Muundo wa Ebola wa kiwango cha sehemu wa Atangana–Baleanu–Caputo, ni muundo wa epidemiolojia wenye sehemu nane unaowakilisha uenezaji wa Ebola si kwa mabadiliko ya papo hapo ya hali ya sasa ya epidemiolojia pekee, bali pia kwa muundo wa derivative ya kiwango cha sehemu unaobeba athari ya kihisabati ya hali za zamani za mfumo. Utafiti huo huweka pamoja katika muundo watu wanaoweza kuambukizwa (S), waliowekwa katika hali ya kuathiriwa (E), walio karantini (Q), walioambukizwa (I), waliotengwa (J), waliopona (R), waliokufa (D), pamoja na vimelea vya Ebola katika mazingira (P); pia hujumuisha katika milinganyo michakato kama tabia ya hofu, karantini, utengaji, mazishi salama na uchafuzi wa mazingira.

Muundo ulikalibishwa kwa njia ya least squares dhidi ya visa limbikizi vya Ebola vilivyoripotiwa nchini Uganda kati ya 29 Septemba 2022 na 12 Novemba 2022. Katika utafiti huo, baadhi ya vigezo vililinganishwa na data hizi, vingine vilikokotolewa kutoka taarifa za idadi ya watu, vingine vilichukuliwa kutoka fasihi ya awali, na vingine vilidhaniwa. Kwa hiyo, muundo si mfumo uliojifunza kabisa kutokana na data; ni muundo wa kihisabati wa kimekanisti uliokalibishwa kwa data na ambao pia una vipengele vya fasihi na dhana.

Kwa seti ya vigezo iliyotumiwa na waandishi, namba ya msingi ya uzalishaji R₀ = 6,053288 ilikokotolewa. Thamani hii ni kigezo cha kizingiti kilichopatikana kwa mchanganyiko maalumu wa vigezo wa muundo huo; si konstanti ya kibayolojia isiyobadilika au ya ulimwengu wote kwa hali zote za Ebola nchini Uganda. Uchambuzi wa kinadharia wa muundo unaonyesha kuwa suluhu haziendi kwenye thamani hasi za idadi ya watu, hubaki zikiwa na mipaka katika eneo linalofaa, suluhu ipo na ni ya pekee chini ya masharti fulani ya kihisabati, na hali ya usawa isiyo na ugonjwa huwa thabiti kwa kiwango cha eneo wakati R₀ < 1.

Katika uigaji wa namba, kuongezeka kwa vigezo vinavyowakilisha uenezaji wa mtu-kwa-mtu na mazingira-kwa-mtu kunahusishwa na kuongezeka kwa sehemu zilizoambukizwa au zinazohusiana na maambukizi; ilhali vigezo vinavyohusiana na utengaji, kupona, mazishi salama na kupungua kwa vimelea vya mazingira huonyesha athari zinazoelekea kudhibiti uenezaji. Waandishi wanasisitiza hasa umuhimu wa karantini na utengaji katika kudhibiti mlipuko. Hata hivyo, hizi ni matokeo yanayotegemea muundo; utafiti hautoi jaribio jipya la kitabibu la matibabu, afua ya afya ya umma iliyofanyiwa randomization, wala uthibitishaji huru wa utabiri wa mbele.

Maelezo ya Kina

Tatizo ambalo utafiti unajaribu kutatua

Katika miundo ya kawaida ya milinganyo tofauti ya epidemiolojia, mabadiliko ya mfumo katika wakati fulani huhesabiwa hasa kutokana na vigezo vya hali katika wakati huo. Utafiti huu, kwa upande mwingine, hutumia mkabala wa derivative ya kiwango cha sehemu kwa kuzingatia wazo kwamba baadhi ya michakato katika uenezaji wa Ebola inaweza kubeba athari za hali za zamani. Dai kuu la waandishi ni kwamba miundo ya kiwango cha sehemu inaweza kuwakilisha kihisabati athari kama hizi za kumbukumbu na zisizo za mahali kwa namna tofauti na miundo ya kawaida ya kiwango kamili.

Mchango wa asili wa utafiti unawasilishwa katika maeneo matatu. Kwanza, sehemu za ziada kama watu waliowekwa katika hali ya kuathiriwa, walio karantini na waliotengwa zinaongezwa kwenye muundo wa awali wa Juga na wenzake. Pili, mfumo hubadilishwa kuwa wa kiwango cha sehemu kwa kutumia umbo la derivative ya Atangana–Baleanu katika maana ya Caputo. Tatu, sehemu kubwa ya vigezo inalinganishwa na data za visa vya Uganda za Septemba–Novemba 2022.

Kwa nini derivative ya kiwango cha sehemu ya Atangana–Baleanu–Caputo inatumika katika muundo huu?

Derivative ya kiwango cha sehemu ya Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) ni operator ya derivative ya kiwango cha sehemu inayotumia kernel isiyo singular na kubeba kwa mfumo wa integral athari zilizopimwa za nyakati za awali, badala ya kuunganisha mabadiliko ya kigezo cha hali na nukta moja tu ya wakati; katika utafiti huu, lengo la matumizi yake ni kuingiza kumbukumbu ya kihisabati na athari za wakati zisizo za mahali katika muundo wa Ebola.

