Atangana–Baleanu–Caputo kasr tartibli Ebola modeli, Ebola yuqishini faqat joriy epidemiologik holatning oniy o‘zgarishi bilan emas, balki tizimning avvalgi holatlarining matematik ta’sirini ham o‘zida saqlaydigan kasr hosila tuzilmasi orqali ifodalovchi sakkiz bo‘lmali epidemiologik modeldir. Tadqiqot sezgir (S), ta’sirga uchragan (E), karantindagi (Q), infeksiyalangan (I), izolyatsiya qilingan (J), sog‘aygan (R), vafot etgan (D) shaxslar va atrof-muhitdagi Ebola patogenlarini (P) birgalikda modellashtiradi; shuningdek, qo‘rquv xulq-atvori, karantin, izolyatsiya, xavfsiz dafn va atrof-muhit kontaminatsiyasi kabi jarayonlarni tenglamalarga kiritadi.

Model Ugandada 29-sentabr 2022-yildan 12-noyabr 2022-yilgacha qayd etilgan kumulyativ Ebola holatlariga eng kichik kvadratlar usuli bilan kalibrlangan. Tadqiqotda ayrim parametrlar ushbu ma’lumotlarga moslashtirilgan, ayrimlari demografik ma’lumotlardan hisoblangan, ayrimlari oldingi adabiyotlardan olingan, ayrimlari esa faraz qilingan. Shu sababli model to‘liq ma’lumotlardan o‘rganilgan tizim emas; u ma’lumotlar bilan kalibrlangan, adabiyot va faraz komponentlariga ham ega mexanistik matematik modeldir.

Mualliflar qo‘llagan parametrlar to‘plamida asosiy reproduksiya soni R₀ = 6,053288 deb hisoblangan. Bu qiymat mazkur modelning muayyan parametrlar kombinatsiyasi uchun olingan chegaraviy kattalikdir; u Ugandadagi barcha Ebola sharoitlari uchun o‘zgarmas yoki universal biologik doimiy emas. Modelning nazariy tahlili yechimlar manfiy populyatsiya qiymatlariga o‘tmasligini, tegishli sohada cheklangan qolishini, muayyan matematik shartlarda yechim mavjud va yagona ekanini hamda kasalliksiz muvozanat nuqtasi R₀ < 1 bo‘lganda lokal barqaror holga kelishini ko‘rsatadi.

Sonli simulyatsiyalarda inson–inson va atrof-muhit–inson yuqishini ifodalovchi parametrlarning ortishi infeksiyalangan yoki infeksiya bilan bog‘liq bo‘limlarning ko‘payishi bilan bog‘liq bo‘lsa; izolyatsiya, sog‘ayish, xavfsiz dafn va atrof-muhit patogenlarining kamayishi bilan bog‘liq parametrlar yuqishni nazorat qilish yo‘nalishida ta’sir ko‘rsatadi. Mualliflar ayniqsa karantin va izolyatsiyaning epidemiya nazoratida muhimligini ta’kidlaydi. Biroq bular modelga asoslangan natijalardir; tadqiqot yangi klinik davolash sinovi, randomizatsiyalangan jamoat salomatligi aralashuvi yoki mustaqil prospektiv prognoz validatsiyasini taqdim etmaydi.

Batafsil tushuntirish

Tadqiqot hal qilishga urinayotgan muammo

Klassik epidemiologik differensial tenglama modellarida tizimning muayyan vaqtdagi o‘zgarishi asosan ayni vaqtdagi holat o‘zgaruvchilari orqali hisoblanadi. Ushbu tadqiqot esa Ebola yuqishidagi ayrim jarayonlar avvalgi holatlarning ta’sirini saqlashi mumkin degan g‘oyadan kelib chiqib, kasr tartibli hosila yondashuvidan foydalanadi. Mualliflarning asosiy da’vosi shuki, kasr modellar bunday xotira va nolokal ta’sirlarni klassik butun tartibli modellardan farqli ravishda matematik ifodalashi mumkin.

Tadqiqotning o‘ziga xos hissasi uch yo‘nalishda taqdim etiladi. Birinchidan, Juga va hammualliflarning oldingi modeliga ta’sirga uchragan, karantindagi va izolyatsiya qilingan shaxslar kabi qo‘shimcha bo‘limlar kiritiladi. Ikkinchidan, tizim Atangana–Baleanu hosilasining Caputo ma’nosidagi shakli bilan kasr tartibga o‘tkaziladi. Uchinchidan, parametrlarning muhim qismi Ugandaning 2022-yil sentabr–noyabr oylaridagi holatlar ma’lumotlariga moslashtiriladi.

Atangana–Baleanu–Caputo kasr hosilasi bu modelda nima uchun qo‘llanadi?

Atangana–Baleanu–Caputo (ABC) kasr hosilasi holat o‘zgaruvchisining o‘zgarishini faqat bitta vaqt nuqtasiga bog‘lash o‘rniga, oldingi vaqtlarning vaznlangan ta’sirlarini integral ko‘rinishda olib yuradigan, singulyar bo‘lmagan yadrodan foydalanadigan kasr hosila operatoridir; ushbu tadqiqotda undan foydalanish maqsadi Ebola modeliga matematik xotira va nolokal vaqt ta’sirlarini kiritishdir.

