Atangana–Baleanu–Caputo kesirli dereceli Ebola modeli, Ebola bulaşını yalnız mevcut epidemiyolojik durumun anlık değişimiyle değil, sistemin geçmiş durumlarının matematiksel etkisini de taşıyan kesirli türev yapısıyla temsil eden sekiz bölmeli bir epidemiyolojik modeldir. Çalışma; duyarlı (S), maruz kalmış (E), karantinadaki (Q), enfekte (I), izole edilmiş (J), iyileşmiş (R), ölmüş (D) bireyleri ve çevredeki Ebola patojenlerini (P) birlikte modellemekte; ayrıca korku davranışı, karantina, izolasyon, güvenli defin ve çevresel kontaminasyon gibi süreçleri denklemlere dahil etmektedir.

Model, Uganda'da 29 Eylül 2022 ile 12 Kasım 2022 arasında raporlanan kümülatif Ebola vakalarına en küçük kareler yöntemiyle kalibre edilmiştir. Çalışmada bazı parametreler bu verilere uydurulmuş, bazıları demografik bilgilerden hesaplanmış, bazıları önceki literatürden alınmış ve bazıları varsayılmıştır. Bu nedenle model tamamen veriden öğrenilmiş bir sistem değildir; veriyle kalibre edilen, literatür ve varsayım bileşenleri de bulunan mekanistik bir matematiksel modeldir.

Yazarların kullandığı parametre seti altında temel üreme sayısı R₀ = 6,053288 olarak hesaplanmıştır. Bu değer, söz konusu modelin belirli parametre kombinasyonu için elde edilen eşik büyüklüğüdür; Uganda'daki bütün Ebola koşulları için değişmez veya evrensel bir biyolojik sabit değildir. Modelin teorik analizi çözümlerin negatif nüfus değerlerine gitmediğini, uygun bir bölgede sınırlı kaldığını, belirli matematiksel koşullar altında çözümün var ve tek olduğunu ve hastalıksız denge noktasının R₀ < 1 olduğunda yerel olarak kararlı hale geldiğini göstermektedir.

Sayısal simülasyonlarda insan-insan ve çevre-insan bulaşını temsil eden parametrelerin artması enfekte veya enfeksiyonla ilişkili bölmelerde artışla ilişkilendirilirken; izolasyon, iyileşme, güvenli defin ve çevresel patojenlerin azalmasıyla ilişkili parametreler bulaşın kontrolü yönünde etkiler göstermektedir. Yazarlar özellikle karantina ve izolasyonun salgın kontrolünde önemli olduğunu vurgulamaktadır. Bununla birlikte bunlar model tabanlı sonuçlardır; çalışma yeni bir klinik tedavi deneyi, randomize halk sağlığı müdahalesi veya bağımsız ileriye dönük tahmin doğrulaması sunmamaktadır.

Detaylı Açıklama

Araştırmanın çözmeye çalıştığı problem

Klasik epidemiyolojik diferansiyel denklem modellerinde bir sistemin belirli bir andaki değişimi esas olarak o andaki durum değişkenleri üzerinden hesaplanır. Bu çalışma ise Ebola bulaşındaki bazı süreçlerin geçmiş durumların etkisini taşıyabileceği düşüncesinden hareket ederek kesirli dereceli türev yaklaşımını kullanmaktadır. Yazarların temel iddiası, kesirli modellerin bu tür hafıza ve yerel olmayan etkileri klasik tam sayı dereceli modellerden farklı biçimde matematiksel olarak temsil edebilmesidir.

Çalışmanın özgün katkısı üç başlık altında sunulmaktadır. Birincisi, Juga ve arkadaşlarının daha önceki modeline maruz kalmış, karantinadaki ve izole edilmiş bireyler gibi ek bölmeler eklenmektedir. İkincisi, sistem Atangana–Baleanu türevinin Caputo anlamındaki biçimiyle kesirli dereceye dönüştürülmektedir. Üçüncüsü ise parametrelerin önemli bir bölümü Uganda'nın Eylül–Kasım 2022 vaka verisine uydurulmaktadır.

Atangana–Baleanu–Caputo Kesirli Türevi Bu Modelde Neden Kullanılıyor?

Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) kesirli türevi, bir durum değişkeninin değişimini yalnız tek bir zaman noktasına bağlamak yerine önceki zamanların ağırlıklı etkilerini integral biçiminde taşıyan, tekil olmayan bir çekirdek kullanan kesirli türev operatörüdür; bu çalışmada kullanım amacı Ebola modeline matematiksel hafıza ve yerel olmayan zaman etkileri kazandırmaktır.

Önce Riemann–Liouville integralinin mantığı

Çalışma kesirli kalkülüs altyapısını Riemann–Liouville integraliyle başlatmaktadır. Kaynaktaki Denklem (1) aşağıdaki yapıdadır:

\[ D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{1}{\Gamma(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}h(\omega)\,d\omega, \qquad \varsigma>0. \]

Burada \(\varsigma\) kesirli dereceyi, \(\Gamma(\varsigma)\) Gamma fonksiyonunu, \(\mathfrak{I}\) değerlendirme zamanını ve \(\omega\) geçmiş zamanları tarayan integral değişkenini temsil eder. \((\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}\) terimi geçmişteki değerlerin bugünkü hesaplamaya hangi ağırlıkla girdiğini belirleyen çekirdek yapısının parçasıdır.

