Bu tədqiqat üçün hazırlanmış Ebola virusu xəstəliyinin yoluxma modeli, insan populyasiyasını həssas \(S\), məruz qalmış \(E\), yoluxdurucu \(I\), xəstəxanaya yerləşdirilmiş \(H\), sağalmış \(R\), ölmüş, lakin hələ dəfn edilməmiş \(D\) və dəfn edilmiş \(B\) bölmələrinə ayıran; ətraf mühitdəki Ebola virusu yükünü isə \(P\) dəyişəni ilə təmsil edən səkkiz vəziyyət dəyişənli, deterministik və qeyri-xətti adi diferensial tənlik (ODE) modelidir. Model yoluxdurucu şəxslər, xəstəxanada olan xəstələr, ölü cəsədlər, dəfn edilmiş cəsədlər və çirklənmiş mühit vasitəsilə yoluxmanı eyni riyazi quruluşda birləşdirir. Tədqiqat həmçinin xəstəliksiz və endemik tarazlıqları, əsas reproduksiya sayını \(\mathcal R_0\), lokal və qlobal dayanıqlığı, bifurkasiyanı, parametr həssaslığını, DRC sürveyans məlumatları ilə parametr uyğunlaşdırmasını və üç optimal nəzarət dəyişənini araşdırır.

Müəlliflərin əsas elmi məqsədi Ebola yoluxmasında insan-insan təması ilə yanaşı, ölümdən sonrakı təmas, cənazə/dəfn prosesləri, evdə yaxın qulluq və ətraf mühitdəki viral yük kimi yolların nisbi rolunu kəmiyyət modeli daxilində görünən etməkdir. Lakin tədqiqatdakı “African tradition practices” ifadəsi bütün Afrika mədəniyyətlərini vahid davranış nümunəsi kimi təqdim etməməlidir. Riyazi model xüsusilə yoluxmuş şəxsə yaxın qulluq, ölü cəsədlə təmas, dəfn prosesi və bu proseslərdə ətraf mühitə patogen saçılması kimi müəyyən davranış yollarını sadələşdirilmiş parametrlərlə təmsil edir; etnoqrafik sahə tədqiqatı və ya mədəni davranışların prevalensiyasının ölçülməsi aparılmayıb.

Modelin həssaslıq cədvəlində ən böyük müsbət normallaşdırılmış həssaslıq indekslərindən biri ətraf mühit yoluxma əmsalı \(\beta_p\) üçün \(+7.878\times10^{-1}\), xəstəxanada ölümə keçid əmsalı \(\eta\) üçün \(+5.032\times10^{-1}\), xəstəxana mənşəli ətraf mühitə saçılma əmsalı \(\eta_1\) üçün \(+5.031\times10^{-1}\) və yoluxdurucu şəxslərdən ətraf mühitə saçılma əmsalı \(\sigma\) üçün \(+2.707\times10^{-1}\) kimi bildirilib. Buna qarşılıq ətraf mühit patogeninin parçalanma əmsalı \(\alpha\), xəstəxanada sağalma əmsalı \(\xi\), dəfn edilmiş sinifdən çıxış əmsalı \(b\), ölümdən dəfnə keçid əmsalı \(d\) və xəstəxanaya yerləşdirmə əmsalı \(\gamma_1\) mənfi həssaslıq göstərir.

Ədədi nəticələrdə müəlliflərin \(u_1\) adlandırdığı “izolyasiya” strategiyası tək tətbiq olunan nəzarətlər arasında ən güclü azaldıcı təsirə malik kimi şərh edilib. \(u_1+u_2\) izolyasiya və müalicə kombinasiyası ikili strategiyalar arasında ən güclü seçim kimi təqdim olunub; \(u_1+u_2+u_3\) kombinasiyası isə yoluxdurucu şəxsləri, xəstəxanaya yerləşdirilən şəxsləri və ətraf mühit patogen yükünü birlikdə ən çox basqılayan ssenari kimi bildirilib. Mənbə qrafiklərində bu müqayisə təxminən 20 günlük simulyasiya pəncərəsində göstərilir.

Bu nəticələr real cəmiyyətdə üç müdaxilənin ölçülmüş sahə effektivliyi deyil. Nəticələr müəlliflərin riyazi modelinə, seçilmiş parametr dəyərlərinə, başlanğıc şərtlərinə, parametr uyğunlaşdırma metoduna və nəzarət xərclərinin \(A_1=A_2=A_3=c_1=c_2=c_3=1\) götürülməsinə bağlı simulyasiya nəticələridir. Model homogen qarışma fərz edir; məkan heterogenliyini, insan hərəkətliliyini və ənənəvi davranışların zamanla dəyişməsini təmsil etmir.

Tədqiqat problemi və ədəbiyyat boşluğu

Əvvəlki Ebola riyazi modellərində ətraf mühit yoluxması, xəstəxanaya yerləşdirmə, karantin, qorxu davranışı, müalicə tutumu və ya fraksional törəmə strukturları araşdırılmışdı. Bu tədqiqatın müəllifləri cənazə/dəfn və yaxın qulluq praktikalarının bir çox modeldə birbaşa ölçülə bilən ayrıca yoluxma mexanizmləri kimi deyil, daha ümumi epidemioloji bölmələrin daxilində dolayı şəkildə təmsil edildiyini irəli sürürlər.

Tədqiqat bu boşluğu ölü və dəfn edilmiş şəxsləri ayrıca vəziyyət dəyişənləri kimi saxlamaqla və yoluxdurucu, xəstəxanadakı, ölmüş və dəfn edilmiş şəxslərdən ətraf mühitə viral saçılmanı ayrıca əmsallarla müəyyən etməklə aradan qaldırmağa çalışır.

Burada “mədəni davranışın kəmiyyətləşdirilməsi” ifadəsi diqqətlə oxunmalıdır. Məsələn, dəfn edilmiş cəsədlərdən ətraf mühitə saçılma əmsalı \(b_1\) və ölmüş şəxslərdən saçılma əmsalı \(d_1\) mədəni təmasla əlaqəli yolların riyazi təmsilinə daxil olur; lakin Cədvəl 2-də \(b_1\) və \(d_1\) birbaşa mədəni sahə məlumatlarından qiymətləndirilməyib, assumed, yəni fərz edilmiş parametrlər kimi siyahıya alınıb.

