы бар деп кабыл алып, интерференция интенсивдүүлүгүн адегенде:
\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) + I_0(x,y) \left[ e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)} + e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)} \right] \tag{1} \]
түрүндө берет. Эйлердин теңдештиги:
\[ e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta \]
колдонулганда:
\[ I(x,y) = 2I_0(x,y) \left[ 1+\cos\left( \mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) \right) \right]. \tag{2} \]
Бул жерде \(I_0\) бир ийиндин интенсивдүүлүк масштабын, \(\mathbf{k}\) толкун векторун, ал эми \(\mathbf{r}_1\) жана \(\mathbf{r}_2\) эки жарык жолу менен байланышкан орун векторлорун билдирет. Косинус мүчөсү эки оптикалык жолдун ортосундагы фазалык айырманы алып жүрөт; интерферометрдин жылышууга сезгичтиги ушул мүчөдөн келип чыгат.
Эки Өлчөмдүү Сүрөт Эмне Үчүн Бир Өлчөмгө Келтирилет?
Булакта интерферограммалар концентрдик шакектерден турат. Геометриялык симметриядан улам сүрөттүн бир ок боюнча алынган кесилиши талдоо үчүн бир өлчөмдүү профилге келтирилет. \(y=0\) туруктуу деп кабыл алынып:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(k(x_1-x_2)) \right] \tag{3} \]
жана:
\[ x=x_1-x_2 \]
аныктамасы менен:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(kx) \right]. \tag{4} \]
Толкун векторунун чоңдугу:
\[ k= \frac{2\pi n}{\lambda} \]
болгондуктан:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+ \cos \left( \frac{2\pi n}{\lambda}x \right) \right]. \tag{5} \]
Булак мейкиндик жыштыгын:
\[ \nu_0= \frac{n}{\lambda} \]
деп аныктайт. Ошентип:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(2\pi\nu_0x) \right], \tag{6} \]
жана мейкиндик бурчтук жыштыкты:
\[ \omega_0=2\pi\nu_0 \tag{8} \]
аныктамасы менен:
\[ I(x) = 2I_0(x) \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right]. \tag{7} \]
Бул чынжырдын физикалык мааниси мындай: интерференция профилинин тез термелүүсү оптикалык жол айырмасынын фазалык маалыматын алып жүрөт, ал эми \(I_0(x)\) жайыраак өзгөргөн жарык интенсивдүүлүгүнүн кабыгын билдирет.
Модуляция Функциясы Эмне Үчүн Интерференция Сүрөтүнөн Бөлүнөт?
Модуляция функциясы \(f_m(x)=1+\cos(\omega_0x)\) — жарык булагынын интенсивдүүлүк кабыгынан көз каранды эмес түрдө интерференция фазасы жана оптикалык жол айырмасы тууралуу маалыматты алып жүргөн компонент; ошондуктан изилдөө адегенде Фурье областында кабыкты бөлүп, модуляция компонентин чыгарат, андан кийин Лаплас өзгөртүүсүн түздөн-түз ушул функцияга колдонот.
Булак интерференция профилин эки көбөйтүүчүгө бөлөт:
\[ f_e(x)=2I_0(x), \]
\[ f_m(x)=1+\cos(\omega_0x). \tag{9} \]
\(f_e(x)\) — булак жарыгынын кабык функциясы. \(f_m(x)\) болсо эки оптикалык ийиндин ортосундагы интерференциянын мезгилдүү маалыматын алып жүрөт.
Санарип чыпкалоо кадамдары
- Интерференция профили \(I(x)\) Фурье өзгөртүүсү менен жыштык областына өткөрүлөт: \[ I(\nu)=\mathcal{F}\{I(x)\}. \]
- Булакта: \[ F(\nu) = \delta(\nu) + \delta(\nu+\nu_0) + \delta(\nu-\nu_0) \] чыпкасы аныкталып, андан соң: \[ F_m(\nu)=I(\nu)F(\nu) \] амалы колдонулат.
- Чыпкаланган спектр тескери Фурье өзгөртүүсү менен мейкиндик областына кайтарылат: \[ f_m(x)=\mathcal{F}^{-1}\{F_m(\nu)\}. \]
Бул амалдын максаты интерференция сүрөтүнүн оптикалык фаза маалыматын алып жүргөн мезгилдүү бөлүгүн жарык интенсивдүүлүгүнүн кабыгынан ажыратуу.