Kwanza, mantiki ya integral ya Riemann–Liouville

Utafiti huanza msingi wa calculus ya kiwango cha sehemu kwa integral ya Riemann–Liouville. Mlinganyo (1) katika chanzo una muundo ufuatao:

\[ D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{1}{\Gamma(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}h(\omega)\,d\omega, \qquad \varsigma>0. \]

Hapa \(\varsigma\) huwakilisha kiwango cha sehemu, \(\Gamma(\varsigma)\) huwakilisha kazi ya Gamma, \(\mathfrak{I}\) huwakilisha wakati wa tathmini, na \(\omega\) huwakilisha kigezo cha integral kinachopita katika nyakati za zamani. Neno \((\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}\) ni sehemu ya muundo wa kernel unaobainisha kwa uzito gani thamani za zamani huingia katika hesabu ya sasa.

Umbo la derivative ya ABC lililotolewa katika chanzo

Katika Mlinganyo (2) wa chanzo, derivative ya ABC inafafanuliwa kama ifuatavyo:

\[ {}_{\ast_1}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{T(\varsigma)}{1-\varsigma} \int_{\ast_1}^{\mathfrak{I}} h'(\omega) F_{\varsigma} \left[ -\frac{\varsigma(\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma}}{1-\varsigma} \right]d\omega. \]

\(T(\varsigma)\) ni kazi ya normalization inayotimiza sharti \(T(0)=T(1)=1\) katika chanzo. \(F_{\varsigma}\) ni kazi inayotumiwa katika muundo wa kernel ya Mittag–Leffler wa utafiti. Kwa sababu integral hukusanya thamani za \(h'(\omega)\) katika nyakati zilizopita, derivative huwa operesheni isiyo ya mahali. Kwa maneno mengine, derivative ya kwanza ya kawaida huwakilisha mabadiliko ya papo hapo pekee, ilhali muundo huu huzingatia pia athari ya kihisabati ya hali za zamani.

Kiwango cha sehemu \(\varsigma\) kilichunguzwa katika uigaji wa utafiti kwa thamani 1, 0,98, 0,96, 0,94 na 0,92. Wakati \(\varsigma=1\) inakaribia mpaka wa kawaida wa kiwango kamili, thamani ndogo zaidi za kiwango cha sehemu huruhusu uigaji wa tabia tofauti za kumbukumbu. Hata hivyo, utafiti huu haupaswi kutumiwa kuhitimisha kwamba \(\varsigma\) ni “asilimia ya kumbukumbu” moja ya kibayolojia inayoweza kupimwa katika ulimwengu halisi; hapa \(\varsigma\) ni kiwango cha sehemu cha muundo wa kihisabati.

Vigezo nane vya hali vya muundo

Nguvu ya maambukizi huhesabiwaje?

Katika Mlinganyo (5) wa chanzo, nguvu ya maambukizi \(\lambda\), ambayo ndiyo kiamua kikuu cha kuathiriwa upya, inafafanuliwa kama ifuatavyo:

\[ \lambda = \frac{\beta_1P}{K+P} + \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D}. \]

Mlinganyo huu unaunganisha njia mbili za uenezaji katika usemi mmoja. Neno la kwanza linawakilisha uenezaji wa mazingira, na neno la pili linawakilisha uenezaji unaohusishwa na watu na sehemu nyingine za watu zinazochangia uwezo wa kuambukiza katika muundo .

\(\beta_1\), ni kigezo cha mgusano/uenezaji wenye ufanisi kati ya mtu anayeweza kuambukizwa na vimelea vya mazingira. \(\beta_2\) ni kigezo cha uenezaji kati ya watu wanaoweza kuambukizwa na walioambukizwa. Usemi \(P/(K+P)\) umejengwa kwa umbo la saturation ili mchango wa uenezaji wa mazingira usiongezeke bila kikomo kwa mstari wakati mzigo wa vimelea vya mazingira unapoongezeka. Chanzo kinaeleza \(K\) kama kizingiti cha nusu-saturation kinachohusiana na kiasi cha vimelea vya mazingira.

\(\omega_1\), \(\omega_2\) na \(\omega_3\) huamua katika mlinganyo uzito wa sehemu za \(J\), \(D\) na \(Q\), mtawalia, ikilinganishwa moja kwa moja na daraja la \(I\). Maandishi yanayozunguka vigezo hivi katika chanzo na majukumu yao ya algebra katika Mlinganyo (5) hayajatolewa kwa istilahi zinazofanana kabisa; kwa hiyo, jukumu la wazi la kihisabati la mlinganyo ndilo limechukuliwa kuwa msingi hapa, bila kuongeza maana mpya za kibayolojia ambazo hazipo katika chanzo.

Denominator ya \(1+\epsilon D\) ni kipengele cha kitabia ambacho utafiti unakiita “athari ya hofu”. Kulingana na dhana ya muundo, kuongezeka kwa idadi ya vifo kunaweza kuongeza tabia ya tahadhari katika jamii na kupunguza mgusano wenye ufanisi. Kwa hiyo, wakati \(\epsilon>0\), kuongezeka kwa \(D\) kunaweza kupunguza neno la pili la uenezaji. Uhusiano huu ni dhana ya muundo; utafiti haupimi kwa majaribio kwamba hofu hupunguza uenezaji kwa kiasi maalumu katika maisha halisi.