Avval Riemann–Liouville integralining mantiqi

Tadqiqot kasr hisob asoslarini Riemann–Liouville integrali bilan boshlaydi. Manbadagi Tenglama (1) quyidagi tuzilishga ega:

\[ D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{1}{\Gamma(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}h(\omega)\,d\omega, \qquad \varsigma>0. \]

Bu yerda \(\varsigma\) kasr tartibni, \(\Gamma(\varsigma)\) Gamma funksiyasini, \(\mathfrak{I}\) baholash vaqtini va \(\omega\) avvalgi vaqtlarni ko‘zdan kechiruvchi integral o‘zgaruvchini ifodalaydi. \((\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1}\) hadi o‘tmishdagi qiymatlarning joriy hisobga qanday vazn bilan kirishini belgilaydigan yadro tuzilmasining bir qismidir.

Manbada berilgan ABC hosilasining shakli

Manbaning Tenglama (2)sida ABC hosilasi quyidagicha aniqlanadi:

\[ {}_{\ast_1}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}h(\mathfrak{I}) = \frac{T(\varsigma)}{1-\varsigma} \int_{\ast_1}^{\mathfrak{I}} h'(\omega) F_{\varsigma} \left[ -\frac{\varsigma(\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma}}{1-\varsigma} \right]d\omega. \]

\(T(\varsigma)\) manbada \(T(0)=T(1)=1\) shartini qanoatlantiruvchi normallashtirish funksiyasidir. \(F_{\varsigma}\) esa tadqiqotning Mittag–Leffler yadro tuzilmasida qo‘llanadigan funksiyadir. Integral \(h'(\omega)\) qiymatlarini o‘tgan vaqt bo‘ylab yig‘gani sababli hosila nolokal amalga aylanadi. Boshqacha aytganda, klassik birinchi hosila faqat oniy o‘zgarishni ifodalasa, bu tuzilma avvalgi holatlarning matematik izini ham hisobga oladi.

Kasr tartib \(\varsigma\) tadqiqot simulyatsiyalarida 1, 0,98, 0,96, 0,94 va 0,92 kabi qiymatlarda ko‘rib chiqilgan. \(\varsigma=1\) klassik butun tartibli chegaraga yaqinlashsa, kichikroq kasr qiymatlar turli xotira xatti-harakatlarini modellashtirish imkonini beradi. Biroq \(\varsigma\) real dunyoda o‘lchanadigan yagona biologik “xotira foizi” degan xulosa ushbu tadqiqotdan chiqarilmasligi kerak; bu yerda \(\varsigma\) matematik modelning kasr tartibidir.

Modelning sakkizta holat o‘zgaruvchisi

Infeksiya kuchi qanday hisoblanadi?

Manbaning Tenglama (5)sida yangi ta’sirlanishlarning asosiy belgilovchisi bo‘lgan infeksiya kuchi \(\lambda\) quyidagicha aniqlanadi:

\[ \lambda = \frac{\beta_1P}{K+P} + \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D}. \]

Bu tenglama ikki yuqish kanalini bitta ifodada birlashtiradi. Birinchi had atrof-muhit orqali yuqishni, ikkinchi had esa insonlar va modelda yuqumlilikka hissa qo‘shadigan boshqa inson bo‘limlari bilan bog‘liq yuqishni ifodalaydi.

\(\beta_1\), sezgir inson bilan atrof-muhit patogenlari o‘rtasidagi samarali kontakt/yuqish parametridir. \(\beta_2\) sezgir va infeksiyalangan shaxslar o‘rtasidagi yuqish parametridir. \(P/(K+P)\) ifodasi atrof-muhit patogen yuki ortganda atrof-muhit orqali yuqish hissasi chiziqli ravishda cheksiz oshib ketmasligi uchun to‘yinish shaklida tuzilgan. Manba \(K\) ni atrof-muhitdagi patogen miqdoriga bog‘liq yarim to‘yinish chegarasi sifatida izohlaydi.

\(\omega_1\), \(\omega_2\) va \(\omega_3\) tenglamada mos ravishda \(J\), \(D\) va \(Q\) bo‘limlarining bevosita \(I\) sinfiga nisbatan og‘irliklarini belgilaydi. Manbada ushbu parametrlarni izohlovchi atrof matn bilan Tenglama (5)dagi algebraik rollar aynan bir xil terminologiyada berilmagan; shu sababli bu yerda tenglamaning aniq matematik roli asos qilib olingan va manbada bo‘lmagan yangi biologik ma’nolar qo‘shilmagan.

\(1+\epsilon D\) maxraji esa tadqiqot “qo‘rquv ta’siri” deb ataydigan xulq-atvor komponentidir. Model faraziga ko‘ra, o‘limlar sonining ortishi jamiyatda ehtiyotkor xulq-atvorni kuchaytirishi va samarali kontaktni kamaytirishi mumkin. Shuning uchun \(\epsilon>0\) bo‘lganda \(D\) ning ortishi ikkinchi yuqish hadini kamaytirishi mumkin. Bu munosabat model farazidir; tadqiqot qo‘rquv real hayotda yuqishni ma’lum miqdorda kamaytirishini eksperimental tarzda o‘lchamaydi.

