Benjamin-Aaron-Mayumbo (BAM) modeli, nəqliyyat sıxlığı və orta sürət kimi məcmu dəyişənlərlə işləyən, klassik Payne-Whitham (PW) modelini öndəki nəqliyyat vasitəsinə qədər istifadə oluna bilən məsafədən asılı sürücü reaksiyası ilə genişləndirən ikinci dərəcəli makroskopik nəqliyyat axını modelidir. Modelin əsas yeniliyi qabağa yönəlmiş nəqliyyat vasitələriarası məsafədən yalnız arzu olunan sürəti müəyyən etmək üçün deyil, həm də sürücünün mövcud sürətdən arzu olunan sürətə nə qədər sürətlə yaxınlaşacağını müəyyən edən effektiv relaksasiya müddətini dəyişdirmək üçün istifadə etməsidir. Tədqiqat BAM-ı analitik dayanıqlılıq təhlili və nəzarət edilən ədədi simulyasiyalar vasitəsilə klassik PW modeli ilə müqayisə edir.

Model makroskopik sıxlıqdan təxmini nəqliyyat vasitələriarası məsafəyə keçmək üçün \(\Delta x \approx 1/\rho\) münasibətindən istifadə edir. Bu yanaşma nəqliyyat axınındakı nəqliyyat vasitələrinin təxminən homogen intervallarla paylandığı fərziyyəsinə əsaslanır. Alınan interval daha sonra iki ayrı mexanizmə daxil olur: sürücünün çatmağa çalışdığı boşluqla idarə olunan sürət \(v_d\) və sürətin tənzimlənməsinin zaman miqyasını müəyyən edən effektiv relaksasiya müddəti \(\tau_{eff}\). Beləliklə, nəqliyyat sıxlığı artdıqda qabaqda mövcud olan məsafə azalır; model həm hədəf sürəti, həm də sürətin tənzimlənməsi davranışını eyni nəqliyyat vəziyyəti ilə əlaqələndirir.

Tədqiqatın əsas müqayisələrində klassik PW modeli sınaqdan keçirilən şəraitdə çox böyük ədədi sürət rəqsləri yaratdığı halda, BAM sürətləri model üçün nəzərdə tutulan interval daxilində saxlamış və daha hamar nəqliyyat dalğaları formalaşdırmışdır. Mənbə PW simulyasiyasında sürətin təxminən \(320\,m/s\)-ə qədər yüksəlib təxminən \(-180\,m/s\)-ə qədər enə bildiyini bildirərkən, BAM-ın 0–20 \(m/s\) kimi müəyyən edilmiş modelləşdirmə intervalında qaldığını qeyd edir. Bu, BAM-ın araşdırılan ədədi quruluşda daha nəzarətli davrandığı deməkdir; real nəqliyyatda daha dəqiq proqnoz verdiyi demək deyil.

Xətti dayanıqlılıq təhlilində tədqiqatın çıxardığı struktur şərt \(C_0 \geq -\rho_0 v_d'(\rho_0)\) formasındadır. Boşluqla idarə olunan arzu olunan sürət funksiyasının törəməsi yerinə qoyulduqda sərhəd \(C_0 \geq \frac{s\rho_0v_{max}}{(1+s\rho_0)^2}\) olur. \(\rho_0=0.30\,veh/m\), \(v_{max}=20\,m/s\) və \(s=8\,m\) üçün tədqiqat kritik qiyməti təxminən \(C_{0,critical}=4.15\,m/s\) hesablamışdır. \(C_0=2.0\,m/s\) qeyri-dayanıqlı, \(4.15\,m/s\) kritik sərhəd və \(20.0\,m/s\) dayanıqlı hal kimi ədədi şəkildə sınaqdan keçirilmişdir.

Ən mühüm şərh sərhədi budur: BAM hələ real nəqliyyat müşahidələri ilə kalibrasiya edilməmiş və ya müstəqil şəkildə doğrulanmamışdır. Nəticələr qapalı dövrə yollar, müəyyən edilmiş başlanğıc perturbasiyaları və seçilmiş parametrlər altında aparılmış nəzarət olunan ədədi təcrübələrin nəticələridir. Buna görə tədqiqat BAM-ın real yol şəbəkələrində PW-dən qəti şəkildə daha dəqiq proqnoz verdiyini göstərmir; daha nəzarətli və dayanıqlı ədədi davranış yarada bildiyini göstərir.

BAM Nəqliyyat Axını Modeli Nədir?

Benjamin-Aaron-Mayumbo (BAM) modeli klassik Payne-Whitham modelinin nəqliyyat vasitələrinin qorunması və nəqliyyat-təzyiqi/öngörü strukturunu qoruyan, lakin sabit relaksasiya davranışı əvəzinə nəqliyyat sıxlığından törədilən qabağa yönəlmiş nəqliyyat vasitələriarası məsafədən asılı arzu olunan sürət və effektiv relaksasiya müddətindən istifadə edən ikinci dərəcəli makroskopik nəqliyyat axını modelidir.

Makroskopik nəqliyyat modeli nəyi təmsil edir?

Mikroskopik nəqliyyat modelləri ayrı-ayrı nəqliyyat vasitələrini və sürücüləri izlədiyi halda, makroskopik modellər nəqliyyatı axan fasiləsiz mühit kimi nəzərdən keçirir. Buna görə hər bir nəqliyyat vasitəsinin sükan, qaz və ya əyləc əmrlərini ayrı-ayrılıqda modelləşdirmək əvəzinə yol boyunca sıxlıq, orta sürət və axın kimi sahə dəyişənlərindən istifadə olunur.