Жылышуу Модуляция Функциясына Кантип Кирет?
Булактын теориялык Теңдеме (10)-у:
\[ f_m(x,\Delta x) = 1+ \cos \left[ \omega_0(x-\Delta x) \right]. \tag{10} \]
түрүндө. Математикалык жактан \(\Delta x\) косинустун аргументине фаза/орун жылышуусу катары кирет. Ошондуктан күзгүнүн кыймылы модуляция функциясынын мейкиндиктеги ордун өзгөртөт.
Булак ичиндеги белги эскертүүсү: Теңдеме (10) \(x-\Delta x\) түрүн колдонсо, эксперимент жыйынтыктарындагы 2-таблица жана 4-таблица пертурбацияланган функцияларды \(x+\Delta x\) түрүндө жазат. Булак эки белги конвенциясынын айырмасын түшүндүрбөйт; ошондуктан Verianla белгини бир тараптуу “оңдобойт”.
Лаплас Өзгөртүүсү Жылышууну s-Тегиздигине Кантип Өткөрөт?
Лаплас өзгөртүүсү мейкиндик координатындагы модуляцияланган интерференция функциясын \(s=\sigma+i\omega\) комплекстик өзгөрмөсүнүн функциясына айлантат; изилдөөнүн ыкмасында физикалык \(\Delta x\) өзгөрүүсү ушул комплекстик функциянын алымындагы полиномдун жана демек нөлдөрдүн ордунун өзгөрүшү аркылуу аныкталат.
Таяныч абалдын Лаплас өзгөртүүсү
Пертурбация жок кезде бир тараптуу Лаплас өзгөртүүсү:
\[ F(s) = \int_0^\infty \left[ 1+\cos(\omega_0x) \right] e^{-sx}\,dx. \tag{11} \]
Булак боюнча чечими:
\[ F(s) = \frac{1}{s} + \frac{s}{s^2+\omega_0^2}. \tag{12} \]
Жалпы бөлүүчүдө:
\[ F(s) = \frac{ 2s^2+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) }. \tag{13} \]
Бул рационалдык функциянын уюлдары бөлүүчүнү нөлгө айланткан маанилер:
\[ s=0, \qquad s=\pm i\omega_0. \]
Нөлдөр болсо алымды нөлгө айланткан маанилер:
\[ 2s^2+\omega_0^2=0, \]
демек:
\[ s= \pm i \frac{\omega_0}{\sqrt2}. \]
Экспериментте:
\[ \omega_0= 9.8947\times10^6, \]
болгондуктан таяныч нөлдөр булак таблицасында:
\[ s= \pm6.9966\times10^6 i \]
деп берилет.
Пертурбацияланган функциянын булакта берилген өзгөртүүсү
Булак:
\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty \left[ 1+ \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) \right] e^{-sx}\,dx \tag{14} \]
туюнтмасын эки интегралга бөлөт:
\[ F(s,\Delta x) = \int_0^\infty e^{-sx}\,dx + \int_0^\infty \cos \left( \omega_0(x-\Delta x) \right) e^{-sx}\,dx. \tag{15} \]
Андан кийин булак \(u=x-\Delta x\) өзгөрмө алмаштыруусун колдонуп, экинчи мүчөнү:
\[ \int_0^\infty \cos(\omega_0u) e^{-su} e^{-s\Delta x}\,du \]
түрүндө карап:
\[ F(s,\Delta x) = \frac{1}{s} + \frac{ e^{-s\Delta x}s }{ s^2+\omega_0^2 } \tag{17} \]
жыйынтыкка келет.
Булак ичиндеги математикалык чек: \(u=x-\Delta x\) өзгөртүүдө \(x=0\) болгондо \(u=-\Delta x\) болот. Булак Теңдеме (16)да бул өзгөрмө алмаштыруудан кийин төмөнкү интегралдоо чегин кайра эле 0 деп көрсөтөт. Бул кадам өзүнчө түшүндүрүлбөгөндүктөн, Verianla Теңдеме (17)ни булакта берилген ыкма катары берет, бирок бул чек өзгөрүүсүн математикалык жактан тастыкталган кадам сыяктуу кайра чыгарбайт.