Klassik sakkiz tenglamali tizim

Manba avval modelni butun tartibli differensial tenglamalar bilan quradi:

\[ \frac{dS}{d\mathfrak{I}} = \pi-(\lambda+\mu)S+\eta R+ek_1Q, \]

\[ \frac{dE}{d\mathfrak{I}} = \lambda S-(\mu+k_2+k_3)E, \]

\[ \frac{dQ}{d\mathfrak{I}} = k_2E-(\mu+e)Q, \]

\[ \frac{dI}{d\mathfrak{I}} = k_3E-(\mu+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)I, \]

\[ \frac{dJ}{d\mathfrak{I}} = \sigma_2I+e(1-k_1)Q-(\gamma_1+\gamma_2+\mu)J, \]

\[ \frac{dD}{d\mathfrak{I}} = \sigma_3I+\gamma_2J-\rho D, \]

\[ \frac{dP}{d\mathfrak{I}} = \tau_1I+\tau_2D-\theta P, \]

\[ \frac{dR}{d\mathfrak{I}} = \sigma_1I+\gamma_1J-(\mu+\eta)R. \]

Har bir tenglama “kirishlar minus chiqishlar” balansidir. Masalan, \(E\) sinfiga \(\lambda S\) bilan yangi ta’sirlanish kiradi; \(k_2E\) orqali karantinga va \(k_3E\) orqali infeksiyalangan sinfga o‘tish sodir bo‘ladi; tabiiy o‘lim \(\mu E\) ham bu sinfdan chiqishni hosil qiladi. Xuddi shunday, \(I\) sinfiga \(k_3E\) bilan kirish bo‘lganda, sog‘ayish \(\sigma_1I\), izolyatsiya \(\sigma_2I\), Ebola sababli o‘lim \(\sigma_3I\) va tabiiy o‘lim \(\mu I\) chiqish hadlaridir.

Manba matnida izolyatsiya qilingan shaxslar “\(\gamma_1\) tezlikda sog‘ayadi yoki \(\gamma_1\) tezlikda vafot etadi” degan yozuv bor. Biroq 1-jadval va model tenglamalari sog‘ayish uchun \(\gamma_1\), Ebola sababli o‘lim uchun esa \(\gamma_2\) ni aniq qo‘llaydi. Shu sababli ushbu Verianla bayonida tenglamalar va parametrlar jadvali asos qilib olingan, manba matnidagi mazkur takror yashirilmagan.

Kasr tartibli tizim qanday olinadi?

Tenglama (7)da klassik \(d/d\mathfrak{I}\) hosilalari o‘rnini ABC kasr hosilalari egallaydi. Manba, shuningdek, tezlik parametrlarini kasr modelda \(\varsigma\) yuqori indeksi bilan ko‘rsatadi:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma} -(\lambda+\mu^{\varsigma})S +\eta^{\varsigma}R +e^{\varsigma}k_1Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}E = \lambda S-(\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma})E, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Q = k_2^{\varsigma}E-(\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma})Q, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}I = k_3^{\varsigma}E- (\mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma})I, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}J = \sigma_2^{\varsigma}I+ e^{\varsigma}(1-k_1)Q- (\gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma})J, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I+\gamma_2^{\varsigma}J-\rho^{\varsigma}D, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I+\tau_2^{\varsigma}D-\theta^{\varsigma}P, \]

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}R = \sigma_1^{\varsigma}I+\gamma_1^{\varsigma}J- (\mu^{\varsigma}+\eta^{\varsigma})R. \]

Manba ushbu yuqori indeksli parametr yozuvini o‘zining kasr model formulirovkasida qo‘llaydi. Tadqiqot parametrlarni kasr darajalarga ko‘tarishning o‘lchov birligi o‘zgarishini alohida va batafsil keltirib chiqarmaydi; shu sababli Verianla bayoni bu tuzilmani manbadagi ko‘rinishida saqlaydi va yangi o‘lchoviy asos uydirmaydi.

Musbatlik nima uchun tekshiriladi?

Epidemiologik modelda populyatsiya sonlari yoki atrof-muhitdagi patogen miqdorining manfiy bo‘lishi biologik jihatdan ma’nosizdir. Shu sababli mualliflar \(S,E,Q,I,J,D,P,R\geq0\) boshlang‘ich shartlardan boshlangan yechim manfiy sohaga o‘tmasligini ko‘rsatishga harakat qiladi.

Masalan, \(S=0\) chegarasida:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}S = \pi^{\varsigma}+\eta^{\varsigma}R+e^{\varsigma}k_1Q \geq0. \]

Bu natija \(S\) nolga yetganda vektor maydoni uni manfiy sohaga surmasligini ko‘rsatadi. Manba xuddi shu chegara tekshiruvini qolgan yetti holat o‘zgaruvchisi uchun ham qo‘llaydi.

Cheklanganlik va amal qiluvchi soha

Mualliflar tirik inson bo‘limlarining yig‘indisini:

\[ N(\mathfrak{I})=S+E+Q+I+J+R \]

deb aniqlaydi va taqqoslash yondashuvi orqali:

\[ N(\mathfrak{I}) \leq \max \left\{ N(0), \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}} \right\} \]

yuqori chegarani oladi. Shunga o‘xshash yuqori chegaralar \(D\) va \(P\) uchun ham keltirib chiqarilib, yechim biologik jihatdan mazmunli va cheklangan amal qiluvchi sohada qolishi ta’kidlanadi. Bu yerdagi “well-posed” iborasi kasallik klinik jihatdan yaxshi boshqariladi degani emas; matematik muammo tegishli yechim xususiyatlariga ega deganidir.

Mavjudlik va yagonalik nimani anglatadi?

Model chiziqli emas va kasr integral tuzilmasini o‘z ichiga oladi. Mualliflar yechim haqiqatan mavjudligini va bir xil boshlang‘ich shartlardan bir-biriga zid bir nechta yechim chiqmasligini ko‘rsatish uchun Banach fazosi, supremum normasi, Lipschitz sharti va qo‘zg‘almas nuqta yondashuvidan foydalanadi.

