Atangana–Baleanu–Caputo бөлчөк тартиптеги Эбола модели, Эбола жугушун учурдагы эпидемиологиялык абалдын көз ирмемдик өзгөрүшү менен гана эмес, системанын мурдагы абалдарынын математикалык таасирин да алып жүргөн бөлчөк туунду түзүмү аркылуу сүрөттөгөн сегиз бөлүмдүү эпидемиологиялык модель. Изилдөө сезгич (S), таасирге кабылган (E), карантиндеги (Q), инфекцияланган (I), обочолонгон (J), айыккан (R), каза болгон (D) адамдарды жана айлана-чөйрөдөгү Эбола патогендерин (P) биргелешип моделдейт; мындан тышкары коркуу жүрүм-туруму, карантин, обочолонтуу, коопсуз көмүү жана айлана-чөйрөнүн контаминациясы сыяктуу процесстерди теңдемелерге киргизет.

Модель Угандада 29-сентябрь 2022-жылдан 12-ноябрь 2022-жылга чейин катталган Эбола учурларынын кумулятивдик санына эң кичине квадраттар ыкмасы менен калибрленген. Изилдөөдө айрым параметрлер ушул маалыматтарга ылайыкташтырылган, айрымдары демографиялык маалыматтардан эсептелген, айрымдары мурунку адабияттардан алынган, айрымдары болсо божомолдонгон. Ошондуктан модель толугу менен маалыматтан үйрөнүлгөн система эмес; ал маалымат менен калибрленген, адабияттык жана божомол компоненттери да бар механисттик математикалык модель.

Авторлор колдонгон параметрлер топтомунда негизги репродукция саны R₀ = 6,053288 деп эсептелген. Бул мааниси ушул моделдин белгилүү бир параметрлер айкалышы үчүн алынган босоголук чоңдук; ал Угандадагы Эболага байланышкан бардык шарттар үчүн өзгөрбөс же универсалдуу биологиялык туруктуу эмес. Моделдин теориялык талдоосу чечимдер калктын терс маанилерине өтпөй турганын, ылайыктуу аймакта чектелүү каларын, белгилүү математикалык шарттарда чечим бар жана жалгыз экенин жана оорусуз тең салмак чекити R₀ < 1 болгондо локалдык туруктуу болорун көрсөтөт.

Сандык симуляцияларда адам–адам жана айлана-чөйрө–адам жугушун көрсөткөн параметрлердин өсүшү инфекцияланган же инфекцияга байланышкан бөлүмдөрдүн көбөйүшү менен байланышса; обочолонтуу, айыгуу, коопсуз көмүү жана айлана-чөйрөдөгү патогендердин азайышына байланышкан параметрлер жугушту көзөмөлдөө багытында таасир көрсөтөт. Авторлор айрыкча карантин менен обочолонтуунун эпидемияны көзөмөлдөөдө маанилүү экенин баса белгилешет. Бирок булар моделге негизделген жыйынтыктар; изилдөө жаңы клиникалык дарылоо сыноосун, рандомизацияланган коомдук саламаттык сактоо кийлигишүүсүн же көз карандысыз келечектүү божомолду текшерүүнү сунуштабайт.

Кеңири түшүндүрмө

Изилдөө чечүүгө аракет кылган маселе

Классикалык эпидемиологиялык дифференциалдык теңдеме моделдеринде системанын белгилүү учурдагы өзгөрүшү негизинен ошол учурдагы абал өзгөрмөлөрү аркылуу эсептелет. Бул изилдөө болсо Эбола жугушундагы айрым процесстер мурдагы абалдардын таасирин алып жүрүшү мүмкүн деген ойдон чыгып, бөлчөк тартиптеги туунду ыкмасын колдонот. Авторлордун негизги пикири — бөлчөк моделдер мындай эс тутум жана локалдык эмес таасирлерди классикалык бүтүн тартиптеги моделдерден айырмаланып математикалык түрдө сүрөттөй алат.

Изилдөөнүн өзгөчө салымы үч багытта берилет. Биринчиден, Juga жана кесиптештеринин мурдагы моделине таасирге кабылган, карантиндеги жана обочолонгон адамдар сыяктуу кошумча бөлүмдөр кошулат. Экинчиден, система Atangana–Baleanu туундусунун Caputo маанисиндеги формасы менен бөлчөк тартипке өткөрүлөт. Үчүнчүдөн, параметрлердин маанилүү бөлүгү Уганданын 2022-жылдын сентябрь–ноябрь айларындагы учур маалыматтарына ылайыкташтырылат.

Atangana–Baleanu–Caputo бөлчөк туундусу бул моделде эмне үчүн колдонулат?

Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) бөлчөк туундусу абал өзгөрмөсүнүн өзгөрүшүн бир гана убакыт чекитине байланыштырбастан, мурунку убакыттардын салмакталган таасирин интеграл түрүндө алып жүргөн, сингулярдуу эмес ядро колдонгон бөлчөк туунду оператору; бул изилдөөдө аны колдонуунун максаты — Эбола моделине математикалык эс тутум жана локалдык эмес убакыт таасирлерин берүү.

