Модели дараҷаи касрии Эбола бо Atangana–Baleanu–Caputo, модели эпидемиологии ҳаштқисматӣ аст, ки интиқоли Эболаро на танҳо бо тағйироти фаврии вазъи ҷории эпидемиологӣ, балки тавассути сохтори ҳосилаи касрӣ, ки таъсири математикии ҳолатҳои гузаштаи системаро низ дар бар мегирад, ифода мекунад. Тадқиқот шахсони ҳассос (S), дучоршуда (E), дар карантинбуда (Q), сироятёфта (I), ҷудошуда (J), шифоёфта (R), фавтида (D) ва патогенҳои Эболаро дар муҳити зист (P) якҷоя моделсозӣ мекунад; инчунин равандҳое чун рафтори тарс, карантин, ҷудокунии беморон, дафни бехатар ва олудашавии муҳити зистро ба муодилаҳо дохил мекунад.

Модел бо усули камтарин квадратҳо ба ҳолатҳои ҷамъшудаи Эбола, ки дар Уганда аз 29 сентябри 2022 то 12 ноябри 2022 гузориш шудаанд, калибр карда шудааст. Дар тадқиқот баъзе параметрҳо ба ин додаҳо мутобиқ карда шудаанд, баъзе аз маълумоти демографӣ ҳисоб шудаанд, баъзе аз адабиёти қаблӣ гирифта шудаанд ва баъзе фарз карда шудаанд. Аз ин рӯ, модел низоми комилан аз додаҳо омӯхташуда нест; он модели механистии математикӣ мебошад, ки бо додаҳо калибр шуда, ҳамзамон ҷузъҳои адабиётӣ ва фарзиявӣ дорад.

Дар маҷмӯи параметрҳое, ки муаллифон истифода кардаанд, адади асосии такрористеҳсол R₀ = 6,053288 ҳисоб шудааст. Ин қимат бузургии остонавӣ барои таркиби муайяни параметрҳои ҳамин модел аст; он барои ҳамаи шароити Эбола дар Уганда доимии тағйирнопазир ё универсалии биологӣ нест. Таҳлили назариявии модел нишон медиҳад, ки ҳалҳо ба қиматҳои манфии аҳолӣ намегузаранд, дар минтақаи мувофиқ маҳдуд мемонанд, таҳти шартҳои муайяни математикӣ ҳал вуҷуд дорад ва ягона аст, ва нуқтаи мувозинати бе беморӣ ҳангоми R₀ < 1 аз ҷиҳати маҳаллӣ устувор мегардад.

Дар симулятсияҳои ададӣ афзоиши параметрҳое, ки интиқоли одам–одам ва муҳит–одамро ифода мекунанд, бо афзоиши бахшҳои сироятёфта ё вобаста ба сироят алоқаманд аст; дар ҳоле ки параметрҳои вобаста ба ҷудокунии беморон, шифоёбӣ, дафни бехатар ва коҳиши патогенҳои муҳити зист таъсирҳои ба назорати интиқол равонашударо нишон медиҳанд. Муаллифон махсусан аҳаммияти карантин ва ҷудокуниро дар назорати хуруҷ таъкид мекунанд. Бо вуҷуди ин, инҳо натиҷаҳои бар модели асосёфта мебошанд; тадқиқот озмоиши нави клиникии табобат, дахолати тасодуфигардонидашудаи тандурустии ҷамъиятӣ ё санҷиши мустақили пешбинии ояндаро пешниҳод намекунад.

Шарҳи муфассал

Масъалае, ки тадқиқот ҳал кардан мехоҳад

Дар моделҳои классикии муодилаҳои дифференсиалии эпидемиологӣ тағйироти система дар як лаҳзаи муайян асосан аз рӯи тағйирёбандаҳои ҳолат дар ҳамон лаҳза ҳисоб карда мешавад. Ин тадқиқот бошад, бо назардошти он ки баъзе равандҳои интиқоли Эбола метавонанд таъсири ҳолатҳои гузаштаро нигоҳ доранд, аз равиши ҳосилаи дараҷаи касрӣ истифода мекунад. Даъвои асосии муаллифон ин аст, ки моделҳои касрӣ метавонанд чунин таъсирҳои хотира ва ғайримаҳаллиро нисбат ба моделҳои классикии дараҷаи бутун ба таври дигар аз ҷиҳати математикӣ ифода кунанд.

Саҳми аслии тадқиқот дар се самт пешниҳод мешавад. Якум, ба модели қаблии Juga ва ҳамкорон бахшҳои иловагӣ, аз ҷумла шахсони дучоршуда, дар карантинбуда ва ҷудошуда илова карда мешаванд. Дуюм, система бо шакли ҳосилаи Atangana–Baleanu ба маънои Caputo ба дараҷаи касрӣ табдил дода мешавад. Сеюм, қисми муҳими параметрҳо ба додаҳои ҳолатҳои Уганда дар сентябр–ноябри 2022 мутобиқ карда мешаванд.

Чаро ҳосилаи касрии Atangana–Baleanu–Caputo дар ин модел истифода мешавад?

Ҳосилаи касрии Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) оператори ҳосилаи касрӣ мебошад, ки ба ҷойи пайвастани тағйироти тағйирёбандаи ҳолат танҳо ба як нуқтаи вақт, таъсирҳои вазндори замонҳои гузаштаро дар шакли интегралӣ нигоҳ медорад ва аз ядрои ғайрисингулярӣ истифода мекунад; ҳадафи истифодаи он дар ин тадқиқот ворид кардани хотираи математикӣ ва таъсирҳои ғайримаҳаллии вақт ба модели Эбола аст.