Bu tədqiqatda əsas dəyişənlər aşağıdakılardır:

LWR modeli: nəqliyyat vasitələrinin qorunması

Tədqiqatın riyazi başlanğıc nöqtələrindən biri Lighthill-Whitham-Richards (LWR) modelidir. Mənbədəki Tənlik (1):

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial x}=0 \tag{1} \]

Bu tənlik bir qorunma qanunudur. \(\rho v\) hasili nəqliyyat axınını təmsil edir. Müəyyən yol hissəsində sıxlıq zamanla dəyişirsə, bunun səbəbi nəqliyyat vasitələrinin həmin hissəyə daxil olması və çıxmasıdır. Tənlik öz-özlüyündə sürücünün necə sürətləndiyini və ya yavaşıdığını demir; yalnız nəqliyyat vasitələrinin sayının qorunmasını ifadə edir.

Payne-Whitham modeli niyə ikinci tənliyə ehtiyac duyur?

LWR modeli sürətin dinamik dəyişməsini ayrıca tənliklə izah etmir. Payne-Whitham modeli buna görə qorunma tənliyinə sürət/momentum tənliyi əlavə edir:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial x}=0 \tag{2} \]

\[ \frac{\partial v}{\partial t} +v\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{C_0^2}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial x} = \frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{3} \]

Tənlik (3)-də \(\frac{\partial v}{\partial t}\) sürətin zamana görə dəyişməsini, \(v\frac{\partial v}{\partial x}\) axınla daşınan sürət dəyişməsini və \(\frac{C_0^2}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial x}\) nəqliyyat sıxlığı qradiyentinin yaratdığı təzyiq/öngörü təsirini təmsil edir. Sağ tərəfdəki \(\frac{v_e(\rho)-v}{\tau}\) isə sürücünün mövcud sürətini tarazlıq sürətinə doğru tənzimləməsini ifadə edən relaksasiya terminidir.

Klassik PW modelində problem \(\tau\)-nun sabit götürülməsidir. BAM-ın əsas müdaxiləsi məhz bu mənbə termininə yönəlir.

Boşluqla idarə olunan reaksiya termini

Tədqiqatın Tənlik (4)-ü:

\[ A_{gap} = \frac{ v_{max}\frac{\Delta x}{\Delta x+s}-v }{ \tau_0\frac{\Delta x}{\Delta x+s_0} } \tag{4} \]

Surətin birinci hissəsi sürücünün mövcud boşluq şəraitində çatmaq istədiyi sürəti, məxrəc isə sürətin bu qiymətə hansı zaman miqyasında yaxınlaşacağını təmsil edir. Beləliklə, BAM yalnız “nə qədər sürətlə getmək istəyirəm?” sualını deyil, “həmin sürətə nə qədər tez yaxınlaşacağam?” sualını da nəqliyyat vasitələri arasındakı boşluqla əlaqələndirir.

Greenshields sürət-sıxlıq münasibəti

Mənbə klassik tarazlıq münasibəti üçün Greenshields modelindən istifadə edir:

\[ v_e(\rho)=v_{max}\left(1-\frac{\rho}{\rho_m}\right) \tag{5} \]

Sıxlıq sıfıra yaxınlaşdıqda tarazlıq sürəti \(v_{max}\)-a yaxınlaşır. Sıxlıq \(\rho_m\)-ə yaxınlaşdıqda tənlikdə tarazlıq sürəti sıfıra yaxınlaşır.

Tənlik (6) bu münasibətin sıxlığa görə törəməsidir:

\[ v_e'(\rho) = \frac{d}{d\rho} \left[ v_{max}\left(1-\frac{\rho}{\rho_m}\right) \right] = -\frac{v_{max}}{\rho_m} \tag{6} \]

Mənfi işarə sıxlıq artdıqca tarazlıq sürətinin azaldığını riyazi olaraq göstərir.

Effektiv Relaksasiya Müddəti Həqiqi Sürücü Reaksiya Gecikməsidirmi?

Xeyr. BAM-dakı \(\tau_{eff}\), sürücünün xəbərdarlığı gördükdən sonra müəyyən müddət gözləməsini təmsil edən açıq zaman gecikməsi deyil; mövcud sürətin boşluqla idarə olunan arzu olunan sürətə yaxınlaşma sürətini müəyyən edən, nəqliyyat vəziyyətindən asılı zaman miqyasıdır. Mənbə bu fərqi xüsusi vurğulayır və həqiqi gecikmə modelində sistemin \(t-\tau\) kimi keçmiş zamandakı nəqliyyat vəziyyətindən asılı olmalı olduğunu bildirir.

Boşluqla idarə olunan arzu olunan sürət

Tənlik (7):

\[ v_d = v_{max}\frac{\Delta x}{\Delta x+s} \tag{7} \]

\(\Delta x\) böyüdükcə \(\frac{\Delta x}{\Delta x+s}\) nisbəti 1-ə yaxınlaşır və \(v_d\) sərbəst axın sürəti \(v_{max}\)-a yaxınlaşır. Nəqliyyat vasitələri bir-birinə yaxınlaşdıqca nisbət azalır və arzu olunan sürət aşağı düşür.

Boşluqdan asılı effektiv relaksasiya müddəti

Tənlik (8):

\[ \tau_{eff} = \tau_0\frac{\Delta x}{\Delta x+s_0} \tag{8} \]

Bu düstur BAM-ın klassik sabit \(\tau\) yanaşmasından fərqləndiyi ikinci mühüm nöqtədir. \(\tau_{eff}\) nəqliyyat vəziyyəti ilə dəyişir.