Алгач Riemann–Liouville интегралынын логикасы

Изилдөө бөлчөк эсептөөнүн негиздерин Riemann–Liouville интегралынан баштайт. Булактагы Теңдеме (1) төмөнкү түзүмгө ээ:

\[ D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{1}{\Gamma(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}h(\omega)\,d\omega, \qquad \varsigma>0. \]

Бул жерде \(\varsigma\) бөлчөк тартипти, \(\Gamma(\varsigma)\) Gamma функциясын, \(\mathfrak{I}\) баалоо убактысын жана \(\omega\) мурунку убакыттарды карап чыгуучу интегралдык өзгөрмөнү билдирет. \((\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}\) мүчөсү мурдагы маанилер учурдагы эсепке кандай салмак менен кирерин аныктаган ядро түзүмүнүн бөлүгү болуп саналат.

Булакта берилген ABC туундусунун формасы

Булактын Теңдеме (2)синде ABC туундусу төмөнкүдөй аныкталат:

\[ {}_{\ast_1}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{T(\varsigma)}{1-\varsigma} \int_{\ast_1}^{\mathfrak{I}} h'(\omega) F_{\varsigma} \left[ -\frac{\varsigma(\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma}}{1-\varsigma} \right]d\omega. \]

\(T(\varsigma)\) булакта \(T(0)=T(1)=1\) шартын аткарган нормалдаштыруу функциясы болуп саналат. \(F_{\varsigma}\) болсо изилдөөдө Mittag–Leffler ядро түзүмүндө колдонулган функция. Интеграл \(h'(\omega)\) маанилерин өткөн убакыт боюнча жыйнагандыктан, туунду локалдык эмес операцияга айланат. Башкача айтканда, классикалык биринчи туунду көз ирмемдик өзгөрүүнү гана сүрөттөсө, бул түзүм мурдагы абалдардын математикалык изин да эске алат.

Бөлчөк тартип \(\varsigma\) изилдөөнүн симуляцияларында 1, 0,98, 0,96, 0,94 жана 0,92 маанилеринде каралган. \(\varsigma=1\) классикалык бүтүн тартиптеги чекке жакындаганда, кичирээк бөлчөк маанилер ар кандай эс тутум жүрүм-турумун моделдөөгө мүмкүндүк берет. Бирок \(\varsigma\) реалдуу дүйнөдө өлчөнө турган жалгыз биологиялык “эс тутум пайызы” деген жыйынтык бул изилдөөдөн чыгарылбашы керек; бул жерде \(\varsigma\) — математикалык моделдин бөлчөк тартиби.

Моделдин сегиз абал өзгөрмөсү

Инфекция күчү кантип эсептелет?

Булактын Теңдеме (5)синде жаңы таасирге кабылуулардын негизги аныктагычы болгон инфекция күчү \(\lambda\) төмөнкүдөй аныкталат:

\[ \lambda = \frac{\beta_1P}{K+P} + \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D}. \]

Бул теңдеме эки жугуу каналын бир эле туюнтмада бириктирет. Биринчи мүчө айлана-чөйрөдөн жугууну, экинчи мүчө болсо адамдар жана моделде жугуштуулукка салым кошкон башка адам бөлүмдөрү менен байланышкан жугууну билдирет.

\(\beta_1\), сезгич адам менен айлана-чөйрөдөгү патогендердин ортосундагы натыйжалуу байланыш/жугуу параметри. \(\beta_2\) сезгич жана инфекцияланган адамдардын ортосундагы жугуу параметри. \(P/(K+P)\) туюнтмасы айлана-чөйрөдөгү патоген жүгү көбөйгөндө айлана-чөйрөдөн жугуунун салымы сызыктуу түрдө чексиз өсүп кетпеши үчүн каныгуу формасында түзүлгөн. Булак \(K\)ны айлана-чөйрөдөгү патоген көлөмүнө байланышкан жарым каныгуу босогосу катары түшүндүрөт.

\(\omega_1\), \(\omega_2\) жана \(\omega_3\) теңдемеде тиешелүүлүгүнө жараша \(J\), \(D\) жана \(Q\) бөлүмдөрүнүн түздөн-түз \(I\) классына карата салмактарын аныктайт. Булакта бул параметрлерди түшүндүргөн коштоочу текст менен Теңдеме (5)теги алгебралык ролдор толук бирдей терминологияда берилген эмес; ошондуктан бул жерде теңдеменин ачык математикалык ролу негиз катары алынып, булакта жок жаңы биологиялык маанилер кошулган эмес.

\(1+\epsilon D\) бөлүүчүсү изилдөө “коркуу таасири” деп атаган жүрүм-турум компоненти. Модель божомолу боюнча, өлүмдөрдүн санынын өсүшү коомдо этият жүрүм-турумду күчөтүп, натыйжалуу байланышты азайтышы мүмкүн. Ошондуктан \(\epsilon>0\) болгондо \(D\)нын чоңоюшу экинчи жугуу мүчөсүн кичирейтиши мүмкүн. Бул байланыш моделдик божомол; изилдөө коркуу реалдуу жашоодо жугууну белгилүү бир өлчөмдө азайтарын эксперимент аркылуу өлчөбөйт.