Аввал мантиқи интеграли Riemann–Liouville

Тадқиқот заминаи ҳисоби касриро аз интеграли Riemann–Liouville оғоз мекунад. Муодилаи (1) дар манбаъ сохтори зерин дорад:

\[ D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{1}{\Gamma(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}h(\omega)\,d\omega, \qquad \varsigma>0. \]

Дар ин ҷо \(\varsigma\) дараҷаи касриро, \(\Gamma(\varsigma)\) функсияи Gamma-ро, \(\mathfrak{I}\) вақти баҳодиҳиро ва \(\omega\) тағйирёбандаи интегралиеро ифода мекунад, ки замонҳои гузаштаро фаро мегирад. Ҳади \((\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}\) қисми сохтори ядро мебошад, ки муайян мекунад қиматҳои гузашта бо кадом вазн ба ҳисобкунии ҷорӣ дохил мешаванд.

Шакли ҳосилаи ABC, ки дар манбаъ оварда шудааст

Дар Муодилаи (2)-и манбаъ ҳосилаи ABC чунин таъриф мешавад:

\[ {}_{\ast_1}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{T(\varsigma)}{1-\varsigma} \int_{\ast_1}^{\mathfrak{I}} h'(\omega) F_{\varsigma} \left[ -\frac{\varsigma(\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma}}{1-\varsigma} \right]d\omega. \]

\(T(\varsigma)\) дар манбаъ функсияи нормализатсия мебошад, ки шарти \(T(0)=T(1)=1\)-ро қонеъ мекунад. \(F_{\varsigma}\) бошад функсияест, ки тадқиқот дар сохтори ядрои Mittag–Leffler истифода мебарад. Азбаски интеграл қиматҳои \(h'(\omega)\)-ро дар тӯли замони гузашта ҷамъ мекунад, ҳосила ба амали ғайримаҳаллӣ табдил меёбад. Ба ибораи дигар, агар ҳосилаи классикии тартиби якум танҳо тағйироти фавриро ифода кунад, ин сохтор изи математикии ҳолатҳои гузаштаро низ ба ҳисоб мегирад.

Дараҷаи касрии \(\varsigma\) дар симулятсияҳои тадқиқот бо қиматҳои 1, 0,98, 0,96, 0,94 ва 0,92 баррасӣ шудааст. Вақте \(\varsigma=1\), он ба ҳадди классикии дараҷаи бутун наздик мешавад, дар ҳоле ки қиматҳои хурдтари касрӣ имкон медиҳанд рафторҳои гуногуни хотира моделсозӣ шаванд. Аммо аз ин тадқиқот набояд чунин хулоса бароварда шавад, ки \(\varsigma\) як “фоизи хотираи” биологии ягона ва ченшаванда дар ҷаҳони воқеӣ аст; дар ин ҷо \(\varsigma\) дараҷаи касрии модели математикӣ мебошад.

Ҳашт тағйирёбандаи ҳолати модел

Қувваи сироят чӣ гуна ҳисоб карда мешавад?

Дар Муодилаи (5)-и манбаъ қувваи сироят \(\lambda\), ки муайянкунандаи асосии дучоршавиҳои нав аст, чунин таъриф мешавад:

\[ \lambda = \frac{\beta_1P}{K+P} + \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D}. \]

Ин муодила ду канали интиқолро дар як ифода муттаҳид мекунад. Ҳади аввал интиқоли муҳитиро, ҳади дуюм бошад интиқолеро, ки бо одамон ва бахшҳои дигари инсонӣ, ки дар модел ба сироятнокӣ саҳм мегузоранд, алоқаманд аст ифода мекунад.

\(\beta_1\), параметри тамос/интиқоли муассир байни шахси ҳассос ва патогенҳои муҳити зист мебошад. \(\beta_2\) параметри интиқол байни шахсони ҳассос ва сироятёфта аст. Ифодаи \(P/(K+P)\) ба шакли сершавӣ сохта шудааст, то ҳангоми афзоиши бори патоген дар муҳити зист саҳми интиқоли муҳитӣ ба таври хаттӣ ва бемаҳдуд зиёд нашавад. Манбаъ \(K\)-ро ҳамчун остонаи нимсершавӣ вобаста ба миқдори патогени муҳити зист шарҳ медиҳад.

\(\omega_1\), \(\omega_2\) ва \(\omega_3\) дар муодила мутаносибан вазнҳои бахшҳои \(J\), \(D\) ва \(Q\)-ро нисбат ба синфи мустақими \(I\) муайян мекунанд. Матни шарҳдиҳандаи ин параметрҳо дар манбаъ ва нақшҳои алгебравии онҳо дар Муодилаи (5) комилан бо як истилоҳот дода нашудаанд; аз ин рӯ, дар ин ҷо нақши равшани математикии муодила асос гирифта шуда, маъноҳои нави биологие, ки дар манбаъ нестанд, илова нашудаанд.

Махраҷи \(1+\epsilon D\) ҷузъи рафториест, ки тадқиқот онро “таъсири тарс” меномад. Тибқи фарзи модел, зиёд шудани шумораи фавтҳо метавонад рафтори эҳтиёткоронаи ҷомеаро зиёд ва тамоси муассирро кам кунад. Аз ин рӯ, вақте \(\epsilon>0\), афзоиши \(D\) метавонад ҳади дуюми интиқолро кам кунад. Ин муносибат фарзи модел аст; тадқиқот ба таври таҷрибавӣ намесанҷад, ки тарс дар ҳаёти воқеӣ интиқолро ба миқдори муайян коҳиш медиҳад.