Mfumo wa kawaida wa milinganyo minane

Chanzo kwanza huunda muundo kwa milinganyo tofauti ya kiwango kamili:

\[ \frac{dS}{d\mathfrak{I}} = \pi-(\lambda+\mu)S+\eta R+ek_1Q, \]

\[ \frac{dE}{d\mathfrak{I}} = \lambda S-(\mu+k_2+k_3)E, \]

\[ \frac{dQ}{d\mathfrak{I}} = k_2E-(\mu+e)Q, \]

\[ \frac{dI}{d\mathfrak{I}} = k_3E-(\mu+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)I, \]

\[ \frac{dJ}{d\mathfrak{I}} = \sigma_2I+e(1-k_1)Q-(\gamma_1+\gamma_2+\mu)J, \]

\[ \frac{dD}{d\mathfrak{I}} = \sigma_3I+\gamma_2J-\rho D, \]

\[ \frac{dP}{d\mathfrak{I}} = \tau_1I+\tau_2D-\theta P, \]

\[ \frac{dR}{d\mathfrak{I}} = \sigma_1I+\gamma_1J-(\mu+\eta)R. \]

Kila mlinganyo ni mizania ya “viingilio ukitoa vitokavyo”. Kwa mfano, kuathiriwa upya huingia daraja la \(E\) kupitia \(\lambda S\); mabadiliko kwenda karantini hutokea kupitia \(k_2E\) na kwenda daraja la walioambukizwa kupitia \(k_3E\); kifo cha kawaida \(\mu E\) pia ni njia ya kutoka katika daraja hili. Vivyo hivyo, katika daraja la \(I\), kuingia hutokea kupitia \(k_3E\), huku kupona \(\sigma_1I\), utengaji \(\sigma_2I\), kifo kutokana na Ebola \(\sigma_3I\) na kifo cha kawaida \(\mu I\) zikiwa maneno ya kutoka.

Katika maandishi ya chanzo kuna kauli kwamba watu waliotengwa “hupona kwa kiwango cha \(\gamma_1\) au hufa kwa kiwango cha \(\gamma_1\)”. Hata hivyo, Jedwali 1 na milinganyo ya muundo hutumia wazi \(\gamma_1\) kwa kupona na \(\gamma_2\) kwa kifo kutokana na Ebola. Kwa hiyo, katika uwasilishaji huu wa Verianla, milinganyo na jedwali la vigezo zimechukuliwa kama msingi na marudio hayo katika maandishi ya chanzo hayajafichwa.

Mfumo wa kiwango cha sehemu hupatikanaje?

Katika Mlinganyo (7), derivative za kawaida \(d/d\mathfrak{I}\) hubadilishwa na derivative za kiwango cha sehemu za ABC. Chanzo pia huonyesha vigezo vya kiwango katika muundo wa kiwango cha sehemu kwa superscript ya \(\varsigma\):

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma} -(\lambda+\mu^{\varsigma})S +\eta^{\varsigma}R +e^{\varsigma}k_1Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}E = \lambda S-(\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma})E, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Q = k_2^{\varsigma}E-(\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma})Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}I = k_3^{\varsigma}E- (\mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma})I, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}J = \sigma_2^{\varsigma}I+ e^{\varsigma}(1-k_1)Q- (\gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma})J, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I+\gamma_2^{\varsigma}J-\rho^{\varsigma}D, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I+\tau_2^{\varsigma}D-\theta^{\varsigma}P, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}R = \sigma_1^{\varsigma}I+\gamma_1^{\varsigma}J- (\mu^{\varsigma}+\eta^{\varsigma})R. \]

Chanzo hutumia uandishi huu wa vigezo wenye superscript katika uundaji wake wa muundo wa kiwango cha sehemu. Utafiti hautoi derivation ya kina ya mabadiliko ya vitengo vya vipimo yanayotokana na kuinua vigezo kwa nguvu za kiwango cha sehemu; kwa hiyo, maelezo ya Verianla huhifadhi muundo huu kama ulivyo katika chanzo na hayabuni hoja mpya ya vipimo.

Kwa nini positivity inakaguliwa?

Katika muundo wa epidemiolojia, kuwa na idadi hasi ya watu au kiasi hasi cha vimelea vya mazingira hakina maana ya kibayolojia. Kwa hiyo, waandishi wanajaribu kuonyesha kwamba suluhu inayoanza na masharti ya awali \(S,E,Q,I,J,D,P,R\geq0\) haiingii katika eneo hasi.

Kwa mfano, kwenye mpaka \(S=0\):

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma}+\eta^{\varsigma}R+e^{\varsigma}k_1Q \geq0. \]

Matokeo haya yanaonyesha kwamba \(S\) inapofika sifuri, uga wa vekta hauisukumi kuelekea eneo hasi. Chanzo hutumia ukaguzi huo huo wa mpaka kwa vigezo vingine saba vya hali.

Ukomo na eneo linalokubalika

Waandishi wanafafanua jumla ya sehemu za watu walio hai kama:

\[ N(\mathfrak{I})=S+E+Q+I+J+R \]

na kwa kutumia mkabala wa kulinganisha hupata:

\[ N(\mathfrak{I}) \leq \max \left\{ N(0), \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}} \right\} \]

kikomo cha juu. Vikomo vya juu vinavyofanana vinatolewa pia kwa \(D\) na \(P\), na inadaiwa kuwa suluhu hubaki katika eneo lenye maana ya kibayolojia na lenye mipaka. Neno “well-posed” hapa halimaanishi kwamba ugonjwa unasimamiwa vizuri kitabibu; linamaanisha kwamba tatizo la kihisabati lina sifa zinazofaa za suluhu.

Uwepo na upekee vina maana gani?

Muundo si wa mstari na una muundo wa integral ya kiwango cha sehemu. Ili kuonyesha kwamba suluhu ipo kweli na kwamba masharti yale yale ya awali hayatoi suluhu nyingi zinazokinzana, waandishi hutumia nafasi ya Banach, norm ya supremum, sharti la Lipschitz na mkabala wa fixed point.