Классикалык сегиз теңдемелүү система

Булак алгач моделди бүтүн тартиптеги дифференциалдык теңдемелер менен түзөт:

\[ \frac{dS}{d\mathfrak{I}} = \pi-(\lambda+\mu)S+\eta R+ek_1Q, \]

\[ \frac{dE}{d\mathfrak{I}} = \lambda S-(\mu+k_2+k_3)E, \]

\[ \frac{dQ}{d\mathfrak{I}} = k_2E-(\mu+e)Q, \]

\[ \frac{dI}{d\mathfrak{I}} = k_3E-(\mu+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)I, \]

\[ \frac{dJ}{d\mathfrak{I}} = \sigma_2I+e(1-k_1)Q-(\gamma_1+\gamma_2+\mu)J, \]

\[ \frac{dD}{d\mathfrak{I}} = \sigma_3I+\gamma_2J-\rho D, \]

\[ \frac{dP}{d\mathfrak{I}} = \tau_1I+\tau_2D-\theta P, \]

\[ \frac{dR}{d\mathfrak{I}} = \sigma_1I+\gamma_1J-(\mu+\eta)R. \]

Ар бир теңдеме “кирүүлөр минус чыгуулар” балансы болуп саналат. Мисалы, \(E\) классына \(\lambda S\) менен жаңы таасирге кабылуу кирет; \(k_2E\) аркылуу карантинге жана \(k_3E\) аркылуу инфекцияланган класска өтүү болот; табигый өлүм \(\mu E\) да бул класстан чыгуу түзөт. Ошол сыяктуу \(I\) классына \(k_3E\) менен кирүү болуп, айыгуу \(\sigma_1I\), обочолонтуу \(\sigma_2I\), Эболадан болгон өлүм \(\sigma_3I\) жана табигый өлүм \(\mu I\) чыгуу мүчөлөрү болуп эсептелет.

Булак текстинде обочолонгон адамдар “\(\gamma_1\) ылдамдыгы менен айыгат же \(\gamma_1\) ылдамдыгы менен өлөт” деген жазуу бар. Бирок 1-таблица жана модель теңдемелери айыгуу үчүн \(\gamma_1\), Эболадан болгон өлүм үчүн \(\gamma_2\) колдонот. Ошондуктан бул Verianla баянында теңдемелер менен параметрлер таблицасы негиз катары алынган жана булак текстиндеги бул кайталоо жашырылган эмес.

Бөлчөк тартиптеги система кантип алынат?

Теңдеме (7)де классикалык \(d/d\mathfrak{I}\) туундуларынын ордун ABC бөлчөк туундулары ээлейт. Булак ошондой эле ылдамдык параметрлерин бөлчөк моделде \(\varsigma\) үстүңкү индекси менен көрсөтөт:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma} -(\lambda+\mu^{\varsigma})S +\eta^{\varsigma}R +e^{\varsigma}k_1Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}E = \lambda S-(\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma})E, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Q = k_2^{\varsigma}E-(\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma})Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}I = k_3^{\varsigma}E- (\mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma})I, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}J = \sigma_2^{\varsigma}I+ e^{\varsigma}(1-k_1)Q- (\gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma})J, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I+\gamma_2^{\varsigma}J-\rho^{\varsigma}D, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I+\tau_2^{\varsigma}D-\theta^{\varsigma}P, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}R = \sigma_1^{\varsigma}I+\gamma_1^{\varsigma}J- (\mu^{\varsigma}+\eta^{\varsigma})R. \]

Булак бул үстүңкү индекстүү параметр жазылышын өзүнүн бөлчөк модель формулировкасында колдонот. Изилдөө параметрлерди бөлчөк даражага көтөрүүнүн өлчөм бирдиктери боюнча өзгөрүшүн өзүнчө кеңири чыгарып бербейт; ошондуктан Verianla түшүндүрмөсү бул түзүмдү булакта кандай болсо ошондой сактайт жана жаңы өлчөмдүк негиздеме ойлоп таппайт.

Оң маанилүүлүк эмне үчүн текшерилет?

Эпидемиологиялык моделде калктын санынын же айлана-чөйрөдөгү патоген көлөмүнүн терс болушу биологиялык жактан маанисиз. Ошондуктан авторлор \(S,E,Q,I,J,D,P,R\geq0\) баштапкы шарттарынан башталган чечим терс аймакка өтпөй турганын көрсөтүүгө аракет кылышат.

Мисалы, \(S=0\) чек арасында:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma}+\eta^{\varsigma}R+e^{\varsigma}k_1Q \geq0. \]

Бул жыйынтык \(S\) нөлгө жеткенде вектор талаасы аны терс аймакка түртпөй турганын көрсөтөт. Булак ушундай эле чек аралык текшерүүнү калган жети абал өзгөрмөсү үчүн да колдонот.

Чектелгендик жана колдонулуучу аймак

Авторлор тирүү адам бөлүмдөрүнүн суммасын:

\[ N(\mathfrak{I})=S+E+Q+I+J+R \]

деп аныктап, салыштыруу ыкмасы менен:

\[ N(\mathfrak{I}) \leq \max \left\{ N(0), \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}} \right\} \]

жогорку чекти алышат. Ушуга окшош жогорку чектер \(D\) жана \(P\) үчүн да чыгарылып, чечим биологиялык жактан маанилүү жана чектелген колдонулуучу аймакта калары негизделет. Бул жердеги “well-posed” термини оорунун клиникалык жактан жакшы башкарылганын билдирбейт; математикалык маселе ылайыктуу чечим касиеттерине ээ экенин билдирет.

Бар болуу жана жалгыздык эмнени билдирет?

Модель сызыктуу эмес жана бөлчөк интегралдык түзүмдү камтыйт. Авторлор чечим чынында бар экенин жана бирдей баштапкы шарттардан бир нече карама-каршы чечим чыкпасын көрсөтүү үчүн Banach мейкиндигин, supremum нормасын, Lipschitz шартын жана туруктуу чекит ыкмасын колдонушат.

