Bu çalışma için geliştirilen Ebola virüsü hastalığı bulaşma modeli, insan popülasyonunu duyarlı \(S\), maruz kalmış \(E\), enfeksiyöz \(I\), hastaneye yatırılmış \(H\), iyileşmiş \(R\), ölmüş ancak henüz gömülmemiş \(D\) ve gömülmüş \(B\) bölmelerine ayıran; çevredeki Ebola virüsü yükünü ise \(P\) değişkeniyle temsil eden sekiz durum değişkenli, deterministik ve doğrusal olmayan bir adi diferansiyel denklem (ODE) modelidir. Model, enfeksiyöz kişiler, hastanede bulunan hastalar, ölü bedenler, gömülmüş bedenler ve kontamine çevre üzerinden bulaşmayı aynı matematiksel yapıda birleştirmektedir. Çalışma ayrıca hastalıksız ve endemik dengeleri, temel üreme sayısını \(\mathcal R_0\), yerel ve küresel kararlılığı, bifurkasyonu, parametre duyarlılığını, DRC sürveyans verisiyle parametre uyumunu ve üç optimal kontrol değişkenini incelemektedir.

Yazarların temel bilimsel amacı, Ebola bulaşmasında insan-insan temasının yanı sıra ölüm sonrası temas, cenaze/defin süreçleri, evde yakın bakım ve çevresel viral yük gibi yolların göreli rolünü nicel bir model içinde görünür hâle getirmektir. Ancak çalışmadaki “African tradition practices” ifadesi bütün Afrika kültürlerini tek bir davranış kalıbı gibi temsil etmemelidir. Matematiksel model özellikle enfekte kişiye yakın bakım, ölü bedenle temas, defin süreci ve bu süreçlerde çevreye patojen saçılımı gibi belirli davranış yollarını basitleştirilmiş parametrelerle temsil etmektedir; etnografik bir saha araştırması veya kültürel davranış prevalansı ölçümü yapılmamıştır.

Modelin duyarlılık tablosunda en büyük pozitif normalize duyarlılık indekslerinden biri çevresel bulaşma katsayısı \(\beta_p\) için \(+7.878\times10^{-1}\), hastanede ölüme geçiş katsayısı \(\eta\) için \(+5.032\times10^{-1}\), hastane kaynaklı çevresel saçılım katsayısı \(\eta_1\) için \(+5.031\times10^{-1}\) ve enfeksiyöz kişilerden çevreye saçılım katsayısı \(\sigma\) için \(+2.707\times10^{-1}\) olarak raporlanmıştır. Buna karşılık çevresel patojen bozunma katsayısı \(\alpha\), hastanede iyileşme katsayısı \(\xi\), gömülmüş sınıftan çıkış katsayısı \(b\), ölümden gömülmeye geçiş katsayısı \(d\) ve hastaneye yatış katsayısı \(\gamma_1\) negatif duyarlılık göstermektedir.

Sayısal sonuçlarda yazarların \(u_1\) olarak adlandırdığı “izolasyon” stratejisi tek başına uygulanan kontroller arasında en güçlü azaltıcı etkiye sahip olarak yorumlanmıştır. \(u_1+u_2\) izolasyon ve tedavi kombinasyonu ikili stratejiler arasında en güçlü seçenek olarak sunulmuş; \(u_1+u_2+u_3\) kombinasyonu ise enfeksiyöz kişi, hastaneye yatırılan kişi ve çevresel patojen yükünü birlikte en fazla baskılayan senaryo olarak raporlanmıştır. Kaynak grafiklerinde bu karşılaştırma yaklaşık 20 günlük simülasyon penceresinde gösterilmektedir.

Bu sonuçlar gerçek bir toplumda üç müdahalenin ölçülmüş saha etkinliği değildir. Sonuçlar yazarların matematiksel modeline, seçilen parametre değerlerine, başlangıç koşullarına, parametre uyum yöntemine ve kontrol maliyetlerinin \(A_1=A_2=A_3=c_1=c_2=c_3=1\) alınmasına bağlı simülasyon sonuçlarıdır. Model homojen karışım varsayar; mekânsal heterojenliği, insan hareketliliğini ve geleneksel davranışların zaman içinde değişimini temsil etmez.

Araştırma problemi ve literatür boşluğu

Önceki Ebola matematik modellerinde çevresel bulaşma, hastaneye yatış, karantina, korku davranışı, tedavi kapasitesi veya fraksiyonel türev yapıları incelenmişti. Bu çalışmanın yazarları, cenaze/defin ve yakın bakım uygulamalarının birçok modelde doğrudan ölçülebilir ayrı bulaşma mekanizmaları olarak değil, daha genel epidemiyolojik bölmelerin içinde dolaylı biçimde temsil edildiğini savunmaktadır.

Çalışma bu boşluğu, ölü ve gömülmüş bireyleri ayrı durum değişkenleri olarak tutarak ve enfeksiyöz, hastanedeki, ölmüş ve gömülmüş kişilerden çevreye viral saçılımı ayrı katsayılarla tanımlayarak ele almaktadır.

Burada “kültürel davranışın nicelleştirilmesi” ifadesi dikkatli okunmalıdır. Örneğin gömülmüş bedenlerden çevreye saçılım katsayısı \(b_1\) ve ölmüş bireylerden saçılım katsayısı \(d_1\) kültürel temasla ilişkili yolların matematiksel temsiline katılmaktadır; ancak Tablo 2'de \(b_1\) ve \(d_1\) doğrudan kültürel saha verisinden tahmin edilmiş değil, assumed yani varsayılmış parametreler olarak listelenmiştir.

Bu Model Ebola Bulaşmasını Hangi Yollarla Temsil Ediyor?