Model kasr integral shaklining umumiy tuzilmasi:

\[ X(\mathfrak{I})-X(0) = \frac{1-\varsigma}{C(\varsigma)}B(X(\mathfrak{I}),\mathfrak{I}) + \frac{\varsigma}{\Gamma(\varsigma)C(\varsigma)} \int_{0}^{\mathfrak{I}} (\mathfrak{I}-\omega)^{\varsigma-1} B(X(\omega),\omega)\,d\omega \]

ko‘rinishidadir. Bu yerda \(X\) sakkiz holat o‘zgaruvchisidan istalgan birini; \(B\) esa shu bo‘limga tegishli chiziqli bo‘lmagan o‘ng tomon funksiyasini ifodalaydi. Lipschitz shartining asosiy mantiqi shuki, ikki xil nomzod yechim orasidagi farq oshganda o‘ng tomon funksiyalari orasidagi farq nazoratsiz ravishda o‘sib ketmasligi kerak:

\[ \|B(X)-B(X_1)\| \leq \kappa\,\|X-X_1\|. \]

Mualliflar sakkizta model yadrosi uchun shu turdagi chegaralarni qurib, ketma-ket yaqinlashish ketma-ketliklarining yaqinlashishidan foydalanib yechimning mavjudligi va yagonaligini asoslaydi.

Asosiy reproduksiya soni R0 bu modelda nimani anglatadi?

Asosiy reproduksiya soni \(R_0\) modelda to‘liq sezgir populyatsiyaga kirgan infeksiya hosil qilishi mumkin bo‘lgan ikkilamchi infeksiya salohiyatini umumlashtiruvchi chegaraviy kattalikdir; tadqiqotda \(R_0<1\) kasalliksiz muvozanatning lokal barqarorligi bilan, \(R_0>1\) esa infeksiyaning davom etish salohiyati bilan bog‘lanadi.

Kasalliksiz muvozanat

Manba kasalliksiz muvozanat nuqtasini:

\[ E^0= \left( \frac{\pi^{\varsigma}}{\mu^{\varsigma}}, 0,0,0,0,0,0,0 \right) \]

ko‘rinishida beradi. Bu holatda faqat sezgir populyatsiya mavjud; ta’sirga uchragan, karantindagi, infeksiyalangan, izolyatsiya qilingan, vafot etgan, atrof-muhit patogeni va sog‘aygan sinflar nolga teng.

R0 qanday olinadi?

Mualliflar yangi avlod matritsa usulidan foydalanadi. Infeksiya hosil qiluvchi hadlar \(F\), infeksiyalangan quyi tizimdagi boshqa o‘tishlar esa \(V\) matritsasida jamlanadi va:

\[ R_0=\rho^{\ast}(FV^{-1}) \]

hisoblanadi. Bu yerdagi \(\rho^{\ast}\) matritsaning spektral radiusini, ya’ni o‘z qiymatlarining mutlaq qiymatlari orasidagi eng katta qiymatni anglatadi.

Manba hisoblashni soddalashtirish uchun:

\[ \varpi_1=\mu^{\varsigma}+k_2^{\varsigma}+k_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_2=\mu^{\varsigma}+e^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_3= \mu^{\varsigma}+\sigma_1^{\varsigma}+\sigma_2^{\varsigma}+\sigma_3^{\varsigma}, \qquad \varpi_4= \gamma_1^{\varsigma}+\gamma_2^{\varsigma}+\mu^{\varsigma}, \]

\[ \varpi_5=e^{\varsigma}(1-k_1) \]

yordamchi kattaliklarni aniqlaydi. Olingan uzun \(R_0\) ifodasi \(\beta_2\) bilan ifodalanadigan inson bilan bog‘liq yuqish yo‘llarini ham, \(\beta_1\), \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\theta\) va \(K\) orqali atrof-muhit yuqish yo‘lini ham o‘z ichiga oladi. Shuning uchun \(R_0\) faqat bitta kontakt koeffitsientining emas, balki modeldagi infeksiyalangan shaxslar, izolyatsiya, o‘lim, karantin va atrof-muhit patogeni aylanishining birgalikdagi natijasidir.

R0 < 1 nima uchun muhim?

Manbaning 5-teoremasiga ko‘ra, kasalliksiz muvozanat \(R_0<1\) bo‘lganda lokal asimptotik barqaror, \(R_0>1\) bo‘lganda esa beqarordir. Mualliflar buni Jacobian matritsasining o‘z qiymatlari orqali tekshiradi. Kasr tizimlarda, bundan tashqari, o‘z qiymatlarning kompleks tekislikdagi burchaklari uchun kasr barqarorlik sharti qo‘llanadi.

Bu chegaraviy talqin “R0 bugun 1 dan pastga tushsa, epidemiya darhol tugaydi” degani emas. Matematik jihatdan \(R_0<1\) kasalliksiz muvozanat atrofidagi kichik infeksiyalar uzoq muddatda o‘smasligi uchun zarur bo‘lgan chegaraviy shartni ifodalaydi.

Hyers–Ulam barqarorligi nima?

Hyers–Ulam barqarorligi tenglamani kichik xato bilan qanoatlantiradigan taqribiy yechim haqiqiy yechimga qanchalik yaqin qolishi mumkinligini o‘rganuvchi matematik mustahkamlik tushunchasidir. Manbada taqribiy yechim uchun:

\[ \left\| {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}Z(\mathfrak{I}) - \Phi(\mathfrak{I},Z(\mathfrak{I})) \right\| \leq\delta \]

sharti qo‘llanadi. Bu yerdagi \(\delta\) tenglamada ruxsat etilgan kichik og‘ishning kattaligidir. Agar ushbu taqribiy yechim bilan haqiqiy yechim \(Z^\ast\) orasida:

\[ \|Z-Z^\ast\|\leq\lambda_p\delta \]

kabi chegara o‘rnatish mumkin bo‘lsa, kichik tenglama xatolari cheksiz yechim og‘ishlariga aylanmaydi, deb aytish mumkin.