ABC türevinin kaynakta verilen biçimi

Kaynağın Denklem (2)'sinde ABC türevi şu biçimde tanımlanmaktadır:

\[ {}_{\ast_1}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{T(\varsigma)}{1-\varsigma} \int_{\ast_1}^{\mathfrak{I}} h'(\omega) F_{\varsigma} \left[ -\frac{\varsigma(\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma}}{1-\varsigma} \right]d\omega. \]

\(T(\varsigma)\) kaynakta \(T(0)=T(1)=1\) koşulunu sağlayan normalizasyon fonksiyonudur. \(F_{\varsigma}\) ise çalışmanın Mittag–Leffler çekirdek yapısı içinde kullandığı fonksiyondur. Integral, \(h'(\omega)\) değerlerini geçmiş zaman boyunca topladığı için türev yerel olmayan bir işlem haline gelir. Başka bir ifadeyle, klasik birinci türev yalnız anlık değişimi temsil ederken bu yapı geçmiş durumların matematiksel izini de hesaba katmaktadır.

Kesirli derece \(\varsigma\) çalışmanın simülasyonlarında 1, 0,98, 0,96, 0,94 ve 0,92 gibi değerlerde incelenmiştir. \(\varsigma=1\) klasik tam sayı dereceli sınıra yaklaşırken daha küçük kesirli değerler farklı hafıza davranışlarının modellenmesine izin vermektedir. Ancak \(\varsigma\)'nın gerçek dünyadaki tek bir ölçülebilir biyolojik “hafıza yüzdesi” olduğu sonucu bu çalışmadan çıkarılmamalıdır; burada \(\varsigma\), matematiksel modelin kesirli derecesidir.

Modelin sekiz durum değişkeni

Enfeksiyon kuvveti nasıl hesaplanıyor?

Kaynağın Denklem (5)'inde yeni maruziyetlerin temel belirleyicisi olan enfeksiyon kuvveti \(\lambda\) şu şekilde tanımlanmaktadır:

\[ \lambda = \frac{\beta_1P}{K+P} + \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D}. \]

Bu denklem iki bulaş kanalını aynı ifadede birleştirir. İlk terim çevresel bulaşı, ikinci terim ise insanlarla ve modelde bulaştırıcılığa katkı sağlayan diğer insan bölmeleriyle ilişkili bulaşı temsil eder.

\(\beta_1\), duyarlı insan ile çevresel patojenler arasındaki etkin temas/bulaş parametresidir. \(\beta_2\), duyarlı ve enfekte bireyler arasındaki bulaş parametresidir. \(P/(K+P)\) ifadesi çevresel patojen yükü arttığında çevresel bulaş katkısının doğrusal olarak sınırsız büyümemesi için doygunluk biçiminde kurulmuştur. Kaynak \(K\)'yı çevresel patojen miktarıyla ilişkili bir yarı-doygunluk eşiği şeklinde açıklamaktadır.

\(\omega_1\), \(\omega_2\) ve \(\omega_3\) denklem içinde sırasıyla \(J\), \(D\) ve \(Q\) bölmelerinin doğrudan \(I\) sınıfına göre ağırlıklarını belirlemektedir. Kaynağın bu parametreleri açıklayan çevre metni ile Denklem (5)'teki cebirsel rolleri tam olarak aynı terminolojiyle verilmemiştir; bu nedenle burada denklemin açık matematiksel rolü esas alınmış ve kaynakta bulunmayan yeni biyolojik anlamlar eklenmemiştir.

\(1+\epsilon D\) paydası ise çalışmanın “korku etkisi” olarak adlandırdığı davranış bileşenidir. Model varsayımına göre ölüm sayısının artması toplumda ihtiyatlı davranışı artırabilir ve etkin teması azaltabilir. Dolayısıyla \(\epsilon>0\) iken \(D\)'nin büyümesi ikinci bulaş terimini küçültebilir. Bu ilişki model varsayımıdır; çalışma korkunun gerçek hayatta belirli bir miktarda bulaşı azalttığını deneysel olarak ölçmemektedir.