Muundo wa jumla wa umbo la integral ya kiwango cha sehemu la modeli:

\[ X(\mathfrak{I})-X(0) = \frac{1-\varsigma}{C(\varsigma)}B(X(\mathfrak{I}),\mathfrak{I}) + \frac{\varsigma}{\Gamma(\varsigma)C(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1} B(X(\omega),\omega)\,d\omega \]

ni kama ifuatavyo. Hapa \(X\) huwakilisha mojawapo ya vigezo nane vya hali, na \(B\) huwakilisha kazi isiyo ya mstari ya upande wa kulia ya sehemu husika. Mantiki ya msingi ya sharti la Lipschitz ni kwamba tofauti kati ya kazi za upande wa kulia isikue bila udhibiti wakati tofauti kati ya suluhu mbili zinazowezekana inapoongezeka:

\[ \|B(X)-B(X_1)\| \leq \kappa\,\|X-X_1\|. \]

Waandishi hujenga mipaka ya aina hii kwa kernels nane za muundo na kutumia convergence ya mfululizo wa makadirio mfululizo kuunga mkono uwepo na upekee wa suluhu.

Namba ya msingi ya uzalishaji R0 ina maana gani katika muundo huu?

Namba ya msingi ya uzalishaji \(R_0\) ni ukubwa wa kizingiti unaofupisha uwezo wa maambukizi yaliyoingia katika idadi ya watu wote wanaoweza kuambukizwa kuzalisha maambukizi ya pili; katika utafiti, \(R_0<1\) inahusishwa na uthabiti wa eneo wa usawa usio na ugonjwa, huku \(R_0>1\) ikihusishwa na uwezekano wa maambukizi kuendelea.

Usawa usio na ugonjwa

Chanzo hutoa nukta ya usawa usio na ugonjwa kama:

\[ E^0= \left( \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \]

Katika hali hii, kuna idadi ya watu wanaoweza kuambukizwa pekee; madaraja ya walioathiriwa, karantini, walioambukizwa, waliotengwa, waliokufa, vimelea vya mazingira na waliopona yote ni sifuri.

R0 hupatikanaje?

Waandishi hutumia njia ya next-generation matrix . Maneno yanayozalisha maambukizi huwekwa katika \(F\), na mabadiliko mengine katika mfumo mdogo wa walioambukizwa huwekwa katika matrix \(V\), kisha:

\[ R_0=\rho^{\ast}(FV^{-1}) \]

hukokotolewa. Hapa \(\rho^{\ast}\) huwakilisha spectral radiusya matrix, yaani thamani kubwa zaidi kati ya thamani kamili za eigenvalues zake.

Ili kurahisisha hesabu, chanzo hufafanua:

\[ \varpi_1=\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_2=\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_3= \mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_4= \gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_5=e^{\varsigma}(1-k_1) \]

kama viwango vya usaidizi. Usemi mrefu wa \(R_0\) unaopatikana unajumuisha njia za uenezaji zinazohusiana na binadamu zinazowakilishwa na \(\beta_2\) na njia ya uenezaji wa mazingira kupitia \(\beta_1\), \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\theta\) na \(K\). Kwa hiyo, \(R_0\) si matokeo ya mgawo mmoja wa mgusano pekee, bali ni matokeo ya pamoja ya watu walioambukizwa, utengaji, kifo, karantini na mzunguko wa vimelea vya mazingira katika muundo.

Kwa nini R0 < 1 ni muhimu?

Kwa mujibu wa Nadharia 5 ya chanzo, usawa usio na ugonjwa huwa thabiti kwa namna ya asymptotic katika eneo wakati \(R_0<1\), na huwa usio thabiti wakati \(R_0>1\). Waandishi huchunguza hili kupitia eigenvalues za Jacobian matrix. Katika mifumo ya kiwango cha sehemu, sharti la uthabiti wa kiwango cha sehemu pia hutumika kwa pembe za eigenvalues katika complex plane.

Tafsiri hii ya kizingiti haimaanishi kwamba “R0 ikishuka chini ya 1 leo, mlipuko unaisha mara moja”. Kihisabati, \(R_0<1\) huwakilisha sharti la kizingiti linalohitajika ili maambukizi madogo karibu na usawa usio na ugonjwa yasikue kwa muda mrefu.

Uthabiti wa Hyers–Ulam ni nini?

Uthabiti wa Hyers–Ulam ni dhana ya uimara wa kihisabati inayochunguza jinsi suluhu ya makadirio inayokidhi mlinganyo kwa kosa dogo inaweza kubaki karibu na suluhu halisi. Katika chanzo, kwa suluhu ya makadirio:

\[ \left\| {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Z(\mathfrak{I}) - \Phi(\mathfrak{I},Z(\mathfrak{I})) \right\| \leq\delta \]

sharti hili hutumiwa. Hapa \(\delta\) ni ukubwa wa upotovu mdogo unaoruhusiwa katika mlinganyo. Ikiwa kati ya suluhu hii ya makadirio na suluhu halisi \(Z^\ast\):

\[ \|Z-Z^\ast\|\leq\lambda_p\delta \]

kikomo cha aina hii kinaweza kuwekwa, inaweza kusemwa kwamba makosa madogo ya mlinganyo hayageuki kuwa upotovu usio na mipaka wa suluhu.