Bu Model Ebola Yoluxmasını Hansı Yollarla Təmsil Edir?

Model beş yoluxma mənbəyini vahid infeksiya qüvvəsində birləşdirir: yoluxdurucu insanlar \(I\), xəstəxanaya yerləşdirilmiş insanlar \(H\), hələ dəfn edilməmiş ölülər \(D\), dəfn edilmiş şəxslər \(B\) və ətraf mühit patogen yükü \(P\); bu mənbələrin həssas şəxsləri \(S\) məruz qalmış \(E\) sinfinə keçirmə təsiri müvafiq olaraq \(\beta,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_p\) əmsalları ilə çəkiləndirilir.

Modelin vəziyyət dəyişənləri

İnfeksiya qüvvəsi \(\Psi\)

Tədqiqatın əsas yoluxma tənliyi:

\[ \Psi=\beta I+\beta_1H+\beta_2D+\beta_3B+\beta_pP \tag{1} \]

Bu formul nəyi hesablayır? \(\Psi\), həssas bir şəxsin modeldəki bütün yoluxma mənbələrindən gələn ümumi infeksiya təzyiqini təmsil edir. Yeni məruz qalma axını daha sonra \(\Psi S\) kimi ODE sisteminə daxil olur.

Dəyişənlər: \(\beta\) yoluxdurucu şəxslərdən; \(\beta_1\) xəstəxanadakı şəxslərdən; \(\beta_2\) ölmüş şəxslərdən; \(\beta_3\) dəfn edilmiş şəxslərdən və \(\beta_p\) ətraf mühit patogen rezervuarından yoluxmanı çəkiləndirən əmsallardır.

Vahidlər: Mənbə əmsalların fiziki vahidlərini ayrıca yazmır. Lakin \(\Psi S\) şəxs/zaman vahidində yeni məruz qalma yaratmalı olduğuna görə \(\Psi\)-nin ölçüsü riyazi olaraq \(1/\text{zaman}\) olmalıdır. İnsan saylarını birbaşa istifadə edən kütlə-təsiri formasında \(\beta,\beta_1,\beta_2,\beta_3\) əmsallarının vahidləri insan sayı miqyasından, \(\beta_p\)-nin vahidi isə \(P\)-nin necə ölçülməsindən asılıdır.

Səkkiz qeyri-xətti ODE

Modelin əsas sistemi:

\[ \begin{aligned} \dot S &= \Delta-\Psi S-\mu S,\\ \dot E &= \Psi S-(\mu+\delta)E,\\ \dot I &= \delta E-(\gamma+\gamma_1+\mu)I,\\ \dot H &= \gamma_1I-(\eta+\xi+\mu)H,\\ \dot R &= \xi H-\mu R,\\ \dot D &= \gamma I+\eta H-dD,\\ \dot B &= dD-bB,\\ \dot P &= \phi_p+\sigma I+\eta_1H+d_1D+b_1B-\alpha P. \end{aligned} \tag{2} \]

\(\dot S\): həssas əhali \(\Delta\) ilə doğum/miqrasiya yolu ilə sistemə daxil olur; \(\Psi S\) ilə infeksiyaya məruz qalır və \(\mu S\) ilə təbii ölüm səbəbilə sistemdən çıxır.

\(\dot E\): yeni məruz qalmalar \(\Psi S\)-dir; məruz qalmış şəxslər \(\delta\) sürəti ilə yoluxdurucu sinfə keçir və \(\mu\) təbii ölümünə tabedir.

\(\dot I\): məruz qalmış şəxslər \(\delta E\) ilə yoluxdurucu hala gəlir; \(\gamma\) xəstəliyə bağlı ölüm, \(\gamma_1\) xəstəxanaya yerləşdirmə və \(\mu\) təbii ölüm çıxışlarıdır.

\(\dot H\): xəstəxanaya yerləşdirmə axını \(\gamma_1I\)-dir. Xəstəxanadakı şəxslər \(\eta\) ilə EVD səbəbilə ölə, \(\xi\) ilə sağala və ya \(\mu\) ilə təbii ölüm keçirə bilər.

\(\dot R\): sağalma yalnız xəstəxana sinfindən \(\xi H\) axını ilə baş verir; model sağalmış şəxslərin \(\mu\) təbii ölümünə tabe olduğunu fərz edir.

\(\dot D\): cəmiyyətdəki yoluxdurucu şəxslərdən \(\gamma I\) və xəstəxanadakılardan \(\eta H\) ölüm axını gəlir; \(dD\) ilə dəfn edilmiş sinfə keçilir.

\(\dot B\): \(dD\) ilə dəfn sinfinə giriş var, \(bB\) isə bu sinifdən çıxış terminidir. Mənbə \(b\)-nin fiziki şərhini ətraflı izah etmir.

\(\dot P\): ətraf mühitə xarici/baza patogen girişi \(\phi_p\), yoluxdurucu şəxslərdən \(\sigma I\), xəstəxanadakılardan \(\eta_1H\), ölülərdən \(d_1D\) və dəfn edilmiş şəxslərdən \(b_1B\) ilə patogen girişi baş verir; \(\alpha P\) patogenin ətraf mühitdə parçalanmasını/təmizlənməsini təmsil edir.

Model niyə pozitivlik və məhdudluq sübutu aparır?

Epidemioloji modeldə insan sayı və ya patogen sıxlığı mənfi ola bilməz. Müəlliflər buna görə sıfır və ya müsbət başlanğıc şərtlərindən başlayan həllərin bütün \(t>0\) boyunca mənfi olmayacağını göstərən pozitivlik teoremi qurublar.

Aktiv insan populyasiyası:

\[ N_A=S+E+I+H+R \]

kimi müəyyən edilib və Grönwall bərabərsizliyindən istifadə etməklə:

\[ N_A(t)\leq \frac{\Delta}{\mu} \tag{5} \]

sərhədi əldə edilib. Eyni şəkildə \(D\), \(B\) və \(P\) üçün yuxarı sərhədlər çıxarılıb. Riyazi rolu həllin sonlu bioloji bölgədə qalmasına təminat verməkdir.

Əsas Reproduksiya Sayı \(\mathcal R_0\) Bu Modeldə Nəyi İfadə Edir?