Klasik sekiz denklemlik sistem

Kaynak önce modeli tam sayı dereceli diferansiyel denklemlerle kurmaktadır:

\[ \frac{dS}{d\mathfrak{I}} = \pi-(\lambda+\mu)S+\eta R+ek_1Q, \]

\[ \frac{dE}{d\mathfrak{I}} = \lambda S-(\mu+k_2+k_3)E, \]

\[ \frac{dQ}{d\mathfrak{I}} = k_2E-(\mu+e)Q, \]

\[ \frac{dI}{d\mathfrak{I}} = k_3E-(\mu+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)I, \]

\[ \frac{dJ}{d\mathfrak{I}} = \sigma_2I+e(1-k_1)Q-(\gamma_1+\gamma_2+\mu)J, \]

\[ \frac{dD}{d\mathfrak{I}} = \sigma_3I+\gamma_2J-\rho D, \]

\[ \frac{dP}{d\mathfrak{I}} = \tau_1I+\tau_2D-\theta P, \]

\[ \frac{dR}{d\mathfrak{I}} = \sigma_1I+\gamma_1J-(\mu+\eta)R. \]

Her denklem bir “girişler eksi çıkışlar” bilançosudur. Örneğin \(E\) sınıfına \(\lambda S\) ile yeni maruziyet girer; \(k_2E\) ile karantinaya ve \(k_3E\) ile enfekte sınıfına geçiş olur; doğal ölüm \(\mu E\) de bu sınıftan çıkış oluşturur. Benzer şekilde \(I\) sınıfına \(k_3E\) ile giriş yapılırken iyileşme \(\sigma_1I\), izolasyon \(\sigma_2I\), Ebola kaynaklı ölüm \(\sigma_3I\) ve doğal ölüm \(\mu I\) çıkış terimleridir.

Kaynak metninde izole bireylerin “\(\gamma_1\) hızında iyileştiği veya \(\gamma_1\) hızında öldüğü” şeklinde bir yazım bulunmaktadır. Ancak Tablo 1 ve model denklemleri açık biçimde iyileşme için \(\gamma_1\), Ebola kaynaklı ölüm için \(\gamma_2\) kullanmaktadır. Bu nedenle bu Verianla aktarımında denklemler ve parametre tablosu esas alınmış, kaynak metindeki söz konusu tekrar gizlenmemiştir.

Kesirli dereceli sistem nasıl elde ediliyor?

Denklem (7)'de klasik \(d/d\mathfrak{I}\) türevlerinin yerini ABC kesirli türevleri almaktadır. Kaynak ayrıca hız parametrelerini kesirli modelde \(\varsigma\) üst indisiyle göstermektedir:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma} -(\lambda+\mu^{\varsigma})S +\eta^{\varsigma}R +e^{\varsigma}k_1Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}E = \lambda S-(\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma})E, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Q = k_2^{\varsigma}E-(\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma})Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}I = k_3^{\varsigma}E- (\mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma})I, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}J = \sigma_2^{\varsigma}I+ e^{\varsigma}(1-k_1)Q- (\gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma})J, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I+\gamma_2^{\varsigma}J-\rho^{\varsigma}D, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I+\tau_2^{\varsigma}D-\theta^{\varsigma}P, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}R = \sigma_1^{\varsigma}I+\gamma_1^{\varsigma}J- (\mu^{\varsigma}+\eta^{\varsigma})R. \]

Kaynak bu üst indisli parametre gösterimini kendi kesirli model formülasyonu içinde kullanmaktadır. Çalışma parametrelerin kesirli kuvvetlere yükseltilmesinin boyutsal birim dönüşümünü ayrıca ayrıntılı biçimde türetmemektedir; bu nedenle Verianla anlatımı bu yapıyı kaynakta olduğu biçimde korur ve yeni bir boyutsal gerekçe uydurmaz.

Pozitiflik neden kontrol ediliyor?

Bir epidemiyolojik modelde nüfus sayılarının veya çevresel patojen miktarının negatif olması biyolojik olarak anlamsızdır. Yazarlar bu nedenle \(S,E,Q,I,J,D,P,R\geq0\) başlangıç koşullarından başlayan çözümün negatif bölgeye geçmediğini göstermeye çalışmaktadır.

Örneğin \(S=0\) sınırında:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma}+\eta^{\varsigma}R+e^{\varsigma}k_1Q \geq0. \]

Bu sonuç, \(S\) sıfıra geldiğinde vektör alanının onu negatif bölgeye sürüklemediğini gösterir. Kaynak aynı sınır kontrolünü diğer yedi durum değişkeni için de uygulamaktadır.

Sınırlılık ve uygulanabilir bölge

Yazarlar yaşayan insan bölmelerinin toplamını:

\[ N(\mathfrak{I})=S+E+Q+I+J+R \]

şeklinde tanımlamakta ve karşılaştırma yaklaşımıyla:

\[ N(\mathfrak{I}) \leq \max \left\{ N(0), \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}} \right\} \]

üst sınırını elde etmektedir. Benzer üst sınırlar \(D\) ve \(P\) için de türetilerek çözümün biyolojik olarak anlamlı ve sınırlı bir uygulanabilir bölgede kaldığı savunulmaktadır. Buradaki “well-posed” ifadesi hastalığın klinik olarak iyi yönetildiği anlamına gelmez; matematiksel problemin uygun çözüm özelliklerine sahip olması anlamındadır.

Varlık ve teklik ne anlama geliyor?

Model doğrusal değildir ve kesirli integral yapısı içerir. Yazarlar çözümün gerçekten var olduğunu ve aynı başlangıç koşullarından birden fazla çelişkili çözüm çıkmadığını göstermek amacıyla Banach uzayı, supremum normu, Lipschitz koşulu ve sabit nokta yaklaşımını kullanmaktadır.