Моделдин бөлчөк интегралдык формасынын жалпы түзүмү:

\[ X(\mathfrak{I})-X(0) = \frac{1-\varsigma}{C(\varsigma)}B(X(\mathfrak{I}),\mathfrak{I}) + \frac{\varsigma}{\Gamma(\varsigma)C(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1} B(X(\omega),\omega)\,d\omega \]

түрүндө. Бул жерде \(X\) сегиз абал өзгөрмөсүнүн каалаган бирин, ал эми \(B\) ошол бөлүмгө тиешелүү сызыктуу эмес оң тарап функциясын билдирет. Lipschitz шартынын негизги логикасы — эки башка талапкер чечимдин айырмасы чоңойгондо оң тарап функцияларынын айырмасы көзөмөлсүз өсүп кетпеши керек:

\[ \|B(X)-B(X_1)\| \leq \kappa\,\|X-X_1\|. \]

Авторлор сегиз модель ядросу үчүн ушундай чектерди түзүп, удаалаш жакындаштыруу тизмектеринин жакындашуусун колдонуу менен чечимдин бар болушун жана жалгыздыгын негиздешет.

Негизги репродукция саны R0 бул моделде эмнени билдирет?

Негизги репродукция саны \(R_0\) моделде толугу менен сезгич калкка кирген инфекция жаратышы мүмкүн болгон экинчилик инфекциялардын потенциалын жыйынтыктаган босоголук чоңдук; изилдөөдө \(R_0<1\) оорусуз тең салмактын локалдык туруктуулугу менен, \(R_0>1\) болсо инфекциянын улана алуу потенциалы менен байланышкан.

Оорусуз тең салмак

Булак оорусуз тең салмак чекитин:

\[ E^0= \left( \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \]

түрүндө берет. Бул учурда сезгич калк гана бар; таасирге кабылган, карантиндеги, инфекцияланган, обочолонгон, каза болгон, айлана-чөйрөдөгү патоген жана айыккан класстар нөлгө барабар.

R0 кантип алынат?

Авторлор кийинки муун матрица ыкмасын колдонушат. Инфекция жаратуучу мүчөлөр \(F\), инфекцияланган подсистемадагы башка өтүүлөр болсо \(V\) матрицасында топтолуп, андан соң:

\[ R_0=\rho^{\ast}(FV^{-1}) \]

эсептелет. Бул жердеги \(\rho^{\ast}\) матрицанын спектралдык радиусун, башкача айтканда өздүк маанилеринин абсолюттук маанилеринин ичинен эң чоңун билдирет.

Булак эсептөөнү жөнөкөйлөтүү үчүн:

\[ \varpi_1=\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_2=\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_3= \mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_4= \gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_5=e^{\varsigma}(1-k_1) \]

жардамчы чоңдуктарды аныктайт. Алынган узун \(R_0\) туюнтмасы \(\beta_2\) менен берилген адамга байланышкан жугуу жолдорун да, \(\beta_1\), \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\theta\) жана \(K\) аркылуу айлана-чөйрөдөн жугуу жолун да камтыйт. Демек \(R_0\) бир гана байланыш коэффициентинин эмес, моделдеги инфекцияланган адамдардын, обочолонтуунун, өлүмдүн, карантиндин жана айлана-чөйрөдөгү патоген айлануусунун биргелешкен натыйжасы.

R0 < 1 эмне үчүн маанилүү?

Булактын 5-теоремасына ылайык, оорусуз тең салмак \(R_0<1\) болгондо локалдык асимптотикалык туруктуу, \(R_0>1\) болгондо туруктуу эмес. Авторлор муну Jacobian матрицасынын өздүк маанилери аркылуу изилдешет. Бөлчөк системаларда мындан тышкары өздүк маанилердин комплекс тегиздиктеги бурчтарына бөлчөк туруктуулук шарты колдонулат.

Бул босоголук түшүндүрмө “R0 бүгүн 1ден төмөн түшсө, эпидемия дароо бүтөт” дегенди билдирбейт. Математикалык жактан \(R_0<1\) оорусуз тең салмактын айланасындагы кичине инфекциялар узак мөөнөттө өспөшү үчүн керек болгон босоголук шартты билдирет.

Hyers–Ulam туруктуулугу деген эмне?

Hyers–Ulam туруктуулугу теңдемени кичине ката менен канааттандырган жакындатылган чечим чыныгы чечимге канчалык жакын кала аларын изилдеген математикалык бекемдик түшүнүгү. Булакта жакындатылган чечим үчүн:

\[ \left\| {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Z(\mathfrak{I}) - \Phi(\mathfrak{I},Z(\mathfrak{I})) \right\| \leq\delta \]

шарты колдонулат. Бул жердеги \(\delta\) — теңдемеде уруксат берилген кичине четтөөнүн өлчөмү. Эгер бул жакындатылган чечим менен чыныгы чечим \(Z^\ast\) ортосунда:

\[ \|Z-Z^\ast\|\leq\lambda_p\delta \]

сыяктуу чек түзүлсө, теңдемедеги кичине каталар чексиз чечим четтөөлөрүнө айланбайт деп айтууга болот.