Taylor жакындашуусу жана кубдук нөл теңдемеси
Булак Теңдеме (18)деги экспоненциалдык мүчөгө Taylor катарын колдонуп, сызыктуу мүчөнү гана калтырганын билдирет. Бул жакындашуу үчүн берилген шарт:
\[ |\Delta x\,s|\ll1. \]
Булак андан кийин:
\[ F(s,\Delta x) = \frac{ s^2(2+\Delta xs)+\omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{19} \]
жана:
\[ F(s,\Delta x) = \frac{ \Delta x s^3 + 2s^2 + \omega_0^2 }{ s(s^2+\omega_0^2) } \tag{20} \]
туюнтмаларын колдонот.
Белги шайкештиги боюнча эскертүү: Булакта көрүнгөн экспоненциалдык мүчө \(e^{-s\Delta x}\). Стандарттык биринчи даражадагы Taylor катары \(e^{-s\Delta x}=1-s\Delta x+\cdots\) түрүндө. Ал эми Теңдеме (19)–(20)до \(+\Delta xs\) жана \(+\Delta xs^3\) басылган. Булак бул белги өзгөрүүсүн түшүндүрбөйт. Verianla булак теңдемесиндеги оң белгини өзгөртпөстөн берет, бирок математикалык айырманы көрүнүктүү калтырат.
\(|\Delta xs|\ll1\) Шарты Билдирилген Тамырларда Аткарылабы?
Булактын өзүнүн чыныгы нөл маанилери менен жүргүзүлгөн түз өлчөмсүз көбөйтүндү текшерүүсү төмөнкүдөй:
| \(\Delta x\) (m) | Булактагы чыныгы нөл \(|s|\) | \(|\Delta xs|\) | \(\ll1\) шарты |
|---|---|---|---|
| 0.0008 | 497318 | ≈397.9 | Аткарылбайт |
| 0.0019 | 372472 | ≈707.7 | Аткарылбайт |
| 0.0027 | 331236 | ≈894.3 | Аткарылбайт |
| 0.0088 | 223317 | ≈1965.2 | Аткарылбайт |
Бул таблица жаңы эксперименттик жыйынтык эмес; булакта ачык берилген \(\Delta x\) жана нөл маанилерин булактын өзүнүн \(|\Delta xs|\ll1\) жарактуулук шартына коюу болуп саналат. Жыйынтык Теңдеме (19)–(20)догу биринчи даражадагы Taylor жакындашуусу билдирилген чыныгы тамыр масштабдарында кичине-параметр шартын аткарбай турганын көрсөтөт. Ошондуктан кубдук жакындашуунун сандык ката чоңдугу булак тарабынан өзүнчө тастыкталмайынча “так” деп жалпыланбашы керек.
Үчүнчү Нөл Эмне Үчүн Пертурбация Критерийи Катары Колдонулат?
Булактын сызыктандырулган моделинде таяныч функциянын алымы экинчи даражада болгондуктан эки нөл берсе, \(\Delta x\neq0\) абалында алым \(\Delta xs^3+2s^2+\omega_0^2\) түрүндө үчүнчү даражага өтүп, үч тамыр берет; ошондуктан изилдөө үч нөлдүн көрүнүшүн Майкельсон интерферометринде пертурбация бар экенин аныктоо үчүн жетиштүү критерий катары аныктайт.
Таяныч абалда:
\[ 2s^2+\omega_0^2=0 \]
эки нөл берет.
Булактын пертурбацияланган модели:
\[ \Delta xs^3 + 2s^2 + \omega_0^2 = 0 \]
болсо үчүнчү даражадагы полином жана үч тамыр берет.
Маанилүү жагы, бөлүүчү:
\[ s(s^2+\omega_0^2) \]
өзгөрбөгөндүктөн булактын моделинде уюлдар бардык эксперименттик абалдарда ошол бойдон калат. Өзгөргөн чоңдук — нөлдөрдүн түзүлүшү.