Mənbədə \(s_0\) “spacing scaling parameter” kimi müəyyən edilir və Cədvəl 5-də 0.30 qiyməti verilir. Lakin bu parametrin vahidi cədvəldə açıq şəkildə bildirilməyib. Tənlik strukturunda \(\Delta x+s_0\) cəmində yer aldığı üçün ölçü baxımından şərh üçün bu çatışmazlıq vacibdir; Verianla bu boşluğa mənbədə olmayan vahid əlavə etmir.

Təcil tənliyi

Tənlik (9):

\[ a=\frac{v_d-v}{\tau_{eff}} \tag{9} \]

Arzu olunan sürət mövcud sürətdən böyükdürsə surət müsbətdir və model sürətlənmə istiqamətində; mövcud sürət arzu olunan sürətdən yüksəkdirsə surət mənfidir və yavaşıma istiqamətində reaksiya yaradır. \(\tau_{eff}\) isə bu uyğunlaşmanın nə qədər sürətlə baş verəcəyini miqyaslayır.

Tənlik (7) və Tənlik (8)-dəki ifadələr Tənlik (9)-da birləşdirildikdə mənbədə Tənlik (10) kimi verilən boşluqla idarə olunan təcil strukturu alınır:

\[ a= \frac{ v_{max}\frac{\Delta x}{\Delta x+s}-v }{ \tau_0\frac{\Delta x}{\Delta x+s_0} } \tag{10} \]

Mənbədaxili nömrələmə qeydi: PDF-in izah mətni bu törətmənin bəzi yerlərində tənlik nömrələrinə səhv çarpaz istinadlar verir. Burada düsturlar mənbədə çap olunan riyazi ifadəyə görə sıralanıb; çarpaz istinad səhvləri səssiz şəkildə mənbə mətninin hissəsi kimi yenidən yaradılmayıb.

Mikroskopik intervaldan makroskopik sıxlığa keçid

Tədqiqatın əsas yanaşması:

\[ \Delta x\approx\frac{1}{\rho} \tag{11} \]

Bu münasibət nəqliyyat vasitələrinin təxminən homogen şəkildə paylandığı nəqliyyat axınında sıxlığın tərsini orta qabağa yönəlmiş məsafə üçün makroskopik yaxınlaşma kimi istifadə edir. \(\rho\) veh/m ilə ifadə edildikdə \(1/\rho\), bir nəqliyyat vasitəsinə düşən uzunluq miqyasını verir. Mənbə də bu çevrilmənin nisbətən homogen nəqliyyat vasitələriarası interval fərziyyəsinə əsaslandığını açıq şəkildə bildirir.

Tənlik (11) arzu olunan sürət tənliyinə tətbiq edildikdə:

\[ v_d = v_{max} \frac{1/\rho}{1/\rho+s} = \frac{v_{max}}{1+s\rho} \tag{12} \]

Eyni şəkildə effektiv relaksasiya müddəti:

\[ \tau_{eff} = \tau_0 \frac{1/\rho}{1/\rho+s_0} = \frac{\tau_0}{1+s_0\rho} \tag{13} \]

Beləliklə, BAM-ın təcil ifadəsi birbaşa nəqliyyat sıxlığı ilə yazıla bilər:

\[ a= \frac{ \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v }{ \frac{\tau_0}{1+s_0\rho} } \tag{14} \]

Yenidən düzəldilmiş forması:

\[ a= \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{15} \]

Tənlik (15) BAM-ın mahiyyətini çox aydın göstərir. Sıxlıq \(\rho\), həm hədəf sürət \(\frac{v_{max}}{1+s\rho}\), həm də uyğunlaşma miqyası \(\frac{1+s_0\rho}{\tau_0}\) üzərində təsirlidir.

Yekun BAM sürət tənliyi

Klassik PW relaksasiya termini yeni sıxlıqdan asılı mənbə termini ilə əvəz edildikdə:

\[ \frac{\partial v}{\partial t} + v\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{C_0^2}{\rho} \frac{\partial\rho}{\partial x} = \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{16} \]

Bu tənlik nəqliyyat vasitələrinin qorunması tənliyi ilə birlikdə BAM sistemini təşkil edir:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} = 0 \tag{17} \]

PW ilə BAM arasındakı əsas riyazi fərq

Roe parçalanması və qorunma forması

BAM və PW tənlikləri ədədi həll üçün Roe approximate Riemann solver vasitəsilə sonlu həcm formasında diskretləşdirilmişdir. Mənbə hiperbolik tarazlıq qanununu aşağıdakı ümumi formada verir:

\[ G_t+f(G)_x=S(G) \tag{18} \]

Mənbədə ilk vektor göstərilişi:

\[ G= \begin{bmatrix} \rho\\ v \end{bmatrix} \tag{19} \]

\[ f(G)= \begin{bmatrix} \rho v\\ \frac{v^2}{2}+C_0^2\ln(\rho) \end{bmatrix} \tag{20} \]

\[ S(G)= \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \end{bmatrix} \tag{21} \]

Burada \(G\) nəqliyyat vəziyyətini, \(f(G)\) bu vəziyyətin məkan boyunca daşınmasını və \(S(G)\) sürücü uyğunlaşması kimi mənbə təsirlərini ifadə edir.

Mənbədə Tənlik (22)-nin ilk törəmə termini çapda aşağıdakı formada görünür:

\[ \frac{\partial t}{\partial G} + A(G)\frac{\partial G}{\partial x} = 0 \tag{22, kaynakta basılı biçim} \]

Bu ifadə dərhal ətrafındakı izahda “quasilinear form” kimi müəyyən edilir. Standart hiperbolik sistem notasiyası ilə müqayisə edildikdə ilk törəmə istiqamətinin çapda tərs yazıldığı görünür və bu, mənbədaxili yığım/törəmə göstərilişi uyğunsuzluğudur. Verianla bunu səssiz şəkildə mənbə düsturu kimi düzəltmir, uyğunsuzluğu açıq şəkildə qeyd edir.