Системаи классикии ҳашт муодила

Манбаъ аввал моделро бо муодилаҳои дифференсиалии дараҷаи бутун месозад:

\[ \frac{dS}{d\mathfrak{I}} = \pi-(\lambda+\mu)S+\eta R+ek_1Q, \]

\[ \frac{dE}{d\mathfrak{I}} = \lambda S-(\mu+k_2+k_3)E, \]

\[ \frac{dQ}{d\mathfrak{I}} = k_2E-(\mu+e)Q, \]

\[ \frac{dI}{d\mathfrak{I}} = k_3E-(\mu+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)I, \]

\[ \frac{dJ}{d\mathfrak{I}} = \sigma_2I+e(1-k_1)Q-(\gamma_1+\gamma_2+\mu)J, \]

\[ \frac{dD}{d\mathfrak{I}} = \sigma_3I+\gamma_2J-\rho D, \]

\[ \frac{dP}{d\mathfrak{I}} = \tau_1I+\tau_2D-\theta P, \]

\[ \frac{dR}{d\mathfrak{I}} = \sigma_1I+\gamma_1J-(\mu+\eta)R. \]

Ҳар муодила тавозуни “воридшавиҳо минус хориҷшавиҳо” мебошад. Масалан, ба синфи \(E\) дучоршавии нав бо \(\lambda S\) ворид мешавад; бо \(k_2E\) ба карантин ва бо \(k_3E\) ба синфи сироятёфта гузариш ба амал меояд; фавти табиӣ \(\mu E\) низ хориҷшавӣ аз ин синфро ташкил медиҳад. Ба ҳамин монанд, ҳангоми воридшавӣ ба синфи \(I\) бо \(k_3E\), шифоёбӣ \(\sigma_1I\), ҷудокунии беморон \(\sigma_2I\), фавти вобаста ба Эбола \(\sigma_3I\) ва фавти табиӣ \(\mu I\) ҳадҳои хориҷшавӣ мебошанд.

Дар матни манбаъ навишта шудааст, ки шахсони ҷудошуда “бо суръати \(\gamma_1\) шифо меёбанд ё бо суръати \(\gamma_1\) мемиранд”. Аммо Ҷадвали 1 ва муодилаҳои модел ба таври равшан \(\gamma_1\)-ро барои шифоёбӣ ва \(\gamma_2\)-ро барои фавти вобаста ба Эбола истифода мебаранд. Аз ин рӯ, дар ин пешниҳоди Verianla муодилаҳо ва ҷадвали параметрҳо асос гирифта шуда, такрори мазкур дар матни манбаъ пинҳон карда нашудааст.

Системаи дараҷаи касрӣ чӣ гуна ҳосил мешавад?

Дар Муодилаи (7) ҷойи ҳосилаҳои классикии \(d/d\mathfrak{I}\)-ро ҳосилаҳои касрии ABC мегиранд. Манбаъ инчунин параметрҳои суръатро дар модели касрӣ бо индекси болоии \(\varsigma\) нишон медиҳад:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma} -(\lambda+\mu^{\varsigma})S +\eta^{\varsigma}R +e^{\varsigma}k_1Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}E = \lambda S-(\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma})E, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Q = k_2^{\varsigma}E-(\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma})Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}I = k_3^{\varsigma}E- (\mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma})I, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}J = \sigma_2^{\varsigma}I+ e^{\varsigma}(1-k_1)Q- (\gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma})J, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I+\gamma_2^{\varsigma}J-\rho^{\varsigma}D, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I+\tau_2^{\varsigma}D-\theta^{\varsigma}P, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}R = \sigma_1^{\varsigma}I+\gamma_1^{\varsigma}J- (\mu^{\varsigma}+\eta^{\varsigma})R. \]

Манбаъ ин навишти параметрҳои дорои индекси болоиро дар формулировкаи модели касрии худ истифода мебарад. Тадқиқот табдили воҳидҳои андозагириро ҳангоми ба дараҷаҳои касрӣ бардоштани параметрҳо алоҳида ва муфассал ҳосил намекунад; аз ин рӯ, шарҳи Verianla ин сохторро ҳамон тавре ки дар манбаъ омадааст нигоҳ медорад ва асосноккунии нави андозагириро ихтироъ намекунад.

Чаро мусбатӣ санҷида мешавад?

Дар модели эпидемиологӣ манфӣ будани шумораи аҳолӣ ё миқдори патогени муҳити зист аз ҷиҳати биологӣ бемантиқ аст. Аз ин рӯ, муаллифон кӯшиш мекунанд нишон диҳанд, ки ҳалле, ки аз шартҳои ибтидоии \(S,E,Q,I,J,D,P,R\geq0\) оғоз мешавад, ба минтақаи манфӣ намегузарад.

Масалан, дар сарҳади \(S=0\):

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma}+\eta^{\varsigma}R+e^{\varsigma}k_1Q \geq0. \]

Ин натиҷа нишон медиҳад, ки вақте \(S\) ба сифр мерасад, майдони векторӣ онро ба минтақаи манфӣ намебарад. Манбаъ ҳамин санҷиши сарҳадиро барои ҳафт тағйирёбандаи дигари ҳолат низ татбиқ мекунад.

Маҳдудият ва минтақаи қобили татбиқ

Муаллифон ҷамъи бахшҳои одамони зиндаро:

\[ N(\mathfrak{I})=S+E+Q+I+J+R \]

таъриф карда, бо равиши муқоисавӣ:

\[ N(\mathfrak{I}) \leq \max \left\{ N(0), \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}} \right\} \]

ҳадди болоро ба даст меоранд. Ҳадҳои болоии монанд барои \(D\) ва \(P\) низ ҳосил шуда, иддао мешавад, ки ҳал дар минтақаи аз ҷиҳати биологӣ маънодор ва маҳдуди қобили татбиқ мемонад. Ибораи “well-posed” дар ин ҷо маънои онро надорад, ки беморӣ аз ҷиҳати клиникӣ хуб идора мешавад; он маънои онро дорад, ки масъалаи математикӣ дорои хосиятҳои мувофиқи ҳал мебошад.

Мавҷудият ва ягонагӣ чӣ маъно доранд?

Модел ғайрихаттӣ буда, сохтори интегралии касриро дар бар мегирад. Барои нишон додани он ки ҳал воқеан вуҷуд дорад ва аз як шартҳои ибтидоӣ чанд ҳалли зиддиятнок ба вуҷуд намеояд, муаллифон фазои Banach, нормаи supremum, шарти Lipschitz ва равиши нуқтаи собитро истифода мебаранд.

