Atangana–Baleanu–Caputo kəsr dərəcəli Ebola modeli, Ebola yoluxmasını yalnız mövcud epidemioloji vəziyyətin ani dəyişməsi ilə deyil, sistemin keçmiş vəziyyətlərinin riyazi təsirini də daşıyan kəsr törəmə quruluşu ilə təmsil edən səkkiz bölməli epidemioloji modeldir. Tədqiqat həssas (S), məruz qalmış (E), karantində olan (Q), yoluxmuş (I), təcrid edilmiş (J), sağalmış (R), ölmüş (D) şəxsləri və ətraf mühitdəki Ebola patogenlərini (P) birlikdə modelləşdirir; həmçinin qorxu davranışı, karantin, təcrid, təhlükəsiz dəfn və ətraf mühitin kontaminasiyası kimi prosesləri tənliklərə daxil edir.

Model Uqandada 29 sentyabr 2022-ci ildən 12 noyabr 2022-ci ilədək bildirilmiş kumulyativ Ebola hallarına ən kiçik kvadratlar üsulu ilə kalibrasiya edilmişdir. Tədqiqatda bəzi parametrlər bu məlumatlara uyğunlaşdırılmış, bəziləri demoqrafik məlumatlardan hesablanmış, bəziləri əvvəlki ədəbiyyatdan götürülmüş, bəziləri isə fərz edilmişdir. Buna görə model tamamilə məlumatdan öyrənilmiş sistem deyil; məlumatla kalibrasiya olunan, həm də ədəbiyyat və fərziyyə komponentləri olan mexanistik riyazi modeldir.

Müəlliflərin istifadə etdiyi parametr dəsti altında əsas reproduksiya sayı R₀ = 6,053288 kimi hesablanmışdır. Bu qiymət həmin modelin müəyyən parametr kombinasiyası üçün əldə edilən hədd göstəricisidir; Uqandadakı bütün Ebola şəraiti üçün dəyişməz və ya universal bioloji sabit deyil. Modelin nəzəri təhlili həllərin mənfi əhali qiymətlərinə getmədiyini, uyğun sahədə məhdud qaldığını, müəyyən riyazi şərtlər altında həllin mövcud və yeganə olduğunu və xəstəliksiz tarazlıq nöqtəsinin R₀ < 1 olduqda lokal olaraq dayanıqlı hala gəldiyini göstərir.

Ədədi simulyasiyalarda insan–insan və ətraf mühit–insan yoluxmasını təmsil edən parametrlərin artması yoluxmuş və ya infeksiya ilə əlaqəli bölmələrin artması ilə əlaqələndirilərkən; təcrid, sağalma, təhlükəsiz dəfn və ətraf mühit patogenlərinin azalması ilə əlaqəli parametrlər yoluxmanın nəzarətinə yönələn təsirlər göstərir. Müəlliflər xüsusilə karantin və təcridin epidemiyanın nəzarətində vacib olduğunu vurğulayırlar. Bununla belə, bunlar model əsaslı nəticələrdir; tədqiqat yeni klinik müalicə sınağı, randomizə edilmiş ictimai səhiyyə müdaxiləsi və ya müstəqil perspektiv proqnoz doğrulaması təqdim etmir.

Ətraflı izah

Tədqiqatın həll etməyə çalışdığı problem

Klassik epidemioloji diferensial tənlik modellərində sistemin müəyyən andakı dəyişməsi əsasən həmin andakı vəziyyət dəyişənləri əsasında hesablanır. Bu tədqiqat isə Ebola yoluxmasındakı bəzi proseslərin keçmiş vəziyyətlərin təsirini daşıya biləcəyi fikrindən çıxış edərək kəsr dərəcəli törəmə yanaşmasından istifadə edir. Müəlliflərin əsas iddiası budur ki, kəsr modelləri bu cür yaddaş və qeyri-lokal təsirləri klassik tam dərəcəli modellərdən fərqli şəkildə riyazi olaraq təmsil edə bilər.

Tədqiqatın orijinal töhfəsi üç başlıq altında təqdim olunur. Birincisi, Juga və həmkarlarının əvvəlki modelinə məruz qalmış, karantində olan və təcrid edilmiş şəxslər kimi əlavə bölmələr daxil edilir. İkincisi, sistem Atangana–Baleanu törəməsinin Caputo mənasındakı forması ilə kəsr dərəcəyə çevrilir. Üçüncüsü isə parametrlərin mühüm bir hissəsi Uqandanın sentyabr–noyabr 2022 hal məlumatlarına uyğunlaşdırılır.

Atangana–Baleanu–Caputo kəsr törəməsi bu modeldə niyə istifadə olunur?

Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) kəsr törəməsi vəziyyət dəyişəninin dəyişməsini yalnız bir zaman nöqtəsinə bağlamaq əvəzinə əvvəlki zamanların çəkili təsirlərini inteqral formasında daşıyan, singular olmayan nüvədən istifadə edən kəsr törəmə operatorudur; bu tədqiqatda istifadə məqsədi Ebola modelinə riyazi yaddaş və qeyri-lokal zaman təsirləri qazandırmaqdır.