Model beş bulaşma kaynağını tek enfeksiyon kuvvetinde birleştirir: enfeksiyöz insanlar \(I\), hastaneye yatırılmış insanlar \(H\), henüz gömülmemiş ölüler \(D\), gömülmüş kişiler \(B\) ve çevresel patojen yükü \(P\); bu kaynakların duyarlı kişileri \(S\) maruz kalmış \(E\) sınıfına geçirme etkisi sırasıyla \(\beta,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_p\) katsayılarıyla ağırlıklandırılır.

Modelin durum değişkenleri

Enfeksiyon kuvveti \(\Psi\)

Çalışmanın temel bulaşma denklemi:

\[ \Psi=\beta I+\beta_1H+\beta_2D+\beta_3B+\beta_pP \tag{1} \]

Bu formül neyi hesaplar? \(\Psi\), duyarlı bir kişinin modeldeki bütün bulaşma kaynaklarından gelen toplam enfeksiyon baskısını temsil eder. Yeni maruziyet akışı daha sonra \(\Psi S\) olarak ODE sistemine girer.

Değişkenler: \(\beta\) enfeksiyöz bireylerden; \(\beta_1\) hastanedeki kişilerden; \(\beta_2\) ölmüş kişilerden; \(\beta_3\) gömülmüş kişilerden ve \(\beta_p\) çevresel patojen rezervuarından bulaşmayı ağırlıklandıran katsayılardır.

Birimler: Kaynak katsayıların fiziksel birimlerini ayrı ayrı yazmamaktadır. Ancak \(\Psi S\) kişi/zaman cinsinden yeni maruziyet üretmek zorunda olduğundan \(\Psi\)'nin boyutu matematiksel olarak \(1/\text{zaman}\) olmalıdır. İnsan sayılarını doğrudan kullanan kütle-etkisi biçiminde \(\beta,\beta_1,\beta_2,\beta_3\) katsayılarının birimleri kişi sayısı ölçeğine, \(\beta_p\)'nin birimi ise \(P\)'nin nasıl ölçüldüğüne bağlıdır.

Sekiz doğrusal olmayan ODE

Modelin ana sistemi:

\[ \begin{aligned} \dot S &= \Delta-\Psi S-\mu S,\\ \dot E &= \Psi S-(\mu+\delta)E,\\ \dot I &= \delta E-(\gamma+\gamma_1+\mu)I,\\ \dot H &= \gamma_1I-(\eta+\xi+\mu)H,\\ \dot R &= \xi H-\mu R,\\ \dot D &= \gamma I+\eta H-dD,\\ \dot B &= dD-bB,\\ \dot P &= \phi_p+\sigma I+\eta_1H+d_1D+b_1B-\alpha P. \end{aligned} \tag{2} \]

\(\dot S\): duyarlı nüfus \(\Delta\) ile doğum/göç yoluyla sisteme girer; \(\Psi S\) ile enfeksiyona maruz kalır ve \(\mu S\) ile doğal ölüm nedeniyle çıkar.

\(\dot E\): yeni maruziyetler \(\Psi S\)'dir; maruz kalan kişiler \(\delta\) hızıyla enfeksiyöz sınıfa ilerler ve \(\mu\) doğal ölümüne tabidir.

\(\dot I\): maruz kalmış kişiler \(\delta E\) ile enfeksiyöz hâle gelir; \(\gamma\) hastalığa bağlı ölüm, \(\gamma_1\) hastaneye yatış ve \(\mu\) doğal ölüm çıkışlarıdır.

\(\dot H\): hastaneye yatış akışı \(\gamma_1I\)'dir. Hastanedeki kişiler \(\eta\) ile EVD nedeniyle ölebilir, \(\xi\) ile iyileşebilir veya \(\mu\) ile doğal ölüm yaşayabilir.

\(\dot R\): iyileşme yalnız hastane sınıfından \(\xi H\) akışıyla oluşmaktadır; model iyileşmiş kişilerin \(\mu\) doğal ölümüne tabi olduğunu varsayar.

\(\dot D\): toplumdaki enfeksiyöz kişilerden \(\gamma I\) ve hastanedekilerden \(\eta H\) ölüm akışı gelir; \(dD\) ile gömülmüş sınıfa geçilir.

\(\dot B\): \(dD\) ile gömülme sınıfına giriş vardır, \(bB\) bu sınıftan çıkış terimidir. Kaynak \(b\)'nin fiziksel yorumunu ayrıntılı biçimde açıklamamaktadır.

\(\dot P\): çevreye dışsal/taban patojen girdisi \(\phi_p\), enfeksiyöz kişilerden \(\sigma I\), hastanedekilerden \(\eta_1H\), ölülerden \(d_1D\) ve gömülmüş kişilerden \(b_1B\) ile patojen girişi olur; \(\alpha P\) patojenin çevreden bozunmasını/temizlenmesini temsil eder.

Model neden pozitiflik ve sınırlılık ispatı yapıyor?

Epidemiyolojik bir modelde insan sayısı veya patojen yoğunluğu negatif olamaz. Yazarlar bu nedenle sıfır veya pozitif başlangıç koşullarından başlayan çözümlerin bütün \(t>0\) boyunca negatif olmayacağını gösteren pozitiflik teoremi kurmuştur.

Aktif insan nüfusu:

\[ N_A=S+E+I+H+R \]

olarak tanımlanmış ve Grönwall eşitsizliği kullanılarak:

\[ N_A(t)\leq \frac{\Delta}{\mu} \tag{5} \]

sınırı elde edilmiştir. Benzer şekilde \(D\), \(B\) ve \(P\) için üst sınırlar türetilmiştir. Matematiksel rolü, çözümün sonlu biyolojik bölgede kalmasını garanti etmektir.

Temel Üreme Sayısı \(\mathcal R_0\) Bu Modelde Neyi İfade Ediyor?

\(\mathcal R_0\), tamamen duyarlı bir popülasyona giren tipik bir enfeksiyonun modeldeki insan, hastane, ölüm sonrası, gömülmüş beden ve çevresel bulaş yollarının tamamı üzerinden ortalama kaç yeni enfeksiyon üretebildiğini özetleyen boyutsuz eşik büyüklüğüdür; ancak bu çalışmada klasik hastalıksız denge ve \(\mathcal R_0\leq1\) kararlılık yorumu, dışsal çevresel patojen girişinin \(\phi_p=0\) olduğu koşulla bağlantılıdır.