Сохтори умумии шакли интегралии касрии модел:

\[ X(\mathfrak{I})-X(0) = \frac{1-\varsigma}{C(\varsigma)}B(X(\mathfrak{I}),\mathfrak{I}) + \frac{\varsigma}{\Gamma(\varsigma)C(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1} B(X(\omega),\omega)\,d\omega \]

мебошад. Дар ин ҷо \(X\) яке аз ҳашт тағйирёбандаи ҳолатро ва \(B\) функсияи ғайрихаттии тарафи рости бахши дахлдорро ифода мекунад. Мантиқи асосии шарти Lipschitz ин аст, ки ҳангоми зиёд шудани фарқи байни ду ҳалли номзад, фарқи функсияҳои тарафи рост ба таври беназорат зиёд нашавад:

\[ \|B(X)-B(X_1)\| \leq \kappa\,\|X-X_1\|. \]

Муаллифон барои ҳашт ядрои модел чунин ҳадҳоро сохта, бо истифода аз наздикшавии пайдарпаии тақрибҳо мавҷудият ва ягонагии ҳалро дастгирӣ мекунанд.

Адади асосии такрористеҳсол R0 дар ин модел чиро ифода мекунад?

Адади асосии такрористеҳсол \(R_0\) бузургии остонавиест, ки потенсиали сироятҳои дуюмдараҷаро, ки сирояти воридшуда ба аҳолии комилан ҳассос метавонад ба вуҷуд оварад, ҷамъбаст мекунад; дар тадқиқот \(R_0<1\) бо устувории маҳаллии мувозинати бе беморӣ ва \(R_0>1\) бо потенсиали идомаи сироят алоқаманд дониста мешавад.

Мувозинати бе беморӣ

Манбаъ нуқтаи мувозинати бе бемориро:

\[ E^0= \left( \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \]

чунин медиҳад. Дар ин ҳолат танҳо аҳолии ҳассос вуҷуд дорад; синфҳои дучоршуда, карантин, сироятёфта, ҷудошуда, фавтида, патогени муҳити зист ва шифоёфта сифр мебошанд.

R0 чӣ гуна ба даст оварда мешавад?

Муаллифон усули матритсаи насли навро истифода мебаранд. Ҳадҳои тавлидкунандаи сироят дар \(F\), гузаришҳои дигари зерсистемаи сироятёфта дар матритсаи \(V\) ҷамъ карда мешаванд ва:

\[ R_0=\rho^{\ast}(FV^{-1}) \]

ҳисоб карда мешавад. Дар ин ҷо \(\rho^{\ast}\) радиуси спектралииматритса, яъне бузургтарин қимат дар байни қиматҳои мутлақи арзишҳои хосро ифода мекунад.

Барои содда кардани ҳисоб манбаъ:

\[ \varpi_1=\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_2=\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_3= \mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_4= \gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_5=e^{\varsigma}(1-k_1) \]

бузургиҳои ёрирасонро таъриф мекунад. Ифодаи дарози \(R_0\), ки ба даст омадааст, ҳам роҳҳои интиқоли вобаста ба инсонро, ки бо \(\beta_2\) ифода мешаванд, ва ҳам роҳи интиқоли муҳитиро тавассути \(\beta_1\), \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\theta\) ва \(K\) дар бар мегирад. Аз ин рӯ, \(R_0\) натиҷаи танҳо як коэффисиенти тамос нест, балки натиҷаи муштараки шахсони сироятёфта, ҷудокунии беморон, фавт, карантин ва гардиши патогени муҳити зист дар модел мебошад.

Чаро R0 < 1 муҳим аст?

Мувофиқи Теоремаи 5-и манбаъ, мувозинати бе беморӣ ҳангоми \(R_0<1\) аз ҷиҳати маҳаллӣ асимптотикӣ устувор ва ҳангоми \(R_0>1\) ноустувор аст. Муаллифон инро тавассути арзишҳои хоси матритсаи Jacobian меомӯзанд. Дар системаҳои касрӣ инчунин шарти устувории касрӣ барои кунҷҳои арзишҳои хос дар ҳамвории комплексӣ татбиқ мешавад.

Ин тафсири остонавӣ маънои онро надорад, ки “агар R0 имрӯз аз 1 поён шавад, эпидемия фавран хотима меёбад”. Аз ҷиҳати математикӣ \(R_0<1\) шарти остонавиро ифода мекунад, ки барои зиёд нашудани сироятҳои хурд дар атрофи мувозинати бе беморӣ дар дарозмуддат лозим аст.

Устувории Hyers–Ulam чист?

Устувории Hyers–Ulam мафҳуми математикии устуворӣ мебошад, ки меомӯзад ҳалли тақрибӣ, ки муодиларо бо хатои хурд қонеъ мекунад, то чӣ андоза метавонад ба ҳалли ҳақиқӣ наздик бимонад. Дар манбаъ барои ҳалли тақрибӣ:

\[ \left\| {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Z(\mathfrak{I}) - \Phi(\mathfrak{I},Z(\mathfrak{I})) \right\| \leq\delta \]

шарт истифода мешавад. Дар ин ҷо \(\delta\) андозаи инҳирофи хурди иҷозатдодашуда дар муодила мебошад. Агар байни ин ҳалли тақрибӣ ва ҳалли ҳақиқӣ \(Z^\ast\):

\[ \|Z-Z^\ast\|\leq\lambda_p\delta \]

чунин ҳад сохта шавад, метавон гуфт, ки хатогиҳои хурди муодила ба инҳирофҳои бемаҳдуди ҳал табдил намеёбанд.