Manba, shuningdek, chiziqli bo‘lmagan yadro uchun Lipschitz doimiysi \(L_{\Phi}\) dan foydalanib:

\[ \Lambda= \frac{1-\varsigma}{W(\varsigma)}L_{\Phi} + \frac{T^{\varsigma}}{W(\varsigma)\Gamma(\varsigma)}L_{\Phi} <1 \]

sharti ostida Hyers–Ulam barqarorligini, keyin esa Hyers–Ulam–Rassias barqarorligini keltirib chiqaradi. Bu matematik barqarorlik “Ebola epidemiyasi real dunyoda barqaror” degani emas; yechim operatori kichik matematik perturbatsiyalar ta’sirida nazorat ostida qolishini anglatadi.

Tadqiqot usuli va natijalari

Foydalanilgan real holatlar ma’lumoti

Model Ugandada 29-sentabr 2022-yildan 12-noyabr 2022-yilgacha qayd etilgan kumulyativ tasdiqlangan Ebola holatlari soni asosida kalibrlangan. Manba ma’lumotlar to‘plami Uganda Sog‘liqni saqlash vazirligi byulletenlari, ECDC kuzatuv ma’lumotlari va WHO Afrika mintaqaviy byurosi ma’lumotlaridan tuzilgan ochiq ma’lumotlar to‘plamidan olinganini bildiradi.

Eng kichik kvadratlar yordamida parametrlarni baholash

Mualliflar model natijasi bilan kuzatilgan kumulyativ holat qiymatlari orasidagi kvadrat farqlar yig‘indisini minimallashtiradigan eng kichik kvadratlar yondashuvidan foydalanadi. Manbaning Tenglama (48)da bergan ramziy tuzilmasi:

\[ \mathcal{J}(\widetilde{k}) = \sum_{h=1}^{n} \left( \widetilde{k}_h-\mathcal{J}(h,\widetilde{k}) \right)^2 \]

ko‘rinishidadir. Asosiy g‘oya quyidagicha: har bir ma’lumot nuqtasida kuzatilgan qiymat bilan model ayni nuqtada hosil qilgan qiymat orasidagi farq olinadi, manfiy va musbat xatolar bir-birini yo‘qotmasligi uchun kvadratga oshiriladi va barcha ma’lumot nuqtalari bo‘yicha bu kvadratlar qo‘shiladi. Parametrlarni optimallashtirish ushbu yig‘indini imkon qadar kamaytirishga harakat qiladi.

Model kalibratsiyasi

Manbaning 2-rasmida kuzatilgan kumulyativ holatlar bilan model egri chizig‘i birga ko‘rsatilgan va grafikda Normallashtirilgan o‘rtacha kvadrat xato = 0,008898 qiymati berilgan. Qoldiq grafigi ham model bilan kuzatuv orasidagi farqlar vaqt bo‘ylab musbat va manfiy yo‘nalishlarda o‘zgarishini ko‘rsatadi.

Bu yerda muhim manba ichki belgilash muammosi bor: ishlatilgan ma’lumotlar 29-sentabr–12-noyabr 2022 oralig‘idagi kundalik kuzatuvlar bo‘lsa-da, 2-rasmning x o‘qida “Years”, qoldiq grafigida esa “Time (years)” yozuvlari bor. Ma’lumotlar jadvali va tadqiqot usulining tavsifi kundalik vaqt qatorini aniq ko‘rsatgani uchun bu o‘q belgisi manba ichki grafik belgilash nomuvofiqligi sifatida saqlanishi kerak; Verianla buni “yillik ma’lumot” deb talqin qilmaydi.

Boshlang‘ich qiymatlar

Manba Ugandaning 2022-yilgi aholisini \(N(0)=47.249.585\) deb oladi va boshlang‘ich bo‘limlarni:

\[ E(0)=75,\quad Q(0)=40,\quad I(0)=23,\quad J(0)=12,\quad D(0)=0,\quad P(0)=0,\quad R(0)=0 \]

ko‘rinishida beradi. Ushbu qiymatlar yig‘indisi 150 bo‘lgani uchun manbaning 23-sahifasida:

\[ S(0)=47.249.585-150=47.249.435 \]

hisobi yozilgan. Biroq tadqiqotning keyingi sonli simulyatsiya bo‘limida \(S(0)=47.249.458\) qiymati berilgan. Ikki son orasida 23 kishilik farq bor. PDF bu farqni izohlamaydi. Shu sababli bu yerda qiymatlardan biri indamay tuzatilmagan; boshlang‘ich shartlar bo‘yicha manba ichki nomuvofiqlik ochiq ko‘rsatilgan.

Parametr qiymatlari

Jadvalning eng muhim o‘rgatuvchi jihati shundaki, barcha parametrlar bir xil usulda olinmagan. Masalan, \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(k_1\), \(k_2\), \(\tau_1\), \(\epsilon\), \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\theta\), \(e\), \(\eta\) va \(K\) ma’lumotlarga moslashtirilgan; \(\sigma_2\) va \(\sigma_3\) faraz qilingan, \(\tau_2\) va \(\rho\) esa oldingi adabiyotlardan olingan. Parametr manbalarining bunday aralashligi model natijalarini talqin qilish chegarasining muhim qismidir.

Asosiy reproduksiya sonining sezgirlik tahlili

Normallashtirilgan oldinga sezgirlik indeksi odatda:

\[ X_p^{R_0} = \frac{\partial R_0}{\partial p} \frac{p}{R_0} \]

ko‘rinishida talqin qilinishi mumkin. Musbat indeks parametr ortganda \(R_0\) lokal ravishda ayni yo‘nalishda harakatlanishini; manfiy indeks esa qarama-qarshi yo‘nalishda harakatlanishini ko‘rsatadi. Mutlaq qiymat kattalashgani sari \(R_0\) ning shu parametrga lokal sezgirligi ortadi.