Qorunan momentum formasına keçid: Tənlik (23)–(36)

Mənbə Roe həlledicisində istifadə oluna bilən qorunan struktura çatmaq üçün cəbri çevrilmələr zənciri qurur. Tənlik (23):

\[ v\rho_t+v(\rho v)_x=0 \tag{23} \]

Tənlik (24):

\[ v\rho_t=(\rho v)_t-\rho v_t \tag{24} \]

Bunlardan Tənlik (25) yazılır:

\[ \rho v_t=(\rho v)_t+v(\rho v)_x \tag{25} \]

PW sürət tənliyi sıxlığa vurulduqda mənbə Tənlik (26)-nı verir:

\[ \rho v_t+\rho vv_x+C_0^2\rho_x = \rho\frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{26} \]

Məkani daşınma termini üçün Tənlik (27):

\[ \rho vv_x=(\rho v^2)_x-v(\rho v)_x \tag{27} \]

Bu münasibətlər birləşdirildikdə:

\[ (\rho v)_t+(\rho v^2)_x+C_0^2\rho_x = \rho\frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{28} \]

Mənbə momentum axınını qorunan dəyişən \(\rho v\) ilə yenidən ifadə edən aralıq çevrilməni Tənlik (29) kimi verir və daha sonra klassik PW-nin qorunan momentum formasına çatır:

\[ (\rho v)_t+ \left( \frac{(\rho v)^2}{\rho}+C_0^2\rho \right)_x = \rho\frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{30} \]

Mənbənin Tənlik (31)-ində vəziyyət vektoru göstərilişi ilə dərhal altındakı “qorunan dəyişənlər sıxlıq və momentumdur” izahı arasında notasiya uyğunsuzluğu görünür. Sonrakı Tənlik (36) qorunan vəziyyət vektorunu açıq şəkildə \([\rho,\rho v]^T\) kimi verir. Buna görə burada mənbə daxilindəki iki göstəriliş bir-biri ilə qarışdırılmır.

BAM üçün momentuma bənzər sürət tənliyi yenidən:

\[ v_t+vv_x+\frac{C_0^2}{\rho}\rho_x = \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{32} \]

Sıxlığa vurulmuş forması:

\[ \rho v_t+\rho vv_x+C_0^2\rho_x = \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{33} \]

Hasil qaydası və nəqliyyat vasitələrinin qorunması tənliyi tətbiq edildikdən sonra:

\[ (\rho v)_t+ (\rho v^2+C_0^2\rho)_x = \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{34} \]

Sürət \(v=(\rho v)/\rho\) istifadə edilərək tamamilə qorunan dəyişənlərlə:

\[ (\rho v)_t+ \left( \frac{(\rho v)^2}{\rho}+C_0^2\rho \right)_x = \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{35} \]

Mənbənin yekun qorunan vektor göstərilişi:

\[ G= \begin{bmatrix} \rho\\ \rho v \end{bmatrix}, \qquad f(G)= \begin{bmatrix} \rho v\\ \frac{(\rho v)^2}{\rho}+C_0^2\rho \end{bmatrix} \]

\[ S(G)= \begin{bmatrix} 0\\ \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \end{bmatrix} \tag{36} \]

Jacobian və xarakteristik dalğa sürətləri

PW axın strukturuna aid Jacobian:

\[ A(G)= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ C_0^2-v^2 & 2v \end{bmatrix} \tag{37} \]

Özqiymət problemi:

\[ A-\lambda I= \begin{bmatrix} -\lambda & 1\\ C_0^2-v^2 & 2v-\lambda \end{bmatrix} \tag{38} \]

Xarakteristik özqiymətlər:

\[ \lambda_1=v+C_0, \qquad \lambda_2=v-C_0 \tag{39} \]

BAM mənbə terminini dəyişdirib əsas axın strukturunu dəyişdirmədiyi üçün tədqiqatda PW və BAM-ın eyni xarakteristik dalğa sürətlərinə malik olduğu nəticəsinə gəlinir. Özqiymətlər həqiqi və fərqli olduqda sistem sərt hiperbolik strukturunu qoruyur. Mənbə həmçinin özqiymətlərin sıfıra yaxınlaşdığı sonik nöqtələrdə Roe həllədicisinin fiziki olmayan genişlənmə zərbələrinin qarşısını almaq məqsədilə Harten entropy fix istifadə etdiyini bildirir.

BAM Modelinin Dayanıqlılıq Şərti Nədir?

Tədqiqatın xətti perturbasiya təhlilində BAM-ın kiçik pozuntuları asimptotik olaraq sönümləndirə bilməsi üçün əldə edilən struktur şərt \(C_0\geq-\rho_0v_d'(\rho_0)\)-dır; modelin boşluqla idarə olunan arzu olunan sürət törəməsi yerinə qoyulduqda bu sərhəd \(C_0\geq\frac{s\rho_0v_{max}}{(1+s\rho_0)^2}\) formasına çevrilir.

Kiçik perturbasiyaların müəyyən edilməsi

Vahid tarazlıq vəziyyəti ətrafında:

\[ \rho(x,t)=\rho_0+\delta\rho(x,t), \qquad v(x,t)=v_0+\delta v(x,t) \tag{40} \]

Burada \(\delta\rho\ll\rho_0\) və \(\delta v\ll v_0\) qəbul edilir. Yəni xətti təhlil böyük nəqliyyat dəyişikliklərini deyil, tarazlıq ətrafındakı kiçik pozuntuları araşdırır.