\(\mathcal R_0\), tamamilə həssas populyasiyaya daxil olan tipik infeksiyanın modeldəki insan, xəstəxana, ölümdən sonrakı, dəfn edilmiş cəsəd və ətraf mühit yoluxma yollarının hamısı vasitəsilə orta hesabla neçə yeni infeksiya yarada bildiyini ümumiləşdirən ölçüsüz eşik göstəricisidir; lakin bu tədqiqatda klassik xəstəliksiz tarazlıq və \(\mathcal R_0\leq1\) dayanıqlıq şərhi xarici ətraf mühit patogen girişinin \(\phi_p=0\) olduğu şərtlə əlaqəlidir.

Xəstəliksiz tarazlıq

İnfeksiya olmadıqda mənbə xəstəliksiz tarazlığı:

\[ \mathrm{DFE}= \left( \frac{\Delta}{\mu}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \tag{8} \]

kimi verir.

Bu tarazlıq nöqtəsində \(E,I,H,R,D,B,P=0\)-dır. Lakin ətraf mühitə müstəqil patogen girişi \(\phi_p>0\) olarsa, \(\dot P\) tənliyində sıfır ətraf mühit patogen yükü qorunmayacağı üçün müəlliflər sonrakı dayanıqlıq analizində \(\phi_p=0\) şərtindən açıq şəkildə istifadə edirlər.

\(\mathcal R_0\)-ın çıxarılması

Müəlliflər next-generation matrix yanaşmasında yoluxmuş sistem dəyişənlərini \(E,I,H,D,B,P\) kimi götürüblər. \(K=FV^{-1}\) matrisi qurulub və:

\[ \mathcal R_0=\rho(K) \]

kimi müəyyən edilib. Burada \(\rho(K)\), \(K\) matrisinin spektral radiusu, yəni mütləq qiyməti ən böyük özqiymətidir.

Mənbə:

\[ a_1=\delta+\mu,\qquad a_2=\gamma+\gamma_1+\mu,\qquad a_3=\eta+\xi+\mu \]

təriflərindən sonra \(\mathcal R_0\)-ı iki əsas yoluxma zəncirinin cəmi şəklində verir:

\[ \begin{aligned} \mathcal R_0={}& \left[ \beta+ \frac{\beta_2\gamma}{d}+ \frac{\beta_3\gamma}{b}+ \frac{\beta_p\sigma}{\alpha}+ \frac{\beta_p\gamma}{\alpha} \left(\frac{d_1}{d}+\frac{b_1}{b}\right) \right] \frac{\Delta\delta}{\mu a_1a_2}\\ &+ \left[ \beta_1+ \frac{\beta_2\eta}{d}+ \frac{\beta_3\eta}{b}+ \frac{\beta_p\eta_1}{\alpha}+ \frac{\beta_p\eta}{\alpha} \left(\frac{d_1}{d}+\frac{b_1}{b}\right) \right] \frac{\Delta\delta\gamma_1}{\mu a_1a_2a_3}. \end{aligned} \tag{10} \]

Birinci böyük termin, yoluxdurucu \(I\) vəziyyətindən başlayan birbaşa, ölümdən sonrakı və ətraf mühit yoluxma yollarının töhfələrini cəmləyir.

İkinci böyük termin, xəstəxanaya yerləşdirmə \(\gamma_1\) vasitəsilə davam edən yoluxma, xəstəxana ölümü və ətraf mühitə saçılma yollarını əlavə edir.

Riyazi şərh: Müsbət parametr \(\mathcal R_0\)-ı artırırsa, epidemiyanın davam etmə potensialı artır; bəzi keçid/təmizlənmə parametrlərinin artması yoluxdurucu müddəti və ya ətraf mühitdə qalma müddətini qısaltdığı üçün \(\mathcal R_0\)-ı azalda bilər.

Lokal və qlobal dayanıqlıq

Mənbə \(\phi_p=0\) olduqda xəstəliksiz tarazlıq nöqtəsinin \(\mathcal R_0\leq1\) zamanı lokal asimptotik dayanıqlı olduğunu bildirir.

Qlobal analiz üçün xətti terminlərlə Volterra tipli Lyapunov funksiyası birləşdirilib. Uyğun \(g_1,\ldots,g_5\) əmsalları seçildikdən sonra törəmə:

\[ \dot V_0= -\frac{\mu}{S}(S-S_0)^2 +a_1(\mathcal R_0-1)E \tag{14} \]

formasına endirilib.

\(\mathcal R_0\leq1\) olduqda ikinci termin müsbət deyil və birinci termin də sıfırdan böyük ola bilməz. LaSalle dəyişməzlik prinsipindən istifadə etməklə xəstəliksiz vəziyyətin qlobal asimptotik dayanıqlığı irəli sürülür.

Endemik tarazlıq nə deyir?

Müəlliflər sistemin sağ tərəflərini sıfıra bərabərləşdirərək endemik tarazlığı çıxarıblar. İlk komponentlər:

\[ S^*=\frac{\Delta}{\mu\mathcal R_0} \]

\[ E^*=\frac{\Delta(\mathcal R_0-1)}{a_1\mathcal R_0} \]

\[ I^*=\frac{\Delta\delta(\mathcal R_0-1)} {a_1a_2\mathcal R_0} \]

\[ H^*=\frac{\Delta\delta\gamma_1(\mathcal R_0-1)} {a_1a_2a_3\mathcal R_0} \]

şəklindədir. \(\mathcal R_0-1\) faktoru xarici ətraf mühit girişinin olmadığı standart eşik vəziyyətində \(\mathcal R_0>1\) olduqda yoluxmuş tarazlıq komponentlərinin müsbət olmasını riyazi olaraq görünən edir.

Bifurkasiya analizi

Mənbə mərkəz çoxluğu nəzəriyyəsindən istifadə etməklə \(\mathcal R_0=1\) ətrafında bifurkasiyanın istiqamətini araşdırır. Hesablanmış mərkəz-çoxluq əmsalları:

\[ \mathbf a<0,\qquad \mathbf b>0 \]

olduğuna görə müəlliflər \(\phi_p=0\) halında irəli (forward) bifurkasiya nəticəsinə gəlirlər. İrəli bifurkasiya klassik halda xəstəliksiz tarazlığın \(\mathcal R_0<1\) tərəfində dayanıqlı qalması və endemik budağın eşik keçildikdən sonra meydana çıxması deməkdir.