Əvvəlcə Riemann–Liouville inteqralının məntiqi

Tədqiqat kəsr hesablamasının əsasını Riemann–Liouville inteqralı ilə başlayır. Mənbədəki Tənlik (1) aşağıdakı quruluşdadır:

\[ D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{1}{\Gamma(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}h(\omega)\,d\omega, \qquad \varsigma>0. \]

Burada \(\varsigma\) kəsr dərəcəni, \(\Gamma(\varsigma)\) Gamma funksiyasını, \(\mathfrak{I}\) qiymətləndirmə zamanını və \(\omega\) keçmiş zamanları skan edən inteqral dəyişənini ifadə edir. \((\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}\) termini keçmişdəki qiymətlərin bugünkü hesablamaya hansı çəki ilə daxil olduğunu müəyyən edən nüvə quruluşunun bir hissəsidir.

ABC törəməsinin mənbədə verilən forması

Mənbənin Tənlik (2)-sində ABC törəməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

\[ {}_{\ast_1}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{T(\varsigma)}{1-\varsigma} \int_{\ast_1}^{\mathfrak{I}} h'(\omega) F_{\varsigma} \left[ -\frac{\varsigma(\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma}}{1-\varsigma} \right]d\omega. \]

\(T(\varsigma)\) mənbədə \(T(0)=T(1)=1\) şərtini ödəyən normallaşdırma funksiyasıdır. \(F_{\varsigma}\) isə tədqiqatın Mittag–Leffler nüvə quruluşunda istifadə etdiyi funksiyadır. İnteqral \(h'(\omega)\) qiymətlərini keçmiş zaman boyunca topladığı üçün törəmə qeyri-lokal əməliyyata çevrilir. Başqa sözlə, klassik birinci törəmə yalnız ani dəyişməni təmsil etdiyi halda, bu quruluş keçmiş vəziyyətlərin riyazi izini də nəzərə alır.

Kəsr dərəcə \(\varsigma\) tədqiqatın simulyasiyalarında 1, 0,98, 0,96, 0,94 və 0,92 kimi qiymətlərdə araşdırılmışdır. \(\varsigma=1\) klassik tam dərəcəli sərhədə yaxınlaşdığı halda, daha kiçik kəsr qiymətləri fərqli yaddaş davranışlarının modelləşdirilməsinə imkan verir. Lakin \(\varsigma\)-nın real dünyada ölçülə bilən tək bioloji “yaddaş faizi” olduğu nəticəsi bu tədqiqatdan çıxarılmamalıdır; burada \(\varsigma\) riyazi modelin kəsr dərəcəsidir.

Modelin səkkiz vəziyyət dəyişəni

İnfeksiya qüvvəsi necə hesablanır?

Mənbənin Tənlik (5)-ində yeni məruz qalmaların əsas müəyyənedicisi olan infeksiya qüvvəsi \(\lambda\) belə təyin edilir:

\[ \lambda = \frac{\beta_1P}{K+P} + \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D}. \]

Bu tənlik iki yoluxma kanalını eyni ifadədə birləşdirir. Birinci termin ətraf mühitdən yoluxmanı, ikinci termin isə insanlarla və modeldə yoluxduruculuğa töhfə verən digər insan bölmələri ilə əlaqəli yoluxmanı təmsil edir.

\(\beta_1\), həssas insanla ətraf mühit patogenləri arasındakı effektiv təmas/yoluxma parametridir. \(\beta_2\) həssas və yoluxmuş şəxslər arasındakı yoluxma parametridir. \(P/(K+P)\) ifadəsi ətraf mühit patogen yükü artdıqda ətraf mühitdən yoluxma töhfəsinin xətti şəkildə məhdudiyyətsiz artmaması üçün doyma formasında qurulmuşdur. Mənbə \(K\)-nı ətraf mühit patogen miqdarı ilə əlaqəli yarım-doyma həddi kimi izah edir.

\(\omega_1\), \(\omega_2\) və \(\omega_3\) tənlik daxilində müvafiq olaraq \(J\), \(D\) və \(Q\) bölmələrinin birbaşa \(I\) sinfinə nəzərən çəkilərini müəyyən edir. Mənbədə bu parametrləri izah edən ətraf mətn ilə Tənlik (5)-dəki cəbri rollar tam olaraq eyni terminologiya ilə verilməmişdir; buna görə burada tənliyin açıq riyazi rolu əsas götürülmüş və mənbədə olmayan yeni bioloji mənalar əlavə edilməmişdir.

\(1+\epsilon D\) məxrəci isə tədqiqatın “qorxu təsiri” adlandırdığı davranış komponentidir. Model fərziyyəsinə görə ölüm sayının artması cəmiyyətdə ehtiyatlı davranışı artıra və effektiv təması azalda bilər. Buna görə \(\epsilon>0\) olduqda \(D\)-nin böyüməsi ikinci yoluxma terminini kiçildə bilər. Bu əlaqə model fərziyyəsidir; tədqiqat qorxunun real həyatda yoluxmanı müəyyən miqdarda azaltdığını eksperimental olaraq ölçmür.