Xəttiləşdirilmiş qorunma tənliyi:

\[ \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial t} + v_0\frac{\partial(\delta\rho)}{\partial x} + \rho_0\frac{\partial(\delta v)}{\partial x} = 0 \tag{41} \]

Xəttiləşdirilmiş sürət tənliyi:

\[ \frac{\partial(\delta v)}{\partial t} + v_0\frac{\partial(\delta v)}{\partial x} + \frac{C_0^2}{\rho_0} \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial x} = \frac{1+s_0\rho_0}{\tau_0} \left[ v_d'(\rho_0)\delta\rho-\delta v \right] \tag{42} \]

Tarazlıq vəziyyətində effektiv relaksasiya müddəti:

\[ \tau_{eff}=\frac{\tau_0}{1+s_0\rho_0} \]

Mənbə dəyişənlər aradan qaldırıldıqda sıxlıq perturbasiyası üçün ikinci dərəcəli qismən diferensial tənliyi aşağıdakı formada verir:

\[ \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_0\frac{\partial}{\partial x} \right)^2 \delta\rho - C_0^2 \frac{\partial^2(\delta\rho)}{\partial x^2} = -\frac{1}{\tau_{eff}} \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_0\frac{\partial}{\partial x} \right) \delta\rho - \frac{\rho_0v_d'(\rho_0)}{\tau_{eff}} \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial x} \tag{43} \]

Dalğa həlli və dispersiya münasibəti

Mənbə perturbasiyanı harmonik dalğa formasında nəzərdən keçirir:

\[ \delta\rho(x,t)=\hat{\rho}e^{i(kx-\omega t)} \]

Burada \(k\) məkan dalğa ədədi, \(\omega=\omega_r+i\omega_i\) isə kompleks bucaq tezliyidir. Bu fərziyyə Tənlik (43)-ə tətbiq edildikdə mənbə Tənlik (44)-ü verir:

\[ (v_0k-\omega)^2 - C_0^2k^2 - \frac{i}{\tau_{eff}}(v_0k-\omega) - \frac{i\rho_0v_d'(\rho_0)k}{\tau_{eff}} = 0 \tag{44} \]

Uzun dalğa uzunluqlu, yəni kiçik \(k\) pozuntuları üçün açılım aparıldıqda kinematik dalğanın yayılma sürəti:

\[ c_k=v_0+\rho_0v_d'(\rho_0) \tag{45} \]

İkinci dərəcəli terminlər böyümə/sönmə parametrini verir:

\[ \alpha= \tau_{eff} \left[ C_0^2- \left( \rho_0v_d'(\rho_0) \right)^2 \right] \tag{46} \]

Mənbənin əldə etdiyi xətti dayanıqlılıq şərti:

\[ C_0\geq-\rho_0v_d'(\rho_0) \tag{47} \]

Boşluqla idarə olunan arzu olunan sürətin sıxlıq törəməsi:

\[ v_d'(\rho_0) = -\frac{s\,v_{max}}{(1+s\rho_0)^2} \]

Beləliklə, yekun dayanıqlılıq sərhədi:

\[ C_0 \geq \frac{s\rho_0v_{max}} {(1+s\rho_0)^2} \tag{48} \]

Dayanıqlılıq sərhədinin ədədi doğrulanması

Mənbə \(\rho_0=0.30\,veh/m\), \(v_{max}=20\,m/s\) və \(s=8\,m\) üçün:

\[ C_{0,critical} = \frac{8\times0.30\times20} {(1+8\times0.30)^2} \approx 4.15\,m/s \]

Mənbə Şəkil 1-də üç vəziyyətin yol mövqeyi boyunca sıxlıq profillərini müxtəlif zamanlarda göstərir. Dayanıqlı \(C_0=20\,m/s\) vəziyyətində başlanğıc sinusoidal dalğanın amplitudası zamanla azalarkən, \(C_0=2\,m/s\) vəziyyətində pozuntu nəzərəçarpacaq şəkildə böyüyür. Qrafik burada eynilə yenidən istifadə edilməyib; elmi nəticə yuxarıdakı mənbə qiymətləri ilə müstəqil şəkildə strukturlaşdırılıb.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Ədədi həll üsulu

PW və BAM sistemləri Roe approximate Riemann solver istifadə olunaraq sonlu həcm üsulu ilə diskretləşdirilmişdir. Roe yanaşmasının tədqiqatdakı rolu nəqliyyat axınında yarana bilən kəskin dəyişiklikləri və şoka bənzər dalğaları hiperbolik qorunma qanunları çərçivəsində ədədi olaraq izləməkdir. BAM-ın axın Jacobian-ı PW ilə eyni qaldığından hər iki model üçün eyni əsas Roe parçalanmasından istifadə edilə bilir.

Mənbə sonik nöqtələrdə özqiymətlərdən birinin sıfıra yaxınlaşdığı halda Harten entropy fix tətbiq edildiyini bildirir. Bu düzəlişin məqsədi ədədi həlledicinin fiziki olmayan genişlənmə şokları yaratmasının qarşısını almaqdır.

Əsas simulyasiya parametrləri

Mənbədaxili zaman addımı uyğunsuzluğu: Cədvəl 5-də \(\Delta t=0.005\,s\) yazılıb və \(1200\times0.005=6\,s\) olduğuna görə cədvəl öz daxilində ümumi müddətlə uyğundur. Lakin 18. səhifədəki izah mətnində \(\Delta t=0.006\,s\) yazılıb. Verianla bu iki qiymətdən birini tədqiqatçının əvəzinə səssiz şəkildə seçmir; cədvəl ilə mətn arasındakı fərqi açıq saxlayır. Sonrakı 50 saniyəlik möhkəmlik təcrübələrində mənbə yenidən \(\Delta t=0.005\,s\) istifadə edildiyini açıq şəkildə bildirir.