Lakin mənbədə burada ifadə uyğunsuzluğu var. Şəkil 3 və mətn \(\phi_p=0\) üçün irəli bifurkasiyanı müzakirə etdiyi halda, eyni paraqrafın sonunda “\(\phi_p\geq0\) üçün bifurkasiya yoxdur” ifadəsi yer alır. Bundan başqa, müəlliflərin əvvəlki riyazi izahına görə \(\phi_p>0\) olduqda sıfır ətraf mühit patogenli xəstəliksiz tarazlıq onsuz da mövcud deyil. Verianla bu cümləni səssizcə düzəldərək fərqli bərabərsizlik yaratmır.

Normallaşdırılmış həssaslıq indeksi

Bir parametrin \(\mathcal R_0\) üzərindəki nisbi təsiri:

\[ S_p^{\mathcal R_0} = \frac{\partial \mathcal R_0}{\partial p} \frac{p}{\mathcal R_0} \tag{30} \]

ilə hesablanıb.

Müsbət indeks: parametr artdıqda, digərləri sabit qaldıqda \(\mathcal R_0\) lokal olaraq artmağa meyllidir.

Mənfi indeks: parametr artdıqda \(\mathcal R_0\) lokal olaraq azalır.

Mütləq böyüklük: parametrdəki nisbi dəyişikliyə \(\mathcal R_0\)-ın nə qədər həssas olduğunu göstərir. Bu analiz lokal həssaslıqdır; parametrlərin qlobal qeyri-müəyyənlik paylanmalarını birlikdə nümunələyən global sensitivity analizi deyil.

Modeldə \(d_1\) parametri olmasına baxmayaraq, mənbə Cədvəl 1-in həssaslıq siyahısında \(d_1\) üçün ayrıca indeks bildirilməyib. Buna görə Verianla \(d_1\) üçün həssaslıq dəyəri yaratmır.

Həssaslıq nəticələrinin şərhində mənbədaxili adlandırma problemi

Mənbə model tərifində \(\beta\) yoluxdurucu şəxs, \(\beta_1\) xəstəxana, \(\beta_2\) ölmüş şəxs, \(\beta_3\) dəfn edilmiş şəxs və \(\beta_p\) ətraf mühit yoluxma əmsalıdır. Buna qarşılıq “The effect of contact rates” bölməsində müəlliflər yoluxdurucu şəxslər üçün \(\beta_1\), xəstəxanadakılar üçün \(\beta_2\), ölülər üçün \(\beta_3\) ifadələrindən istifadə edirlər.

Buna görə, məsələn, nəticələr bölməsindəki “\(\beta_1\) 0-dan 0,0007-yə qalxarkən \(\mathcal R_0\) 0,62-dən 6,40-a yüksəldi” ifadəsinin Eq. (1)-də hansı təmas əmsalı ilə uyğunlaşdırılmalı olduğu mənbə daxilində tam ardıcıl deyil. Verianla bu əyrini özbaşına \(\beta\) və ya \(\beta_1\) kimi yenidən etiketləmir.

Eyni şəkildə \(\sigma\), Eq. (2)-də yoluxdurucu şəxslərdən ətraf mühitə patogen saçılması əmsalıdır; mənbənin həssaslıq müzakirəsinin bir cümləsində isə bu əmsal birbaşa simptomatik insan təması ilə əlaqələndirilib. Bu iki mexanizm eyni deyil və mənbədaxili şərh fərqi qorunmalıdır.

Ətraf Mühit Yoluxması Təkbaşına Epidemiyanı Davam Etdirirmi?

Mənbə simulyasiyalarında araşdırılan \(\beta_p\) aralığında ətraf mühit yolu təkbaşına \(\mathcal R_0\)-ı 1-dən yuxarı çıxarmayıb və müəlliflər infeksiya üçün yüksək ətraf mühit patogen yükünün zəruri olduğunu bildiriblər; lakin bu nəticə yalnız modelin seçilmiş parametr aralığına aiddir və real dünyada ətraf mühit yoluxmasının heç bir şəraitdə epidemiyanı davam etdirə bilməyəcəyini sübut etmir.

Mənbədə \(\beta_p\) 0 ilə 0,0007 arasında dəyişdirildikdə \(\mathcal R_0<1\) qalıb. Ətraf mühitə xarici patogen girişi \(\phi_p\) artırıldıqda yoluxdurucu şəxslərin sayı bir qədər artıb; müəlliflər ətraf mühit yolunun birbaşa insan-insan və ölümdən sonrakı təmasa nisbətən ikinci dərəcəli qaldığını şərh edirlər.

Bununla belə, eyni məqalənin lokal həssaslıq cədvəlində \(\beta_p\) ən böyük müsbət həssaslıq indeksinə malikdir. Bu iki nəticə mütləq bir-birinə zidd deyil: biri müəyyən başlanğıc nöqtəsindəki lokal törəmə həssaslığı, digəri seçilmiş parametrik simulyasiya aralığıdır. Lakin nəticələri “ətraf mühit əhəmiyyətsizdir” şəklində sadələşdirmək doğru olmaz.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

DRC epidemiya məlumatı ilə parametr qiymətləndirilməsi

Müəlliflər DRC Ebola sürveyans məlumatındakı kumulyativ infeksiya və ölüm sıralarından istifadə edərək modelin bir çox parametrini qiymətləndirirlər.

Yeni hal və ölüm artımları:

\[ \Delta I_t=I_t-I_{t-1}, \qquad \Delta D_t=D_t-D_{t-1} \]

kimi müəyyən edilib.

Mənbə bildirilmiş artımlarda:

• yeni infeksiyaların ortalamasını 4,33, dispersiyasını 40,73, variasiya əmsalını 1,47 və asimmetriyasını 2,30;
• yeni ölümlərin ortalamasını 1,81, dispersiyasını 4,46, variasiya əmsalını 1,17 və asimmetriyasını 2,18;
• sıfır sayım nisbətlərini infeksiyalarda %33,3, ölümlərdə %28,6

kimi bildirir.

Beş hesabat intervalı olan hərəkətli pəncərədə dispersiyanın orta ilə artdığı müşahidə edildiyi üçün müəlliflər sayım məlumatının heteroskedastik olduğunu və loqarifmik miqyaslı uyğunlaşdırmanın böyük müşahidələrin təsirini azaldacağını irəli sürürlər.