Hastalıksız denge

Enfeksiyon bulunmadığında kaynak hastalıksız dengeyi:

\[ \mathrm{DFE}= \left( \frac{\Delta}{\mu}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \tag{8} \]

olarak vermektedir.

Bu denge noktasında \(E,I,H,R,D,B,P=0\)'dır. Ancak çevreye bağımsız patojen girişi \(\phi_p>0\) ise \(\dot P\) denkleminde sıfır çevresel patojen yükü korunamayacağı için yazarlar sonraki kararlılık analizinde \(\phi_p=0\) koşulunu açıkça kullanmaktadır.

\(\mathcal R_0\)'ın türetilmesi

Yazarlar next-generation matrix yaklaşımında enfekte sistem değişkenlerini \(E,I,H,D,B,P\) olarak almıştır. \(K=FV^{-1}\) matrisi oluşturulmuş ve:

\[ \mathcal R_0=\rho(K) \]

olarak tanımlanmıştır. Burada \(\rho(K)\), \(K\) matrisinin spektral yarıçapı, yani mutlak değeri en büyük özdeğeridir.

Kaynak:

\[ a_1=\delta+\mu,\qquad a_2=\gamma+\gamma_1+\mu,\qquad a_3=\eta+\xi+\mu \]

tanımlarından sonra \(\mathcal R_0\)'ı iki ana bulaş zincirinin toplamı biçiminde vermektedir:

\[ \begin{aligned} \mathcal R_0={}& \left[ \beta+ \frac{\beta_2\gamma}{d}+ \frac{\beta_3\gamma}{b}+ \frac{\beta_p\sigma}{\alpha}+ \frac{\beta_p\gamma}{\alpha} \left(\frac{d_1}{d}+\frac{b_1}{b}\right) \right] \frac{\Delta\delta}{\mu a_1a_2}\\ &+ \left[ \beta_1+ \frac{\beta_2\eta}{d}+ \frac{\beta_3\eta}{b}+ \frac{\beta_p\eta_1}{\alpha}+ \frac{\beta_p\eta}{\alpha} \left(\frac{d_1}{d}+\frac{b_1}{b}\right) \right] \frac{\Delta\delta\gamma_1}{\mu a_1a_2a_3}. \end{aligned} \tag{10} \]

İlk büyük terim, enfeksiyöz \(I\) durumundan başlayan doğrudan, ölüm sonrası ve çevresel bulaş yollarının katkılarını toplar.

İkinci büyük terim, hastaneye yatış \(\gamma_1\) üzerinden ilerleyen bulaş, hastane ölümü ve çevresel saçılım yollarını ekler.

Matematiksel yorum: Pozitif bir parametre \(\mathcal R_0\)'ı artırıyorsa salgının sürme potansiyeli artar; bazı geçiş/temizlenme parametrelerinin artması enfeksiyöz süreyi veya çevresel kalıcılığı kısalttığı için \(\mathcal R_0\)'ı azaltabilir.

Yerel ve küresel kararlılık

Kaynak, \(\phi_p=0\) altında hastalıksız denge noktasının \(\mathcal R_0\leq1\) olduğunda yerel asimptotik olarak kararlı olduğunu belirtmektedir.

Küresel analiz için doğrusal terimlerle Volterra tipi bir Lyapunov fonksiyonu birleştirilmiştir. Uygun \(g_1,\ldots,g_5\) katsayıları seçildikten sonra türev:

\[ \dot V_0= -\frac{\mu}{S}(S-S_0)^2 +a_1(\mathcal R_0-1)E \tag{14} \]

biçimine indirgenmiştir.

\(\mathcal R_0\leq1\) ise ikinci terim pozitif değildir ve ilk terim de sıfırdan büyük olamaz. LaSalle değişmezlik ilkesi kullanılarak hastalıksız durumun küresel asimptotik kararlılığı savunulmaktadır.

Endemik denge ne söylüyor?

Yazarlar sistemin sağ taraflarını sıfıra eşitleyerek endemik dengeyi türetmiştir. İlk bileşenler:

\[ S^*=\frac{\Delta}{\mu\mathcal R_0} \]

\[ E^*=\frac{\Delta(\mathcal R_0-1)}{a_1\mathcal R_0} \]

\[ I^*=\frac{\Delta\delta(\mathcal R_0-1)} {a_1a_2\mathcal R_0} \]

\[ H^*=\frac{\Delta\delta\gamma_1(\mathcal R_0-1)} {a_1a_2a_3\mathcal R_0} \]

şeklindedir. \(\mathcal R_0-1\) faktörü, dışsal çevresel girişin bulunmadığı standart eşik durumunda \(\mathcal R_0>1\) olduğunda enfeksiyonlu denge bileşenlerinin pozitifleşmesini matematiksel olarak görünür kılar.

Bifurkasyon analizi

Kaynak merkez manifoldu teorisi kullanarak \(\mathcal R_0=1\) civarında bifurkasyon yönünü incelemektedir. Hesaplanan merkez-manifold katsayıları:

\[ \mathbf a<0,\qquad \mathbf b>0 \]

olduğu için yazarlar \(\phi_p=0\) durumunda ileri (forward) bifurkasyon sonucuna ulaşmaktadır. İleri bifurkasyon, klasik durumda hastalıksız dengenin \(\mathcal R_0<1\) tarafında kararlı kalması ve endemik dalın eşik aşıldığında ortaya çıkması anlamına gelir.