Başlanğıc sıxlığı tənliyi

Mənbə həmçinin Tənlik (49)-da başlanğıc sıxlığını hissə-hissə belə müəyyən edir:

\[ \rho(x,0)= \begin{cases} 0.01, & x\leq30\\ 0.3, & 30<x\leq100\\ 0.1, & x>100 \end{cases} \tag{49} \]

Mənbədaxili başlanğıc şərti qeydi: Bu hissə-hissə profil Cədvəl 5-də “mean initial density = 0.30 veh/m” kimi verilən ifadə ilə birbaşa eyni tərif deyil. Mənbə hər iki məlumatı birlikdə verir, lakin onların arasındakı əlaqəni ətraflı izah etmir. Buna görə Verianla onları süni şəkildə uzlaşdırmır.

0.052 saniyəlik qiymət nə deməkdir?

Mənbə \(\tau_0=0.52\,s\)-ni istinad insan reaksiya qiyməti kimi istifadə edərkən, \(0.052\,s\)-ni tipik insan sürücüsü reaksiya müddəti kimi təqdim etmir. Bu qiymət əsas qiymətin bir mərtəbə azaldılması ilə yaradılan nəzarət olunan həssaslıq parametridir. Eyni şəkildə 2 m standstill intervalı da normal sürücü davranışının universal qiyməti kimi deyil, müqayisəli həssaslıq şərti kimi istifadə olunur.

PW və BAM sürət davranışının müqayisəsi

500 m qapalı dövrə yoldakı əsas müqayisədə PW modeli qəfil nəqliyyat dəyişiklikləri altında mənbədə “fiziki olaraq mümkün olmayan” kimi səciyyələndirilən şiddətli ədədi rəqslər göstərmişdir. Mənbə təxminən \(320\,m/s\) maksimum və \(-180\,m/s\) minimum sürət excursion-ları bildirir.

BAM eyni sınaq şəraitində sürəti müəyyən edilmiş 0–20 m/s model intervalında saxlamış və daha hamar sürət təkamülü yaratmışdır. Lakin müəlliflər bu müqayisəni empirik dəqiqlik üstünlüyü kimi şərh etmirlər. Nəticələr yalnız sınaqdan keçirilən ədədi şəraitdə BAM-ın daha məhdud və fiziki baxımdan daha məqbul ədədi sürət davranışı yaratdığını göstərir.

Sıxlıq sahəsi necə dəyişmişdir?

BAM üçün 500 m dövrə yol üzərindəki 50 saniyəlik sıxlıq simulyasiyasında mənbə təxminən \(x=150\,m\) ətrafında təxminən \(0.45\,veh/m\) yerli maksimum və təxminən \(x=375\,m\) ətrafında təxminən \(0.15\,veh/m\) minimum bildirir. Sahə ümumilikdə hamar qalır və aydın kəsilmələr yaratmır.

Klassik PW sıxlıq sahəsində isə mənbə təxminən \(150\,m\) ətrafında \(0.42\,veh/m\) maksimum və təxminən \(350\,m\) ətrafında \(0.17\,veh/m\) minimum bildirir. Başlanğıcdakı hamar profil zaman keçdikcə daha kəskin strukturlara və geriyə yayılan stop-and-go dalğalarına çevrilir. Tədqiqatın şərhinə görə sınaqdan keçirilən şəraitdə PW başlanğıc pozuntusunu böyüdür, BAM isə daha hamar dalğa yayılması yaradır.

Nəqliyyat axını nəticələri

PW üçün mənbə 500 m yol və 6 saniyəlik axın araşdırmasında təxminən \(150\,m\)-də \(4.55\,veh/s\) maksimum və təxminən \(350\,m\)-də \(3.4\,veh/s\) minimum bildirir. Dalğa forması zamanla simmetriyasını itirir və deformasiya göstərir.

BAM üçün axın maksimumu təxminən \(125\,m\)-də yenə \(4.55\,veh/s\), minimum isə təxminən \(375\,m\)-də \(3.4\,veh/s\) kimi bildirilmişdir. Axın böyüklüklərinin bir-birinə yaxın olması vacibdir: müəlliflərin nəticə bölməsində də qeyd etdiyi kimi BAM-ın əsas fərqi sınaqlarda “daha çox nəqliyyat axını” yaratmaq deyil, nəqliyyat vəziyyətlərinin zaman və məkan daxilində inkişafının daha nəzarətli olmasıdır.

Möhkəmlik təcrübələri necə hazırlanmışdır?

Tədqiqat daha sonra BAM-ı 250, 500 və 1000 m uzunluğunda qapalı dövrə yollar üzərində dörd şərt altında 50 saniyə ərzində araşdırmışdır. Bu təcrübələrdə məkan addımı 1 m, zaman addımı 0.005 s, \(C_0=20\,m/s\), \(s_0=0.30\) və \(v_{max}=20\,m/s\) olaraq saxlanmışdır.

D ssenarisində yolun mərkəzindəki %10-luq hissədə əlçatan maksimum sürət %25 azaldılaraq təkrarlana bilən yerli tutum məhdudiyyəti yaradılmışdır.

RMS pozuntu nisbəti nəyi göstərir?

Tədqiqat başlanğıcdakı sıxlıq perturbasiyasının simulyasiyanın sonunda nə qədər qaldığını qiymətləndirmək üçün son RMS sıxlıq perturbasiyasının başlanğıc RMS qiymətinə nisbətindən istifadə edir. Nisbət 1-dən aşağı olduqda pozuntu ümumilikdə sönümlənmiş, 1-dən yuxarı olduqda isə son pozuntu başlanğıcdakından daha böyük olmuşdur.