Булак ошондой эле сызыктуу эмес ядро үчүн Lipschitz туруктуусу \(L_{\Phi}\) колдонуп:

\[ \Lambda= \frac{1-\varsigma}{W(\varsigma)}L_{\Phi} + \frac{T^{\varsigma}}{W(\varsigma)\Gamma(\varsigma)}L_{\Phi} <1 \]

шарты астында Hyers–Ulam туруктуулугун, андан кийин Hyers–Ulam–Rassias туруктуулугун чыгарат. Бул математикалык туруктуулук “Эбола эпидемиясы реалдуу дүйнөдө туруктуу” дегенди билдирбейт; чечим оператору кичине математикалык пертурбациялар алдында көзөмөлдө каларын билдирет.

Изилдөөнүн ыкмасы жана жыйынтыктары

Колдонулган реалдуу учур маалыматтары

Модель Угандада 29-сентябрь 2022-жылдан 12-ноябрь 2022-жылга чейин катталган Эболанын тастыкталган кумулятивдик учурларынын саны боюнча калибрленген. Булак маалымат топтому Уганда Саламаттык сактоо министрлигинин бюллетендеринен, ECDC көзөмөл маалыматтарынан жана WHO Африка аймактык кеңсесинин маалыматтарынан түзүлгөн ачык маалымат топтомунан алынганын билдирет.

Эң кичине квадраттар менен параметрлерди баалоо

Авторлор моделдин чыгышы менен байкалган кумулятивдик учур маанилеринин ортосундагы квадраттык айырмалардын суммасын минималдаштырган эң кичине квадраттар ыкмасын колдонушат. Булактын Теңдеме (48)де берген символдук түзүмү:

\[ \mathcal{J}(\widetilde{k}) = \sum_{h=1}^{n} \left( \widetilde{k}_h-\mathcal{J}(h,\widetilde{k}) \right)^2 \]

түрүндө. Негизги идея төмөнкүдөй: ар бир маалымат чекитинде байкалган маани менен моделдин ошол эле чекитте берген маанисинин айырмасы алынат, терс жана оң каталар бири-бирин жок кылып жибербеши үчүн квадратка көтөрүлөт жана бардык маалымат чекиттери боюнча бул квадраттар кошулат. Параметрлерди оптималдаштыруу ушул сумманы мүмкүн болушунча азайтууга аракет кылат.

Моделди калибрлөө

Булактын 2-сүрөтүндө байкалган кумулятивдик учурлар менен модель ийри сызыгы чогуу көрсөтүлүп, графикте Нормалдаштырылган орточо квадраттык ката = 0,008898 мааниси берилген. Калдык графиги да модель менен байкоонун айырмалары убакыт боюнча оң жана терс багытта өзгөрөрүн көрсөтөт.

Бул жерде булак ичиндеги маанилүү белгилөө көйгөйү бар: колдонулган маалыматтар 29-сентябрь–12-ноябрь 2022 аралыгындагы күнүмдүк байкоолор болгонуна карабастан, 2-сүрөттүн x огунда “Years”, калдык графигинде “Time (years)” деп жазылган. Маалымат таблицасы жана изилдөөнүн ыкма түшүндүрмөсү күнүмдүк убакыт катарын ачык көрсөткөндүктөн, бул огунун белгиси булак ичиндеги графикалык белгилөөнүн дал келбестиги катары сакталышы керек; Verianla муну “жылдык маалымат” деп түшүндүрбөйт.

Баштапкы маанилер

Булак Уганданын 2022-жылдагы калкын \(N(0)=47.249.585\) деп алып, баштапкы бөлүмдөрдү:

\[ E(0)=75,\quad Q(0)=40,\quad I(0)=23,\quad J(0)=12,\quad D(0)=0,\quad P(0)=0,\quad R(0)=0 \]

түрүндө берет. Бул маанилердин суммасы 150 болгондуктан, булактын 23-бетинде:

\[ S(0)=47.249.585-150=47.249.435 \]

эсеби жазылган. Бирок изилдөөнүн кийинки сандык симуляция бөлүмүндө \(S(0)=47.249.458\) мааниси берилген. Эки сан ортосунда 23 адамдык айырма бар. PDF бул айырманы түшүндүрбөйт. Ошондуктан бул жерде маанилердин бири унчукпай оңдолгон эмес; баштапкы шарттар боюнча булак ичиндеги дал келбестик ачык көрсөтүлгөн.

Параметр маанилери

Таблицанын эң маанилүү түшүндүрмөчү жери — параметрлердин баары бир эле ыкма менен алынбаганы. Мисалы, \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(k_1\), \(k_2\), \(\tau_1\), \(\epsilon\), \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\theta\), \(e\), \(\eta\) жана \(K\) маалыматка ылайыкташтырылган; \(\sigma_2\) жана \(\sigma_3\) божомолдонгон, ал эми \(\tau_2\) жана \(\rho\) мурунку адабияттардан алынган. Параметр булактарынын мындай аралаш болушу модель жыйынтыктарын чечмелөө чегинин маанилүү бөлүгү.

Негизги репродукция санынын сезгичтик талдоосу

Нормалдаштырылган алдыга сезгичтик индекси жалпы түрдө:

\[ X_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \]

деп чечмелениши мүмкүн. Оң индекс параметр көбөйгөндө \(R_0\) локалдык түрдө ошол эле багытта өзгөрөрүн; терс индекс тескери багытта өзгөрөрүн көрсөтөт. Абсолюттук маани чоңойгон сайын \(R_0\)дун ошол параметрге локалдык сезгичтиги өсөт.