Ancak kaynakta burada bir ifade uyuşmazlığı vardır. Şekil 3 ve metin \(\phi_p=0\) için ileri bifurkasyonu tartışırken aynı paragrafın sonunda “\(\phi_p\geq0\) için bifurkasyon yoktur” ifadesi bulunmaktadır. Ayrıca yazarların önceki matematiksel açıklamasına göre \(\phi_p>0\) olduğunda zaten sıfır çevresel patojenli hastalıksız denge mevcut değildir. Verianla bu cümleyi sessizce düzelterek farklı bir eşitsizlik üretmemektedir.

Normalize duyarlılık indeksi

Bir parametrenin \(\mathcal R_0\) üzerindeki göreli etkisi:

\[ S_p^{\mathcal R_0} = \frac{\partial \mathcal R_0}{\partial p} \frac{p}{\mathcal R_0} \tag{30} \]

ile hesaplanmıştır.

Pozitif indeks: parametre arttığında, diğerleri sabitken \(\mathcal R_0\) yerel olarak artma eğilimindedir.

Negatif indeks: parametre arttığında \(\mathcal R_0\) yerel olarak azalır.

Mutlak büyüklük: parametredeki oransal değişime \(\mathcal R_0\)'ın ne kadar duyarlı olduğunu gösterir. Bu analiz yerel duyarlılıktır; parametrelerin küresel belirsizlik dağılımlarını birlikte örnekleyen global sensitivity analizi değildir.

Modelde \(d_1\) parametresi bulunmasına rağmen kaynak Tablo 1'in duyarlılık listesinde \(d_1\) için ayrı bir indeks raporlanmamıştır. Bu nedenle Verianla \(d_1\) için bir duyarlılık değeri üretmemektedir.

Duyarlılık sonuçlarının yorumunda kaynak-içi isimlendirme sorunu

Kaynak model tanımında \(\beta\) enfeksiyöz birey, \(\beta_1\) hastane, \(\beta_2\) ölmüş birey, \(\beta_3\) gömülmüş birey ve \(\beta_p\) çevresel bulaşma katsayısıdır. Buna karşılık “The effect of contact rates” bölümünde yazarlar enfeksiyöz kişiler için \(\beta_1\), hastanedekiler için \(\beta_2\), ölüler için \(\beta_3\) ifadelerini kullanmaktadır.

Bu nedenle örneğin sonuç bölümündeki “\(\beta_1\) 0'dan 0,0007'ye çıkarken \(\mathcal R_0\) 0,62'den 6,40'a yükseldi” ifadesinin Eq. (1)'deki hangi temas katsayısıyla eşleştirilmesi gerektiği kaynak içinde tam tutarlı değildir. Verianla bu eğriyi kafasına göre \(\beta\) veya \(\beta_1\) olarak yeniden etiketlememektedir.

Benzer biçimde \(\sigma\), Eq. (2)'de enfeksiyöz kişilerden çevreye patojen saçılımı katsayısıdır; kaynak duyarlılık tartışmasının bir cümlesinde ise bu katsayı doğrudan semptomatik insan temasıyla ilişkilendirilmiştir. Bu iki mekanizma aynı şey değildir ve kaynak-içi yorum farkı korunmalıdır.

Çevresel Bulaşma Tek Başına Salgını Sürdürüyor mu?

Kaynak simülasyonlarında incelenen \(\beta_p\) aralığında çevresel yol tek başına \(\mathcal R_0\)'ı 1'in üzerine çıkarmamış ve yazarlar enfeksiyon için yüksek çevresel patojen yükünün gerekli olduğunu bildirmiştir; ancak bu sonuç yalnız modelin seçilen parametre aralığına aittir ve gerçek dünyada çevresel bulaşmanın hiçbir koşulda salgını sürdüremeyeceğini kanıtlamaz.

Kaynakta \(\beta_p\) 0 ile 0,0007 arasında değiştirildiğinde \(\mathcal R_0<1\) kalmıştır. Çevreye dışsal patojen girişi \(\phi_p\) artırıldığında enfeksiyöz kişi sayısı bir miktar yükselmiştir; yazarlar çevresel yolun doğrudan insan-insan ve ölüm sonrası temasa göre ikincil kaldığını yorumlamaktadır.

Bununla birlikte aynı makalenin yerel duyarlılık tablosunda \(\beta_p\) en büyük pozitif duyarlılık indeksine sahiptir. Bu iki sonuç doğrudan çelişmek zorunda değildir: biri belirli başlangıç noktasındaki yerel türev duyarlılığı, diğeri seçilmiş parametrik simülasyon aralığıdır. Ancak sonuçların “çevre önemsizdir” şeklinde basitleştirilmesi doğru olmaz.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

DRC salgın verisiyle parametre tahmini

Yazarlar DRC Ebola sürveyans verisindeki kümülatif enfeksiyon ve ölüm serilerini kullanarak modelin birçok parametresini tahmin etmektedir.

Yeni vaka ve ölüm artışları:

\[ \Delta I_t=I_t-I_{t-1}, \qquad \Delta D_t=D_t-D_{t-1} \]

olarak tanımlanmıştır.

Kaynak raporlanan artışlarda:

• yeni enfeksiyonların ortalamasını 4,33, varyansını 40,73, varyasyon katsayısını 1,47 ve çarpıklığını 2,30;
• yeni ölümlerin ortalamasını 1,81, varyansını 4,46, varyasyon katsayısını 1,17 ve çarpıklığını 2,18;
• sıfır sayım oranlarını enfeksiyonlarda %33,3, ölümlerde %28,6

olarak bildirmektedir.

Beş raporlama aralıklı hareketli pencerede varyansın ortalamayla arttığı gözlendiği için yazarlar sayım verisinin heteroskedastik olduğunu ve log-ölçekli uyumun büyük gözlemlerin etkisini azaltacağını savunmaktadır.

Log-dönüştürülmüş ağırlıklı en küçük kareler

Parametre vektörü \(\theta\) için kullanılan amaç fonksiyonu:

\[ \min_{\theta,I(0),D(0)} \sum_{t=0}^{T} \left[ w_I \left( \log(\hat I_t(\theta)+1)-\log(I_t+1) \right)^2 + \left( \log(\hat D_t(\theta)+1)-\log(D_t+1) \right)^2 \right] \tag{31} \]

şeklindedir.