Modelin kesirli integral biçiminin genel yapısı:

\[ X(\mathfrak{I})-X(0) = \frac{1-\varsigma}{C(\varsigma)}B(X(\mathfrak{I}),\mathfrak{I}) + \frac{\varsigma}{\Gamma(\varsigma)C(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1} B(X(\omega),\omega)\,d\omega \]

şeklindedir. Burada \(X\), sekiz durum değişkeninden herhangi birini; \(B\) ise o bölmeye ait doğrusal olmayan sağ taraf fonksiyonunu temsil eder. Lipschitz koşulunun temel mantığı ise iki farklı aday çözüm arasındaki fark büyüdüğünde sağ taraf fonksiyonlarının farkının kontrolsüz biçimde büyümemesidir:

\[ \|B(X)-B(X_1)\| \leq \kappa\,\|X-X_1\|. \]

Yazarlar sekiz model çekirdeği için bu tip sınırlar kurup ardışık yaklaşım dizilerinin yakınsadığını kullanarak çözümün varlık ve tekliğini desteklemektedir.

Temel Üreme Sayısı R0 Bu Modelde Neyi İfade Ediyor?

Temel üreme sayısı \(R_0\), modelde tamamen duyarlı bir nüfusa giren enfeksiyonun oluşturabileceği ikincil enfeksiyon potansiyelini özetleyen eşik büyüklüğüdür; çalışmada \(R_0<1\) hastalıksız dengenin yerel kararlılığıyla, \(R_0>1\) ise enfeksiyonun sürdürülebilme potansiyeliyle ilişkilendirilmektedir.

Hastalıksız denge

Kaynak hastalıksız denge noktasını:

\[ E^0= \left( \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \]

şeklinde vermektedir. Bu durumda yalnız duyarlı nüfus bulunmaktadır; maruz kalmış, karantinadaki, enfekte, izole, ölü, çevresel patojen ve iyileşmiş sınıflar sıfırdır.

R0 nasıl elde ediliyor?

Yazarlar yeni nesil matris yöntemini kullanmaktadır. Enfeksiyon üreten terimler \(F\), enfekte alt sistemindeki diğer geçişler \(V\) matrisi içinde toplanmakta ve:

\[ R_0=\rho^{\ast}(FV^{-1}) \]

hesaplanmaktadır. Buradaki \(\rho^{\ast}\), matrisin spektral yarıçapını, yani özdeğerlerinin mutlak değerleri içindeki en büyük değeri ifade eder.

Kaynak hesaplamayı sadeleştirmek için:

\[ \varpi_1=\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_2=\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_3= \mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_4= \gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_5=e^{\varsigma}(1-k_1) \]

yardımcı büyüklüklerini tanımlamaktadır. Elde edilen uzun \(R_0\) ifadesi hem \(\beta_2\) ile temsil edilen insan ilişkili bulaş yollarını hem de \(\beta_1\), \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\theta\) ve \(K\) üzerinden çevresel bulaş yolunu içermektedir. Bu nedenle \(R_0\) yalnız tek bir temas katsayısının değil, modelde enfekte bireylerin, izolasyonun, ölümün, karantinanın ve çevresel patojen döngüsünün ortak sonucudur.

R0 < 1 neden kritik?

Kaynağın Teorem 5'ine göre hastalıksız denge \(R_0<1\) olduğunda yerel asimptotik olarak kararlı, \(R_0>1\) olduğunda kararsızdır. Yazarlar bunu Jacobian matrisinin özdeğerleri üzerinden incelemektedir. Kesirli sistemlerde ayrıca özdeğerlerin karmaşık düzlemdeki açıları için kesirli kararlılık koşulu uygulanmaktadır.

Bu eşik yorumu “R0 bugün 1'in altına indiğinde salgın anında biter” anlamına gelmez. Matematiksel olarak \(R_0<1\), hastalıksız denge çevresindeki küçük enfeksiyonların uzun dönemde büyümemesi için gereken eşik koşulunu ifade eder.

Hyers–Ulam kararlılığı nedir?

Hyers–Ulam kararlılığı, denklemi küçük bir hata ile sağlayan yaklaşık çözümün gerçek çözüme ne kadar yakın kalabileceğini inceleyen matematiksel bir sağlamlık kavramıdır. Kaynakta yaklaşık çözüm için:

\[ \left\| {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Z(\mathfrak{I}) - \Phi(\mathfrak{I},Z(\mathfrak{I})) \right\| \leq\delta \]

koşulu kullanılır. Buradaki \(\delta\), denklemde izin verilen küçük sapmanın büyüklüğüdür. Eğer bu yaklaşık çözüm ile gerçek çözüm \(Z^\ast\) arasında:

\[ \|Z-Z^\ast\|\leq\lambda_p\delta \]

gibi bir sınır kurulabiliyorsa küçük denklem hatalarının sınırsız çözüm sapmalarına dönüşmediği söylenebilir.