Chanzo pia hutumia konstanti ya Lipschitz \(L_{\Phi}\) kwa kernel isiyo ya mstari na:

\[ \Lambda= \frac{1-\varsigma}{W(\varsigma)}L_{\Phi} + \frac{T^{\varsigma}}{W(\varsigma)\Gamma(\varsigma)}L_{\Phi} <1 \]

chini ya sharti hili hutoa uthabiti wa Hyers–Ulam na baadaye uthabiti wa Hyers–Ulam–Rassias. Uthabiti huu wa kihisabati haumaanishi kwamba “mlipuko wa Ebola ni thabiti katika ulimwengu halisi”; unamaanisha kwamba operator ya suluhu hubaki chini ya udhibiti dhidi ya perturbations ndogo za kihisabati.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Data halisi za visa zilizotumiwa

Muundo ulikalibishwa kwa kutumia data zilizoripotiwa nchini Uganda kati ya 29 Septemba 2022 na 12 Novemba 2022, yaani idadi limbikizi ya visa vya Ebola vilivyothibitishwa . Chanzo kinasema seti ya data ilichukuliwa kutoka seti ya data ya wazi iliyokusanywa kutoka taarifa za Wizara ya Afya ya Uganda, data za ufuatiliaji za ECDC na taarifa za Ofisi ya WHO ya Kanda ya Afrika.

Ukadiriaji wa vigezo kwa least squares

Waandishi hutumia mkabala wa least squares unaopunguza jumla ya tofauti zilizowekwa mraba kati ya matokeo ya muundo na thamani za visa limbikizi zilizozingatiwa. Muundo wa alama uliotolewa katika Mlinganyo (48) wa chanzo ni:

\[ \mathcal{J}(\widetilde{k}) = \sum_{h=1}^{n} \left( \widetilde{k}_h-\mathcal{J}(h,\widetilde{k}) \right)^2 \]

Wazo la msingi ni hili: katika kila nukta ya data, tofauti kati ya thamani iliyozingatiwa na thamani inayotolewa na muundo katika nukta hiyo hiyo huchukuliwa, huwekwa mraba ili makosa hasi na chanya yasifutane, na mraba huu hujumlishwa kwa nukta zote za data. Uboreshaji wa vigezo hujaribu kupunguza jumla hii kadiri inavyowezekana.

Kalibresheni ya muundo

Katika Kielelezo 2 cha chanzo, visa limbikizi vilivyozingatiwa na curve ya muundo vinaonyeshwa pamoja, na grafu inaonyesha Normalized Mean Square Error = 0,008898 . Grafu ya residual pia inaonyesha kwamba tofauti kati ya muundo na uchunguzi hubadilika katika mwelekeo chanya na hasi kwa muda.

Kuna tatizo muhimu la uwekaji lebo ndani ya chanzo: ingawa data zilizotumiwa ni uchunguzi wa kila siku kati ya 29 Septemba na 12 Novemba 2022, mhimili wa x wa Kielelezo 2 una neno “Years” na grafu ya residual ina “Time (years)”. Kwa kuwa jedwali la data na maelezo ya mbinu ya utafiti yanaonyesha wazi mfululizo wa muda wa kila siku, lebo hii ya mhimili inapaswa kuhifadhiwa kama kutofautiana kwa uwekaji lebo wa grafu ndani ya chanzo; Verianla haitafsiri hili kama “data ya kila mwaka”.

Thamani za awali

Chanzo kinachukua idadi ya watu wa Uganda mwaka 2022 kuwa \(N(0)=47.249.585\) na hutoa sehemu za awali kama:

\[ E(0)=75,\quad Q(0)=40,\quad I(0)=23,\quad J(0)=12,\quad D(0)=0,\quad P(0)=0,\quad R(0)=0 \]

Kwa kuwa jumla ya thamani hizi ni 150, katika ukurasa wa 23 wa chanzo imeandikwa:

\[ S(0)=47.249.585-150=47.249.435 \]

Hata hivyo, katika sehemu ya baadaye ya uigaji wa namba, thamani \(S(0)=47.249.458\) imetolewa. Kuna tofauti ya watu 23 kati ya namba hizo mbili. PDF haielezi tofauti hii. Kwa hiyo, hakuna thamani iliyosahihishwa kimya kimya hapa; kutofautiana ndani ya chanzo kuhusu masharti ya awali kumeonyeshwa wazi.

Thamani za vigezo

Hoja muhimu zaidi ya kufundisha katika jedwali ni kwamba si vigezo vyote vilipatikana kwa njia ile ile. Kwa mfano, \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(k_1\), \(k_2\), \(\tau_1\), \(\epsilon\), \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\theta\), \(e\), \(\eta\) na \(K\) zililinganishwa na data; \(\sigma_2\) na \(\sigma_3\) zilidhaniwa, huku \(\tau_2\) na \(\rho\) zikitolewa kutoka fasihi ya awali. Mchanganyiko huu wa vyanzo vya vigezo ni sehemu muhimu ya mipaka ya tafsiri ya matokeo ya muundo.

Uchambuzi wa unyeti wa namba ya msingi ya uzalishaji

Faharasa ya unyeti wa mbele iliyorekebishwa kwa normalization kwa ujumla ni:

\[ X_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \]

Inaweza kutafsiriwa hivi: faharasa chanya inaonyesha kwamba \(R_0\) husogea kwa kiwango cha eneo katika mwelekeo huo huo wakati kigezo kinaongezeka; faharasa hasi inaonyesha mwelekeo wa kinyume. Kadiri thamani kamili inavyokuwa kubwa, ndivyo unyeti wa eneo wa \(R_0\) kwa kigezo hicho unavyoongezeka.