\(\hat I_t(\theta)\) ve \(\hat D_t(\theta)\) modelin tahmin ettiği kümülatif enfeksiyon ve ölüm sayılarıdır; \(I_t,D_t\) gözlemlerdir.

\(+1\) kullanımı matematiksel olarak sıfır sayımlarında \(\log(0)\) tanımsızlığını engeller.

\(w_I>1\), enfeksiyon serisinin ortak optimizasyondaki ağırlığını artırmak için kullanılmıştır. Ancak kaynağın ana metni \(w_I\)'nin kesin sayısal değerini raporlamamaktadır.

Optimizasyon bounded nonlinear least squares ile yapılmış, ODE sistemi numerik kararlılık için BDF (Backward Differentiation Formula) türü stiff solver ile çözülmüştür. Kaynak hangi yazılım/paket implementasyonunun kullanıldığını bildirmemektedir.

Parametre tahmini ve veri işleme zaman birimi olarak hafta ile yapılmış, sonraki sayısal simülasyonlarda ise zaman birimi gün olarak kullanılmıştır. Kaynak parametrelerin haftadan güne dönüştürülme ayrıntısını açık bir dönüşüm tablosuyla vermemektedir.

Kaynak Tablo 2 parametre değerleri

Bu tablo önemli bir yorum sınırı oluşturur: modelin kültürel/çevresel aktarımını güçlü biçimde etkileyen \(\beta_p\), \(b_1\), \(d_1\), \(d\) ve \(b\) parametrelerinin bir kısmı veriden tahmin edilmiş değil, varsayılmıştır. Özellikle en yüksek duyarlılık indeksine sahip \(\beta_p\)'nin Tablo 2'de Assumed olması, bu katsayının gerçek saha etkisinin doğrudan ölçülmüş büyüklüğü olmadığı anlamına gelir.

Model uyum grafiğinin yorumu

Kaynak Şekil 6, modelin kümülatif enfeksiyon ve ölüm serilerini gözlemlerle karşılaştırmaktadır. Görsel olarak model iki serinin genel yükseliş eğilimini izlemektedir; ancak özellikle enfeksiyon serisinde bazı raporlama aralıklarında gözlem noktalarıyla model eğrisi arasında görünür sapmalar bulunmaktadır.

Kaynak ana metinde RMSE, MAE, \(R^2\), parametre güven aralığı, bootstrap belirsizliği veya bağımsız doğrulama seti raporlamamaktadır. Dolayısıyla “model veriye mükemmel uydu” sonucu çıkarılamaz.

Kalibrasyon veri kaynağındaki bibliyografik uyuşmazlık

Metin kullanılan veriyi Demokratik Kongo Cumhuriyeti Ebola salgını olarak tanımlar ve Şekil 6 açıklaması bunu 2022 DRC Ebola salgını olarak adlandırır. Ancak kaynakça [57] girdisinin başlığı “Surveillance data for the Ebola outbreak by subcounty, 2020” şeklindedir.

Ayrıca metin DRC için \(N=47.312.719\) nüfus değerini [58]'e bağlamaktadır; fakat kaynakça [58] başlığı “Uganda – World Health Organization country profile” şeklindedir.

Bu uyuşmazlıklar hangi veri yılının ve hangi nüfus kaynağının kalibrasyonda kullanıldığının bağımsız olarak yeniden üretilmesini zorlaştırır. Verianla bu bibliyografik eşleşmeyi kaynak dışı veriyle sessizce düzeltmemektedir.

Geleneksel defin ve bakım yollarının modeldeki etkisi

Kaynak, \(b_1\), \(d_1\) ve \(\sigma\) artışlarının çevresel patojen yükünü ve modelin bulaşma potansiyelini artırdığını raporlamaktadır.

\(b_1\), gömülmüş kişilerle ilişkili çevresel saçılımı; \(d_1\), henüz gömülmemiş ölülerden çevresel saçılımı; \(\sigma\) ise enfeksiyöz kişilerden çevreye saçılımı temsil eder.

Yazarlar bu yolları cenazede ölü bedeni yıkama/dokunma ve evde enfekte kişiye vücut sıvılarıyla yakın temas içerebilen bakım uygulamalarıyla ilişkilendirmektedir. Bu sonuç model mekanizmasına aittir; çalışma gerçek topluluklarda bu davranışların sıklığını ayrı bir saha anketiyle ölçmemiştir.

Optimal Kontrol Probleminde \(u_1\), \(u_2\) ve \(u_3\) Ne Anlama Geliyor?

Yazarlar \(u_1\)'i izolasyon ve güvenli definle, \(u_2\)'yi klinik tedaviyle, \(u_3\)'ü çevresel dekontaminasyonla ilişkilendirmektedir; ancak kontrollü ODE sistemindeki matematiksel yerleşimleri bu sözlü etiketlerle tamamen birebir örtüşmediğinden, özellikle \(u_1\) ve \(u_2\)'nin yeniden uygulanmasında kaynak denklemleri ile yazar açıklamasının birlikte kontrol edilmesi gerekir.

Optimal kontrolün amaç fonksiyonu

Minimize edilmek istenen toplam maliyet:

\[ \mathcal J(u_1,u_2,u_3) = \int_0^T \left[ A_1I+A_2H+A_3P+ \frac{c_1}{2}u_1^2+ \frac{c_2}{2}u_2^2+ \frac{c_3}{2}u_3^2 \right]dt \tag{32} \]

şeklindedir.

\(A_1I\), enfeksiyöz kişilerin yükünü; \(A_2H\), hastane yükünü; \(A_3P\), çevresel patojen yükünü cezalandırır.

\(\frac{c_i}{2}u_i^2\) terimleri ise kontrol yoğunluğunu maliyet/çaba olarak cezalandırır. Karesel ceza, matematiksel olarak kontrolün “bedelsizce her zaman 1” seçilmesini engelleyen bir optimizasyon yapısı sağlar.