Булак мындан тышкары \(\mu\) үчүн өзүнчө:

\[ X_{\mu}^{R_0}=-1,11230 \]

маанисин берет. Бул маани 4-таблицада жок болгону менен текстте эсептелген.

Бул жерде дагы бир булак ичиндеги дал келбестик бар. Текст \(\beta_1\)деги 10% өзгөрүү \(R_0\)до 10% өзгөрүүгө алып келет деп айтат; бирок 4-таблицада \(\beta_1\) сезгичтик индекси 0,6245. Ошо сыяктуу \(\mu\) үчүн текстте болжол менен бирге-бир пайыздык өзгөрүү мисалы берилсе, ачык формула −1,11230 натыйжасын көрсөтөт. Ошондуктан бул Verianla баянында багыт тууралуу маалымат жана таблицада/формулада ачык берилген сандык индекстер сакталган, тексттеги пайыздык мисалдар так сандык жыйынтык катары кайталанган эмес.

R0 = 6,053288 эмнени билдирет?

Авторлор маалыматка ылайыкташтырылган параметрлерди адабияттан жана божомолдордон алынган параметрлер менен бирге колдонуп, \(R_0=6,053288\) жыйынтыгына келишет. Бул маани тандалган баштапкы шарттар жана параметрлер топтомунда модель үчүн оору оорусуз тең салмак босогосунан жогору экенин көрсөтөт.

Бул сан “Эбола алып жүргөн ар бир адам сөзсүз 6,053288 адамды жуктурат” деп окулбашы керек. \(R_0\) көптөгөн жугуу жана өтүү жолдорун бир босоголук чоңдукта бириктирген модель чыгышы жана параметрлер өзгөргөндө өзү да өзгөрөт.

Сандык чечүү ыкмасы

Бөлчөк моделдин жакындатылган чечимдери бөлчөк Adams–Bashforth–Moulton алдын ала божомолдоочу–түзөтүүчү ыкмасы менен эсептелген. Бул ыкма сызыктуу эмес бөлчөк дифференциалдык теңдемелерде адегенде кийинки чечим мааниси үчүн божомол түзөт, андан соң интегралдык теңдеме түзүмүн колдонуп божомолду оңдойт. Бул ыкманын тандалышы изилдөөдө бөлчөк операторлордун өткөнгө көз каранды түзүмүн сандык түрдө байкоого мүмкүндүк бергени менен түшүндүрүлөт.

Бөлчөк тартип өзгөргөндө эмне болот?

Булактын 6-сүрөт жана 7-сүрөтүндө \(\varsigma=1, 0,98, 0,96, 0,94, 0,92\) маанилери салыштырылат. Симуляцияларда бөлчөк тартип 1ге жакындаган сайын \(E\), \(I\), \(J\), \(D\) жана \(P\) сыяктуу ар кандай бөлүмдөрдө жогору траекториялар байкалат, ал эми сезгич \(S\) классындагы азаюу айкыныраак болот. \(Q\) карантин жана \(R\) айыгуу бөлүмдөрү да бөлчөк тартипке жараша ар башка траекторияларды көрсөтөт.

Бул ийри сызыктар моделдин эс тутум параметрине сезгич экенин көрсөтөт; бирок алардын бири-биринен айырмаланышы кайсы бөлчөк тартип реалдуу эпидемиологиялык процессти эң туура сүрөттөрүн өз алдынча далилдебейт. Авторлор төмөнүрөөк бөлчөк маанилер айрым жүрүм-турумдарда ылайыктуураак/туруктуураак жыйынтык берерин түшүндүрүшөт, бирок ар башка \(\varsigma\) маанилеринин божомол ийгилиги көз карандысыз тышкы валидация топтому менен салыштырылган эмес.

Жугуу параметрлеринин таасири

Сандык симуляцияларда \(\beta_1\) жана \(\beta_2\) көбөйгөндө таасирге кабылган, карантиндеги, инфекцияланган, обочолонгон жана каза болгон адамдар менен айлана-чөйрөдөгү патоген жүгү көбөйөрү маалымдалат. Бул жыйынтык \(R_0\) талдоосундагы оң жугуу сезгичтиктери менен бир багытта.

\(\beta_1\) айлана-чөйрөдөн жугуу каналына, \(\beta_2\) адамга байланышкан жугуу каналына киргендиктен, модель математикасында бул параметрлердин көбөйүшү инфекция күчүнүн өсүшүнө түздөн-түз салым кошот. Ошондуктан табылгандын бир бөлүгү модель теңдемесинин түзүмдүк натыйжасы.

Айлана-чөйрөгө патоген бөлүнүп чыгышы

\(\tau_1\) инфекцияланган адамдардын, \(\tau_2\) болсо каза болгон адамдардын айлана-чөйрөдөгү патоген бөлүмүнө салым кошуу ылдамдыгын билдирет. Модель:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I + \tau_2^{\varsigma}D - \theta^{\varsigma}P \]

теңдемесине ээ болгондуктан, \(\tau_1\) же \(\tau_2\) көбөйүшү \(P\)ге кирүү агымын көбөйтөт, ал эми \(\theta\) көбөйүшү айлана-чөйрөдөгү патоген жүгүн азайткан чыгуу агымын күчөтөт. Изилдөөнүн сезгичтик талдоосу \(\theta\) үчүн терс \(R_0\) сезгичтигин да билдирет.