Экспериментте колдонулган беш интерферограмма
| Абал | Күзгү 2нин орду | Таянычка карата \(\Delta x\) | Тилкелердин саны \(N\) | \(\nu_0\) (m⁻¹) | \(\omega_0\) (rad/m) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 — Таяныч | 14,3 mm | — | 3 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 2 | 15,1 mm | 0,8 mm | 4 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 3 | 16,2 mm | 1,9 mm | 5 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 4 | 17,0 mm | 2,7 mm | 6 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
| 5 | 23,1 mm | 8,8 mm | 9 | \(1.5748\times10^6\) | \(9.8947\times10^6\) |
Таяныч орунга салыштырмалуу күзгүнүн кыймылы көбөйгөн сайын сүрөттөрдөгү шакек/интерференция тилкелеринин саны 3төн 9га чейин өскөнү көрүнөт. Изилдөө бул интерферограммаларды түз эле интерференция тилкелерин саноо менен өлчөөнүн ордуна профиль чыгаруу жана комплекстик-тегиздик анализинин киргизүүсү катары колдонот.
Эсептелген уюлдар жана нөлдөр
| Абал | \(\Delta x\) | Уюлдар | Нөл 1 | Нөл 2 | Нөл 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | \(+6.9966\times10^6i\) | \(-6.9966\times10^6i\) | — |
| 2 | 0,8 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −497318 | \(247409+429966i\) | \(247409-429966i\) |
| 3 | 1,9 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −372472 | \(185709+322265i\) | \(185709-322265i\) |
| 4 | 2,7 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −331236 | \(165247+286644i\) | \(165247-286644i\) |
| 5 | 8,8 mm | \(0,\ +9.8947\times10^6i,\ -9.8947\times10^6i\) | −223317 | \(111544+193332i\) | \(111544-193332i\) |
Таблица эки ачык тенденцияны көрсөтөт. Биринчиден, булактын эсептөө моделинде уюлдар бардык абалдарда өзгөрбөйт. Экинчиден, пертурбациядан кийин пайда болгон үч нөлдүн чыныгы жана элестүү бөлүктөрү \(\Delta x\) менен өзгөрөт. Айрыкча терс чыныгы тамырдын абсолюттук мааниси 0,8 mm абалда 497318 болсо, 8,8 mm абалда 223317ге чейин төмөндөйт.
Булак ичиндеги талкуу эскертүүсү: Макаланын талкуу бөлүмүндөгү бир сүйлөмдө жылышуудан кийин “poles and zeros” орундарында өзгөрүү байкалганы жазылган. Бирок 6-таблица жана ошол эле талкуунун мурунку сүйлөмдөрү уюлдар өзгөрбөгөнүн ачык көрсөтөт. Verianla сандык таблицаны негиз кылып, “уюлдар туруктуу, нөлдөр өзгөрмө” жыйынтыгын колдонот.
Өлчөө Вектору \(s_{\mathrm{meas}}\) Эмнени Көрсөтөт?
\(s_{\mathrm{meas}}\) — изилдөөдө таяныч абалдын тандалган нөлү менен пертурбацияланган абалдагы тандалган нөлдүн ортосундагы комплекстик-вектордук айырма; нөлгө барабар эмес \(s_{\mathrm{meas}}\) физикалык абал таянычтан айырмаланарын, ал эми вектордун компоненти жана бурчу ушул эки s-тегиздик ордунун ортосундагы геометриялык айырманы билдирет.
Булак өлчөө векторун:
\[ s_{\mathrm{meas}} = s_{\mathrm{ref}} - s_{\mathrm{per}} \tag{22} \]
түрүндө аныктайт.
Бул жерде:
- \(s_{\mathrm{ref}}\): таяныч абалдан тандалган нөл вектору.
- \(s_{\mathrm{per}}\): пертурбацияланган абалдан тандалган нөл вектору.
- \(s_{\mathrm{meas}}\): экөөнүн ортосундагы комплекстик вектор айырмасы.