Ssenari A-da yol uzunluğu artdıqca yekun RMS nisbəti 0.002-dən 0.213 və 0.681-ə yüksəlmişdir. Yəni qısa yolda başlanğıc pozuntusu demək olar ki, tamamilə sönümləndiyi halda daha uzun yol daha çox qalıq məkan dəyişkənliyi daşımışdır.

Ssenari B-də daha yüksək başlanğıc sıxlığına və daha güclü perturbasiyaya baxmayaraq həllər sınaqdan keçirilən hər üç yol uzunluğunda məhdud qalmışdır. RMS nisbətləri müvafiq olaraq 0.002, 0.219 və 0.686-dır.

Ssenari C-də daha uzun əsas relaksasiya zaman miqyası və daha böyük standstill intervalı istifadə edilmişdir. Mənbə mətni 250 m üçün RMS nisbətini təxminən 0.000001 kimi izah etdiyi halda Cədvəl 7 bunu üç onluq işarə ilə 0.000 kimi göstərir. Bu fərq yuvarlaqlaşdırma səviyyəsindədir; burada cədvəl qiyməti cədvəl daxilində eynilə qorunmuşdur.

Ən güclü qalıq pozuntu aktiv darboğaz Ssenari D-də ortaya çıxmışdır. 500 m və 1000 m yollar üçün RMS nisbətləri müvafiq olaraq 1.332 və 1.923-dür; yəni son sıxlıq perturbasiyası başlanğıc qiymətindən daha böyükdür. Mənbə bunu tətbiq olunan yerli tutum məhdudiyyətinin yaratdığı qalıcı məkan yenidən paylanması və pozuntu artımı kimi şərh edir.

Mənbə mətnində Ssenari D, 1000 m üçün maksimum sürət 6.728 m/s kimi yazıldığı halda Cədvəl 7 qiyməti 6.729 m/s-dir. Verianla ədədi cədvəldə mənbə cədvəlinin 6.729 m/s qiymətini qoruyur və mətn ilə cədvəl arasındakı 0.001 m/s fərqi gizlətmir.

250, 500 və 1000 metrlik yolların müqayisəsi

Mənbə Şəkil 8–15-də dörd ssenarinin 250, 500 və 1000 m yol uzunluqları üçün yekun sıxlıq və sürət profillərini verir. Ümumi meyl qısa yolların başlanğıc pozuntusunu daha güclü sönümləndirməsi, uzun yolların isə daha çox məkan dəyişkənliyinin qalmasına imkan verməsidir. Bu nəticə xüsusilə RMS nisbətlərində aydın görünür.

Lakin bu vəziyyət “qısa yollar real nəqliyyatda həmişə daha dayanıqlıdır” şəklində ümumiləşdirilə bilməz. Tədqiqatın yol uzunluğu təsiri qapalı dövrə, periodik sərhəd şərti, seçilmiş BAM parametrləri və müəyyən edilmiş başlanğıc pozuntuları altında əldə olunmuş ədədi nəticədir.

Reaksiya müddəti və standstill intervalı həssaslığı

Mənbə Şəkil 16 və 17, 500 m dövrə yol üzərində iki parametr dəstini müqayisə edir. Birinci halda \(\tau=0.52\,s\) və \(l_s=8\,m\); ikinci halda daha qısa \(0.052\,s\) zaman miqyası və 2 m interval istifadə edilmişdir. Mənbə daha böyük zaman miqyası və standstill intervalında sıxlıq dalğalarının daha hamar olduğunu; daha kiçik qiymətlərdə isə daha güclü sürət və sıxlıq dəyişiklikləri yarandığını bildirir.

0.052 s və 2 m qiymətlərinin normal insan sürməsini təmsil etdiyi düşünülməməlidir. Məqalə bu qiymətləri açıq şəkildə nəzarət olunan həssaslıq şərtləri kimi istifadə edir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• BAM-ın sınaqdan keçirilən ədədi şəraitdə klassik PW ilə müqayisədə daha məhdud sürət qiymətləri və daha hamar nəqliyyat dalğası təkamülü yarada bildiyi dəstəklənir.
• Boşluqla idarə olunan arzu olunan sürət ilə sıxlıqdan asılı relaksasiya zaman miqyasının birlikdə istifadəsi modelin mənbə terminini nəqliyyat vəziyyətinə uyğunlaşdırır.
• Xətti təhlil BAM üçün açıq dayanıqlılıq sərhədi verir.
• \(C_0=2.0\), \(4.15\) və \(20.0\,m/s\) sınaqları nəzəri dayanıqlılıq sərhədi ilə uyğun ədədi davranış göstərmişdir.
• 250–1000 m möhkəmlik təcrübələrində BAM həlləri araşdırılan parametr fəzasında məhdud qalmışdır.
• Aktiv darboğaz araşdırılan şərait arasında ən böyük qalıq sıxlıq pozuntusunu yaratmışdır.
• BAM və PW-nin nəqliyyat axını böyüklükləri oxşar ola bilər; əsas fərq tədqiqatda daha çox vəziyyətlərin dayanıqlılığı və zaman-məkan təkamülü kimi üzə çıxmışdır.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• BAM-ın real yol şəbəkələrində PW-dən qəti şəkildə daha dəqiq olduğu göstərilməyib.
• Model real nəqliyyat sensoru, loop detector və ya nəqliyyat vasitəsi trayektoriyası məlumatları ilə kalibrasiya edilməyib.
• Müstəqil real dünya məlumat dəstində proqnoz uğuru ölçülməyib.
• Fərqli nəqliyyat vasitəsi uzunluqları, nəqliyyat vasitəsi növləri və fərdi sürücü xüsusiyyətləri açıq şəkildə həll edilmir.
• Tədqiqatdakı \(\Delta x\approx1/\rho\) yanaşması heterogen nəqliyyat vasitələriarası intervalların hamısını təmsil etmir.
• 0.052 saniyəlik parametr real insan sürücüsü reaksiya müddətinin nəticəsi deyil.
• 2 m standstill intervalı ümumi real nəqliyyat norması kimi təqdim edilmir.
• Nəzarət olunan simulyasiyadakı ədədi dayanıqlılıq real nəqliyyat proqnozunun dəqiqliyinin sübutu deyil.