Loqarifmik çevrilmiş çəkili ən kiçik kvadratlar

Parametr vektoru \(\theta\) üçün istifadə olunan məqsəd funksiyası:

\[ \min_{\theta,I(0),D(0)} \sum_{t=0}^{T} \left[ w_I \left( \log(\hat I_t(\theta)+1)-\log(I_t+1) \right)^2 + \left( \log(\hat D_t(\theta)+1)-\log(D_t+1) \right)^2 \right] \tag{31} \]

şəklindədir.

\(\hat I_t(\theta)\) və \(\hat D_t(\theta)\) modelin təxmin etdiyi kumulyativ infeksiya və ölüm saylarıdır; \(I_t,D_t\) müşahidələrdir.

\(+1\) istifadəsi riyazi olaraq sıfır sayımlarda \(\log(0)\) qeyri-müəyyənliyinin qarşısını alır.

\(w_I>1\), infeksiya sırasının birgə optimallaşdırmadakı çəkisini artırmaq üçün istifadə olunub. Lakin mənbənin əsas mətni \(w_I\)-nin dəqiq ədədi dəyərini bildirmir.

Optimallaşdırma bounded nonlinear least squares ilə aparılıb, ODE sistemi ədədi dayanıqlıq üçün BDF (Backward Differentiation Formula) tipli stiff solver ilə həll edilib. Mənbə hansı proqram/paket implementasiyasının istifadə edildiyini bildirmir.

Parametr qiymətləndirilməsi və məlumat emalı zaman vahidi kimi həftə ilə aparılıb, sonrakı ədədi simulyasiyalarda isə zaman vahidi gün kimi istifadə olunub. Mənbə parametrlərin həftədən günə çevrilmə təfərrüatını ayrıca çevirmə cədvəli ilə vermir.

Mənbə Cədvəl 2 parametr dəyərləri

Bu cədvəl mühüm şərh sərhədi yaradır: modelin mədəni/ətraf mühit ötürülməsinə güclü təsir edən \(\beta_p\), \(b_1\), \(d_1\), \(d\) və \(b\) parametrlərinin bir hissəsi məlumatdan qiymətləndirilməyib, fərz edilib. Xüsusilə ən yüksək həssaslıq indeksinə malik \(\beta_p\)-nin Cədvəl 2-də Assumed olması bu əmsalın real sahə təsirinin birbaşa ölçülmüş böyüklüyü olmadığını göstərir.

Model uyğunlaşma qrafikinin şərhi

Mənbə Şəkil 6 modelin kumulyativ infeksiya və ölüm sıralarını müşahidələrlə müqayisə edir. Vizual olaraq model hər iki sıranın ümumi yüksəlmə meylini izləyir; lakin xüsusilə infeksiya sırasında bəzi hesabat intervallarında müşahidə nöqtələri ilə model əyrisi arasında görünən yayınmalar var.

Mənbənin əsas mətnində RMSE, MAE, \(R^2\), parametr etibar intervalı, bootstrap qeyri-müəyyənliyi və ya müstəqil doğrulama dəsti bildirilmir. Buna görə “model məlumatlara mükəmməl uyğunlaşıb” nəticəsi çıxarıla bilməz.

Kalibrasiya məlumatı mənbəyində bibliografik uyğunsuzluq

Mətn istifadə olunan məlumatı Konqo Demokratik Respublikasındakı Ebola epidemiyası kimi təsvir edir və Şəkil 6 izahı bunu 2022 DRC Ebola epidemiyası adlandırır. Lakin ədəbiyyat siyahısındakı [57] qeydin başlığı “Surveillance data for the Ebola outbreak by subcounty, 2020” şəklindədir.

Bundan başqa, mətn DRC üçün \(N=47.312.719\) əhali dəyərini [58]-ə bağlayır; lakin ədəbiyyat siyahısındakı [58] başlığı “Uganda – World Health Organization country profile” şəklindədir.

Bu uyğunsuzluqlar kalibrasiyada hansı məlumat ilinin və hansı əhali mənbəyinin istifadə edildiyini müstəqil şəkildə yenidən yaratmağı çətinləşdirir. Verianla bu bibliografik uyğunluğu mənbədənkənar məlumatla səssizcə düzəltmir.

Ənənəvi dəfn və qulluq yollarının modeldəki təsiri

Mənbə \(b_1\), \(d_1\) və \(\sigma\) artımlarının ətraf mühit patogen yükünü və modelin yoluxma potensialını artırdığını bildirir.

\(b_1\), dəfn edilmiş şəxslərlə əlaqəli ətraf mühitə saçılmanı; \(d_1\), hələ dəfn edilməmiş ölülərdən ətraf mühitə saçılmanı; \(\sigma\) isə yoluxdurucu şəxslərdən ətraf mühitə saçılmanı təmsil edir.

Müəlliflər bu yolları cənazədə ölü cəsədin yuyulması/toxunulması və evdə yoluxmuş şəxsə bədən mayeləri ilə yaxın təması ehtiva edə bilən qulluq praktikaları ilə əlaqələndirirlər. Bu nəticə model mexanizminə aiddir; tədqiqat real icmalarda bu davranışların tezliyini ayrıca sahə sorğusu ilə ölçməyib.

Optimal Nəzarət Problemində \(u_1\), \(u_2\) və \(u_3\) Nə Deməkdir?

Müəlliflər \(u_1\)-i izolyasiya və təhlükəsiz dəfnlə, \(u_2\)-ni klinik müalicə ilə, \(u_3\)-ü ətraf mühit dekontaminasiyası ilə əlaqələndirirlər; lakin nəzarət olunan ODE sistemindəki riyazi yerləşmələri bu şifahi etiketlərlə tam üst-üstə düşmədiyindən, xüsusilə \(u_1\) və \(u_2\)-nin yenidən tətbiqində mənbə tənlikləri ilə müəllif izahının birlikdə yoxlanması lazımdır.

Optimal nəzarətin məqsəd funksiyası

Minimumlaşdırılmaq istənən ümumi xərc:

\[ \mathcal J(u_1,u_2,u_3) = \int_0^T \left[ A_1I+A_2H+A_3P+ \frac{c_1}{2}u_1^2+ \frac{c_2}{2}u_2^2+ \frac{c_3}{2}u_3^2 \right]dt \tag{32} \]

şəklindədir.

\(A_1I\), yoluxdurucu şəxslərin yükünü; \(A_2H\), xəstəxana yükünü; \(A_3P\), ətraf mühit patogen yükünü cəzalandırır.