Манбаъ инчунин бо истифода аз доимии Lipschitz \(L_{\Phi}\) барои ядрои ғайрихаттӣ:

\[ \Lambda= \frac{1-\varsigma}{W(\varsigma)}L_{\Phi} + \frac{T^{\varsigma}}{W(\varsigma)\Gamma(\varsigma)}L_{\Phi} <1 \]

таҳти ин шарт устувории Hyers–Ulam ва баъдан устувории Hyers–Ulam–Rassias-ро ҳосил мекунад. Ин устувории математикӣ маънои “эпидемияи Эбола дар ҷаҳони воқеӣ устувор аст”-ро надорад; он маънои онро дорад, ки оператори ҳал нисбат ба пертурбатсияҳои хурди математикӣ таҳти назорат мемонад.

Усул ва натиҷаҳои тадқиқот

Додаҳои воқеии ҳолатҳо

Модел бо истифода аз додаҳое калибр карда шудааст, ки дар Уганда аз 29 сентябри 2022 то 12 ноябри 2022 гузориш шудаанд: шумораи ҷамъшудаи ҳолатҳои тасдиқшудаи Эбола истифода шудааст. Манбаъ мегӯяд, ки маҷмӯи додаҳо аз маҷмӯи кушодае гирифта шудааст, ки аз бюллетенҳои Вазорати тандурустии Уганда, додаҳои назоратии ECDC ва маълумоти Дафтари минтақавии WHO барои Африқо ҷамъоварӣ шудааст.

Арзёбии параметрҳо бо камтарин квадратҳо

Муаллифон равиши камтарин квадратҳоро истифода мебаранд, ки ҷамъи квадратҳои фарқияти байни баромади модел ва қиматҳои мушоҳидашудаи ҳолатҳои ҷамъшударо кам мекунад. Сохтори рамзие, ки манбаъ дар Муодилаи (48) медиҳад:

\[ \mathcal{J}(\widetilde{k}) = \sum_{h=1}^{n} \left( \widetilde{k}_h-\mathcal{J}(h,\widetilde{k}) \right)^2 \]

мебошад. Ғояи асосӣ чунин аст: дар ҳар нуқтаи додаҳо фарқи байни қимати мушоҳидашуда ва қимате, ки модел дар ҳамон нуқта тавлид мекунад, гирифта мешавад, барои он ки хатогиҳои мусбат ва манфӣ ҳамдигарро бекор накунанд, фарқ ба квадрат бардошта мешавад ва ин квадратҳо барои ҳамаи нуқтаҳои додаҳо ҷамъ карда мешаванд. Оптимизатсияи параметрҳо кӯшиш мекунад ин ҷамро то ҳадди имкон кам кунад.

Калибркунии модел

Дар Шакли 2-и манбаъ ҳолатҳои ҷамъшудаи мушоҳидашуда ва каҷи модел якҷоя нишон дода шуда, дар график Хатои миёнаи квадратии нормализатсияшуда = 0,008898 оварда шудааст. Графики бақияҳо низ нишон медиҳад, ки фарқиятҳои байни модел ва мушоҳида дар тӯли вақт ба самти мусбат ва манфӣ тағйир меёбанд.

Дар ин ҷо як мушкили муҳими барчаспгузории дохилии манбаъ вуҷуд дорад: гарчанде додаҳои истифодашуда мушоҳидаҳои ҳаррӯза аз 29 сентябр то 12 ноябри 2022 мебошанд, дар меҳвари x-и Шакли 2 “Years” ва дар графики бақияҳо “Time (years)” навишта шудааст. Азбаски ҷадвали додаҳо ва тавсифи усули тадқиқот силсилаи ҳаррӯзаи вақтро ба таври равшан нишон медиҳанд, ин барчаспи меҳвар бояд ҳамчун номувофиқати дохилии барчаспгузории графикӣ нигоҳ дошта шавад; Verianla онро ҳамчун “додаҳои солона” тафсир намекунад.

Қиматҳои ибтидоӣ

Манбаъ аҳолии Угандаро дар соли 2022 \(N(0)=47.249.585\) мегирад ва бахшҳои ибтидоиро:

\[ E(0)=75,\quad Q(0)=40,\quad I(0)=23,\quad J(0)=12,\quad D(0)=0,\quad P(0)=0,\quad R(0)=0 \]

чунин медиҳад. Азбаски ҷамъи ин қиматҳо 150 аст, дар саҳифаи 23-и манбаъ:

\[ S(0)=47.249.585-150=47.249.435 \]

ҳисоб навишта шудааст. Аммо дар бахши баъдии симулятсияи ададии тадқиқот қимати \(S(0)=47.249.458\) дода шудааст. Байни ин ду рақам фарқи 23 нафар вуҷуд дорад. PDF ин фарқро шарҳ намедиҳад. Аз ин рӯ, дар ин ҷо яке аз қиматҳо хомӯшона ислоҳ нашудааст; номувофиқати дохилии манбаъ барои шартҳои ибтидоӣ ошкоро нишон дода шудааст.

Қиматҳои параметрҳо

Нуктаи муҳимтарини омӯзанда дар ҷадвал ин аст, ки ҳамаи параметрҳо бо як усул ба даст наомадаанд. Масалан, \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(k_1\), \(k_2\), \(\tau_1\), \(\epsilon\), \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\theta\), \(e\), \(\eta\) ва \(K\) ба додаҳо мутобиқ карда шудаанд; \(\sigma_2\) ва \(\sigma_3\) фарз шудаанд, \(\tau_2\) ва \(\rho\) бошад аз адабиёти қаблӣ гирифта шудаанд. Ин омехтагии манбаъҳои параметрҳо қисми муҳими ҳадди тафсири натиҷаҳои модел мебошад.

Таҳлили ҳассосияти адади асосии такрористеҳсол

Индекси нормализатсияшудаи ҳассосияти пешрав одатан чунин аст:

\[ X_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \]

ва чунин тафсир мешавад. Индекси мусбат нишон медиҳад, ки ҳангоми афзоиши параметр \(R_0\) ба таври маҳаллӣ дар ҳамон самт ҳаракат мекунад; индекси манфӣ самти баръаксро нишон медиҳад. Бо зиёд шудани қимати мутлақ ҳассосияти маҳаллии \(R_0\) ба он параметр зиёд мешавад.