Tədqiqatın əsas məhdudiyyətləri

Müəlliflərin açıq şəkildə qeyd etdiyi ən mühüm məhdudiyyət empirik kalibrasiya və doğrulamanın olmamasıdır. Mövcud nəticələr qapalı dövrə yol və əvvəlcədən müəyyən edilmiş başlanğıc perturbasiyaları üzərində aparılan nəzarət olunan ədədi təcrübələrə əsaslanır.

BAM həmçinin qabağa yönəlmiş nəqliyyat vasitələriarası məsafəni \(\Delta x\approx1/\rho\) yanaşması ilə makroskopik sıxlıqdan törədir. Bu yanaşma nisbətən homogen interval fərziyyəsi daşıyır və müxtəlif nəqliyyat vasitəsi növləri, nəqliyyat vasitəsi uzunluqları və ya fərdi sürücü xüsusiyyətlərindən yaranan heterogenliyi açıq şəkildə həll etmir.

Gələcək tədqiqat kimi müəlliflər BAM parametrlərini real nəqliyyat məlumatları ilə kalibrasiya etməyi; nəqliyyat axını, sürət, sıxlıq, headway və səyahət müddəti kimi müstəqil ölçmələrlə doğrulamağı; heterogen nəqliyyat şəraitini, parametr həssaslığını və daha real şəbəkə strukturlarını araşdırmağı təklif edirlər.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: A macroscopic traffic flow model with gap-controlled driver response and adaptive reaction dynamics

Müəlliflər və sıra: Benjamin Simwinga; Aaron Zimba; Mayumbo Nyirenda.

Məsul müəllif: Benjamin Simwinga.

Qurumlar: Benjamin Simwinga və Aaron Zimba — School of Computing, Technology and Applied Sciences, ZCAS University, Lusaka, Zambia. Mayumbo Nyirenda — Department of Computer Science, University of Zambia, Lusaka, Zambia.

Jurnal: Discover Networks.

Nəşriyyat/platforma: Springer Nature / Springer Nature Link.

Cild və məqalə nömrəsi: Volume 2, Article 39 (2026).

DOI: 10.1007/s44354-026-00053-y

Nəşr tarixi: 8 Oktyabr 2026.

Proses tarixləri: Alındı: 10 Avqust 2026; yenidən işlənib: 19 Sentyabr 2026; qəbul edildi: 28 Sentyabr 2026.

Mənbə növü: Research article; riyazi modelin hazırlanması, xətti dayanıqlılıq təhlili və nəzarət olunan ədədi simulyasiya tədqiqatı.

Lisenziya: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0). Lisenziya açıq giriş təmin edir, lakin uyğunlaşdırılmış materialın paylaşılmasına icazə vermir; buna görə Verianla təqdimatı mənbə mətnindən və fiqurlardan müstəqil elmi məlumat arxitekturası ilə hazırlanmışdır.

Müəllif töhfələri: Mənbədə BS-nin məqaləni yazdığı; AZ və MN-nin nəzərdən keçirmə və istiqamətləndirmə təmin etdiyi bildirilir.

Maliyyələşdirmə: Tədqiqat maliyyə dəstəyi almadığını bildirir.

Məlumatların əlçatanlığı: Tədqiqat zamanı yaradılmış və/və ya təhlil edilmiş məlumat dəstlərinin əsaslandırılmış sorğu əsasında məsul müəllifdən əldə edilə biləcəyi bildirilir.

Maraqlar toqquşması: Müəlliflər maraqlar toqquşmasının olmadığını bildirirlər.

Etik təsdiq və iştirakçı razılığı: Tətbiq edilə bilməz kimi bildirilmişdir.

Empirik doğrulama vəziyyəti: Yoxdur. BAM hələ müşahidə olunan nəqliyyat məlumatları ilə kalibrasiya edilməyib və müstəqil sahə ölçmələri ilə doğrulanmayıb.

Statistik çıxarım: Tədqiqatda p qiyməti, etimad intervalı, klinik/eksperimental seçmə statistikası və ya statistik hipotez testi bildirilməyib. Nəticələr analitik dayanıqlılıq şərtləri və ədədi simulyasiya çıxışlarıdır.

Mənbədaxili texniki uyğunsuzluqlar: Cədvəl 5-də \(\Delta t=0.005\,s\) verildiyi halda izah mətninin bir yerində 0.006 s yazılıb. Cədvəl 5-in 0.005 s qiyməti 1200 addım və 6 saniyəlik ümumi müddətlə öz daxilində uyğundur; lakin Verianla buna görə mənbə mətnindəki 0.006 s ifadəsini səssiz şəkildə silməyib. Cədvəl 5-də verilən 0.30 veh/m “orta başlanğıc sıxlığı” ilə Tənlik (49)-dakı 0.01/0.30/0.10 hissə-hissə başlanğıc profili arasındakı əlaqə də mənbədə ətraflı izah edilmir. Tənliklərin çarpaz istinadlarında və bəzi vektor göstərilişlərində də yığım/notasiya uyğunsuzluqları mövcuddur.