Manba, shuningdek, \(\mu\) uchun alohida:

\[ X_{\mu}^{R_0}=-1,11230 \]

qiymatini beradi. Bu qiymat 4-jadval ichida bo‘lmasa-da, matnda hisoblangan.

Bu yerda yana bir manba ichki nomuvofiqlik mavjud. Matnda \(\beta_1\) dagi 10% o‘zgarish \(R_0\) da 10% o‘zgarishga olib kelishi aytiladi; biroq 4-jadvalda \(\beta_1\) sezgirlik indeksi 0,6245. Xuddi shuningdek, \(\mu\) uchun matnda taxminan birga-bir foiz o‘zgarish misoli keltirilgan bo‘lsa, ochiq formula −1,11230 natijasini ko‘rsatadi. Shu sababli ushbu Verianla bayonida yo‘nalish haqidagi ma’lumot va jadval/formulada aniq berilgan sonli indekslar saqlangan, matndagi foiz misollari qat’iy miqdoriy natija sifatida takrorlanmagan.

R0 = 6,053288 nimani anglatadi?

Mualliflar ma’lumotlarga moslashtirilgan parametrlarni adabiyot va farazlardan olingan parametrlar bilan birga qo‘llab \(R_0=6,053288\) natijasiga erishadi. Bu qiymat modelning tanlangan boshlang‘ich shartlari va parametrlar to‘plamida kasallik kasalliksiz muvozanat chegarasidan yuqorida ekanini ko‘rsatadi.

Bu sonni “Ebola tashuvchi har bir inson aniq 6,053288 kishini infeksiyalaydi” deb o‘qish kerak emas. \(R_0\) ko‘plab yuqish va o‘tish yo‘llarini bitta chegaraviy kattalikda birlashtiruvchi model natijasidir va parametrlar o‘zgarganda uning o‘zi ham o‘zgaradi.

Sonli yechim usuli

Kasr modelning taqribiy yechimlari kasr Adams–Bashforth–Moulton bashorat qiluvchi–tuzatuvchi usuli yordamida hisoblangan. Bu usul chiziqli bo‘lmagan kasr differensial tenglamalarda avval keyingi yechim qiymati uchun bashorat hosil qiladi, so‘ng integral tenglama tuzilmasidan foydalanib bashoratni tuzatadi. Ushbu yondashuv tanlanishining sababi tadqiqotda kasr operatorlarning o‘tmishga bog‘liq tuzilmasini sonli ravishda kuzata olishidir.

Kasr tartib o‘zgartirilganda nima bo‘ladi?

Manbaning 6-rasm va 7-rasmida \(\varsigma=1, 0,98, 0,96, 0,94, 0,92\) qiymatlari taqqoslanadi. Simulyatsiyalarda kasr tartib 1 ga yaqinlashgani sari \(E\), \(I\), \(J\), \(D\) va \(P\) kabi turli bo‘limlarda yuqoriroq trayektoriyalar ko‘rinadi, sezgir \(S\) sinfidagi kamayish esa yanada yaqqol bo‘ladi. \(Q\) karantin va \(R\) sog‘ayish bo‘limlari ham kasr tartibga bog‘liq ravishda turli trayektoriyalarni kuzatadi.

Bu egri chiziqlar model xotira parametriga sezgir ekanini ko‘rsatadi; biroq egri chiziqlarning bir-biridan farq qilishi qaysi kasr tartib real epidemiologik jarayonni eng to‘g‘ri ifodalashini o‘z-o‘zidan isbotlamaydi. Mualliflar kichikroq kasr qiymatlar ayrim xatti-harakatlarda mosroq/barqarorroq natijalar berishini talqin qiladi, ammo turli \(\varsigma\) qiymatlarining prognoz muvaffaqiyati mustaqil tashqi validatsiya to‘plami bilan taqqoslanmagan.

Yuqish parametrlarining ta’siri

Sonli simulyatsiyalarda \(\beta_1\) va \(\beta_2\) oshganda ta’sirga uchragan, karantindagi, infeksiyalangan, izolyatsiya qilingan va vafot etgan shaxslar hamda atrof-muhit patogen yuki oshgani qayd etiladi. Bu natija \(R_0\) tahlilidagi musbat yuqish sezgirliklari bilan bir xil yo‘nalishda.

\(\beta_1\) atrof-muhit orqali yuqish kanaliga, \(\beta_2\) esa inson bilan bog‘liq yuqish kanaliga kirgani sababli, model matematikasida bu parametrlarning oshishi infeksiya kuchining ortishiga bevosita hissa qo‘shadi. Shu bois topilmaning bir qismi model tenglamasining strukturaviy natijasidir.

Atrof-muhit patogenining ajralishi

\(\tau_1\) infeksiyalangan shaxslarning, \(\tau_2\) esa vafot etgan shaxslarning atrof-muhit patogeni bo‘limiga hissa qo‘shish tezligini ifodalaydi. Model:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}P = \tau_1^{\varsigma}I + \tau_2^{\varsigma}D - \theta^{\varsigma}P \]

tenglamasiga ega bo‘lgani uchun \(\tau_1\) yoki \(\tau_2\) ning ortishi \(P\) ga kirish oqimini oshiradi, \(\theta\) ning ortishi esa atrof-muhitdagi patogen yukini kamaytiruvchi chiqishni kuchaytiradi. Tadqiqotning sezgirlik tahlili ham \(\theta\) uchun manfiy \(R_0\) sezgirligini qayd etadi.