Манбаъ инчунин барои \(\mu\) алоҳида:

\[ X_{\mu}^{R_0}=-1,11230 \]

қиматро медиҳад. Гарчанде ин қимат дар Ҷадвали 4 нест, он дар матн ҳисоб шудааст.

Дар ин ҷо боз як номувофиқати дохилии манбаъ мавҷуд аст. Матн мегӯяд, ки дар \(\beta_1\) тағйироти 10% боиси дар \(R_0\) тағйироти 10% мешавад; аммо дар Ҷадвали 4 индекси ҳассосияти \(\beta_1\) 0,6245 аст. Ба ҳамин монанд, барои \(\mu\) дар матн мисоли тақрибан як-ба-яки тағйироти фоизӣ оварда шудааст, дар ҳоле ки формулаи ошкор натиҷаи −1,11230-ро нишон медиҳад. Аз ин рӯ, дар ин пешниҳоди Verianla маълумоти самт ва индексҳои ададие, ки дар ҷадвал/формула ошкоро дода шудаанд, нигоҳ дошта шудаанд ва мисолҳои фоизии матн ҳамчун натиҷаҳои дақиқи миқдорӣ такрор нашудаанд.

R0 = 6,053288 чӣ маъно дорад?

Муаллифон параметрҳои ба додаҳо мутобиқшударо бо параметрҳои аз адабиёт ва фарзияҳо гирифташуда якҷоя истифода бурда, ба натиҷаи \(R_0=6,053288\) мерасанд. Ин қимат нишон медиҳад, ки дар шартҳои ибтидоӣ ва маҷмӯи параметрҳои интихобшудаи модел беморӣ аз остонаи мувозинати бе беморӣ болотар аст.

Ин рақам набояд чунин хонда шавад: “ҳар шахсе, ки Эбола дорад, ҳатман 6,053288 нафарро сироят мекунад”. \(R_0\) баромади модел аст, ки роҳҳои зиёди интиқол ва гузаришро дар як бузургии остонавӣ муттаҳид мекунад ва ҳангоми тағйир ёфтани параметрҳо худи он низ тағйир меёбад.

Усули ҳалли ададӣ

Ҳалҳои тақрибии модели касрӣ бо усули касрии пешгӯйкунанда–ислоҳкунандаи Adams–Bashforth–Moulton ҳисоб шудаанд. Ин усул дар муодилаҳои дифференсиалии касрии ғайрихаттӣ аввал барои қимати навбатии ҳал пешгӯӣ месозад ва баъдан бо истифода аз сохтори муодилаи интегралӣ пешгӯиро ислоҳ мекунад. Сабаби интихоби ин равиш дар он аст, ки он метавонад сохтори аз гузашта вобастаи операторҳои касриро дар тадқиқот ба таври ададӣ пайгирӣ кунад.

Ҳангоми тағйир додани дараҷаи касрӣ чӣ мешавад?

Дар Шаклҳои 6 ва 7-и манбаъ қиматҳои \(\varsigma=1, 0,98, 0,96, 0,94, 0,92\) муқоиса мешаванд. Дар симулятсияҳо бо наздик шудани дараҷаи касрӣ ба 1 дар бахшҳои гуногун, аз ҷумла \(E\), \(I\), \(J\), \(D\) ва \(P\), траекторияҳои баландтар дида мешаванд, дар ҳоле ки коҳиши синфи ҳассоси \(S\) равшантар мегардад. Бахшҳои карантини \(Q\) ва шифоёбии \(R\) низ вобаста ба дараҷаи касрӣ траекторияҳои гуногунро пайгирӣ мекунанд.

Ин каҷҳо нишон медиҳанд, ки модел ба параметри хотира ҳассос аст; аммо танҳо фарқ кардани каҷҳо исбот намекунад, ки кадом дараҷаи касрӣ раванди воқеии эпидемиологиро беҳтарин ифода мекунад. Муаллифон шарҳ медиҳанд, ки қиматҳои пасттари касрӣ дар баъзе рафторҳо натиҷаҳои мувофиқтар/устувортар медиҳанд, аммо муваффақияти пешгӯии қиматҳои гуногуни \(\varsigma\) бо маҷмӯи мустақили валидацияи беруна муқоиса нашудааст.

Таъсири параметрҳои интиқол

Дар симулятсияҳои ададӣ ҳангоми афзоиши \(\beta_1\) ва \(\beta_2\) афзоиши шахсони дучоршуда, дар карантинбуда, сироятёфта, ҷудошуда ва фавтида, инчунин бори патогени муҳити зист гузориш мешавад. Ин натиҷа бо ҳассосиятҳои мусбати интиқол дар таҳлили \(R_0\) ҳамсамт аст.

Азбаски \(\beta_1\) ба канали интиқоли муҳитӣ ва \(\beta_2\) ба канали интиқоли вобаста ба инсон дохил мешаванд, дар математикаи модел афзоиши ин параметрҳо мустақиман ба зиёд шудани қувваи сироят саҳм мегузорад. Бинобар ин, як қисми ин натиҷа паёмади сохтории муодилаи модел мебошад.

Паҳншавии патоген ба муҳити зист

\(\tau_1\) суръати саҳми шахсони сироятёфта ва \(\tau_2\) суръати саҳми шахсони фавтидаро ба бахши патогени муҳити зист ифода мекунанд. Модел:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I + \tau_2^{\varsigma}D - \theta^{\varsigma}P \]

Азбаски модел ин муодиларо дорад, афзоиши \(\tau_1\) ё \(\tau_2\) ҷараёни воридшавӣ ба \(P\)-ро зиёд мекунад, дар ҳоле ки афзоиши \(\theta\) хориҷшавиро, ки бори патогенро дар муҳити зист кам мекунад, қавитар месозад. Таҳлили ҳассосияти тадқиқот низ барои \(\theta\) ҳассосияти манфии \(R_0\)-ро гузориш мекунад.