Chanzo pia hutoa kwa \(\mu\) tofauti:

\[ X_{\mu}^{R_0}=-1,11230 \]

Thamani hii imekokotolewa katika maandishi ingawa haipo ndani ya Jedwali 4.

Kuna pia kutofautiana kwingine ndani ya chanzo. Maandishi yanasema kwamba katika \(\beta_1\), mabadiliko ya 10% yatasababisha katika \(R_0\) mabadiliko ya 10%; hata hivyo, katika Jedwali 4 faharasa ya unyeti ya \(\beta_1\) ni 0,6245. Vivyo hivyo, kwa \(\mu\), maandishi yanatoa mfano wa mabadiliko ya asilimia ya takriban moja-kwa-moja, ilhali formula iliyo wazi inaonyesha matokeo −1,11230. Kwa hiyo, katika uwasilishaji huu wa Verianla taarifa ya mwelekeo na faharasa za namba zilizo wazi katika jedwali/formula zimehifadhiwa, na mifano ya asilimia katika maandishi haijarudiwa kama matokeo sahihi ya kiasi.

R0 = 6,053288 ina maana gani?

Waandishi wanatumia pamoja vigezo vilivyolinganishwa na data na vigezo vilivyotoka kwenye fasihi na dhana, na kupata \(R_0=6,053288\). Thamani hii inaonyesha kwamba kwa masharti ya awali na seti ya vigezo iliyochaguliwa, ugonjwa uko juu ya kizingiti cha usawa usio na ugonjwa katika muundo.

Namba hii haipaswi kusomwa kama “kila mtu mwenye Ebola huwaambukiza kwa uhakika watu 6,053288”. \(R_0\) ni matokeo ya muundo yanayounganisha njia nyingi za uenezaji na mabadiliko katika ukubwa mmoja wa kizingiti, na yenyewe hubadilika vigezo vinapobadilika.

Njia ya suluhu ya namba

Suluhu za makadirio za muundo wa kiwango cha sehemu zilikokotolewa kwa njia ya predictor–corrector ya kiwango cha sehemu ya Adams–Bashforth–Moulton . Katika milinganyo tofauti isiyo ya mstari ya kiwango cha sehemu, njia hii kwanza hutoa utabiri wa thamani inayofuata ya suluhu, kisha hutumia muundo wa mlinganyo wa integral kusahihisha utabiri huo. Sababu ya kuchagua mkabala huu ni kwamba unaweza kufuatilia kwa namba muundo wa operators za kiwango cha sehemu unaotegemea historia.

Nini hutokea kiwango cha sehemu kinapobadilishwa?

Katika Vielelezo 6 na 7 vya chanzo, thamani \(\varsigma=1, 0,98, 0,96, 0,94, 0,92\) zinalinganishwa. Katika uigaji, kiwango cha sehemu kinapokaribia 1, trajectories za juu zaidi huonekana katika sehemu mbalimbali kama \(E\), \(I\), \(J\), \(D\) na \(P\), huku kupungua kwa daraja la \(S\) linaloweza kuambukizwa kukiwa dhahiri zaidi. Sehemu za karantini \(Q\) na kupona \(R\) pia hufuata trajectories tofauti kulingana na kiwango cha sehemu.

Curves hizi zinaonyesha kwamba muundo ni nyeti kwa kigezo cha kumbukumbu; hata hivyo, ukweli kwamba curves zinatofautiana pekee hauonyeshi ni kiwango gani cha sehemu kinachowakilisha kwa usahihi zaidi mchakato halisi wa epidemiolojia. Waandishi hutafsiri kwamba thamani ndogo zaidi za kiwango cha sehemu hutoa matokeo yanayofaa/thabiti zaidi katika baadhi ya tabia, lakini utendaji wa utabiri wa thamani tofauti za \(\varsigma\) haujalinganishwa kwa seti huru ya uthibitishaji wa nje.

Athari za vigezo vya uenezaji

Katika uigaji wa namba, \(\beta_1\) na \(\beta_2\) zinapoongezeka, inaripotiwa kwamba watu walioathiriwa, walio karantini, walioambukizwa, waliotengwa na waliokufa, pamoja na mzigo wa vimelea vya mazingira, huongezeka. Matokeo haya yana mwelekeo sawa na unyeti chanya wa uenezaji katika uchambuzi wa \(R_0\).

Kwa kuwa \(\beta_1\) inaingia katika njia ya uenezaji wa mazingira na \(\beta_2\) katika njia ya uenezaji inayohusiana na binadamu, kuongezeka kwa vigezo hivi huchangia moja kwa moja kuongezeka kwa nguvu ya maambukizi katika hisabati ya muundo. Kwa hiyo, sehemu ya matokeo haya ni matokeo ya kimuundo ya mlinganyo wa muundo.

Utoaji wa vimelea katika mazingira

\(\tau_1\) huwakilisha kiwango cha mchango wa watu walioambukizwa katika sehemu ya vimelea vya mazingira, na \(\tau_2\) huwakilisha kiwango cha mchango wa watu waliokufa. Muundo:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I + \tau_2^{\varsigma}D - \theta^{\varsigma}P \]

Kwa kuwa muundo una mlinganyo huu, kuongezeka kwa \(\tau_1\) au \(\tau_2\) huongeza mtiririko wa kuingia katika \(P\), huku kuongezeka kwa \(\theta\) kukiimarisha mtiririko wa kutoka unaopunguza mzigo wa vimelea katika mazingira. Uchambuzi wa unyeti wa utafiti pia unaripoti kwa \(\theta\) unyeti hasi wa \(R_0\).