Xavfsiz dafn va ρ parametri

\(\rho\), Ebola sababli vafot etgan shaxslarning tizimdagi \(D\) sinfidan xavfsiz tarzda chiqarilish tezligidir:

\[ {}_{0}^{ABC}D_{\mathfrak{I}}^{\varsigma}D = \sigma_3^{\varsigma}I + \gamma_2^{\varsigma}J - \rho^{\varsigma}D. \]

Modelda \(D\) inson bilan bog‘liq infeksiya kuchiga hamda \(\tau_2D\) orqali atrof-muhit patogen yukiga hissa qo‘sha olgani sababli, \(\rho\) ning ortishi ushbu yo‘llarning davomiyligini kamaytirishi mumkin. Manbada \(\rho\) ning \(R_0\) sezgirligi −0,3755 deb berilgan.

Qo‘rquv parametri ε

Manbaning 16-rasmida \(\epsilon\) oshirilganda \(E\), \(I\), \(Q\) va \(J\) trayektoriyalari kamaygani qayd etiladi. Buning matematik sababi:

\[ \frac{\beta_2(I+\omega_1J+\omega_2D+\omega_3Q)} {1+\epsilon D} \]

hadida \(\epsilon D\) maxrajni kattalashtirishidir. Mualliflar talqiniga ko‘ra, o‘limning ko‘rinarliligi jamiyatdagi ehtiyotkor xulq-atvorni kuchaytirishi va bu samarali kontaktni kamaytirishi mumkin.

Bu natija xulq-atvor fanlariga oid dala tajribasi emas. Uni “qo‘rquv Ebolaning oldini oladi” deb umumlashtirib bo‘lmaydi. Tadqiqot faqat muayyan xulq-atvor ta’siri \(\epsilon\) parametri bilan matematik ifodalangan ssenariyning natijalarini ko‘rsatadi.

Karantin va izolyatsiya

Modelda ta’sirga uchragan shaxslar \(k_2E\) orqali karantinga, infeksiyalangan shaxslar esa \(\sigma_2I\) orqali izolyatsiyaga o‘tadi. Karantindagi shaxslarning \(k_1\) ulushidagi qismi yana sezgir sinfga, qolgan qismi esa \(e(1-k_1)Q\) orqali izolyatsiyaga yo‘naltiriladi.

Mualliflarning sonli simulyatsiya va natija talqini karantin va izolyatsiyani infeksiyalangan hamda sezgir shaxslar kontaktini cheklovchi asosiy epidemiya nazorati komponentlari sifatida ko‘rsatadi. Bu natija modelning asosiy jamoat salomatligi xulosasidir.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• ABC kasr hosilasidan foydalanib, sakkiz bo‘lmali Ebola yuqish modelini matematik tarzda qurish mumkin.
• Model yechimlari tegishli boshlang‘ich shartlarda musbat va cheklangan bo‘lib qolishi jihatidan tahlil qilingan.
• Qo‘zg‘almas nuqta va Lipschitz yondashuvi bilan yechimning mavjudligi va yagonaligi uchun matematik shartlar qurilgan.
• Kasalliksiz muvozanat \(R_0<1\) da lokal barqaror ekani ko‘rsatilgan.
• Model Hyers–Ulam va Hyers–Ulam–Rassias barqarorligi nuqtayi nazaridan tahlil qilingan.
• Ugandaning 29-sentabr–12-noyabr 2022 holatlar ma’lumoti ayrim parametrlarni baholashda ishlatilgan.
• Qo‘llangan parametrlar to‘plami bilan \(R_0=6,053288\) hisoblangan.
• Model simulyatsiyalarida yuqish parametrlarining ortishi yuqoriroq infeksiya yuki bilan bog‘liq.
• Karantin, izolyatsiya, atrof-muhit patogenlarini kamaytirish va xavfsiz dafn bilan bog‘liq mexanizmlar nazorat yo‘nalishidagi ta’sirlarni ko‘rsatadi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan natijalar

Tadqiqot muayyan karantin siyosati real dunyoda aniq qancha holatning oldini olishini o‘lchamaydi. Izolyatsiya muayyan sog‘liqni saqlash tizimida qanchalik samarali ekanini randomizatsiyalangan yoki nazoratli dala ma’lumotlari bilan sinamaydi. \(\epsilon\) parametri bilan ifodalangan qo‘rquv ta’sirining real populyatsiyadagi sababiy kattaligini o‘lchamaydi. \(R_0=6,053288\) qiymati barcha Ebola epidemiyalarida o‘zgarmas ekanini ko‘rsatmaydi. Shuningdek, kasr model kelajakdagi epidemiyalarni klassik modellarga qaraganda yaxshiroq bashorat qilishini mustaqil test ma’lumotlarida qiyosiy ravishda tasdiqlamaydi.