Коопсуз көмүү жана ρ параметри

\(\rho\) — Эбола себептүү каза болгон адамдардын системадагы \(D\) классынан коопсуз чыгарылуу ылдамдыгы:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I + \gamma_2^{\varsigma}J - \rho^{\varsigma}D. \]

Моделде \(D\) адамга байланышкан инфекция күчүнө жана \(\tau_2D\) аркылуу айлана-чөйрөдөгү патоген жүгүнө салым кошо алгандыктан, \(\rho\)нун көбөйүшү бул жолдордун узактыгын кыскартышы мүмкүн. Булакта \(\rho\)нун \(R_0\) сезгичтиги −0,3755 деп берилген.

Коркуу параметри ε

Булактын 16-сүрөтүндө \(\epsilon\) көбөйтүлгөндө \(E\), \(I\), \(Q\) жана \(J\) траекториялары азаяры маалымдалат. Мунун математикалык себеби:

\[ \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D} \]

мүчөсүндө \(\epsilon D\) бөлүүчүнү чоңойтот. Авторлордун түшүндүрмөсү боюнча, өлүмдүн көрүнүктүүлүгү коомдогу этият жүрүм-турумду күчөтүп, натыйжалуу байланышты азайтышы мүмкүн.

Бул жыйынтык жүрүм-турум илимдериндеги талаа эксперименти эмес. Аны “коркуу Эболаны алдын алат” деп жалпылоого болбойт. Изилдөө белгилүү бир жүрүм-турум таасири \(\epsilon\) параметри менен математикалык түрдө берилген сценарийдин жыйынтыктарын гана көрсөтөт.

Карантин жана обочолонтуу

Моделде таасирге кабылган адамдар \(k_2E\) аркылуу карантинге, инфекцияланган адамдар болсо \(\sigma_2I\) аркылуу обочолонтууга өтөт. Карантиндеги адамдардын \(k_1\) үлүшү кайра сезгич класска, калган бөлүгү \(e(1-k_1)Q\) аркылуу обочолонтууга багытталат.

Авторлордун сандык симуляциясы жана жыйынтык түшүндүрмөсү карантин менен обочолонтууну инфекцияланган жана сезгич адамдардын байланышын чектеген негизги эпидемиялык көзөмөл компоненттери катары көрсөтөт. Бул жыйынтык моделдин негизги коомдук саламаттык сактоо тыянагы.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• ABC бөлчөк туундусун колдонуу менен сегиз бөлүмдүү Эбола жугуу моделин математикалык түрдө түзүүгө болот.
• Моделдин чечимдери ылайыктуу баштапкы шарттарда оң жана чектелүү болуп калышы жагынан талданган.
• Туруктуу чекит жана Lipschitz ыкмасы менен чечимдин бар болушу жана жалгыздыгы үчүн математикалык шарттар түзүлгөн.
• Оорусуз тең салмак \(R_0<1\) болгондо локалдык туруктуу экени көрсөтүлгөн.
• Модель Hyers–Ulam жана Hyers–Ulam–Rassias туруктуулугу боюнча талданган.
• Уганданын 29-сентябрь–12-ноябрь 2022 учур маалыматтары айрым параметрлерди баалоодо колдонулган.
• Колдонулган параметрлер топтому менен \(R_0=6,053288\) эсептелген.
• Модель симуляцияларында жугуу параметрлеринин өсүшү инфекция жүгүнүн жогору болушу менен байланышкан.
• Карантин, обочолонтуу, айлана-чөйрөдөгү патогендерди азайтуу жана коопсуз көмүүгө байланышкан механизмдер көзөмөл багытында таасир көрсөтөт.

Изилдөө колдобогон жыйынтыктар

Изилдөө белгилүү бир карантин саясаты реалдуу дүйнөдө так канча учурду алдын аларын өлчөбөйт. Обочолонтуунун белгилүү саламаттык сактоо системасында канчалык натыйжалуу экенин рандомизацияланган же көзөмөлдөнгөн талаа маалыматтары менен текшербейт. \(\epsilon\) параметри менен берилген коркуу таасиринин реалдуу калктагы себептик чоңдугун өлчөбөйт. \(R_0=6,053288\) мааниси бардык Эбола эпидемияларында туруктуу экенин көрсөтпөйт. Ошондой эле бөлчөк модель келечектеги эпидемияларды классикалык моделдерге караганда жакшыраак божомолдой турганын көз карандысыз тест маалыматтарында салыштырмалуу түрдө текшербейт.

Негизги методологиялык жана булак ичиндеги чектөөлөр

• Калибрлөө мезгили болжол менен 45 күндүк бир гана Уганда эпидемиясынын маалымат аралыгы.
• Маалыматтар тастыкталган кумулятивдик учурлардын санынан турат; бул жеке клиникалык маалымат эмес.
• Модель параметрлеринин бир бөлүгү маалыматка ылайыкташтырылган, бир бөлүгү эсептелген, бир бөлүгү адабияттан алынган жана бир бөлүгү божомолдонгон.
• Көз карандысыз окутуу/тест же келечектүү тышкы валидация топтому маалымдалган эмес.
• Булактын 2-сүрөтүндө күнүмдүк маалымат болгонуна карабастан, убакыт огу “Years” деп белгиленген.
• Баштапкы сезгич калктын мааниси булакта \(47.249.435\) жана \(47.249.458\) деп эки башка түрдө берилген.
• 4-таблицада \(\beta_1\) сезгичтиги 0,6245 болгону менен, тексттеги мисал %10 → %10 түрүндө берилгендиктен сандык баяндоо толук дал келбейт.
• \(\mu\) үчүн −1,11230 сезгичтик ачык эсептелгенине карабастан, бул параметр 4-таблицада жок.
• Бөлчөк моделде ылдамдык параметрлерин \(\varsigma\) даражалары менен колдонуу булакта берилген; өлчөмдүк шайкештиктин негиздемеси өзүнчө талдоо катары иштелип чыккан эмес.