Mazishi salama na kigezo ρ

\(\rho\) ni kiwango ambacho watu waliokufa kutokana na Ebola huondolewa kwa usalama kutoka daraja la \(D\) katika mfumo:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I + \gamma_2^{\varsigma}J - \rho^{\varsigma}D. \]

Kwa sababu \(D\) katika muundo inaweza kuchangia nguvu ya maambukizi inayohusiana na binadamu na pia mzigo wa vimelea vya mazingira kupitia \(\tau_2D\), kuongezeka kwa \(\rho\) kunaweza kupunguza muda wa njia hizi. Chanzo kinatoa unyeti wa \(\rho\) kwa \(R_0\) kuwa −0,3755.

Kigezo cha hofu ε

Katika Kielelezo 16 cha chanzo, inaripotiwa kwamba \(\epsilon\) inapoongezwa, trajectories za \(E\), \(I\), \(Q\) na \(J\) hupungua. Sababu ya kihisabati ni:

\[ \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D} \]

katika neno hili, \(\epsilon D\) huongeza denominator. Tafsiri ya waandishi ni kwamba kuonekana kwa vifo kunaweza kuongeza tahadhari ya kijamii na hivyo kupunguza mgusano wenye ufanisi.

Matokeo haya si jaribio la uwanjani la sayansi ya tabia. Hayawezi kujumlishwa kama “hofu huzuia Ebola”. Utafiti unaonyesha tu matokeo ya scenario ambamo athari fulani ya kitabia inawakilishwa kihisabati kwa kigezo \(\epsilon\).

Karantini na utengaji

Katika muundo, watu walioathiriwa huingia karantini kupitia \(k_2E\), na watu walioambukizwa huingia utengaji kupitia \(\sigma_2I\). Sehemu ya \(k_1\) ya watu walio karantini hurudi katika daraja la wanaoweza kuambukizwa, huku sehemu iliyobaki ikielekezwa kwenye utengaji kupitia \(e(1-k_1)Q\).

Uigaji wa namba na tafsiri ya matokeo ya waandishi vinaonyesha karantini na utengaji kama vipengele muhimu vya kudhibiti mlipuko vinavyopunguza mgusano kati ya watu walioambukizwa na wanaoweza kuambukizwa. Hili ndilo hitimisho kuu la afya ya umma la muundo.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Muundo wa uenezaji wa Ebola wenye sehemu nane unaweza kujengwa kihisabati kwa kutumia derivative ya kiwango cha sehemu ya ABC.
• Suluhu za muundo zimechambuliwa kwa namna inayobaki chanya na yenye mipaka chini ya masharti ya awali yanayofaa.
• Masharti ya kihisabati ya uwepo na upekee wa suluhu yamejengwa kwa mkabala wa fixed point na Lipschitz.
• Imeonyeshwa kwamba usawa usio na ugonjwa ni thabiti kwa kiwango cha eneo chini ya \(R_0<1\).
• Muundo umechambuliwa kwa uthabiti wa Hyers–Ulam na Hyers–Ulam–Rassias.
• Data za visa vya Uganda za 29 Septemba–12 Novemba 2022 zilitumika katika ukadiriaji wa baadhi ya vigezo.
• Kwa seti ya vigezo iliyotumiwa, \(R_0=6,053288\) ilikokotolewa.
• Katika uigaji wa muundo, kuongezeka kwa vigezo vya uenezaji kunahusishwa na mzigo mkubwa zaidi wa maambukizi.
• Mekanizimu zinazohusiana na karantini, utengaji, kupunguza vimelea vya mazingira na mazishi salama huonyesha athari zinazoelekea kwenye udhibiti.

Matokeo yasiyoungwa mkono na utafiti

Utafiti haupimi kwa usahihi ni visa vingapi sera fulani ya karantini ingezuia katika ulimwengu halisi. Haujaribu ufanisi wa utengaji katika mfumo maalumu wa afya kwa data za uwanjani zilizofanyiwa randomization au kudhibitiwa. Haupimi ukubwa wa kisababishi wa athari ya hofu inayowakilishwa na kigezo \(\epsilon\) katika idadi halisi ya watu. Hauonyeshi kwamba thamani \(R_0=6,053288\) ni thabiti katika milipuko yote ya Ebola. Pia hauthibitishi kwa kulinganisha kwenye data huru za majaribio kwamba muundo wa kiwango cha sehemu hutabiri milipuko ya baadaye vizuri kuliko miundo ya kawaida.