Klassik səkkiz tənlikli sistem

Mənbə əvvəlcə modeli tam dərəcəli diferensial tənliklərlə qurur:

\[ \frac{dS}{d\mathfrak{I}} = \pi-(\lambda+\mu)S+\eta R+ek_1Q, \]

\[ \frac{dE}{d\mathfrak{I}} = \lambda S-(\mu+k_2+k_3)E, \]

\[ \frac{dQ}{d\mathfrak{I}} = k_2E-(\mu+e)Q, \]

\[ \frac{dI}{d\mathfrak{I}} = k_3E-(\mu+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)I, \]

\[ \frac{dJ}{d\mathfrak{I}} = \sigma_2I+e(1-k_1)Q-(\gamma_1+\gamma_2+\mu)J, \]

\[ \frac{dD}{d\mathfrak{I}} = \sigma_3I+\gamma_2J-\rho D, \]

\[ \frac{dP}{d\mathfrak{I}} = \tau_1I+\tau_2D-\theta P, \]

\[ \frac{dR}{d\mathfrak{I}} = \sigma_1I+\gamma_1J-(\mu+\eta)R. \]

Hər tənlik “girişlər minus çıxışlar” balansıdır. Məsələn, \(E\) sinfinə \(\lambda S\) ilə yeni məruz qalma daxil olur; \(k_2E\) ilə karantinə və \(k_3E\) ilə yoluxmuş sinfə keçid baş verir; təbii ölüm \(\mu E\) də bu sinifdən çıxış yaradır. Eyni şəkildə \(I\) sinfinə \(k_3E\) ilə giriş edilərkən sağalma \(\sigma_1I\), təcrid \(\sigma_2I\), Ebola səbəbli ölüm \(\sigma_3I\) və təbii ölüm \(\mu I\) çıxış terminləridir.

Mənbə mətnində təcrid edilmiş şəxslərin “\(\gamma_1\) sürəti ilə sağaldığı və ya \(\gamma_1\) sürəti ilə öldüyü” şəklində yazılış var. Lakin Cədvəl 1 və model tənlikləri sağalma üçün \(\gamma_1\), Ebola səbəbli ölüm üçün \(\gamma_2\)-dən açıq şəkildə istifadə edir. Buna görə bu Verianla təqdimatında tənliklər və parametr cədvəli əsas götürülmüş, mənbə mətndəki həmin təkrar gizlədilməmişdir.

Kəsr dərəcəli sistem necə əldə edilir?

Tənlik (7)-də klassik \(d/d\mathfrak{I}\) törəmələrinin yerini ABC kəsr törəmələri tutur. Mənbə həmçinin sürət parametrlərini kəsr modeldə \(\varsigma\) üst indeksi ilə göstərir:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma} -(\lambda+\mu^{\varsigma})S +\eta^{\varsigma}R +e^{\varsigma}k_1Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}E = \lambda S-(\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma})E, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Q = k_2^{\varsigma}E-(\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma})Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}I = k_3^{\varsigma}E- (\mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma})I, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}J = \sigma_2^{\varsigma}I+ e^{\varsigma}(1-k_1)Q- (\gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma})J, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I+\gamma_2^{\varsigma}J-\rho^{\varsigma}D, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I+\tau_2^{\varsigma}D-\theta^{\varsigma}P, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}R = \sigma_1^{\varsigma}I+\gamma_1^{\varsigma}J- (\mu^{\varsigma}+\eta^{\varsigma})R. \]

Mənbə bu üst indeksli parametr yazılışından öz kəsr model formulyasiyasında istifadə edir. Tədqiqat parametrlərin kəsr qüvvətlərə yüksəldilməsinin ölçü vahidinə çevrilməsini ayrıca ətraflı şəkildə çıxarmır; buna görə Verianla izahı bu quruluşu mənbədə olduğu kimi qoruyur və yeni ölçü əsaslandırması uydurmur.

Müsbətlik niyə yoxlanılır?

Epidemioloji modeldə əhali saylarının və ya ətraf mühit patogen miqdarının mənfi olması bioloji baxımdan mənasızdır. Buna görə müəlliflər \(S,E,Q,I,J,D,P,R\geq0\) başlanğıc şərtlərindən başlayan həllin mənfi sahəyə keçmədiyini göstərməyə çalışırlar.

Məsələn, \(S=0\) sərhədində:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma}+\eta^{\varsigma}R+e^{\varsigma}k_1Q \geq0. \]

Bu nəticə \(S\) sıfıra çatdıqda vektor sahəsinin onu mənfi sahəyə sürükləmədiyini göstərir. Mənbə eyni sərhəd yoxlamasını digər yeddi vəziyyət dəyişəni üçün də tətbiq edir.

Məhdudluq və tətbiq oluna bilən sahə

Müəlliflər yaşayan insan bölmələrinin cəmini:

\[ N(\mathfrak{I})=S+E+Q+I+J+R \]

şəklində müəyyən edir və müqayisə yanaşması ilə:

\[ N(\mathfrak{I}) \leq \max \left\{ N(0), \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}} \right\} \]

yuxarı sərhədini əldə edirlər. Oxşar yuxarı sərhədlər \(D\) və \(P\) üçün də çıxarılaraq həllin bioloji cəhətdən mənalı və məhdud tətbiq oluna bilən sahədə qaldığı irəli sürülür. Buradakı “well-posed” ifadəsi xəstəliyin klinik baxımdan yaxşı idarə edildiyi demək deyil; riyazi problemin uyğun həll xüsusiyyətlərinə malik olması deməkdir.

Mövcudluq və yeganəlik nə deməkdir?

Model qeyri-xəttidir və kəsr inteqral quruluşu ehtiva edir. Müəlliflər həllin həqiqətən mövcud olduğunu və eyni başlanğıc şərtlərindən bir-birinə zidd birdən çox həll çıxmadığını göstərmək üçün Banach fəzası, supremum norması, Lipschitz şərti və sabit nöqtə yanaşmasından istifadə edirlər.