Дафни бехатар ва параметри ρ

\(\rho\) суръатест, ки бо он шахсони аз Эбола фавтида ба таври бехатар аз синфи \(D\)-и система хориҷ мешаванд:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I + \gamma_2^{\varsigma}J - \rho^{\varsigma}D. \]

Азбаски \(D\) дар модел метавонад ҳам ба қувваи сирояти вобаста ба инсон ва ҳам тавассути \(\tau_2D\) ба бори патогени муҳити зист саҳм гузорад, афзоиши \(\rho\) метавонад давомнокии ин роҳҳоро кам кунад. Дар манбаъ ҳассосияти \(\rho\) нисбат ба \(R_0\) −0,3755 дода шудааст.

Параметри тарс ε

Дар Шакли 16-и манбаъ гузориш мешавад, ки ҳангоми афзоиши \(\epsilon\), траекторияҳои \(E\), \(I\), \(Q\) ва \(J\) коҳиш меёбанд. Сабаби математикии ин чунин аст:

\[ \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D} \]

дар ин ҳад \(\epsilon D\) махраҷро калон мекунад. Тафсири муаллифон ин аст, ки намоён шудани фавт метавонад эҳтиёткории ҷомеаро зиёд кунад ва ин метавонад тамоси муассирро кам кунад.

Ин натиҷа озмоиши саҳроии илмҳои рафторӣ нест. Онро ба шакли “тарс Эболаро пешгирӣ мекунад” умумӣ кардан мумкин нест. Тадқиқот танҳо натиҷаҳои сенарияеро нишон медиҳад, ки дар он таъсири муайяни рафторӣ бо параметри \(\epsilon\) ба таври математикӣ ифода шудааст.

Карантин ва ҷудокунии беморон

Дар модел шахсони дучоршуда бо \(k_2E\) ба карантин, шахсони сироятёфта бошад бо \(\sigma_2I\) ба ҷудокунии беморон мегузаранд. Қисми \(k_1\)-и шахсони дар карантинбуда боз ба синфи ҳассос бармегардад ва қисми боқимонда бо \(e(1-k_1)Q\) ба ҷудокунии беморон равона мешавад.

Симулятсияи ададӣ ва тафсири натиҷаҳои муаллифон карантин ва ҷудокуниро ҳамчун ҷузъҳои асосии назорати хуруҷ нишон медиҳанд, ки тамоси шахсони сироятёфта ва ҳассосро маҳдуд мекунанд. Ин натиҷа хулосаи асосии тандурустии ҷамъиятии модел мебошад.

Натиҷаҳое, ки тадқиқот дастгирӣ мекунад

• Бо истифода аз ҳосилаи касрии ABC метавон модели ҳаштқисматии интиқоли Эболаро аз ҷиҳати математикӣ сохт.
• Ҳалҳои модел аз ҷиҳати мусбат ва маҳдуд мондан таҳти шартҳои ибтидоии мувофиқ таҳлил шудаанд.
• Бо равиши нуқтаи собит ва Lipschitz шартҳои математикӣ барои мавҷудият ва ягонагии ҳал сохта шудаанд.
• Нишон дода шудааст, ки мувозинати бе беморӣ ҳангоми \(R_0<1\) аз ҷиҳати маҳаллӣ устувор аст.
• Модел аз нигоҳи устувории Hyers–Ulam ва Hyers–Ulam–Rassias таҳлил шудааст.
• Додаҳои ҳолатҳои Уганда аз 29 сентябр то 12 ноябри 2022 барои арзёбии баъзе параметрҳо истифода шудаанд.
• Бо маҷмӯи параметрҳои истифодашуда \(R_0=6,053288\) ҳисоб шудааст.
• Дар симулятсияҳои модел афзоиши параметрҳои интиқол бо бори баландтари сироят алоқаманд аст.
• Механизмҳои вобаста ба карантин, ҷудокунии беморон, коҳиши патогенҳои муҳити зист ва дафни бехатар таъсирҳои ба назорат равонашударо нишон медиҳанд.

Натиҷаҳое, ки тадқиқот дастгирӣ намекунад

Тадқиқот чен намекунад, ки сиёсати муайяни карантин дар ҷаҳони воқеӣ дақиқ чанд ҳолатро пешгирӣ мекунад. Он самаранокии ҷудокуниро дар низоми муайяни тандурустӣ бо додаҳои саҳроии тасодуфигардонидашуда ё назоратшаванда намесанҷад. Он андозаи сабабии таъсири тарсро, ки бо параметри \(\epsilon\) ифода шудааст, дар аҳолии воқеӣ намесанҷад. Он нишон намедиҳад, ки қимати \(R_0=6,053288\) дар ҳамаи хуруҷҳои Эбола собит аст. Инчунин бо додаҳои мустақили санҷишӣ ба таври муқоисавӣ тасдиқ намекунад, ки модели касрӣ хуруҷҳои ояндаро нисбат ба моделҳои классикӣ беҳтар пешгӯӣ мекунад.