Булак эсептөөсүндө таяныч катары оң элестүү нөл:
\[ s_{\mathrm{ref}} = 6.9966\times10^6 i \]
колдонулган. Пертурбацияланган абал үчүн үч нөлдүн ичинен терс чыныгы окто жайгашкан чыныгы нөл \(s_{\mathrm{per}}\) катары тандалган.
| Салыштыруу | \(\Delta x\) | \(s_{\mathrm{meas}}\) | Вектордун чоңдугу | Бурч |
|---|---|---|---|---|
| 1 → 2 | 0,8 mm | \(497318+6.9966\times10^6i\) | 7014252 | 85,93° / 1,4998 rad |
| 1 → 3 | 1,9 mm | \(372472+6.9966\times10^6i\) | 7006507 | 86,95° / 1,5176 rad |
| 1 → 4 | 2,7 mm | \(331236+6.9966\times10^6i\) | 7004436 | 87,29° / 1,5235 rad |
| 1 → 5 | 8,8 mm | \(223317+6.9966\times10^6i\) | 7000163 | 88,17° / 1,5389 rad |
Жылышуу 0,8 mmден 8,8 mmге көбөйгөндө \(s_{\mathrm{meas}}\)тин чыныгы бөлүгү 497318ден 223317ге, вектордун чоңдугу 7014252ден 7000163кө төмөндөйт, ал эми бурч 85,93°тен 88,17°ке жогорулайт.
Булак ичиндеги чечмелөө эскертүүсү: Макала бул маалыматтарды “чыныгы бөлүк менен вектор чоңдугунун ортосунда тескери байланыш” деп чечмелейт. Бирок 8-таблицада \(s_{\mathrm{meas}}\)тин оң чыныгы бөлүгүнүн чоңдугу менен жалпы вектор чоңдугу бирге азаят. Булак бул сөз менен пертурбацияланган нөлдүн терс белгилүү чыныгы координатасынбы же башка багыттык чечмелөөнүбү көздөгөнү так эмес. Verianla таблица маанилерин өзгөртпөй сактап, белгисиздикти жаппайт.
Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары
Эксперимент жана анализ агымынын толук тартиби
- 635 nm жарык булагы Майкельсон интерферометрине жөнөтүлдү.
- Нур 50/50 нур бөлгүч менен эки ийинге бөлүндү.
- Күзгү 1 жана күзгү 2 нурларды кайра нур бөлгүчкө чагылдырды.
- Бириккен нурлардын интерферограммасы Canon EOS 90D камерасы менен жазылды.
- Таяныч орун 14,3 mm деп алынды.
- Күзгү 2 башкарылуучу түрдө жылдырылып, 0,8, 1,9, 2,7 жана 8,8 mm таяныч айырмалары түзүлдү.
- Ар бир интерферограммадан бир өлчөмдүү интенсивдүүлүк профили чыгарылды.
- Профиль Фурье өзгөртүүсү менен жыштык областына өткөрүлдү.
- Булакта аныкталган үч-Дирак-дельта чыпкасы менен модуляция компоненти бөлүндү.
- Тескери Фурье өзгөртүүсү менен \(f_m(x)\) же \(f_m(x,\Delta x)\) алынды.
- Модуляция функциясына бир тараптуу Лаплас өзгөртүүсү колдонулду.
- Булактын сызыктандырулган моделинде комплекстик функциянын уюлдары жана нөлдөрү эсептелди.
- Таяныч жана пертурбацияланган нөлдөр салыштырылып, \(s_{\mathrm{meas}}\) өлчөө вектору түзүлдү.
Эксперименттик түрдө байкалган негизги жыйынтык
Беш интерферограмманын шакек саны жана профилдери ар башка. Таяныч абалда үч шакек билдирилсе, эң чоң 8,8 mm жылышуу абалында тогуз шакек билдирилген. Бардык абалдарда бирдей \(\nu_0\) жана \(\omega_0\) маанилери таблицага киргизилген; айырма модуляция функциясынын фаза/орун мүчөсүндө көрсөтүлгөн.
Булактын s-тегиздиги эсептөөсүндө таяныч абалдын эки гана нөлү бар. Төрт пертурбацияланган абалдын ар биринде сызыктандырулган кубдук теңдеме үч нөл берет. Нөл координаталары \(\Delta x\) чоңойгон сайын s-тегиздигинин ар башка чекиттерине тартиптүү түрдө жылган.
Изилдөөнүн күчтүү жактары
- Теориялык түрдө сунушталган s-тегиздик ыкмасы чыныгы Майкельсон интерферометри менен эксперименттик сүрөттөргө колдонулган.