Kaynak ayrıca doğrusal olmayan çekirdek için Lipschitz sabiti \(L_{\Phi}\) kullanarak:

\[ \Lambda= \frac{1-\varsigma}{W(\varsigma)}L_{\Phi} + \frac{T^{\varsigma}}{W(\varsigma)\Gamma(\varsigma)}L_{\Phi} <1 \]

koşulu altında Hyers–Ulam kararlılığı ve daha sonra Hyers–Ulam–Rassias kararlılığı türetmektedir. Bu matematiksel kararlılık, “Ebola salgını gerçek dünyada kararlıdır” anlamına gelmez; çözüm operatörünün küçük matematiksel pertürbasyonlara karşı kontrol altında kalması anlamındadır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Kullanılan gerçek vaka verisi

Model, Uganda'da 29 Eylül 2022 ile 12 Kasım 2022 arasında raporlanan kümülatif doğrulanmış Ebola vaka sayıları kullanılarak kalibre edilmiştir. Kaynak veri setinin Uganda Sağlık Bakanlığı bültenleri, ECDC gözetim verileri ve WHO Afrika Bölge Ofisi bilgilerinden derlenen açık bir veri setinden alındığını belirtmektedir.

En küçük kareler ile parametre kestirimi

Yazarlar model çıktısı ile gözlenen kümülatif vaka değerleri arasındaki karesel farkların toplamını küçülten bir en küçük kareler yaklaşımı kullanmaktadır. Kaynağın Denklem (48)'de verdiği sembolik yapı:

\[ \mathcal{J}(\widetilde{k}) = \sum_{h=1}^{n} \left( \widetilde{k}_h-\mathcal{J}(h,\widetilde{k}) \right)^2 \]

biçimindedir. Temel fikir şudur: her veri noktasında gözlenen değer ile modelin aynı noktada ürettiği değer arasındaki fark alınır, negatif ve pozitif hataların birbirini götürmemesi için karesi hesaplanır ve bütün veri noktaları için bu kareler toplanır. Parametre optimizasyonu bu toplamı mümkün olduğunca küçültmeye çalışır.

Model kalibrasyonu

Kaynak Şekil 2'de gözlenen kümülatif vakalar ile model eğrisi birlikte gösterilmiş ve grafik üzerinde Normalize Edilmiş Ortalama Kare Hata = 0,008898 değeri verilmiştir. Artık grafiği de model ile gözlem arasındaki farkların zaman boyunca pozitif ve negatif yönde değiştiğini göstermektedir.

Burada önemli bir kaynak içi etiketleme sorunu vardır: kullanılan veriler 29 Eylül–12 Kasım 2022 arasındaki günlük gözlemler olmasına rağmen Şekil 2'nin x ekseninde “Years” ve artık grafiğinde “Time (years)” ifadeleri bulunmaktadır. Veri tablosu ve çalışmanın yöntem açıklaması günlük bir zaman dizisini açık biçimde gösterdiği için bu eksen etiketi kaynak içi bir grafik etiketleme tutarsızlığı olarak korunmalıdır; Verianla bunu “yıllık veri” şeklinde yorumlamamaktadır.

Başlangıç değerleri

Kaynak Uganda'nın 2022 nüfusunu \(N(0)=47.249.585\) olarak almakta ve başlangıç bölmelerini:

\[ E(0)=75,\quad Q(0)=40,\quad I(0)=23,\quad J(0)=12,\quad D(0)=0,\quad P(0)=0,\quad R(0)=0 \]

şeklinde vermektedir. Bu değerlerin toplamı 150 olduğundan kaynağın 23. sayfasında:

\[ S(0)=47.249.585-150=47.249.435 \]

hesabı yazılmaktadır. Ancak çalışmanın daha sonraki sayısal simülasyon bölümünde \(S(0)=47.249.458\) değeri verilmiştir. İki sayı arasında 23 kişilik fark vardır. PDF bu farkı açıklamamaktadır. Bu nedenle burada değerlerden biri sessizce düzeltilmemiş; başlangıç koşulları için kaynak içi tutarsızlık açıkça belirtilmiştir.

Parametre değerleri

Tablonun en önemli öğretici noktası, parametrelerin hepsinin aynı yöntemle elde edilmemiş olmasıdır. Örneğin \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(k_1\), \(k_2\), \(\tau_1\), \(\epsilon\), \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\theta\), \(e\), \(\eta\) ve \(K\) veriye uydurulurken; \(\sigma_2\) ve \(\sigma_3\) varsayılmış, \(\tau_2\) ve \(\rho\) önceki literatürden alınmıştır. Bu karışık parametre kaynağı model sonuçlarının yorum sınırının önemli bir parçasıdır.

Temel üreme sayısının duyarlılık analizi

Normalize edilmiş ileri duyarlılık indeksi genel olarak:

\[ X_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \]

biçiminde yorumlanabilir. Pozitif indeks, parametre arttığında \(R_0\)'ın yerel olarak aynı yönde hareket ettiğini; negatif indeks ise ters yönde hareket ettiğini gösterir. Mutlak değer büyüdükçe \(R_0\)'ın o parametreye yerel duyarlılığı artar.