Asosiy metodologik va manba ichki cheklovlar

• Kalibratsiya davri taxminan 45 kunlik bitta Uganda epidemiyasi ma’lumot oralig‘idir.
• Ma’lumotlar kumulyativ tasdiqlangan holatlar sonidan iborat; individual klinik ma’lumot emas.
• Model parametrlarining bir qismi ma’lumotlarga moslashtirilgan, bir qismi hisoblangan, bir qismi adabiyotdan olingan va bir qismi faraz qilingan.
• Mustaqil o‘qitish/test yoki prospektiv tashqi validatsiya to‘plami qayd etilmagan.
• Manbaning 2-rasmida kundalik ma’lumot bo‘lishiga qaramay vaqt o‘qi “Years” deb belgilangan.
• Boshlang‘ich sezgir populyatsiya qiymati manbada \(47.249.435\) va \(47.249.458\) ko‘rinishida ikki xil berilgan.
• 4-jadvalda \(\beta_1\) sezgirligi 0,6245 bo‘lsa-da, matndagi misol %10 → %10 ko‘rinishida berilgani sababli sonli bayon to‘liq mos kelmaydi.
• \(\mu\) uchun −1,11230 sezgirlik aniq hisoblangan bo‘lsa-da, bu parametr 4-jadvalda mavjud emas.
• Kasr modelda tezlik parametrlaridan \(\varsigma\) darajalari bilan foydalanish manbada berilgan; o‘lchoviy muvofiqlik asoslari alohida tahlil sifatida ishlab chiqilmagan.

Manba va usul izohi

Asl tadqiqot: Mathematical analysis of a fractional Ebola transmission dynamics

Mualliflar: Isaac Kwasi Adu; Joshua Kiddy K. Asamoah; Fredrick A. Wireko.

Mualliflar tartibi: Manbadagi tartib aynan saqlangan.

Teng hissa: PDFda teng birinchi mualliflik yoki teng hissa haqidagi bildirish ko‘rinmaydi.

Corresponding author: Isaac Kwasi Adu; PDFning birinchi sahifasidagi aloqa blokida konvert belgisi bilan mas’ul aloqa muallifi sifatida ko‘rsatilgan.

Muassasa 1: Mathematical Sciences Department, Kumasi Technical University, Kumasi, Ghana.

Muassasa 2: Department of Mathematics, Saveetha School of Engineering, SIMATS, Chennai, India.

Muassasa 3: Department of Mathematics, Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Kumasi, Ghana.

Jurnal: Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics.

Nashriyot / litsenziya egasi: Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature.

Jild / maqola raqami: Volume 15, Article 182.

Son/issue: PDFning bibliografik yuqori ma’lumotida alohida son ma’lumoti aniq ko‘rsatilmagan.

DOI: 10.1007/s13721-026-00837-w.

Yuborilgan sana: 10-mart 2026.

Tahrir sanasi: 4-iyul 2026.

Qabul sanasi: 8-iyul 2026.

Onlayn nashr sanasi: 12-avgust 2026.

Manba turi: Original Article; matematik epidemiologiya / kasr tartibli dinamik tizimlarni modellashtirish tadqiqoti.

Taqriz holati: Manba Springer Nature jurnalida Original Article sifatida chop etilgan va PDFda yuborish, tahrir va qabul sanalari mavjud; tadqiqot chop etilgan jurnal maqolasidir.

Litsenziya/mualliflik huquqi: PDFda “© The Author(s), under exclusive licence to Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature 2026” iborasi bor. Maqola Creative Commons ochiq litsenziyali sifatida belgilanmagan. Shu sababli Verianla ichidagi model sxemasi manba rasmning nusxasi sifatida ishlatilmagan, balki tenglamalarda aniq berilgan munosabatlardan mustaqil ravishda qayta yaratilgan.

Moliyalashtirish: None declared.

Ma’lumotlarning mavjudligi: Mualliflar tadqiqotda ishlatilgan ma’lumotlar maqola ichida mavjudligini bildiradi. Tadqiqot, shuningdek, Uganda epidemiyasi ma’lumotlari ochiq manbalardan tuzilganini izohlaydi.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Mualliflar competing interests yo‘qligini bayon qiladi.

Mualliflar hissasi: Isaac K. Adu; konseptuallashtirish, tadqiqot, dastlabki qoralamani yozish, metodologiya, ko‘rib chiqish va tahrirlash, dasturiy ta’minot, formal tahlil va ma’lumotlar kuratsiyasi hissalari bilan ko‘rsatilgan. Joshua Kiddy K. Asamoah; konseptuallashtirish, tadqiqot, dastlabki qoralamani yozish, validatsiya, metodologiya, ko‘rib chiqish va tahrirlash, dasturiy ta’minot, formal tahlil va maslahat/nazorat hissalari bilan ko‘rsatilgan. Fredrick A. Wireko; konseptuallashtirish, dastlabki qoralamani yozish, metodologiya, ko‘rib chiqish va tahrirlash hamda formal tahlil hissalari bilan ko‘rsatilgan.

Asosiy usul: Sakkiz bo‘lmali deterministik Ebola modeli; Atangana–Baleanu–Caputo kasr hosilasi; musbatlik va invariant soha tahlili; qo‘zg‘almas nuqta/Lipschitz yondashuvi bilan mavjudlik va yagonalik; yangi avlod matritsa usuli bilan \(R_0\); Jacobian va kasr barqarorlik tahlili; Hyers–Ulam va Hyers–Ulam–Rassias barqarorligi; eng kichik kvadratlar bilan parametr kalibratsiyasi; PRCC va normallashtirilgan sezgirlik tahlili; kasr Adams–Bashforth–Moulton bashorat qiluvchi–tuzatuvchi sonli yechimi.

Asosiy talqin chegarasi: Ushbu tadqiqot epidemiologik holatlar ma’lumotiga kalibrlangan nazariy va sonli modellashtirish tadqiqotidir. Model natijalari klinik samaradorlik dalili, individual bemor prognozi yoki har qanday karantin/izolyatsiya amaliyotining real dunyodagi aniq ta’sir kattaligi sifatida talqin qilinmasligi kerak. Parametrlarning turli manbalardan olingani va mustaqil tashqi validatsiya o‘tkazilmagani ham natijalarni umumlashtirish imkoniyatini cheklaydi.