Modelin kəsr inteqral formasının ümumi quruluşu:

\[ X(\mathfrak{I})-X(0) = \frac{1-\varsigma}{C(\varsigma)}B(X(\mathfrak{I}),\mathfrak{I}) + \frac{\varsigma}{\Gamma(\varsigma)C(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1} B(X(\omega),\omega)\,d\omega \]

şəklindədir. Burada \(X\) səkkiz vəziyyət dəyişənindən hər hansı birini; \(B\) isə həmin bölməyə aid qeyri-xətti sağ tərəf funksiyasını təmsil edir. Lipschitz şərtinin əsas məntiqi iki fərqli namizəd həll arasındakı fərq böyüdükdə sağ tərəf funksiyalarının fərqinin nəzarətsiz şəkildə böyüməməsidir:

\[ \|B(X)-B(X_1)\| \leq \kappa\,\|X-X_1\|. \]

Müəlliflər səkkiz model nüvəsi üçün bu tip sərhədlər qurub ardıcıl yaxınlaşma sıralarının yığılmasından istifadə etməklə həllin mövcudluğunu və yeganəliyini dəstəkləyirlər.

Əsas reproduksiya sayı R0 bu modeldə nəyi ifadə edir?

Əsas reproduksiya sayı \(R_0\), modeldə tam həssas əhaliyə daxil olan infeksiyanın yarada biləcəyi ikincili infeksiya potensialını ümumiləşdirən hədd göstəricisidir; tədqiqatda \(R_0<1\) xəstəliksiz tarazlığın lokal dayanıqlığı, \(R_0>1\) isə infeksiyanın davam edə bilmə potensialı ilə əlaqələndirilir.

Xəstəliksiz tarazlıq

Mənbə xəstəliksiz tarazlıq nöqtəsini:

\[ E^0= \left( \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \]

şəklində verir. Bu halda yalnız həssas əhali mövcuddur; məruz qalmış, karantində olan, yoluxmuş, təcrid edilmiş, ölmüş, ətraf mühit patogeni və sağalmış siniflər sıfırdır.

R0 necə əldə edilir?

Müəlliflər yeni nəsil matris üsulundan istifadə edirlər. İnfeksiya yaradan terminlər \(F\), yoluxmuş alt sistemdəki digər keçidlər isə \(V\) matrisi daxilində toplanır və:

\[ R_0=\rho^{\ast}(FV^{-1}) \]

hesablanır. Buradakı \(\rho^{\ast}\) matrisin spektral radiusunu, yəni öz qiymətlərinin mütləq qiymətləri içində ən böyük dəyəri ifadə edir.

Mənbə hesablamanı sadələşdirmək üçün:

\[ \varpi_1=\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_2=\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_3= \mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_4= \gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_5=e^{\varsigma}(1-k_1) \]

köməkçi kəmiyyətlərini müəyyən edir. Əldə olunan uzun \(R_0\) ifadəsi həm \(\beta_2\) ilə təmsil olunan insanla əlaqəli yoluxma yollarını, həm də \(\beta_1\), \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\theta\) və \(K\) vasitəsilə ətraf mühit yoluxma yolunu ehtiva edir. Buna görə \(R_0\) təkcə bir təmas əmsalının deyil, modeldə yoluxmuş şəxslərin, təcridin, ölümün, karantinin və ətraf mühit patogen dövrünün birgə nəticəsidir.

R0 < 1 niyə kritikdir?

Mənbənin Teorem 5-inə görə xəstəliksiz tarazlıq \(R_0<1\) olduqda lokal asimptotik dayanıqlı, \(R_0>1\) olduqda isə dayanıqsızdır. Müəlliflər bunu Jacobian matrisinin öz qiymətləri üzərindən araşdırırlar. Kəsr sistemlərdə əlavə olaraq öz qiymətlərin kompleks müstəvidəki bucaqları üçün kəsr dayanıqlıq şərti tətbiq edilir.

Bu hədd şərhi “R0 bu gün 1-dən aşağı düşəndə epidemiya dərhal bitir” demək deyil. Riyazi olaraq \(R_0<1\), xəstəliksiz tarazlıq ətrafındakı kiçik infeksiyaların uzun müddətdə böyüməməsi üçün tələb olunan hədd şərtini ifadə edir.

Hyers–Ulam dayanıqlığı nədir?

Hyers–Ulam dayanıqlığı tənliyi kiçik xəta ilə ödəyən təqribi həllin həqiqi həllə nə qədər yaxın qala biləcəyini araşdıran riyazi möhkəmlik anlayışıdır. Mənbədə təqribi həll üçün:

\[ \left\| {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Z(\mathfrak{I}) - \Phi(\mathfrak{I},Z(\mathfrak{I})) \right\| \leq\delta \]

şərti istifadə olunur. Buradakı \(\delta\) tənlikdə icazə verilən kiçik sapmanın ölçüsüdür. Əgər bu təqribi həll ilə həqiqi həll \(Z^\ast\) arasında:

\[ \|Z-Z^\ast\|\leq\lambda_p\delta \]

kimi sərhəd qurmaq mümkündürsə, kiçik tənlik xətalarının məhdudiyyətsiz həll sapmalarına çevrilmədiyi deyilə bilər.