- Таяныч жана төрт башкарылуучу пертурбация абалы бир эле ыкма чынжыры менен талданган.
- Интерферограмма сүрөтүнөн баштап Фурье чыпкалоосу, Лаплас өзгөртүүсү, уюл-нөл анализи жана комплекстик өлчөө векторуна чейин созулган ачык иштетүү чынжыры берилген.
- Булак сүрөттөрдүн визуалдык өзгөрүүсүн гана эмес, уюлдар менен нөлдөрдүн сандык комплекстик координаталарын да таблицаларда берет.
- \(s_{\mathrm{meas}}\) ыкмасы физикалык пертурбацияны комплекстик тегиздикте вектор түрүндө көрсөтүүгө мүмкүнчүлүк берет.
Негизги ыкмалык чектөөлөр
- Taylor жакындашуусу: Теңдеме (19)–(20) үчүн көрсөтүлгөн \(|\Delta xs|\ll1\) шарты булак билдирген чыныгы нөл маанилери колдонулганда аткарылбайт.
- Taylor белгиси: \(e^{-s\Delta x}\) туюнтмасынын биринчи даражадагы жайылышы менен булакта басылган \(+\Delta xs^3\) мүчөсүнүн ортосунда белги дал келбестиги бар.
- Өзгөрмө алмаштыруу: \(u=x-\Delta x\) өзгөртүүдө экинчи интегралдын төмөнкү чеги кандай каралганы түшүндүрүлгөн эмес.
- Жылышуу белгиси: теориялык Теңдеме (10) \(x-\Delta x\), ал эми эксперименттик таблицалар \(x+\Delta x\) колдонот.
- Уюлдарды баяндоо: 6-таблица уюлдар өзгөрбөгөнүн көрсөтсө, талкуунун бир сүйлөмү уюлдар жана нөлдөр чогуу өзгөргөнүн айтат.
- Метрологиялык белгисиздик: ар бир \(\Delta x\) үчүн кайталоолордун саны, стандарттык четтөө, ишеним аралыгы же толук өлчөө белгисиздигинин бюджети билдирилген эмес.
- Ажыратуу жөндөмдүүлүгү: 0,8 mm изилдөөдө колдонулган эң кичине башкарылуучу жылышуу; бул ыкманын акыркы ажыратуу чеги экени көрсөтүлгөн эмес.
- Кайталануучулук: авторлор repeatability анализин келечектеги изилдөөгө калтырышат.
- Интерференция тилкесинин анык эместиги: авторлор fringe ambiguity анализин да келечектеги изилдөө катары белгилешет.
- Салыштырмалуу артыкчылык: интерференция тилкелерин саноо же Фурье ыкмалары менен ошол эле маалыматтар боюнча сандык ката/туруктуулук benchmark-ы берилген эмес.
- Жарык кубатына туруктуулук: жарык булагынын кубаты башкарылуучу түрдө өзгөртүлүп, өзүнчө туруктуулук эксперименти билдирилген эмес.
Изилдөө колдогон жыйынтыктар
- Майкельсон интерферометринин башкарылуучу күзгү жылышуулары ар башка интерферограммаларды пайда кылган.
- 0,8, 1,9, 2,7 жана 8,8 mm жылышуу абалдары булактын ыкма чынжыры менен бири-биринен айырмаланган.
- Таяныч функциянын булак моделинде үч уюлу жана эки нөлү бар.
- Пертурбацияланган абал үчүн булакта колдонулган кубдук жакындашуу үч нөл берет.
- Булак таблицаларында уюл координаталары бардык абалдарда туруктуу.
- Нөл координаталары жылышуу менен өзгөрөт.
- Таяныч нөл менен тандалган пертурбацияланган нөлдүн ортосундагы \(s_{\mathrm{meas}}\) вектору бардык пертурбацияланган абалдарда нөлдөн айырмаланат.
- Комплекстик s-тегиздиги физикалык жылышуу абалдарын математикалык орундар менен байланыштырган көрсөтүүнү камсыз кылат.
Изилдөө колдобогон жыйынтыктар
- 0,8 mm маанисин ыкманын так минималдуу аныктоо чеги же ажыратуу жөндөмдүүлүгү деп көрсөтүүгө болбойт.