Mapungufu makuu ya kimbinu na ya ndani ya chanzo

• Kipindi cha kalibresheni ni muda mmoja wa takriban siku 45 wa data za mlipuko wa Uganda.
• Data zinajumuisha idadi limbikizi ya visa vilivyothibitishwa; si data za kliniki za mtu binafsi.
• Baadhi ya vigezo vya muundo vililinganishwa na data, vingine vilikokotolewa, vingine vilitolewa kutoka fasihi, na vingine vilidhaniwa.
• Hakuna seti huru ya mafunzo/majaribio au uthibitishaji wa nje wa mbele iliyoripotiwa.
• Katika Kielelezo 2 cha chanzo, mhimili wa muda umewekewa lebo “Years” licha ya data kuwa za kila siku.
• Thamani ya awali ya idadi ya watu wanaoweza kuambukizwa imetolewa katika chanzo kwa namna mbili: \(47.249.435\) na \(47.249.458\).
• Katika Jedwali 4, unyeti wa \(\beta_1\) ni 0,6245, lakini kwa sababu mfano wa maandishi umetolewa kama %10 → %10, maelezo ya namba hayalingani kikamilifu.
• Ingawa unyeti wa −1,11230 kwa \(\mu\) umekokotolewa wazi, kigezo hiki hakipo katika Jedwali 4.
• Matumizi ya vigezo vya kiwango kwa nguvu za \(\varsigma\) katika muundo wa kiwango cha sehemu yametolewa na chanzo; hoja ya ulinganifu wa vipimo haikuendelezwa kama uchambuzi tofauti.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Utafiti asili: Mathematical analysis of a fractional Ebola transmission dynamics

Waandishi: Isaac Kwasi Adu; Joshua Kiddy K. Asamoah; Fredrick A. Wireko.

Mpangilio wa waandishi: Mpangilio wa chanzo umehifadhiwa kama ulivyo.

Mchango sawa: Hakuna taarifa ya uandishi mwenza wa kwanza kwa usawa au mchango sawa inayoonekana katika PDF.

Corresponding author: Isaac Kwasi Adu; anaonyeshwa kama mwandishi wa mawasiliano kwa alama ya bahasha katika sehemu ya mawasiliano ya ukurasa wa kwanza wa PDF.

Taasisi 1: Mathematical Sciences Department, Kumasi Technical University, Kumasi, Ghana.

Taasisi 2: Department of Mathematics, Saveetha School of Engineering, SIMATS, Chennai, India.

Taasisi 3: Department of Mathematics, Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Kumasi, Ghana.

Jarida: Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics.

Mchapishaji / mwenye leseni: Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature.

Juzuu / namba ya makala: Volume 15, Article 182.

Toleo/issue: Taarifa za bibliografia juu ya PDF hazionyeshi wazi namba tofauti ya toleo.

DOI: 10.1007/s13721-026-00837-w.

Tarehe ya kuwasilisha: 10 Machi 2026.

Tarehe ya marekebisho: 4 Julai 2026.

Tarehe ya kukubaliwa: 8 Julai 2026.

Tarehe ya kuchapishwa mtandaoni: 12 Agosti 2026.

Aina ya chanzo: Original Article; epidemiolojia ya kihisabati / utafiti wa uigaji wa mfumo wa nguvu wa kiwango cha sehemu.

Hali ya peer review: Chanzo kimechapishwa kama Original Article katika jarida la Springer Nature na PDF ina tarehe za kuwasilisha, kurekebisha na kukubaliwa; utafiti ni makala ya jarida iliyochapishwa.

Leseni/hakimiliki: PDF ina kauli “© The Author(s), under exclusive licence to Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature 2026”. Makala haijawekwa alama kuwa na leseni ya wazi ya Creative Commons. Kwa hiyo, mchoro wa muundo ndani ya Verianla haukutumiwa kama nakala ya kielelezo cha chanzo; ulijengwa upya kwa kujitegemea kutokana na mahusiano yaliyoonyeshwa wazi katika milinganyo.

Ufadhili: None declared.

Upatikanaji wa data: Waandishi wanasema data zilizotumiwa katika utafiti zinapatikana ndani ya makala. Utafiti pia unaeleza kwamba data za mlipuko wa Uganda zilikusanywa kutoka vyanzo vya wazi.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wanatangaza kwamba hakuna competing interests.

Michango ya waandishi: Isaac K. Adu; amebainishwa kwa michango ya conceptualization, utafiti, kuandika rasimu ya kwanza, mbinu, mapitio na uhariri, programu, formal analysis na data curation. Joshua Kiddy K. Asamoah; conceptualization, utafiti, kuandika rasimu ya kwanza, validation, mbinu, mapitio na uhariri, programu, formal analysis na ushauri/usimamizi. Fredrick A. Wireko; conceptualization, kuandika rasimu ya kwanza, mbinu, mapitio na uhariri na formal analysis.

Mbinu kuu: Muundo wa deterministiki wa Ebola wenye sehemu nane; derivative ya kiwango cha sehemu ya Atangana–Baleanu–Caputo; uchambuzi wa positivity na invariant region; uwepo na upekee kwa mkabala wa fixed point/Lipschitz; \(R_0\) kwa njia ya next-generation matrix; uchambuzi wa Jacobian na uthabiti wa kiwango cha sehemu; uthabiti wa Hyers–Ulam na Hyers–Ulam–Rassias; kalibresheni ya vigezo kwa least squares; PRCC na uchambuzi wa unyeti uliorekebishwa; suluhu ya namba ya predictor–corrector ya kiwango cha sehemu ya Adams–Bashforth–Moulton.

Mpaka mkuu wa tafsiri: Utafiti huu ni kazi ya uigaji wa kinadharia na wa namba iliyokalibishwa kwa data za visa vya epidemiolojia. Matokeo ya muundo hayapaswi kutafsiriwa kama ushahidi wa ufanisi wa kitabibu, utabiri wa mgonjwa mmoja mmoja, au ukubwa sahihi wa athari katika ulimwengu halisi wa utekelezaji wowote wa karantini/utengaji. Ukweli kwamba vigezo vinatoka katika vyanzo tofauti na kwamba hakuna uthibitishaji huru wa nje pia huweka mipaka kwa uwezo wa kujumlisha matokeo.