Mənbə həmçinin qeyri-xətti nüvə üçün Lipschitz sabiti \(L_{\Phi}\)-dən istifadə edərək:

\[ \Lambda= \frac{1-\varsigma}{W(\varsigma)}L_{\Phi} + \frac{T^{\varsigma}}{W(\varsigma)\Gamma(\varsigma)}L_{\Phi} <1 \]

şərti altında Hyers–Ulam dayanıqlığını və daha sonra Hyers–Ulam–Rassias dayanıqlığını çıxarır. Bu riyazi dayanıqlıq “Ebola epidemiyası real dünyada dayanıqlıdır” demək deyil; həll operatorunun kiçik riyazi perturbasiyalara qarşı nəzarət altında qalması deməkdir.

Tədqiqatın üsulu və nəticələri

İstifadə olunan real hal məlumatları

Model Uqandada 29 sentyabr 2022-ci ildən 12 noyabr 2022-ci ilədək bildirilmiş kumulyativ təsdiqlənmiş Ebola hallarının sayı istifadə edilməklə kalibrasiya edilmişdir. Mənbə məlumat dəstinin Uqanda Səhiyyə Nazirliyinin bülletenləri, ECDC müşahidə məlumatları və WHO Afrika Regional Ofisinin məlumatlarından toplanmış açıq məlumat dəstindən götürüldüyünü bildirir.

Ən kiçik kvadratlarla parametr qiymətləndirilməsi

Müəlliflər model çıxışı ilə müşahidə olunan kumulyativ hal qiymətləri arasındakı kvadrat fərqlərin cəmini minimumlaşdıran ən kiçik kvadratlar yanaşmasından istifadə edirlər. Mənbənin Tənlik (48)-də verdiyi simvolik quruluş:

\[ \mathcal{J}(\widetilde{k}) = \sum_{h=1}^{n} \left( \widetilde{k}_h-\mathcal{J}(h,\widetilde{k}) \right)^2 \]

şəklindədir. Əsas fikir budur: hər məlumat nöqtəsində müşahidə olunan qiymətlə modelin eyni nöqtədə yaratdığı qiymət arasındakı fərq götürülür, mənfi və müsbət xətaların bir-birini ləğv etməməsi üçün kvadratı hesablanır və bütün məlumat nöqtələri üzrə bu kvadratlar toplanır. Parametr optimallaşdırılması bu cəmi mümkün qədər azaltmağa çalışır.

Modelin kalibrasiyası

Mənbənin Şəkil 2-sində müşahidə olunan kumulyativ hallar ilə model əyrisi birlikdə göstərilmiş və qrafik üzərində Normallaşdırılmış Orta Kvadrat Xəta = 0,008898 qiyməti verilmişdir. Qalıq qrafiki də model ilə müşahidə arasındakı fərqlərin zaman boyunca müsbət və mənfi istiqamətdə dəyişdiyini göstərir.

Burada mühüm mənbədaxili etiketləmə problemi var: istifadə olunan məlumatlar 29 sentyabr–12 noyabr 2022 arasındakı gündəlik müşahidələr olsa da, Şəkil 2-nin x oxunda “Years”, qalıq qrafikində isə “Time (years)” ifadələri var. Məlumat cədvəli və tədqiqatın üsul izahı gündəlik zaman sırasını açıq şəkildə göstərdiyinə görə, bu ox etiketi mənbədaxili qrafik etiketləmə uyğunsuzluğu kimi qorunmalıdır; Verianla bunu “illik məlumat” kimi şərh etmir.

Başlanğıc qiymətlər

Mənbə Uqandanın 2022-ci il əhalisini \(N(0)=47.249.585\) götürür və başlanğıc bölmələrini:

\[ E(0)=75,\quad Q(0)=40,\quad I(0)=23,\quad J(0)=12,\quad D(0)=0,\quad P(0)=0,\quad R(0)=0 \]

şəklində verir. Bu qiymətlərin cəmi 150 olduğuna görə mənbənin 23-cü səhifəsində:

\[ S(0)=47.249.585-150=47.249.435 \]

hesabı yazılır. Lakin tədqiqatın sonrakı ədədi simulyasiya bölməsində \(S(0)=47.249.458\) qiyməti verilir. İki ədəd arasında 23 nəfərlik fərq var. PDF bu fərqi izah etmir. Buna görə burada qiymətlərdən biri səssizcə düzəldilməmiş; başlanğıc şərtləri üçün mənbədaxili uyğunsuzluq açıq şəkildə göstərilmişdir.

Parametr qiymətləri

Cədvəlin ən mühüm öyrədici məqamı parametrlərin hamısının eyni üsulla əldə edilməməsidir. Məsələn, \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(k_1\), \(k_2\), \(\tau_1\), \(\epsilon\), \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\theta\), \(e\), \(\eta\) və \(K\) məlumata uyğunlaşdırıldığı halda; \(\sigma_2\) və \(\sigma_3\) fərz edilmiş, \(\tau_2\) və \(\rho\) əvvəlki ədəbiyyatdan götürülmüşdür. Bu qarışıq parametr mənbəyi model nəticələrinin şərh sərhədinin mühüm hissəsidir.

Əsas reproduksiya sayının həssaslıq təhlili

Normallaşdırılmış irəli həssaslıq indeksi ümumilikdə:

\[ X_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \]

şəklində şərh oluna bilər. Müsbət indeks parametr artdıqda \(R_0\)-ın lokal olaraq eyni istiqamətdə hərəkət etdiyini; mənfi indeks isə əks istiqamətdə hərəkət etdiyini göstərir. Mütləq qiymət böyüdükcə \(R_0\)-ın həmin parametrə lokal həssaslığı artır.