Kaynak ayrıca \(\mu\) için ayrı olarak:

\[ X_{\mu}^{R_0}=-1,11230 \]

değerini vermektedir. Bu değer Tablo 4'ün içinde yer almamasına rağmen metinde hesaplanmıştır.

Burada bir başka kaynak içi tutarsızlık vardır. Metin, \(\beta_1\)'de %10'luk değişimin \(R_0\)'da %10'luk değişime yol açacağını söylemektedir; ancak Tablo 4'te \(\beta_1\) duyarlılık indeksi 0,6245'tir. Benzer biçimde \(\mu\) için metinde yaklaşık bire bir yüzde değişim örneği verilirken açık formül −1,11230 sonucunu göstermektedir. Dolayısıyla bu Verianla aktarımında yön bilgisi ve tabloda/formülde açıkça verilen sayısal indeksler korunmuş, metindeki yüzde örnekleri kesin nicel sonuç gibi tekrarlanmamıştır.

R0 = 6,053288 ne demektir?

Yazarlar, uydurulan parametrelerle literatürden ve varsayımlardan gelen parametreleri birlikte kullanarak \(R_0=6,053288\) sonucuna ulaşmaktadır. Bu değer modelin seçilen başlangıç koşulları ve parametre seti altında hastalığın hastalıksız denge eşiğinin üzerinde olduğunu göstermektedir.

Bu sayı “Ebola taşıyan her insan kesin olarak 6,053288 kişiyi enfekte eder” şeklinde okunmamalıdır. \(R_0\), çok sayıda bulaş ve geçiş yolunu tek eşik büyüklüğünde birleştiren model çıktısıdır ve parametreler değiştiğinde kendisi de değişir.

Sayısal çözüm yöntemi

Kesirli modelin yaklaşık çözümleri kesirli Adams–Bashforth–Moulton öngörücü-düzeltici yöntemi ile hesaplanmıştır. Bu yöntem doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemlerde önce bir sonraki çözüm değeri için tahmin üretir, ardından integral denklem yapısından yararlanarak tahmini düzeltir. Bu yaklaşımın seçilme nedeni çalışmada kesirli operatörlerin geçmişe bağlı yapısını sayısal olarak izleyebilmesidir.

Kesirli derece değiştirildiğinde ne oluyor?

Kaynak Şekil 6 ve Şekil 7'de \(\varsigma=1, 0,98, 0,96, 0,94, 0,92\) değerleri karşılaştırılmaktadır. Simülasyonlarda kesirli derece 1'e yaklaştıkça \(E\), \(I\), \(J\), \(D\) ve \(P\) gibi çeşitli bölmelerde daha yüksek yörüngeler görülürken, duyarlı \(S\) sınıfındaki azalma daha belirgin hale gelmektedir. \(Q\) karantina ve \(R\) iyileşme bölmeleri de kesirli dereceye bağlı olarak farklı yörüngeler izlemektedir.

Bu eğriler modelin hafıza parametresine duyarlı olduğunu göstermektedir; ancak eğrilerin birbirinden farklı olması tek başına hangi kesirli derecenin gerçek epidemiyolojik süreci en doğru temsil ettiğini kanıtlamaz. Yazarlar daha düşük kesirli değerlerin bazı davranışlarda daha uygun/istikrarlı sonuçlar sağladığını yorumlamaktadır, fakat bağımsız bir dış doğrulama setiyle farklı \(\varsigma\) değerlerinin tahmin başarısı karşılaştırılmamıştır.

Bulaş parametrelerinin etkisi

Sayısal simülasyonlarda \(\beta_1\) ve \(\beta_2\) arttığında maruz kalmış, karantinadaki, enfekte, izole edilmiş ve ölen bireylerle çevresel patojen yükünün arttığı rapor edilmektedir. Bu sonuç \(R_0\) analizindeki pozitif bulaş duyarlılıklarıyla aynı yöndedir.

\(\beta_1\) çevresel bulaş kanalına, \(\beta_2\) insan ilişkili bulaş kanalına girdiği için model matematiğinde bu parametrelerin yükselmesi enfeksiyon kuvvetinin artmasına doğrudan katkı yapmaktadır. Bu yüzden bulgunun bir bölümü model denkleminin yapısal sonucudur.

Çevresel patojen saçılımı

\(\tau_1\), enfekte bireylerin; \(\tau_2\) ise ölen bireylerin çevresel patojen bölmesine katkı hızını temsil etmektedir. Model:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I + \tau_2^{\varsigma}D - \theta^{\varsigma}P \]

denklemine sahip olduğu için \(\tau_1\) veya \(\tau_2\)'nin yükselmesi \(P\)'ye giriş akışını artırırken, \(\theta\)'nın yükselmesi çevredeki patojen yükünü azaltan çıkışı güçlendirir. Çalışmanın duyarlılık analizi de \(\theta\) için negatif \(R_0\) duyarlılığı rapor etmektedir.