Kaynak kontrol simülasyonlarında:

\[ A_1=A_2=A_3=1,\qquad c_1=c_2=c_3=1 \]

kullanmıştır. Bu nedenle çalışma gerçek sağlık ekonomisi maliyet verisiyle yapılmış bir cost-effectiveness analizi değildir.

Kontrollü model sistemi

Kaynağın Eq. (33)'ü:

\[ \begin{aligned} \dot S &= \Delta-\Psi S-\mu S,\\ \dot E &= \Psi S-\mu E-\delta(1-u_1)E,\\ \dot I &= \delta(1-u_1)E-(\gamma+\mu)I-\gamma_1(1-u_2)I,\\ \dot H &= \gamma_1(1-u_2)I-(\eta+\xi+\mu)H,\\ \dot R &= \xi H-\mu R,\\ \dot D &= \gamma I+\eta H-dD,\\ \dot B &= dD-bB,\\ \dot P &= \sigma I+\eta_1(1-u_3)H+d_1(1-u_3)D+b_1(1-u_3)B-\alpha P. \end{aligned} \tag{33} \]

Burada \(0\leq u_i(t)\leq1\) kontrol yoğunluğu aralığıdır.

Kontrol etiketleri ile denklemler arasındaki önemli fark

Kaynak anlatısında \(u_1\) “isolation” olarak değerlendirilir ve daha sonra enfeksiyöz kişilerin toplumdan uzaklaştırılması ile EVD ölümlerinin güvenli definle yönetilmesi şeklinde yorumlanır. Ancak Eq. (33)'te \(u_1\) doğrudan \(D\) veya \(B\) denklemine değil, \(\delta(1-u_1)E\) terimine uygulanmıştır; yani matematiksel olarak maruz kalmış \(E\) sınıfından enfeksiyöz \(I\) sınıfına geçişi azaltmaktadır.

Benzer biçimde \(u_2\) metinde “medical treatment” olarak adlandırılır. Buna rağmen Eq. (33)'te \(u_2\), \(\gamma_1(1-u_2)I\) üzerinden enfeksiyöz sınıftan hastane sınıfına geçişi azaltmaktadır; iyileşme katsayısı \(\xi\)'yi doğrudan artıran bir terim değildir.

\(u_3\) ise Eq. (33)'te \(H,D,B\) kaynaklı çevresel saçılım terimlerini \((1-u_3)\) ile azaltmaktadır ve sözlü “environmental decontamination” tanımıyla daha doğrudan eşleşmektedir. Bununla birlikte temel model Eq. (2)'de bulunan dışsal çevresel giriş \(\phi_p\), kontrollü Eq. (33)'te yer almamaktadır; kaynak bu model değişikliğinin gerekçesini ayrıca açıklamamaktadır.

Pontryagin Maksimum İlkesi

Optimal kontrol problemi Pontryagin Maksimum İlkesi kullanılarak ele alınmaktadır. Durum değişkenlerine karşılık \(\lambda_S,\lambda_E,\lambda_I,\lambda_H,\lambda_R,\lambda_D,\lambda_B,\lambda_P\) costate/adjoint değişkenleri tanımlanmış ve terminal koşullar:

\[ \lambda_i(T)=0 \]

olarak verilmiştir.

Genel mantık, Hamiltonian'ın kontrol değişkenlerine göre türevlerini sıfıra eşitleyerek her anda hastalık yükü ile müdahale maliyeti arasındaki optimum kontrol yoğunluğunu bulmaktır.

Eq. (36) ile Eq. (38) arasındaki işaret uyuşmazlığı

Kaynak Eq. (36)'da projeksiyon formülünün içinde \(u_1\) için:

\[ \frac{\delta E^*(\lambda_E-\lambda_I)}{c_1} \]

ve \(u_2\) için:

\[ \frac{\gamma_1 I^*(\lambda_I-\lambda_H)}{c_2} \]

ifadelerini göstermektedir.

Ancak hemen ardından optimality condition çözülürken Eq. (38)'de:

\[ \hat u_1= -\frac{\delta E(\lambda_E-\lambda_I)}{c_1} \]

ve:

\[ \hat u_2= -\frac{\gamma_1I(\lambda_I-\lambda_H)}{c_2} \]

yazılmıştır.

Yani ilk iki kontrol için Eq. (36) ve Eq. (38) arasında işaret farkı vardır. Bu, kodlama açısından kritik bir farktır. Kaynak kodu veya yazar doğrulaması bulunmadan Verianla bu iki formdan birini “doğru” diye seçmemektedir.

Optimal kontrol simülasyonunun başlangıç koşulları

İnsan durumlarının toplamı \(47.312.719\)'dur ve kaynakta kullanılan toplam nüfus değerine eşittir.

Tekli, ikili ve üçlü kontrol sonuçları

Üç kontrol birlikte uygulandığında model ne gösteriyor?

Kaynak Şekil 12'de müdahalesiz senaryoda enfeksiyöz kişi, hastane yükü ve çevresel patojen konsantrasyonu 20 günlük simülasyon boyunca hızla yükselirken, üç kontrolün birlikte uygulanmasıyla bütün eğrilerin daha düşük seviyelerde kaldığı gösterilmektedir.

Yazarların mekanistik yorumu, birden fazla bulaşma zincirini eş zamanlı hedeflemenin geri besleme etkisi yaratmasıdır: daha az enfeksiyöz kişi çevreye daha az patojen bırakır; daha düşük çevresel patojen yükü de yeni enfeksiyon baskısını azaltır.