Mənbə həmçinin \(\mu\) üçün ayrıca:

\[ X_{\mu}^{R_0}=-1,11230 \]

qiymətini verir. Bu qiymət Cədvəl 4-də yer almasa da, mətndə hesablanmışdır.

Burada başqa bir mənbədaxili uyğunsuzluq var. Mətn \(\beta_1\)-də 10%-lik dəyişikliyin \(R_0\)-da 10%-lik dəyişikliyə səbəb olacağını deyir; lakin Cədvəl 4-də \(\beta_1\) həssaslıq indeksi 0,6245-dir. Oxşar olaraq \(\mu\) üçün mətndə təxminən birə-bir faiz dəyişimi nümunəsi verildiyi halda, açıq düstur −1,11230 nəticəsini göstərir. Buna görə bu Verianla təqdimatında istiqamət məlumatı və cədvəldə/düsturda açıq şəkildə verilən ədədi indekslər qorunmuş, mətndəki faiz nümunələri dəqiq kəmiyyət nəticəsi kimi təkrarlanmamışdır.

R0 = 6,053288 nə deməkdir?

Müəlliflər məlumata uyğunlaşdırılmış parametrlərlə ədəbiyyatdan və fərziyyələrdən gələn parametrləri birlikdə istifadə edərək \(R_0=6,053288\) nəticəsinə çatırlar. Bu qiymət modelin seçilmiş başlanğıc şərtləri və parametr dəsti altında xəstəliyin xəstəliksiz tarazlıq həddinin üzərində olduğunu göstərir.

Bu rəqəm “Ebola daşıyan hər insan mütləq 6,053288 nəfəri yoluxdurur” kimi oxunmamalıdır. \(R_0\) çoxsaylı yoluxma və keçid yollarını vahid hədd göstəricisində birləşdirən model çıxışıdır və parametrlər dəyişdikdə özü də dəyişir.

Ədədi həll üsulu

Kəsr modelin təqribi həlləri kəsr Adams–Bashforth–Moulton proqnozlaşdırıcı–korrektor üsulu ilə hesablanmışdır. Bu üsul qeyri-xətti kəsr diferensial tənliklərdə əvvəlcə növbəti həll qiyməti üçün proqnoz yaradır, sonra inteqral tənlik quruluşundan istifadə edərək proqnozu düzəldir. Bu yanaşmanın seçilmə səbəbi tədqiqatda kəsr operatorlarının keçmişdən asılı quruluşunu ədədi şəkildə izləyə bilməsidir.

Kəsr dərəcə dəyişdirildikdə nə baş verir?

Mənbənin Şəkil 6 və Şəkil 7-sində \(\varsigma=1, 0,98, 0,96, 0,94, 0,92\) qiymətləri müqayisə edilir. Simulyasiyalarda kəsr dərəcə 1-ə yaxınlaşdıqca \(E\), \(I\), \(J\), \(D\) və \(P\) kimi müxtəlif bölmələrdə daha yüksək trayektoriyalar müşahidə olunur, həssas \(S\) sinfində azalma isə daha aydın olur. \(Q\) karantin və \(R\) sağalma bölmələri də kəsr dərəcədən asılı olaraq fərqli trayektoriyalar izləyir.

Bu əyrilər modelin yaddaş parametrinə həssas olduğunu göstərir; lakin əyrilərin bir-birindən fərqli olması təkbaşına hansı kəsr dərəcənin real epidemioloji prosesi ən düzgün təmsil etdiyini sübut etmir. Müəlliflər daha aşağı kəsr qiymətlərinin bəzi davranışlarda daha uyğun/dayanıqlı nəticələr verdiyini şərh edirlər, lakin fərqli \(\varsigma\) qiymətlərinin proqnoz uğuru müstəqil xarici doğrulama dəsti ilə müqayisə edilməmişdir.

Yoluxma parametrlərinin təsiri

Ədədi simulyasiyalarda \(\beta_1\) və \(\beta_2\) artdıqda məruz qalmış, karantində olan, yoluxmuş, təcrid edilmiş və ölmüş şəxslərlə ətraf mühit patogen yükünün artdığı bildirilir. Bu nəticə \(R_0\) təhlilindəki müsbət yoluxma həssaslıqları ilə eyni istiqamətdədir.

\(\beta_1\) ətraf mühit yoluxma kanalına, \(\beta_2\) isə insanla əlaqəli yoluxma kanalına daxil olduğuna görə, model riyaziyyatında bu parametrlərin artması infeksiya qüvvəsinin yüksəlməsinə birbaşa töhfə verir. Buna görə tapıntının bir hissəsi model tənliyinin struktur nəticəsidir.

Ətraf mühit patogeninin saçılması

\(\tau_1\) yoluxmuş şəxslərin, \(\tau_2\) isə ölmüş şəxslərin ətraf mühit patogeni bölməsinə töhfə sürətini təmsil edir. Model:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I + \tau_2^{\varsigma}D - \theta^{\varsigma}P \]

tənliyinə malik olduğuna görə \(\tau_1\) və ya \(\tau_2\)-nin artması \(P\)-yə giriş axınını artırdığı halda, \(\theta\)-nın artması ətraf mühitdəki patogen yükünü azaldan çıxışı gücləndirir. Tədqiqatın həssaslıq təhlili də \(\theta\) üçün mənfi \(R_0\) həssaslığı bildirir.