Güvenli defin ve ρ parametresi

\(\rho\), Ebola nedeniyle ölen bireylerin güvenli biçimde sistemdeki \(D\) sınıfından çıkarılma hızıdır:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I + \gamma_2^{\varsigma}J - \rho^{\varsigma}D. \]

Modelde \(D\) aynı zamanda insan ilişkili enfeksiyon kuvvetine ve \(\tau_2D\) üzerinden çevresel patojen yüküne katkı sağlayabildiği için \(\rho\)'nun artması bu yolların süresini azaltabilir. Kaynakta \(\rho\)'nun \(R_0\) duyarlılığı −0,3755 olarak verilmiştir.

Korku parametresi ε

Kaynak Şekil 16'da \(\epsilon\) artırıldığında \(E\), \(I\), \(Q\) ve \(J\) yörüngelerinin azaldığı rapor edilmektedir. Bunun matematiksel nedeni:

\[ \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D} \]

teriminde \(\epsilon D\)'nin paydayı büyütmesidir. Yazarların yorumu, ölüm görünürlüğünün toplumsal ihtiyatı artırabileceği ve bunun etkin teması azaltabileceği yönündedir.

Bu sonuç davranış bilimsel bir saha deneyi değildir. “Korku Ebola'yı önler” biçiminde genellenemez. Çalışma yalnız belirli bir davranış etkisinin \(\epsilon\) parametresiyle matematiksel olarak temsil edildiği senaryonun sonuçlarını göstermektedir.

Karantina ve izolasyon

Modelde maruz kalmış bireyler \(k_2E\) ile karantinaya, enfekte bireyler ise \(\sigma_2I\) ile izolasyona geçmektedir. Karantinadaki bireylerin \(k_1\) oranındaki bölümü yeniden duyarlı sınıfa, geri kalan bölümü \(e(1-k_1)Q\) ile izolasyona yönelmektedir.

Yazarların sayısal simülasyon ve sonuç yorumu, karantina ve izolasyonu enfekte ve duyarlı bireylerin temasını sınırlayan temel salgın kontrol bileşenleri olarak göstermektedir. Bu sonuç modelin ana halk sağlığı çıkarımıdır.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• ABC kesirli türevi kullanılarak sekiz bölmeli bir Ebola bulaş modeli matematiksel olarak kurulabilmektedir.
• Modelin çözümleri uygun başlangıç koşullarında pozitif ve sınırlı kalacak biçimde analiz edilmiştir.
• Sabit nokta ve Lipschitz yaklaşımıyla çözümün varlık ve tekliği için matematiksel koşullar kurulmuştur.
• Hastalıksız dengenin \(R_0<1\) altında yerel kararlı olduğu gösterilmiştir.
• Model Hyers–Ulam ve Hyers–Ulam–Rassias kararlılığı bakımından analiz edilmiştir.
• Uganda'nın 29 Eylül–12 Kasım 2022 vaka verisi bazı parametrelerin kestiriminde kullanılmıştır.
• Kullanılan parametre setiyle \(R_0=6,053288\) hesaplanmıştır.
• Model simülasyonlarında bulaş parametrelerinin artışı daha yüksek enfeksiyon yüküyle ilişkilidir.
• Karantina, izolasyon, çevresel patojenlerin azaltılması ve güvenli definle ilişkili mekanizmalar kontrol yönünde etkiler göstermektedir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

Çalışma belirli bir karantina politikasının gerçek dünyada kesin olarak ne kadar vaka önleyeceğini ölçmemektedir. İzolasyonun belirli bir sağlık sisteminde ne kadar etkili olduğunu randomize veya kontrollü saha verisiyle test etmemektedir. \(\epsilon\) parametresiyle temsil edilen korku etkisinin gerçek nüfustaki nedensel büyüklüğünü ölçmemektedir. \(R_0=6,053288\) değerinin bütün Ebola salgınlarında sabit olduğunu göstermemektedir. Ayrıca kesirli modelin gelecekteki salgınları klasik modellere göre daha iyi tahmin ettiğini bağımsız test verisi üzerinde karşılaştırmalı biçimde doğrulamamaktadır.

Başlıca yöntemsel ve kaynak içi sınırlılıklar

• Kalibrasyon dönemi yaklaşık 45 günlük tek bir Uganda salgın veri aralığıdır.
• Veri kümülatif doğrulanmış vaka sayılarından oluşmaktadır; bireysel klinik veri değildir.
• Model parametrelerinin bir bölümü veriye uydurulmuş, bir bölümü hesaplanmış, bir bölümü literatürden alınmış ve bir bölümü varsayılmıştır.
• Bağımsız eğitim/test veya ileriye dönük dış doğrulama seti raporlanmamaktadır.
• Kaynak Şekil 2'de günlük veriye rağmen zaman ekseni “Years” olarak etiketlenmiştir.
• Başlangıç duyarlı nüfus değeri kaynak içinde \(47.249.435\) ve \(47.249.458\) olarak iki farklı biçimde verilmiştir.
• Tablo 4'te \(\beta_1\) duyarlılığı 0,6245 iken metindeki örnek %10 → %10 biçiminde verildiği için sayısal anlatım tam uyuşmamaktadır.
• \(\mu\) için açıkça −1,11230 duyarlılığı hesaplanmasına rağmen bu parametre Tablo 4'te yer almamaktadır.
• Kesirli modelde hız parametrelerinin \(\varsigma\) kuvvetleriyle kullanımı kaynak tarafından verilmiştir; boyutsal tutarlılık gerekçesi ayrı bir analiz olarak geliştirilmemiştir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Mathematical analysis of a fractional Ebola transmission dynamics

Yazarlar: Isaac Kwasi Adu; Joshua Kiddy K. Asamoah; Fredrick A. Wireko.