Маҳдудиятҳои асосии методологӣ ва дохилии манбаъ

• Давраи калибркунӣ як фосилаи тақрибан 45-рӯзаи додаҳои як хуруҷи Уганда мебошад.
• Додаҳо аз шумораи ҷамъшудаи ҳолатҳои тасдиқшуда иборатанд; онҳо додаҳои клиникии инфиродӣ нестанд.
• Қисме аз параметрҳои модел ба додаҳо мутобиқ шудаанд, қисме ҳисоб шудаанд, қисме аз адабиёт гирифта шудаанд ва қисме фарз карда шудаанд.
• Маҷмӯи мустақили омӯзиш/санҷиш ё валидацияи ояндабинии беруна гузориш нашудааст.
• Дар Шакли 2-и манбаъ, сарфи назар аз ҳаррӯза будани додаҳо, меҳвари вақт бо “Years” барчасп шудааст.
• Қимати ибтидоии аҳолии ҳассос дар манбаъ ба ду шакл — \(47.249.435\) ва \(47.249.458\) — дода шудааст.
• Дар Ҷадвали 4 ҳассосияти \(\beta_1\) 0,6245 аст, аммо азбаски мисоли матнӣ ба шакли %10 → %10 дода шудааст, тавсифи ададӣ пурра мувофиқат намекунад.
• Гарчанде барои \(\mu\) ҳассосияти −1,11230 ба таври ошкор ҳисоб шудааст, ин параметр дар Ҷадвали 4 ҷой надорад.
• Истифодаи параметрҳои суръат бо дараҷаҳои \(\varsigma\) дар модели касрӣ аз ҷониби манбаъ дода шудааст; асосноккунии мувофиқати андозагӣ ҳамчун таҳлили алоҳида таҳия нашудааст.

Ёддошти манбаъ ва усул

Тадқиқоти аслӣ: Mathematical analysis of a fractional Ebola transmission dynamics

Муаллифон: Isaac Kwasi Adu; Joshua Kiddy K. Asamoah; Fredrick A. Wireko.

Тартиби муаллифон: Тартиби манбаъ айнан нигоҳ дошта шудааст.

Саҳми баробар: Дар PDF изҳороти ҳаммуаллифии якуми баробар ё саҳми баробар дида намешавад.

Corresponding author: Isaac Kwasi Adu; дар блоки тамоси саҳифаи якуми PDF бо аломати лифофа ҳамчун муаллифи масъули иртибот нишон дода шудааст.

Муассисаи 1: Mathematical Sciences Department, Kumasi Technical University, Kumasi, Ghana.

Муассисаи 2: Department of Mathematics, Saveetha School of Engineering, SIMATS, Chennai, India.

Муассисаи 3: Department of Mathematics, Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Kumasi, Ghana.

Маҷалла: Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics.

Ношир / соҳиби иҷозатнома: Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature.

Ҷилд / рақами мақола: Volume 15, Article 182.

Шумора/issue: Дар маълумоти библиографии болои PDF рақами алоҳида ба таври равшан нишон дода нашудааст.

DOI: 10.1007/s13721-026-00837-w.

Санаи пешниҳод: 10 марти 2026.

Санаи бозбинӣ: 4 июли 2026.

Санаи қабул: 8 июли 2026.

Санаи нашри онлайн: 12 августи 2026.

Навъи манбаъ: Original Article; эпидемиологияи математикӣ / тадқиқоти моделсозии системаҳои динамикии дараҷаи касрӣ.

Ҳолати баррасии ҳамтоён: Манбаъ дар маҷаллаи Springer Nature ҳамчун Original Article нашр шуда, дар PDF санаҳои пешниҳод, бозбинӣ ва қабул мавҷуданд; тадқиқот мақолаи нашршудаи маҷалла мебошад.

Иҷозатнома/ҳуқуқи муаллиф: Дар PDF ибораи “© The Author(s), under exclusive licence to Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature 2026” мавҷуд аст. Мақола ҳамчун дорои иҷозатномаи кушодаи Creative Commons қайд нашудааст. Аз ин рӯ, схемаи модел дар Verianla ҳамчун нусхаи шакли манбаъ истифода нашуда, аз рӯи робитаҳои ошкоро дар муодилаҳо мустақилона бозсозӣ шудааст.

Маблағгузорӣ: None declared.

Дастрасии додаҳо: Муаллифон мегӯянд, ки додаҳои истифодашуда дар тадқиқот дар дохили мақола мавҷуданд. Тадқиқот инчунин шарҳ медиҳад, ки додаҳои хуруҷи Уганда аз манбаъҳои кушода ҷамъоварӣ шудаанд.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор мекунанд, ки competing interests вуҷуд надорад.

Саҳми муаллифон: Isaac K. Adu; консептуализатсия, тадқиқот, навиштани тарҳи аввал, методология, бозбинӣ ва таҳрир, нармафзор, таҳлили формалӣ ва куратсияи додаҳо. Joshua Kiddy K. Asamoah; консептуализатсия, тадқиқот, навиштани тарҳи аввал, валидация, методология, бозбинӣ ва таҳрир, нармафзор, таҳлили формалӣ ва машварат/назорат. Fredrick A. Wireko; консептуализатсия, навиштани тарҳи аввал, методология, бозбинӣ ва таҳрир ва таҳлили формалӣ.

Усули асосӣ: Модели детерминистии ҳаштқисматии Эбола; ҳосилаи касрии Atangana–Baleanu–Caputo; таҳлили мусбатӣ ва минтақаи invariant; мавҷудият ва ягонагӣ бо равиши нуқтаи собит/Lipschitz; \(R_0\) бо усули матритсаи насли нав; таҳлили Jacobian ва устувории касрӣ; устувории Hyers–Ulam ва Hyers–Ulam–Rassias; калибркунии параметрҳо бо камтарин квадратҳо; PRCC ва таҳлили нормализатсияшудаи ҳассосият; ҳалли ададии касрии пешгӯйкунанда–ислоҳкунандаи Adams–Bashforth–Moulton.

Ҳадди асосии тафсир: Ин тадқиқот кори моделсозии назариявӣ ва ададӣ мебошад, ки бо додаҳои эпидемиологии ҳолатҳо калибр шудааст. Натиҷаҳои модел набояд ҳамчун далели самаранокии клиникӣ, пешгӯии бемори инфиродӣ ё андозаи дақиқи таъсири воқеии ягон татбиқи карантин/ҷудокунии беморон тафсир шаванд. Аз манбаъҳои гуногун гирифта шудани параметрҳо ва анҷом нашудани валидацияи мустақили беруна низ қобилияти умумисозии натиҷаҳоро маҳдуд мекунад.