\(\frac{c_i}{2}u_i^2\) terminləri isə nəzarət intensivliyini xərc/səy kimi cəzalandırır. Kvadratik cəza riyazi olaraq nəzarətin “xərcsiz həmişə 1” seçilməsinin qarşısını alan optimallaşdırma strukturu yaradır.

Mənbə nəzarət simulyasiyalarında:

\[ A_1=A_2=A_3=1,\qquad c_1=c_2=c_3=1 \]

istifadə edib. Buna görə tədqiqat real səhiyyə iqtisadiyyatı xərc məlumatları ilə aparılmış cost-effectiveness analizi deyil.

Nəzarət olunan model sistemi

Mənbənin Eq. (33)-ü:

\[ \begin{aligned} \dot S &= \Delta-\Psi S-\mu S,\\ \dot E &= \Psi S-\mu E-\delta(1-u_1)E,\\ \dot I &= \delta(1-u_1)E-(\gamma+\mu)I-\gamma_1(1-u_2)I,\\ \dot H &= \gamma_1(1-u_2)I-(\eta+\xi+\mu)H,\\ \dot R &= \xi H-\mu R,\\ \dot D &= \gamma I+\eta H-dD,\\ \dot B &= dD-bB,\\ \dot P &= \sigma I+\eta_1(1-u_3)H+d_1(1-u_3)D+b_1(1-u_3)B-\alpha P. \end{aligned} \tag{33} \]

Burada \(0\leq u_i(t)\leq1\) nəzarət intensivliyi intervalıdır.

Nəzarət etiketləri ilə tənliklər arasındakı mühüm fərq

Mənbə izahında \(u_1\) “isolation” kimi qiymətləndirilir və daha sonra yoluxdurucu şəxslərin cəmiyyətdən uzaqlaşdırılması ilə EVD ölümlərinin təhlükəsiz dəfnlə idarə olunması kimi şərh edilir. Lakin Eq. (33)-də \(u_1\) birbaşa \(D\) və ya \(B\) tənliyinə deyil, \(\delta(1-u_1)E\) termininə tətbiq olunub; yəni riyazi olaraq məruz qalmış \(E\) sinfindən yoluxdurucu \(I\) sinfinə keçidi azaldır.

Eyni şəkildə \(u_2\) mətndə “medical treatment” adlandırılır. Buna baxmayaraq, Eq. (33)-də \(u_2\), \(\gamma_1(1-u_2)I\) vasitəsilə yoluxdurucu sinifdən xəstəxana sinfinə keçidi azaldır; sağalma əmsalı \(\xi\)-ni birbaşa artıran termin deyil.

\(u_3\) isə Eq. (33)-də \(H,D,B\) mənbəli ətraf mühitə saçılma terminlərini \((1-u_3)\) ilə azaldır və şifahi “environmental decontamination” tərifi ilə daha birbaşa uyğunlaşır. Bununla belə, əsas model Eq. (2)-də olan xarici ətraf mühit girişi \(\phi_p\), nəzarət olunan Eq. (33)-də yoxdur; mənbə bu model dəyişikliyinin səbəbini ayrıca izah etmir.

Pontryagin Maksimum Prinsipi

Optimal nəzarət problemi Pontryagin Maksimum Prinsipi ilə həll olunur. Vəziyyət dəyişənlərinə uyğun \(\lambda_S,\lambda_E,\lambda_I,\lambda_H,\lambda_R,\lambda_D,\lambda_B,\lambda_P\) costate/adjoint dəyişənləri müəyyən edilib və terminal şərtlər:

\[ \lambda_i(T)=0 \]

kimi verilib.

Ümumi məntiq Hamiltonianın nəzarət dəyişənlərinə görə törəmələrini sıfıra bərabərləşdirərək hər anda xəstəlik yükü ilə müdaxilə xərci arasındakı optimal nəzarət intensivliyini tapmaqdır.

Eq. (36) ilə Eq. (38) arasındakı işarə uyğunsuzluğu

Mənbə Eq. (36)-da proyeksiya formulunun daxilində \(u_1\) üçün:

\[ \frac{\delta E^*(\lambda_E-\lambda_I)}{c_1} \]

və \(u_2\) üçün:

\[ \frac{\gamma_1 I^*(\lambda_I-\lambda_H)}{c_2} \]

ifadələrini göstərir.

Lakin dərhal sonra optimality condition həll edilərkən Eq. (38)-də:

\[ \hat u_1= -\frac{\delta E(\lambda_E-\lambda_I)}{c_1} \]

və:

\[ \hat u_2= -\frac{\gamma_1I(\lambda_I-\lambda_H)}{c_2} \]

yazılıb.

Yəni ilk iki nəzarət üçün Eq. (36) ilə Eq. (38) arasında işarə fərqi var. Bu, kodlaşdırma baxımından kritik fərqdir. Mənbə kodu və ya müəllif təsdiqi olmadan Verianla bu iki formadan birini “doğru” kimi seçmir.

Optimal nəzarət simulyasiyasının başlanğıc şərtləri

İnsan vəziyyətlərinin cəmi \(47.312.719\)-dur və mənbədə istifadə olunan ümumi əhali dəyərinə bərabərdir.

Tək, ikili və üçlü nəzarət nəticələri

Üç nəzarət birlikdə tətbiq olunanda model nə göstərir?

Mənbə Şəkil 12-də müdaxiləsiz ssenaridə yoluxdurucu şəxs, xəstəxana yükü və ətraf mühit patogen konsentrasiyasının 20 günlük simulyasiya boyunca sürətlə yüksəldiyi, üç nəzarət birlikdə tətbiq ediləndə isə bütün əyrilərin daha aşağı səviyyələrdə qaldığı göstərilir.

Müəlliflərin mexanistik şərhi bir neçə yoluxma zəncirini eyni vaxtda hədəfləməyin geribildirim effekti yaratmasıdır: daha az yoluxdurucu şəxs ətraf mühitə daha az patogen buraxır; daha aşağı ətraf mühit patogen yükü də yeni infeksiya təzyiqini azaldır.