Yazar sırası: Kaynaktaki sıra aynen korunmuştur.

Eş katkı: PDF'de eş birinci yazarlık veya eş katkı bildirimi görülmemektedir.

Corresponding author: Isaac Kwasi Adu; PDF'nin ilk sayfasındaki iletişim bloğunda zarf simgesiyle sorumlu iletişim yazarı olarak gösterilmektedir.

Kurum 1: Mathematical Sciences Department, Kumasi Technical University, Kumasi, Ghana.

Kurum 2: Department of Mathematics, Saveetha School of Engineering, SIMATS, Chennai, India.

Kurum 3: Department of Mathematics, Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Kumasi, Ghana.

Dergi: Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics.

Yayıncı / lisans sahibi: Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature.

Cilt / makale numarası: Volume 15, Article 182.

Sayı/issue: PDF'nin bibliyografik üst bilgisinde ayrı bir sayı bilgisi açık biçimde gösterilmemektedir.

DOI: 10.1007/s13721-026-00837-w.

Gönderim tarihi: 10 Mart 2026.

Revizyon tarihi: 4 Temmuz 2026.

Kabul tarihi: 8 Temmuz 2026.

Çevrimiçi yayın tarihi: 12 Ağustos 2026.

Kaynak türü: Original Article; matematiksel epidemiyoloji / kesirli dereceli dinamik sistem modelleme çalışması.

Hakemlik durumu: Kaynak Springer Nature dergisinde Original Article olarak yayımlanmış ve PDF'de gönderim, revizyon ve kabul tarihleri bulunmaktadır; çalışma yayımlanmış dergi makalesidir.

Lisans/telif: PDF'de “© The Author(s), under exclusive licence to Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature 2026” ifadesi bulunmaktadır. Makale Creative Commons açık lisanslı olarak işaretlenmemiştir. Bu nedenle Verianla içindeki model şeması kaynak figürünün kopyası olarak kullanılmamış, denklemlerde açıkça verilen ilişkilerden bağımsız biçimde yeniden oluşturulmuştur.

Finansman: None declared.

Veri erişilebilirliği: Yazarlar araştırmada kullanılan verilerin makale içinde bulunduğunu belirtmektedir. Çalışma ayrıca Uganda salgın verisinin açık kaynaklardan derlendiğini açıklamaktadır.

Çıkar çatışması: Yazarlar competing interests bulunmadığını beyan etmektedir.

Yazar katkıları: Isaac K. Adu; kavramsallaştırma, araştırma, ilk taslak yazımı, yöntem, inceleme ve düzenleme, yazılım, biçimsel analiz ve veri kürasyonu katkılarıyla belirtilmiştir. Joshua Kiddy K. Asamoah; kavramsallaştırma, araştırma, ilk taslak yazımı, doğrulama, yöntem, inceleme ve düzenleme, yazılım, biçimsel analiz ve danışmanlık/gözetim katkılarıyla belirtilmiştir. Fredrick A. Wireko; kavramsallaştırma, ilk taslak yazımı, yöntem, inceleme ve düzenleme ve biçimsel analiz katkılarıyla belirtilmiştir.

Temel yöntem: Sekiz bölmeli deterministik Ebola modeli; Atangana–Baleanu–Caputo kesirli türevi; pozitiflik ve invariant bölge analizi; sabit nokta/Lipschitz yaklaşımıyla varlık ve teklik; yeni nesil matris yöntemiyle \(R_0\); Jacobian ve kesirli kararlılık analizi; Hyers–Ulam ve Hyers–Ulam–Rassias kararlılığı; en küçük karelerle parametre kalibrasyonu; PRCC ve normalize duyarlılık analizi; kesirli Adams–Bashforth–Moulton öngörücü-düzeltici sayısal çözümü.

Temel yorum sınırı: Bu çalışma epidemiyolojik vaka verisine kalibre edilmiş teorik ve sayısal bir modelleme çalışmasıdır. Model sonuçları klinik etkinlik kanıtı, bireysel hasta tahmini veya herhangi bir karantina/izolasyon uygulamasının gerçek dünyadaki kesin etki büyüklüğü olarak yorumlanmamalıdır. Parametrelerin farklı kaynaklardan elde edilmiş olması ve bağımsız dış doğrulama yapılmamış olması da sonuçların genellenebilirliğine sınır koymaktadır.