Bu açıklama modelin kendi denklemleri içinde tutarlıdır; fakat gerçek bir salgında aynı büyüklükte etki oluşacağını garanti etmez.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• İnsan, hastane, ölüm sonrası, gömülmüş beden ve çevresel yollar aynı Ebola ODE modelinde matematiksel olarak temsil edilebilir.
• Kaynak modelinde \(\mathcal R_0\) doğrudan ve dolaylı çoklu bulaşma yollarından oluşmaktadır.
• \(\phi_p=0\) altında \(\mathcal R_0\leq1\) hastalıksız dengenin kararlılığıyla ilişkilendirilmiştir.
• Kaynak duyarlılık tablosunda \(\beta_p,\eta,\eta_1,\sigma\) güçlü pozitif yerel duyarlılıklar göstermektedir.
• \(\alpha,\xi,b,d,\gamma_1\) negatif duyarlılık göstermektedir.
• Seçilen çevresel parametre senaryolarında çevresel yol tek başına insan temas yollarından daha zayıf görünmektedir.
• Yazarların \(u_1\) olarak etiketlediği kontrol tekli senaryolar içinde en güçlü olarak raporlanmıştır.
• Üç kontrolün birlikte uygulanması simülasyonda incelenen senaryolar arasında en güçlü toplam baskılamayı üretmiştir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Model, herhangi bir Afrika toplumundaki bütün geleneksel uygulamaların Ebola bulaşmasını artırdığını kanıtlamaz.
• Model parametreleri kültürel davranış prevalansının doğrudan saha ölçümü değildir.
• Simülasyon sonuçları gerçek bir salgında aynı müdahale etkisinin kesin olarak oluşacağını kanıtlamaz.
• \(\beta_p\)'nin yüksek duyarlılığı çevresel bulaşmanın her koşulda baskın gerçek dünya bulaş yolu olduğunu kanıtlamaz.
• 20 günlük optimal kontrol grafikleri klinik veya toplum tabanlı randomize müdahale çalışması değildir.
• Model mekânsal yayılımı, şehirler arası hareketi veya sınır ötesi mobiliteyi hesaplamaz.
• Model geleneksel davranışların salgın sırasında değişmesini dinamik olarak modellemez.
• Kaynak parametrelerin tümü için güven aralığı veya identifiability analizi sunmaz.
• Kaynak kodu verilmediği için Eq. (36)/Eq. (38) işaret uyuşmazlığının uygulamada nasıl çözüldüğü doğrulanamaz.
• Modelin uyum grafiği tek başına dış örneklemde tahmin başarısını göstermez.

Çalışmanın temel sınırlılıkları

Homojen karışım: Her bireyin temas yapısı aynı epidemiyolojik havuz içindeymiş gibi basitleştirilmiştir.

Mekânsal heterojenlik yok: Farklı köy, kent, sağlık bölgesi veya ülke arasındaki coğrafi bulaşma modellenmemiştir.

Mobilite yok: İnsan hareketliliği açık bir değişken değildir.

Kültürel davranışlar sabit parametrelerle temsil edilir: toplum davranışının zamanla değişimi, müdahale kabulü veya farklı toplulukların heterojenliği ayrı dinamikler değildir.

Bazı merkezî parametreler varsayılmıştır: özellikle \(\beta_p,b,d,b_1,d_1\) kaynak Tablo 2'de Assumed olarak listelenmiştir.

Kalibrasyon kaynakları arasında bibliyografik uyuşmazlık vardır: veri yılı, DRC/Uganda nüfus kaynağı ve Şekil 6 açıklaması tam uyumlu değildir.

Fit belirsizliği eksiktir: parametre güven aralıkları, profile likelihood, Bayesian posterior veya başka formal identifiability/uncertainty analizi raporlanmamıştır.

Kontrol maliyetleri gerçek ekonomik veri değildir: \(A_i\) ve \(c_i\) değerleri simülasyonda 1 alınmıştır.

Kontrol denklemi ile sözlü mekanizma tam örtüşmemektedir: özellikle \(u_1,u_2\) için yeniden uygulama dikkat gerektirir.

Optimal kontrol formüllerinde işaret uyuşmazlığı vardır: Eq. (36) ile Eq. (38)'in ilk iki kontrol ifadesi aynı işareti taşımamaktadır.

Çevresel dış giriş kontrol modelinde kaybolmaktadır: Eq. (2)'deki \(\phi_p\), Eq. (33)'te bulunmamaktadır ve kaynak bu değişikliğin gerekçesini ayrıca vermemektedir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: Modeling the role of the environment and African tradition practices in the transmission dynamics of Ebola virus disease

Yazarlar: Ijuptil Kwajighu Joseph; Georg Bader; Nicholas Kwasi-Do Ohene Opoku.

Sorumlu yazarlar: Ijuptil Kwajighu Joseph ve Nicholas Kwasi-Do Ohene Opoku kaynakta yıldız işaretiyle corresponding author olarak gösterilmektedir.

Eş katkı: İncelenen kaynakta eş birinci yazarlık/eş katkı bildirimi bulunmamaktadır.

Kurum: African Institute for Mathematical Sciences, Accra, Ghana.

Editör: Mohamed Fathy El-Amin Mousa.

Dergi: Scientific African.

Cilt: 32.

Makale numarası: e03392.

Yayın dönemi: Resmî ScienceDirect kaydı Volume 32, June 2026 olarak göstermektedir.

DOI: 10.1016/j.sciaf.2026.e03392.

Alınma tarihi: 12 Aralık 2025.

Revizyon tarihi: 23 Mart 2026.

Kabul tarihi: 6 Mayıs 2026.

Çevrimiçi erişim: 11 Mayıs 2026.

Yayınevi: Elsevier B.V.

Platform: ScienceDirect.

Kaynak türü: Matematiksel epidemiyoloji araştırması; deterministik doğrusal olmayan ODE modelleme, veri kalibrasyonu, kararlılık/bifurkasyon, duyarlılık ve optimal kontrol analizi.

Hakemlik durumu: Scientific African'da yayımlanmış, alınma–revizyon–kabul tarihleri bulunan dergi makalesidir; PDF ayrıntılı hakem raporlarını içermez.

Lisans: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International — CC BY-NC-ND 4.0.