Bu izah modelin öz tənlikləri daxilində ardıcıldır; lakin real epidemiyada eyni böyüklükdə təsirin yaranacağına təminat vermir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• İnsan, xəstəxana, ölümdən sonrakı, dəfn edilmiş cəsəd və ətraf mühit yolları eyni Ebola ODE modelində riyazi şəkildə təmsil oluna bilər.
• Mənbə modelində \(\mathcal R_0\) birbaşa və dolayı çoxsaylı yoluxma yollarından ibarətdir.
• \(\phi_p=0\) altında \(\mathcal R_0\leq1\) xəstəliksiz tarazlığın dayanıqlığı ilə əlaqələndirilib.
• Mənbə həssaslıq cədvəlində \(\beta_p,\eta,\eta_1,\sigma\) güclü müsbət lokal həssaslıq göstərir.
• \(\alpha,\xi,b,d,\gamma_1\) mənfi həssaslıq göstərir.
• Seçilmiş ətraf mühit parametr ssenarilərində ətraf mühit yolu təkbaşına insan təması yollarından daha zəif görünür.
• Müəlliflərin \(u_1\) kimi etiketlədiyi nəzarət tək ssenarilər arasında ən güclü kimi bildirilib.
• Üç nəzarətin birlikdə tətbiqi simulyasiyada araşdırılan ssenarilər arasında ən güclü ümumi basqılama yaradıb.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Model hər hansı Afrika cəmiyyətində bütün ənənəvi praktikaların Ebola yoluxmasını artırdığını sübut etmir.
• Model parametrləri mədəni davranış prevalensiyasının birbaşa sahə ölçümü deyil.
• Simulyasiya nəticələri real epidemiyada eyni müdaxilə təsirinin mütləq yaranacağını sübut etmir.
• \(\beta_p\)-nin yüksək həssaslığı ətraf mühit yoluxmasının hər şəraitdə real dünyada dominant yoluxma yolu olduğunu sübut etmir.
• 20 günlük optimal nəzarət qrafikləri klinik və ya icma əsaslı randomizə olunmuş müdaxilə tədqiqatı deyil.
• Model məkan yayılmasını, şəhərlərarası hərəkəti və ya sərhədlərarası mobilliyi hesablamır.
• Model ənənəvi davranışların epidemiya zamanı dəyişməsini dinamik modelləşdirmir.
• Mənbə bütün parametrlər üçün etibar intervalı və ya identifiability analizi təqdim etmir.
• Mənbə kodu verilmədiyi üçün Eq. (36)/Eq. (38) işarə uyğunsuzluğunun praktikada necə həll edildiyi doğrulana bilməz.
• Modelin uyğunlaşma qrafiki təkbaşına xarici nümunədə proqnoz uğurunu göstərmir.

Tədqiqatın əsas məhdudiyyətləri

Homogen qarışma: Hər fərdin təmas quruluşu eyni epidemioloji hovuz daxilində imiş kimi sadələşdirilib.

Məkan heterogenliyi yoxdur: Fərqli kənd, şəhər, səhiyyə zonası və ya ölkə arasındakı coğrafi yoluxma modelləşdirilməyib.

Mobillik yoxdur: İnsan hərəkətliliyi açıq dəyişən deyil.

Mədəni davranışlar sabit parametrlərlə təmsil olunur: cəmiyyət davranışının zamanla dəyişməsi, müdaxilənin qəbul edilməsi və ya müxtəlif icmaların heterogenliyi ayrıca dinamikalar deyil.

Bəzi mərkəzi parametrlər fərz edilib: xüsusilə \(\beta_p,b,d,b_1,d_1\) mənbə Cədvəl 2-də Assumed kimi siyahıya alınıb.

Kalibrasiya mənbələri arasında bibliografik uyğunsuzluq var: məlumat ili, DRC/Uqanda əhali mənbəyi və Şəkil 6 izahı tam uyğun deyil.

Fit qeyri-müəyyənliyi çatışmır: parametr etibar intervalları, profile likelihood, Bayesian posterior və ya başqa formal identifiability/uncertainty analizi bildirilməyib.

Nəzarət xərcləri real iqtisadi məlumat deyil: \(A_i\) və \(c_i\) dəyərləri simulyasiyada 1 götürülüb.

Nəzarət tənliyi ilə şifahi mexanizm tam üst-üstə düşmür: xüsusilə \(u_1,u_2\) üçün yenidən tətbiq diqqət tələb edir.

Optimal nəzarət formullarında işarə uyğunsuzluğu var: Eq. (36) ilə Eq. (38)-in ilk iki nəzarət ifadəsi eyni işarəni daşımır.

Ətraf mühit xarici girişi nəzarət modelində yox olur: Eq. (2)-dəki \(\phi_p\), Eq. (33)-də yoxdur və mənbə bu dəyişikliyin səbəbini ayrıca vermir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: Modeling the role of the environment and African tradition practices in the transmission dynamics of Ebola virus disease

Müəlliflər: Ijuptil Kwajighu Joseph; Georg Bader; Nicholas Kwasi-Do Ohene Opoku.

Məsul müəlliflər: Ijuptil Kwajighu Joseph və Nicholas Kwasi-Do Ohene Opoku mənbədə ulduz işarəsi ilə corresponding author kimi göstərilir.

Bərabər töhfə: Araşdırılan mənbədə bərabər birinci müəlliflik/bərabər töhfə bəyanatı yoxdur.

Qurum: African Institute for Mathematical Sciences, Accra, Ghana.

Redaktor: Mohamed Fathy El-Amin Mousa.

Jurnal: Scientific African.

Cild: 32.

Məqalə nömrəsi: e03392.

Nəşr dövrü: Rəsmi ScienceDirect qeydi Volume 32, June 2026 kimi göstərir.

DOI: 10.1016/j.sciaf.2026.e03392.

Qəbul tarixi: 12 Dekabr 2025.

Reviziya tarixi: 23 Mart 2026.

Qəbul olunma tarixi: 6 May 2026.

Onlayn əlçatanlıq: 11 May 2026.

Nəşriyyat: Elsevier B.V.

Platforma: ScienceDirect.

Mənbə növü: Riyazi epidemiologiya tədqiqatı; deterministik qeyri-xətti ODE modelləşdirməsi, məlumat kalibrasiyası, dayanıqlıq/bifurkasiya, həssaslıq və optimal nəzarət analizi.

Resenziya statusu: Scientific African-da dərc edilmiş, qəbul–reviziya–qəbul tarixləri olan jurnal məqaləsidir; PDF ətraflı resenziya hesabatlarını ehtiva etmir.

Lisenziya: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International — CC BY-NC-ND 4.0.