Təhlükəsiz dəfn və ρ parametri

\(\rho\), Ebola səbəbilə ölmüş şəxslərin sistemdəki \(D\) sinfindən təhlükəsiz şəkildə çıxarılma sürətidir:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I + \gamma_2^{\varsigma}J - \rho^{\varsigma}D. \]

Modeldə \(D\) həm də insanla əlaqəli infeksiya qüvvəsinə və \(\tau_2D\) vasitəsilə ətraf mühit patogen yükünə töhfə verə bildiyinə görə, \(\rho\)-nun artması bu yolların müddətini azalda bilər. Mənbədə \(\rho\)-nun \(R_0\) həssaslığı −0,3755 kimi verilmişdir.

Qorxu parametri ε

Mənbənin Şəkil 16-sında \(\epsilon\) artırıldıqda \(E\), \(I\), \(Q\) və \(J\) trayektoriyalarının azaldığı bildirilir. Bunun riyazi səbəbi:

\[ \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D} \]

terminində \(\epsilon D\)-nin məxrəci böyütməsidir. Müəlliflərin şərhi ölümün görünürlüğünün cəmiyyətdə ehtiyatlı davranışı artıra və bunun effektiv təması azalda biləcəyi yönündədir.

Bu nəticə davranış elmlərinə aid sahə sınağı deyil. “Qorxu Ebolanın qarşısını alır” kimi ümumiləşdirilə bilməz. Tədqiqat yalnız müəyyən davranış təsirinin \(\epsilon\) parametri ilə riyazi şəkildə təmsil edildiyi ssenarinin nəticələrini göstərir.

Karantin və təcrid

Modeldə məruz qalmış şəxslər \(k_2E\) ilə karantinə, yoluxmuş şəxslər isə \(\sigma_2I\) ilə təcridə keçirlər. Karantində olan şəxslərin \(k_1\) nisbətində hissəsi yenidən həssas sinfə, qalan hissəsi isə \(e(1-k_1)Q\) ilə təcridə yönəlir.

Müəlliflərin ədədi simulyasiya və nəticə şərhi karantin və təcridi yoluxmuş və həssas şəxslərin təmasını məhdudlaşdıran əsas epidemiya nəzarəti komponentləri kimi göstərir. Bu nəticə modelin əsas ictimai səhiyyə çıxarımıdır.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• ABC kəsr törəməsindən istifadə etməklə səkkiz bölməli Ebola yoluxma modeli riyazi olaraq qurula bilər.
• Modelin həlləri uyğun başlanğıc şərtlərində müsbət və məhdud qalacaq şəkildə təhlil edilmişdir.
• Sabit nöqtə və Lipschitz yanaşması ilə həllin mövcudluğu və yeganəliyi üçün riyazi şərtlər qurulmuşdur.
• Xəstəliksiz tarazlığın \(R_0<1\) altında lokal dayanıqlı olduğu göstərilmişdir.
• Model Hyers–Ulam və Hyers–Ulam–Rassias dayanıqlığı baxımından təhlil edilmişdir.
• Uqandanın 29 sentyabr–12 noyabr 2022 hal məlumatları bəzi parametrlərin qiymətləndirilməsində istifadə edilmişdir.
• İstifadə olunan parametr dəsti ilə \(R_0=6,053288\) hesablanmışdır.
• Model simulyasiyalarında yoluxma parametrlərinin artması daha yüksək infeksiya yükü ilə əlaqəlidir.
• Karantin, təcrid, ətraf mühit patogenlərinin azaldılması və təhlükəsiz dəfnlə əlaqəli mexanizmlər nəzarət istiqamətində təsirlər göstərir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

Tədqiqat müəyyən karantin siyasətinin real dünyada dəqiq olaraq neçə halın qarşısını alacağını ölçmür. Təcridin müəyyən səhiyyə sistemində nə qədər effektiv olduğunu randomizə edilmiş və ya nəzarətli sahə məlumatları ilə sınaqdan keçirmir. \(\epsilon\) parametri ilə təmsil olunan qorxu təsirinin real əhalidə səbəb-nəticə böyüklüyünü ölçmür. \(R_0=6,053288\) qiymətinin bütün Ebola epidemiyalarında sabit olduğunu göstərmir. Həmçinin kəsr modelin gələcək epidemiyaları klassik modellərdən daha yaxşı proqnozlaşdırdığını müstəqil test məlumatları üzərində müqayisəli şəkildə doğrulamır.

Əsas metodoloji və mənbədaxili məhdudiyyətlər

• Kalibrasiya dövrü təxminən 45 günlük tək Uqanda epidemiya məlumat intervalıdır.
• Məlumat kumulyativ təsdiqlənmiş hal saylarından ibarətdir; fərdi klinik məlumat deyil.
• Model parametrlərinin bir hissəsi məlumata uyğunlaşdırılmış, bir hissəsi hesablanmış, bir hissəsi ədəbiyyatdan götürülmüş, bir hissəsi isə fərz edilmişdir.
• Müstəqil təlim/test və ya perspektiv xarici doğrulama dəsti bildirilməmişdir.
• Mənbənin Şəkil 2-sində gündəlik məlumat olmasına baxmayaraq zaman oxu “Years” kimi etiketlənmişdir.
• Başlanğıc həssas əhali qiyməti mənbədə \(47.249.435\) və \(47.249.458\) kimi iki fərqli formada verilmişdir.
• Cədvəl 4-də \(\beta_1\) həssaslığı 0,6245 olduğu halda, mətndəki nümunə %10 → %10 formasında verildiyinə görə ədədi izah tam uyğun gəlmir.
• \(\mu\) üçün −1,11230 həssaslığı açıq şəkildə hesablanmasına baxmayaraq, bu parametr Cədvəl 4-də yer almır.
• Kəsr modeldə sürət parametrlərinin \(\varsigma\) qüvvətləri ilə istifadəsi mənbə tərəfindən verilmişdir; ölçü uyğunluğunun əsaslandırılması ayrıca təhlil kimi inkişaf etdirilməmişdir.