Telif/görsel notu: ND koşulu nedeniyle kaynak şekillerinin görsel kompozisyonu çevrilerek veya yeniden stilize edilerek uyarlanmamıştır. Şekil 1 ayrıca üçüncü taraf [7] kaynağına dayandığından yeniden kullanılmamıştır. Makale içindeki SVG, yalnız denklemlerle açıkça tanımlanan model ilişkilerinden tamamen bağımsız kompozisyonla oluşturulmuştur.

Model değişkenleri: \(S,E,I,H,R,D,B,P\).

Ana yöntemler: pozitiflik ve boundedness analizi; next-generation matrix; \(\mathcal R_0\); Jacobian yerel kararlılık; Lyapunov–LaSalle küresel kararlılık; endemik denge; center-manifold bifurkasyon analizi; normalize forward sensitivity; log-dönüştürülmüş ağırlıklı bounded nonlinear least squares; BDF stiff ODE solver; Pontryagin Maximum Principle.

Veri bağlamı: Makale DRC Ebola sürveyans verisi kullandığını belirtmektedir. Şekil 6 açıklaması uyumu “2022 Ebola outbreak in the Democratic Republic of the Congo” olarak tanımlar. Bununla birlikte referans [57]'nin başlığında 2020 ifadesi bulunmaktadır. Bu uyuşmazlık kaynakta çözümlenmemiştir.

Nüfus kaynağı tutarsızlığı: Metin \(N=47.312.719\) değerini DRC nüfusu olarak [58]'e bağlamaktadır; kaynakça [58] girdisinin başlığı “Uganda – World Health Organization country profile” şeklindedir.

Zaman birimi: Parametre tahmini ve veri işleme haftalarla, sayısal simülasyonlar günlerle yürütülmüştür. Dönüşüm ayrıntısı ayrı bir tablo veya algoritma olarak raporlanmamıştır.

Fitting ağırlığı: \(w_I>1\) olduğu belirtilmiştir; kesin \(w_I\) değeri ana metinde verilmemiştir.

Model kodu: İncelenen PDF'de kaynak kod deposu veya çalıştırılabilir model implementasyonu bağlantısı raporlanmamaktadır.

Parametre belirsizliği: Ana metinde tahmin edilen parametreler için güven aralığı, posterior dağılım veya formal identifiability analizi raporlanmamıştır.

Kaynak-içi parametre adı tutarsızlığı: Eq. (1)'de \(\beta,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_p\) sırasıyla enfeksiyöz, hastane, ölü, gömülmüş ve çevresel kaynaklara atanırken sonuç anlatısında indisler farklı biçimde etiketlenmiştir.

Kaynak-içi mekanizma yorumu: \(\sigma\) matematiksel modelde enfeksiyöz kişilerden çevreye saçılım katsayısıdır; duyarlılık tartışmasında ise doğrudan semptomatik temasın kanıtı gibi yorumlanmıştır. Bu iki mekanizma eşdeğer değildir.

Kaynak-içi kontrol tanımı tutarsızlığı: \(u_1\) sözlü olarak isolation/safe burial ile, \(u_2\) medical treatment ile açıklanırken kontrollü Eq. (33)'te bu kontroller sırasıyla \(E\rightarrow I\) ve \(I\rightarrow H\) geçiş katsayılarını azaltmaktadır.

Kaynak-içi optimal kontrol işaret tutarsızlığı: Eq. (36) ile Eq. (38)'de \(u_1\) ve \(u_2\) için verilen ifadelerin işaretleri birbiriyle uyuşmamaktadır.

Kaynak-içi çevresel model farkı: Temel Eq. (2)'de \(\phi_p\) dışsal çevresel patojen girdisi bulunurken optimal kontrol Eq. (33)'te bu terim çıkarılmıştır; kaynak gerekçesini ayrıca açıklamamaktadır.

Bifurkasyon metni: Kaynak \(\phi_p=0\) için ileri bifurkasyonu gösterdiğini belirtirken aynı bölümde “\(\phi_p\geq0\) için bifurkasyon yoktur” ifadesini de kullanmaktadır. Bu ifade önceki anlatımla tam uyumlu değildir ve Verianla tarafından sessizce düzeltilmemiştir.

Duyarlılık tablosu: Modelde bulunan \(d_1\) parametresi için Tablo 1'de normalize duyarlılık indeksi görünmemektedir.

CRediT — Ijuptil Kwajighu Joseph: Collected the data; Contributed data or analysis tools; Performed the analysis; Wrote the paper; Other contribution.

CRediT — Georg Bader: Conceived and designed the analysis; Other contribution.

CRediT — Nicholas Kwasi-Do Ohene Opoku: Conceived and designed the analysis; Other contribution.

Finansman: Yazarlar çalışma için finansman almadıklarını bildirmiştir.

Çıkar çatışması: Yazarlar çalışmayı etkileyebilecek bilinen rekabet eden finansal çıkar veya kişisel ilişki bulunmadığını bildirmiştir.

Teşekkür: İlk yazar özellikle African Institute for Mathematical Sciences'a araştırmaya başlaması için sağlanan temel ve fırsat nedeniyle teşekkür etmektedir.

Veri erişilebilirliği: Kaynak, bulguları destekleyen verilerin çalışma içinde uygun şekilde referanslandığını bildirmektedir.

Yapay zekâ bildirimi: İncelenen ana PDF'de ayrı bir üretken yapay zekâ kullanım bildirimi bulunmamaktadır.

Temel yorum sınırı: Bu çalışma Ebola'nın gerçek dünyadaki tüm bulaşma mekanizmalarının doğrudan ölçümü değildir. Matematiksel model, belirli durum bölmeleri, kalibre/varsayılmış parametreler ve homojen karışım varsayımı altında insan, ölüm sonrası ve çevresel bulaşma yollarının davranışını inceler. Optimal kontrol sonuçları simülasyon sonucudur; gerçek bir salgında ölçülmüş müdahale etkinliği değildir.