- Изилдөө микрометр, нанометр же андан кичине жылышууларды эксперименттик түрдө көрсөткөн эмес.
- Ыкманын салттуу интерференция тилкелерин саноо же Фурье демодуляциясынан сандык жактан сезгичирээк экени түз салыштырма эксперимент менен көрсөтүлгөн эмес.
- “High precision” деген сөз айкашына ылайык өзүнчө толук өлчөө белгисиздигинин бюджети билдирилген эмес.
- Жарык кубатынын термелүүлөрүнө каршы туруктуулук атайын кубат-өзгөртүү эксперименти менен сандык жактан текшерилген эмес.
- Комплекстик тегиздиктеги нөлдүн кыймылы бардык башка физикалык пертурбациялар үчүн бир эле калибрлөө менен иштей турганы көрсөтүлгөн эмес.
- Сынуу көрсөткүчүн өлчөө бул макалада жүргүзүлгөн эмес; булак муну келечектеги мүмкүн болгон колдонмолордун бири катары сунуштайт.
- Булактын сызыктандырулган кубдук модели билдирилген бардык \(s\) маанилеринде кичине-параметр жакындашуусу менен сандык жактан жарактуу экени көрсөтүлгөн эмес.
Келечектеги изилдөө сунуштары
Авторлор ыкманын кийинки баскычында сезгичтикти, кайталануучулукту, өлчөө каталарын, fringe ambiguity жана интерферометрдин ажыратуу жөндөмдүүлүгүн кеңири изилдөөнү сунушташат. Мындан тышкары, оптикалык жол айырмасы геометриялык жол узундугуна кошумча чөйрөнүн сынуу көрсөткүчүнө да көз каранды болгондуктан, ушул эле s-тегиздик вектор ыкмасын келечекте сынуу көрсөткүчүнүн өзгөрүшүн жана ошону менен суюктукту мүнөздөөнү көзөмөлдөө үчүн колдонууга болору айтылат.
Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү
Түпнуска аталыш: Experimental Detection of ∆x Variations on the Complex s-Plane Based on a Michelson Interferometer
Авторлор: Romel Rubicel Flores Gámez, José Trinidad Guillen Bonilla, Héctor Guillen Bonilla, Alex Guillen Bonilla, Cuauhtémoc Acosta Lúa, Maricela Jiménez Rodríguez, Mónica Vázquez Gutiérrez, María Eugenia Sánchez Morales.
Авторлордун ирети: Булак PDFдеги ирет өзгөртүлбөй сакталган.
Жооптуу авторлор: José Trinidad Guillen Bonilla жана María Eugenia Sánchez Morales.
Бирдей салым: Булакта бирдей биринчи авторлук же бирдей салым жөнүндө билдирүү табылган эмес.
Мекемелер: Departamento de Ciencias Tecnológicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Electro-Fotónica, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ingeniería de Proyectos, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías; Departamento de Ciencias Computacionales e Ingenierías, Centro Universitario de los Valles; Departamento de Ciencias Básicas, Centro Universitario de la Ciénega; Departamento de Sistemas de Información, Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas. Бардык аффилиациялар Universidad de Guadalajara, Jalisco, Mexico курамында.
Журнал: Physics.
Журнал бөлүмү: Applied Physics.
Басма: MDPI.
Том / номер / макала номери: 8(3), 67.
DOI: 10.3390/physics8030067.
Тапшырылган: 16 июнь 2026.
Кайра кароо: 14 август 2026.
Кабыл алынган: 31 август 2026.
Жарыяланган: 17 сентябрь 2026.
Булак түрү: Рецензияланган эксперименттик изилдөө макаласы; колдонмо оптика, интерферометрия, сигнал иштетүү жана жылышууну өлчөө изилдөөсү.
Лицензия: Creative Commons Attribution 4.0, CC BY 4.0.
Расмий шилтеме: DOI 10.3390/physics8030067 аркылуу MDPI басылма жазуусу.
Негизги эксперименттик система: Майкельсон интерферометри; 635 nm жарык булагы, 18 mm фокус аралыктагы коллиматор, 50/50 нур бөлгүч, эки күзгү жана Canon EOS 90D камера/макро объектив.