Mənbə və üsul qeydi

Orijinal tədqiqat: Mathematical analysis of a fractional Ebola transmission dynamics

Müəlliflər: Isaac Kwasi Adu; Joshua Kiddy K. Asamoah; Fredrick A. Wireko.

Müəllif sırası: Mənbədəki sıra olduğu kimi qorunmuşdur.

Bərabər töhfə: PDF-də bərabər birinci müəlliflik və ya bərabər töhfə bildirişi görünmür.

Corresponding author: Isaac Kwasi Adu; PDF-in ilk səhifəsindəki əlaqə blokunda zərf işarəsi ilə məsul əlaqə müəllifi kimi göstərilir.

Qurum 1: Mathematical Sciences Department, Kumasi Technical University, Kumasi, Ghana.

Qurum 2: Department of Mathematics, Saveetha School of Engineering, SIMATS, Chennai, India.

Qurum 3: Department of Mathematics, Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Kumasi, Ghana.

Jurnal: Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics.

Nəşriyyat / lisenziya sahibi: Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature.

Cild / məqalə nömrəsi: Volume 15, Article 182.

Sayı/issue: PDF-in biblioqrafik üst məlumatında ayrıca say məlumatı açıq şəkildə göstərilmir.

DOI: 10.1007/s13721-026-00837-w.

Göndərilmə tarixi: 10 mart 2026.

Reviziya tarixi: 4 iyul 2026.

Qəbul tarixi: 8 iyul 2026.

Onlayn nəşr tarixi: 12 avqust 2026.

Mənbə növü: Original Article; riyazi epidemiologiya / kəsr dərəcəli dinamik sistem modelləşdirmə tədqiqatı.

Rəyçilik statusu: Mənbə Springer Nature jurnalında Original Article kimi dərc edilmiş və PDF-də göndərilmə, reviziya və qəbul tarixləri göstərilmişdir; tədqiqat dərc olunmuş jurnal məqaləsidir.

Lisenziya/müəllif hüququ: PDF-də “© The Author(s), under exclusive licence to Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature 2026” ifadəsi var. Məqalə Creative Commons açıq lisenziyalı kimi işarələnməyib. Buna görə Verianla daxilindəki model sxemi mənbə şəklinin surəti kimi istifadə edilməmiş, tənliklərdə açıq verilən əlaqələrdən müstəqil şəkildə yenidən qurulmuşdur.

Maliyyələşdirmə: None declared.

Məlumatların əlçatanlığı: Müəlliflər tədqiqatda istifadə olunan məlumatların məqalə daxilində olduğunu bildirirlər. Tədqiqat həmçinin Uqanda epidemiya məlumatlarının açıq mənbələrdən toplandığını izah edir.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər competing interests olmadığını bəyan edirlər.

Müəllif töhfələri: Isaac K. Adu; konseptuallaşdırma, tədqiqat, ilkin layihənin yazılması, metodologiya, nəzərdən keçirmə və redaktə, proqram təminatı, formal təhlil və məlumatların kurasiyası töhfələri ilə göstərilmişdir. Joshua Kiddy K. Asamoah; konseptuallaşdırma, tədqiqat, ilkin layihənin yazılması, doğrulama, metodologiya, nəzərdən keçirmə və redaktə, proqram təminatı, formal təhlil və məsləhət/nəzarət töhfələri ilə göstərilmişdir. Fredrick A. Wireko; konseptuallaşdırma, ilkin layihənin yazılması, metodologiya, nəzərdən keçirmə və redaktə və formal təhlil töhfələri ilə göstərilmişdir.

Əsas üsul: Səkkiz bölməli deterministik Ebola modeli; Atangana–Baleanu–Caputo kəsr törəməsi; müsbətlik və invariant sahə təhlili; sabit nöqtə/Lipschitz yanaşması ilə mövcudluq və yeganəlik; yeni nəsil matris üsulu ilə \(R_0\); Jacobian və kəsr dayanıqlıq təhlili; Hyers–Ulam və Hyers–Ulam–Rassias dayanıqlığı; ən kiçik kvadratlarla parametr kalibrasiyası; PRCC və normallaşdırılmış həssaslıq təhlili; kəsr Adams–Bashforth–Moulton proqnozlaşdırıcı–korrektor ədədi həlli.

Əsas şərh sərhədi: Bu tədqiqat epidemioloji hal məlumatlarına kalibrasiya edilmiş nəzəri və ədədi modelləşdirmə tədqiqatıdır. Model nəticələri klinik effektivlik sübutu, fərdi xəstə proqnozu və ya hər hansı karantin/təcrid tətbiqinin real dünyadakı dəqiq təsir ölçüsü kimi şərh edilməməlidir. Parametrlərin müxtəlif mənbələrdən əldə edilməsi və müstəqil xarici doğrulamanın aparılmaması da nəticələrin ümumiləşdirilə bilməsinə məhdudiyyət qoyur.