Булак жана ыкма жөнүндө эскертүү

Түп нуска изилдөө: Mathematical analysis of a fractional Ebola transmission dynamics

Авторлор: Isaac Kwasi Adu; Joshua Kiddy K. Asamoah; Fredrick A. Wireko.

Авторлордун тартиби: Булактагы тартип өзгөртүүсүз сакталган.

Тең салым: PDFде тең биринчи авторлук же тең салым тууралуу билдирүү көрүнбөйт.

Corresponding author: Isaac Kwasi Adu; PDFнин биринчи бетиндеги байланыш блогунда конверт белгиси менен жооптуу байланыш автору катары көрсөтүлгөн.

Мекеме 1: Mathematical Sciences Department, Kumasi Technical University, Kumasi, Ghana.

Мекеме 2: Department of Mathematics, Saveetha School of Engineering, SIMATS, Chennai, India.

Мекеме 3: Department of Mathematics, Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Kumasi, Ghana.

Журнал: Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics.

Басма / лицензия ээси: Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature.

Том / макала номери: Volume 15, Article 182.

Сан/issue: PDFнин библиографиялык жогорку маалыматында өзүнчө сан тууралуу маалымат ачык көрсөтүлгөн эмес.

DOI: 10.1007/s13721-026-00837-w.

Жөнөтүлгөн күнү: 10-март 2026.

Кайра кароо күнү: 4-июль 2026.

Кабыл алынган күнү: 8-июль 2026.

Онлайн жарыяланган күнү: 12-август 2026.

Булак түрү: Original Article; математикалык эпидемиология / бөлчөк тартиптеги динамикалык системаларды моделдөө изилдөөсү.

Рецензия статусу: Булак Springer Nature журналында Original Article катары жарыяланган жана PDFде жөнөтүү, кайра кароо жана кабыл алуу даталары бар; изилдөө жарыяланган журналдык макала.

Лицензия/автордук укук: PDFде “© The Author(s), under exclusive licence to Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature 2026” деген билдирүү бар. Макала Creative Commons ачык лицензиясы менен белгиленген эмес. Ошондуктан Verianlaдагы модель схемасы булак фигурасынын көчүрмөсү катары колдонулган эмес, теңдемелерде ачык берилген байланыштардын негизинде өз алдынча кайра түзүлгөн.

Каржылоо: None declared.

Маалыматтын жеткиликтүүлүгү: Авторлор изилдөөдө колдонулган маалыматтар макаланын ичинде бар экенин билдиришет. Изилдөө ошондой эле Уганда эпидемиясынын маалыматтары ачык булактардан топтолгонун түшүндүрөт.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор competing interests жок экенин билдиришет.

Авторлордун салымы: Isaac K. Adu; концептуалдаштыруу, изилдөө, алгачкы долбоорду жазуу, методология, кароо жана редакциялоо, программалык камсыздоо, формалдык талдоо жана маалыматтарды курациялоо салымдары менен көрсөтүлгөн. Joshua Kiddy K. Asamoah; концептуалдаштыруу, изилдөө, алгачкы долбоорду жазуу, валидация, методология, кароо жана редакциялоо, программалык камсыздоо, формалдык талдоо жана кеңеш берүү/көзөмөл салымдары менен көрсөтүлгөн. Fredrick A. Wireko; концептуалдаштыруу, алгачкы долбоорду жазуу, методология, кароо жана редакциялоо жана формалдык талдоо салымдары менен көрсөтүлгөн.

Негизги ыкма: Сегиз бөлүмдүү детерминисттик Эбола модели; Atangana–Baleanu–Caputo бөлчөк туундусу; оң маанилүүлүк жана инварианттык аймак талдоосу; туруктуу чекит/Lipschitz ыкмасы менен бар болуу жана жалгыздык; кийинки муун матрица ыкмасы менен \(R_0\); Jacobian жана бөлчөк туруктуулук талдоосу; Hyers–Ulam жана Hyers–Ulam–Rassias туруктуулугу; эң кичине квадраттар менен параметрлерди калибрлөө; PRCC жана нормалдаштырылган сезгичтик талдоосу; бөлчөк Adams–Bashforth–Moulton алдын ала божомолдоочу–түзөтүүчү сандык чечими.

Негизги чечмелөө чеги: Бул изилдөө эпидемиологиялык учур маалыматтарына калибрленген теориялык жана сандык моделдөө изилдөөсү. Модель жыйынтыктары клиникалык натыйжалуулуктун далили, жеке бейтап боюнча божомол же кандайдыр бир карантин/обочолонтуу чарасынын реалдуу дүйнөдөгү так таасир өлчөмү катары чечмеленбеши керек. Параметрлердин ар башка булактардан алынганы жана көз карандысыз тышкы валидация жүргүзүлбөгөнү да жыйынтыктардын жалпылануусуна чектөө коёт.