Негизги ыкма: Интерферограмманы жазуу → бир өлчөмдүү профиль → Фурье өзгөртүүсү → модуляция функциясын жыштык областында чыпкалоо → тескери Фурье өзгөртүүсү → бир тараптуу Лаплас өзгөртүүсү → комплекстик s-тегиздигинде уюл/нөл анализи → \(s_{\mathrm{meas}}\) өлчөө вектору.
Эксперименттик жылышуулар: 0,8 mm, 1,9 mm, 2,7 mm жана 8,8 mm; 14,3 mm орун таяныч катары алынган.
Каржылоо: Булак “This research received no external funding” билдирүүсүн берет.
Ыраазычылык: Изилдөө Centro Universitario de la Ciénega Theoretical and Applied Physics Laboratoryде жүргүзүлгөнү айтылып, Secretaría de Ciencia, Humanidades, Tecnología e Innovaciónга (SECIHTI) колдоо үчүн ыраазычылык билдирилет. Булак бул колдоонун мүнөзүн Funding билдирүүсүндөгү “no external funding” деген сөз айкашы менен өзүнчө шайкеш келтирбейт.
Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Чийки маалыматтар негиздүү суроо-талап боюнча авторлор тарабынан берилери көрсөтүлгөн.
Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришкен.
Авторлордун салымдары: Концептуалдаштыруу R.R.F.G., J.T.G.B. жана M.E.S.M.; ыкма R.R.F.G. жана J.T.G.B.; программалык камсыздоо R.R.F.G.; текшерүү жана формалдык анализ R.R.F.G., J.T.G.B. жана M.E.S.M.; изилдөө R.R.F.G. жана J.T.G.B.; ресурстар/маалыматтарды курациялоо R.R.F.G., J.T.G.B. жана M.E.S.M.; алгачкы долбоор R.R.F.G., J.T.G.B. жана M.E.S.M.; кароо, визуалдаштыруу жана көзөмөлдө бардык авторлор ар кандай көлөмдө катышкан.
Булак ичиндеги математикалык дал келбестик 1: Теңдеме (10) \(x-\Delta x\) колдонсо, эксперименттик таблицаларда \(x+\Delta x\) колдонулат.
Булак ичиндеги математикалык дал келбестик 2: \(u=x-\Delta x\) өзгөрмө алмаштыруудан кийин булак интегралдын төмөнкү чегин өзгөртпөйт.
Булак ичиндеги математикалык дал келбестик 3: \(e^{-s\Delta x}\) мүчөсү менен Теңдеме (19)–(20)догу \(+\Delta xs^3\) белгиси стандарттык биринчи даражадагы Taylor жайылышына түз шайкеш келбейт.
Булак ичиндеги жарактуулук чеги: Булак Taylor жакындашуусу \(|\Delta xs|\ll1\) үчүн жарактуу экенин билдирет. Булактын өзүнүн билдирилген \(\Delta x\) жана чыныгы нөл маанилери менен бул өлчөмсүз көбөйтүндү болжол менен 398–1965 аралыгында; кичине-параметр шарты билдирилген тамырларда аткарылбайт.
Булак ичиндеги отчеттук дал келбестик: 6-таблица жана ыкма түшүндүрмөсү уюлдар өзгөрбөгөнүн көрсөтсө, талкуунун бир сүйлөмү жылышуудан кийин уюл жана нөл орундар чогуу өзгөргөнүн айтат.
Метрологиялык чек: Изилдөөдө өзүнчө repeatability, толук ката бюджети, fringe ambiguity же ажыратуу анализи жүргүзүлгөн эмес; булар авторлор тарабынан келечектеги изилдөө темалары катары көрсөтүлгөн.
Негизги чечмелөө чеги: Макала 0,8–8,8 mm аралыгындагы башкарылуучу жылышуулар сунушталган комплекстик s-тегиздик иштетүү чынжыры аркылуу ар башка тамыр орундарын түзөрүн эксперименттик маалыматтарда көрсөтөт. Бул изилдөө жалгыз өзү ыкманын акыркы ажыратуу жөндөмдүүлүгүн, абсолюттук тактыгын же башка интерферометриялык ыкмаларга карата сандык артыкчылыгын аныктабайт.
Пикир калтырыңыз
E-mail дарегиңиз жарыяланбайт. Милдеттүү талаалар * менен белгиленген