Müəllif hüququ/vizual qeyd: ND şərti səbəbilə mənbə şəkillərinin vizual kompozisiyası tərcümə edilərək və ya yenidən stilizə olunaraq uyğunlaşdırılmayıb. Şəkil 1 həmçinin üçüncü tərəf [7] mənbəsinə əsaslandığı üçün yenidən istifadə edilməyib. Məqalədəki SVG yalnız tənliklərlə açıq şəkildə müəyyən edilmiş model əlaqələrindən tam müstəqil kompozisiya ilə yaradılıb.

Model dəyişənləri: \(S,E,I,H,R,D,B,P\).

Əsas metodlar: pozitivlik və boundedness analizi; next-generation matrix; \(\mathcal R_0\); Jacobian lokal dayanıqlıq; Lyapunov–LaSalle qlobal dayanıqlıq; endemik tarazlıq; center-manifold bifurkasiya analizi; normalize forward sensitivity; log-dönüşdürülmüş çəkili bounded nonlinear least squares; BDF stiff ODE solver; Pontryagin Maximum Principle.

Məlumat konteksti: Məqalə DRC Ebola sürveyans məlumatından istifadə etdiyini bildirir. Şəkil 6 izahı uyğunlaşmanı “2022 Ebola outbreak in the Democratic Republic of the Congo” kimi təsvir edir. Bununla belə, istinad [57]-nin başlığında 2020 ifadəsi var. Bu uyğunsuzluq mənbədə həll edilməyib.

Əhali mənbəyi uyğunsuzluğu: Mətn \(N=47.312.719\) dəyərini DRC əhalisi kimi [58]-ə bağlayır; ədəbiyyat siyahısındakı [58] qeydin başlığı “Uganda – World Health Organization country profile” şəklindədir.

Zaman vahidi: Parametr qiymətləndirilməsi və məlumat emalı həftələrlə, ədədi simulyasiyalar günlərlə aparılıb. Çevirmə təfərrüatı ayrıca cədvəl və ya alqoritm kimi bildirilməyib.

Fitting çəkisi: \(w_I>1\) olduğu bildirilib; dəqiq \(w_I\) dəyəri əsas mətndə verilməyib.

Model kodu: Araşdırılan PDF-də mənbə kod deposu və ya işlədilə bilən model implementasiyasına keçid bildirilməyib.

Parametr qeyri-müəyyənliyi: Əsas mətndə qiymətləndirilən parametrlər üçün etibar intervalı, posterior paylanma və ya formal identifiability analizi bildirilməyib.

Mənbədaxili parametr adı uyğunsuzluğu: Eq. (1)-də \(\beta,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_p\) müvafiq olaraq yoluxdurucu, xəstəxana, ölü, dəfn edilmiş və ətraf mühit mənbələrinə təyin olunsa da, nəticələr izahında indekslər fərqli şəkildə etiketlənib.

Mənbədaxili mexanizm şərhi: \(\sigma\) riyazi modeldə yoluxdurucu şəxslərdən ətraf mühitə saçılma əmsalıdır; həssaslıq müzakirəsində isə birbaşa simptomatik təmasın sübutu kimi şərh edilib. Bu iki mexanizm ekvivalent deyil.

Mənbədaxili nəzarət tərifi uyğunsuzluğu: \(u_1\) şifahi olaraq isolation/safe burial ilə, \(u_2\) medical treatment ilə izah edildiyi halda, nəzarət olunan Eq. (33)-də bu nəzarətlər müvafiq olaraq \(E\rightarrow I\) və \(I\rightarrow H\) keçid əmsallarını azaldır.

Mənbədaxili optimal nəzarət işarə uyğunsuzluğu: Eq. (36) ilə Eq. (38)-də \(u_1\) və \(u_2\) üçün verilən ifadələrin işarələri bir-biri ilə uyğun deyil.

Mənbədaxili ətraf mühit model fərqi: Əsas Eq. (2)-də \(\phi_p\) xarici ətraf mühit patogen girişi olduğu halda optimal nəzarət Eq. (33)-də bu termin çıxarılıb; mənbə səbəbini ayrıca izah etmir.

Bifurkasiya mətni: Mənbə \(\phi_p=0\) üçün irəli bifurkasiya göstərdiyini bildirdiyi halda eyni bölmədə “\(\phi_p\geq0\) üçün bifurkasiya yoxdur” ifadəsindən də istifadə edir. Bu ifadə əvvəlki izahla tam uyğun deyil və Verianla tərəfindən səssizcə düzəldilməyib.

Həssaslıq cədvəli: Modeldə olan \(d_1\) parametri üçün Cədvəl 1-də normallaşdırılmış həssaslıq indeksi görünmür.

CRediT — Ijuptil Kwajighu Joseph: Collected the data; Contributed data or analysis tools; Performed the analysis; Wrote the paper; Other contribution.

CRediT — Georg Bader: Conceived and designed the analysis; Other contribution.

CRediT — Nicholas Kwasi-Do Ohene Opoku: Conceived and designed the analysis; Other contribution.

Maliyyələşdirmə: Müəlliflər tədqiqat üçün maliyyə almadıqlarını bildiriblər.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər tədqiqata təsir edə biləcək məlum rəqabətli maliyyə marağı və ya şəxsi əlaqə olmadığını bildiriblər.

Təşəkkür: Birinci müəllif xüsusilə African Institute for Mathematical Sciences-a tədqiqata başlamaq üçün verilən təməl və imkan səbəbilə təşəkkür edir.

Məlumat əlçatanlığı: Mənbə nəticələri dəstəkləyən məlumatların tədqiqat daxilində uyğun şəkildə istinad edildiyini bildirir.

Süni intellekt bəyanatı: Araşdırılan əsas PDF-də generativ süni intellekt istifadəsinə dair ayrıca bəyanat yoxdur.

Əsas şərh sərhədi: Bu tədqiqat Ebola-nın real dünyadakı bütün yoluxma mexanizmlərinin birbaşa ölçümü deyil. Riyazi model müəyyən vəziyyət bölmələri, kalibrə edilmiş/fərz edilmiş parametrlər və homogen qarışma fərziyyəsi altında insan, ölümdən sonrakı və ətraf mühit yoluxma yollarının davranışını araşdırır. Optimal nəzarət nəticələri simulyasiya nəticəsidir; real epidemiyada ölçülmüş müdaxilə effektivliyi deyil.